高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】空間向量基本定理2-課件

年級：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）空間向量基本定理（2）年級：高二1問題1

你能用自己的語言復(fù)述空間向量基本定理嗎？問題1你能用自己的語言復(fù)述空間向量基本定理嗎？2空間向量基本定理

我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors).

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.空間向量基本定理我們把{a，b，c}叫做空間3

特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩4例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN

上，且，，用向量表示問：是否一定能做到？答：不共面，空間向量基本定理保證了可行性．可以構(gòu)成空間的一個基底．OABCMNP例1如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，5答：可以利用向量線性運算的

運算法則，如三角形法則、

平行四邊形法則等．問：如何進(jìn)行表示？OABCMNP例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN

上，且，，用向量表示答：可以利用向量線性運算的問：如何進(jìn)行表示？OABCMNP例6解：OABCMNPQ解：OABCMNPQ7問題2

通過這道例題的解題過程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表示空間向量的方法呢？問題2通過這道例題的解題過程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表8

結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則、向量數(shù)乘等線性運算法則，將待求向量逐步轉(zhuǎn)化為基向量，將未知化歸為已知.用基向量表示空間向量的方法結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則9答：綜合幾何方法：問：證明異面直線垂直，你能想到

哪些方法？向量方法．證明異面直線所成角為直角；線面垂直的定義和性質(zhì)等．例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：綜合幾何方法：問：證明異面直線垂直，你能想到向量方法．證10答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何

問題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何例211答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何

問題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．求證只需證ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何例212例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．問：如何計算？向已知條件轉(zhuǎn)化．ABCDA1B1C1D1MN454例2如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，A13證明：設(shè)這三個向量不共面，{a，b，c}是空間的一個基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長度夾角)4ABCDA1B1C1D1MN45證明：設(shè)14用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問題的解把相關(guān)向量的運算轉(zhuǎn)化為基向量的運算向量問題的解選取基底(不共面且已知長度夾角)證明：設(shè)這三個向量不共面，{a，b，c}是空間的一個基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長度夾角)用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問題的解把相關(guān)向量的運算轉(zhuǎn)化為15立體幾何問題用向量方法解決立體幾何問題的路徑①適當(dāng)選取基底向量運算轉(zhuǎn)化②用基向量表示相關(guān)向量③將相關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為基向量的問題向量問題向量問題的解立體幾何問題的解轉(zhuǎn)化向量方法理論基礎(chǔ)：空間向量基本定理立體幾何問題用向量方法解決立體幾何問題的路徑①適當(dāng)選取基底向16答：可以取單位正交基底．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;問：單位正方體這個條件對解題有什么作用？單位：基向量長度為1．正交：基向量兩兩垂直，ABCDA'B'C'D'EFG任意兩不同基向量數(shù)量積為0．答：可以取單位正交基底．例3如圖，正方體ABCD－A'17問：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證，只需證存在實數(shù)λ，使得．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;ABCDA'B'C'D'EFG問：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證18證明：設(shè)則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個單位正交基底．所以所以所以所以ABCDA'B'C'D'EFGijk證明：設(shè)19問：如何用向量表示

CE與

AG所成角的余弦值？答：求與所成角的余弦值．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;（2）求

CE與

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFGijk問：如何用向量表示CE與AG所20解：因為所以ABCDA'B'C'D'EFGijk解：因為21所以

CE與

AG所成角的余弦值為1

0

0

0

選取單位正交基底有利于運算解：因為所以所以CE與AG所成角的余弦值為122思考：是否可以用與所成角的余弦值來求解第2小問？例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;（2）求

CE與

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFG思考：是否可以用與所例3如圖，正23

應(yīng)用一個定理：空間向量基本定理

學(xué)習(xí)一種方法：向量方法

體會一種思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想課堂小結(jié)應(yīng)用一個定理：空間向量基本定理課堂小結(jié)24課后作業(yè)1.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BD的中點，點G在CD上，且

（1）求證：EF⊥B1C;

（2）求EF與C1G所成角的余弦值．(思考題)用綜合幾何方法證明或求解例題，體會綜合幾何方法與向量方法的特點．課后作業(yè)1.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B125年級：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）空間向量基本定理（2）年級：高二26問題1

你能用自己的語言復(fù)述空間向量基本定理嗎？問題1你能用自己的語言復(fù)述空間向量基本定理嗎？27空間向量基本定理

我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors).

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.空間向量基本定理我們把{a，b，c}叫做空間28

特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩29例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN

上，且，，用向量表示問：是否一定能做到？答：不共面，空間向量基本定理保證了可行性．可以構(gòu)成空間的一個基底．OABCMNP例1如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，30答：可以利用向量線性運算的

運算法則，如三角形法則、

平行四邊形法則等．問：如何進(jìn)行表示？OABCMNP例1

如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN

上，且，，用向量表示答：可以利用向量線性運算的問：如何進(jìn)行表示？OABCMNP例31解：OABCMNPQ解：OABCMNPQ32問題2

通過這道例題的解題過程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表示空間向量的方法呢？問題2通過這道例題的解題過程，同學(xué)們能否總結(jié)出用基向量表33

結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則、向量數(shù)乘等線性運算法則，將待求向量逐步轉(zhuǎn)化為基向量，將未知化歸為已知.用基向量表示空間向量的方法結(jié)合圖形特征，利用三角形法則、平行四邊形法則34答：綜合幾何方法：問：證明異面直線垂直，你能想到

哪些方法？向量方法．證明異面直線所成角為直角；線面垂直的定義和性質(zhì)等．例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：綜合幾何方法：問：證明異面直線垂直，你能想到向量方法．證35答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何

問題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何例236答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何

問題？例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．求證只需證ABCDA1B1C1D1MN454答：可以轉(zhuǎn)化為向量問題問：如何使用向量方法解決立體幾何例237例2

如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

求證MN⊥AC1．問：如何計算？向已知條件轉(zhuǎn)化．ABCDA1B1C1D1MN454例2如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，A38證明：設(shè)這三個向量不共面，{a，b，c}是空間的一個基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長度夾角)4ABCDA1B1C1D1MN45證明：設(shè)39用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問題的解把相關(guān)向量的運算轉(zhuǎn)化為基向量的運算向量問題的解選取基底(不共面且已知長度夾角)證明：設(shè)這三個向量不共面，{a，b，c}是空間的一個基底．則所以所以

所以選取基底(不共面且已知長度夾角)用基向量表示相關(guān)向量還原為幾何問題的解把相關(guān)向量的運算轉(zhuǎn)化為40立體幾何問題用向量方法解決立體幾何問題的路徑①適當(dāng)選取基底向量運算轉(zhuǎn)化②用基向量表示相關(guān)向量③將相關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為基向量的問題向量問題向量問題的解立體幾何問題的解轉(zhuǎn)化向量方法理論基礎(chǔ)：空間向量基本定理立體幾何問題用向量方法解決立體幾何問題的路徑①適當(dāng)選取基底向41答：可以取單位正交基底．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;問：單位正方體這個條件對解題有什么作用？單位：基向量長度為1．正交：基向量兩兩垂直，ABCDA'B'C'D'EFG任意兩不同基向量數(shù)量積為0．答：可以取單位正交基底．例3如圖，正方體ABCD－A'42問：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證，只需證存在實數(shù)λ，使得．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;ABCDA'B'C'D'EFG問：如何用向量方法證明EF//AC？答：只需證43證明：設(shè)則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個單位正交基底．所以所以所以所以ABCDA'B'C'D'EFGijk證明：設(shè)44問：如何用向量表示

CE與

AG所成角的余弦值？答：求與所成角的余弦值．例3

如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，A'D'，D'D的中點．

（1）求證：EF∥AC;（2）求

CE與

AG所成角

的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFGijk問：如何用向量表示CE與AG所