解不等式及不等式恒成立2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題4解不等式及不等式恒成立目錄一、熱點題型歸納TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"【題型一】解一元一次不等式 1\o"CurrentDocument"【題型二】一元二次不等式 3\o"CurrentDocument"【題型三】解分式不等式 6\o"CurrentDocument"【題型四】絕對值不等式 8\o"CurrentDocument"【題型五】不等式的整數(shù)解 9\o"CurrentDocument"【題型六】不等式組求參 10\o"CurrentDocument"【題型七】恒成立求參：一元二次討論型 12\o"CurrentDocument"【題型八】恒成立求參：均值型 13\o"CurrentDocument"【題型九】恒成立求參：絕對值型 15\o"CurrentDocument"【題型十】恒成立：分離常數(shù)型 16\o"CurrentDocument"【題型十一】恒成立：分類討論 17\o"CurrentDocument"培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 18培優(yōu)第二階——能力提升練 21\o"CurrentDocument"培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 24【題型一】解一元一次不等式【典例分析】（2021?全國?高一課時練習(xí)）設(shè)b為實數(shù),解關(guān)于x不等式：ax-2>x-b.【答案】答案見解析【分析】將不等式化為（。-1）尤>2-6,討論。、6的取值，利用一元一次不等式的解法即可求解.【詳解［（a—l）x>2一人.①當時，解為a-\2-b②當avl時，解為--；a-\③當a=l,b>2時，解為xgR：④當a=l,力42時，無解.綜上所述，“1?>1時，不等式解集為,xx>Fa-\當時，不等式解集為｛xx<p｝：當a=l,b>2時，不等式解集為R；當a=l,6V2時，解集為0.【提分秘籍】基本規(guī)律.形如y=kx+b,為一次函數(shù),圖形為直線，k>0,增，k<0為減，k=0為水平線（常數(shù)函數(shù)）.一元一次不等式，如果一次項系數(shù)有參數(shù)，需要分類討論【變式訓(xùn)練】（2022?全國?高一專題練習(xí)）若x=6是關(guān)于x的不等式x>2（x-a）的一個解，則a的取值范圍是.【答案】a>3【分析】直接把x=6代入即可解得.【詳解】?.?*=6是關(guān)于x的不等式x>2（x—a）的一個解，.?.6>2（6-a）,解得：a>3.故答案為：”>3（2021?全國?高一課時練習(xí)）若關(guān)于x的不等式［:一：：，的整數(shù)解共有4個，求實數(shù)"的取值范圍.【答案】6<m<7【分析】解出不等式組，然后根據(jù)整數(shù)解共有4個來確定m的范圍.【詳解】|7-2若.1?②，由①得，x<m,由②得，x.3,不等式組的解集是4,xV機???不等式的整數(shù)解共有4個，/.6V小,7.（2022?廣東?深圳市第二高級中學(xué)高一開學(xué)考試）如圖，一次函數(shù)y=^+b（A:>（））的圖象過點（-1,0）,則不等式2（x-l）+b>0的解是（ ）A.x>-2 B.x>-\ C.x>0 D.x>l【答案】c【分析】由一次函數(shù)過點(-1,0)可得6=&，再根據(jù)一元一次不等式的解法即可得解.【詳解】解：因為一次函數(shù)、=丘+。(2>0)的圖象過點(一1,0),所以—k+b=0.即6=%,則不等式4(x-l)+b>0,即為左(x-l)+A>0,又&>0,所以(x-l)+l>0,所以x>0.故選：C.【題型二】一元二次不等式【典例分析】(2022?全國?高一專題練習(xí))己知不等式o^+bx+l>。的解為求。和b的值，并解不等式反2-5x-a40.【答案】a=-6,h=-\；不等式加一5x-a40的解集為(-℃,-6]3L+q0)【分析】利用根V系數(shù)關(guān)系求得。力，根據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式加_5-40的解集.【詳解】依題意，和;是方程《^+公+1=0的兩根，」+!一2所以.Jj3I解得a=-6,b=-l.~23~a不等式法2-5x-a40,HP-x2-5x+6<0,即f+5x—620,(x+6)(x-l)>0,解得xV-6或xNl,所以不等式bx?-5x-aV0的解集為(-c0,-6]u[L+a0).【提分秘籍】基本規(guī)律一元二次函數(shù)知識：①一般式頂點式：y=ax1-1-bx+c=c(x+^ °②頂點是(一5,包薩)’對稱軸是：x=-h③方程加+法+。=05#))求根公式：x=~~~2a~2是方程加+反+。=°("°)的兩個根.一元二次不等式小+'x+c<0(叱0)的解集為(知工)或(e小)U(孫也)(*<%),也就是我們俗稱的“兩根之間或者大于大根小于小根”【變式訓(xùn)練】1.(2022■全國■高一專題練習(xí))已知關(guān)于x的不等式ox2-x+1-a<0.(1)當。=2時，解關(guān)于X的不等式；(2)當。>0時，解關(guān)于x的不等式.【答案】⑴⑵答案見解析【分析】(1)將不等式化為(2x+l)(x-1)V0即可求得結(jié)果；(2)將不等式化為(x-1)kax+a-I)<0,當。>0時，不等式變?yōu)?x-l)(x+1-，)<0,計算(x-1)(or+a-1)=0的兩根，根據(jù)兩根大小關(guān)系討論不等式解集.當a=2時，不等式Zr2-X-1V0可化為：(2x+l)(x-1)<0,.?.不等式的解集為{x|-；Vx<l}；不等式以2-x+1-〃V0可化為：(x-1)(nx+〃-1)V0,當a>0時，(x—+l——^<0,的根為：=LXj=--1,TOC\o"1-5"\h\z①當OVav1時，iv'-l,.?.不等式解集為{x|lVx<L-l},2a a②當a=!時，不等式解集為0,2 a③當。時，1>,一1,???不等式解集為(xj-KxVl},2 a a綜上，當0V〃V(時，不等式解集為{xIlV—'-l),2 a當時，不等式解集為0,當時，不等式解集為2.2 a(2021?黑龍江?大慶中學(xué)高二開學(xué)考試)已知關(guān)于x的不等式"2一3》+2>0的解集為{x|x<lsgx>b}.⑴求a,6的值.⑵當cgR時，解關(guān)于x的不等式ox2—(ac+b^x+bc<0,【答案】(1)。=1、b=2.(2)c>2時，不等式的解集為：(2,c)：c<2時，不等式的解集為：(c,2),c=2時,不等式的解集為:0.

【分析】(1)結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可宜接求解；(2)將小b代入不等式化簡得(x-2)(x-c)<0,分類討論參數(shù)c與2的關(guān)系即可求解.(1)因為(1)因為/_3工+2>0的解集為{巾<1或x>b}所以\+b=-；，解得}-b=-a(2)因為加一3工+2>0的解集為{x|x<l或X>6},所以，l+i=-;,解得lh=-代入得：V-(c+2)x+2c<0,即(x—2)(x-c)<0,所以當c>2時，不等式的解集為：(2,c),當c<2時，不等式的解集為：(c,2),當c=2時，不等式的解集為：0.(2023?全國?高三專題練習(xí))解關(guān)于x的不等式以2+2》-4+2>0【答案】答案不唯一，具體見解析【分析】原不等式可化為(x+D(ax-a+2)>0.然后分a=0,a>0和a<0三種情況求解不等式【詳解】解：關(guān)于x的不等式以2+28一。+2>0可化為(x+l)(ar-a+2)>0.(1)當a=0時，2(x+l)>0,解得{x|x>-l}.(2)當a>0,所以+所以方程(x+1)[-一)=0的兩根為」和一，TOC\o"1-5"\h\z當-1〈巴工，即。>1時，不等式的解集為{x|x<-l或x>生2},a a當-1=與2,即4=1時，不等式的解集為〃一2 f 〃一2當-1>巴」，即Ovavl時，不等式的解集為無次<——或a [ a(3)當"0時，(x+l)(x-^^]<0.因為方程(x+l)("一)=0的兩根為一1和一，〃一2 2 〃一2又因為 所以a a a即不等式(x+l)(x-一]<0的解集是綜上所述：當a<0時，不等式的解集為交2]當a=0時，不等式的解集為卜a-2當0<a<l時，不等式的解集為x|x(=或x>-l}當a=l時，不等式的解集為{x|xh-1},當。>1時，不等式的解集為{x|x<-1或*>于),【題型三】應(yīng)分式不等式【典例分析】(2022.全國?高一專題練習(xí))當機>1時，關(guān)于x的分式不等式三"1<0的解區(qū)間為2 x+m【答案】(-w,m-\)【分析】由題設(shè)可得(x-m+l)(x+m)<0,根據(jù)已知條件判斷m-l,-加的大小關(guān)系，即可求解區(qū)間.【詳解】由--m+1<0<=>(x-/"+l)(x+m)<0,x+m當時，有(加一1)一(tw)=2加一1>0,.,?解區(qū)間為(一九m-l).故答案為：(-w,m-\).【提分秘籍】基本規(guī)律解分式不等式，一般是移項(一側(cè)為零)，通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用穿線法求解分式不等式的解法“化商為積，注意分母”：ax+b_ax+b_ >0 <0(1)先化簡成右邊為零的形式ex+d (或以+d),等價于一元二次不等式(ar+b)(cx+d)>0(或3+^(a+d)>0)再求解即可；ax+b- ax+b「 >0 <0(2)先化簡成右邊為零的形式cx+d (或cx+d),再利用分子分母同號(或者異號)，列不等式組求解即可.【變式訓(xùn)練】a(x-l)、2(2022?全國?高一專題練習(xí))解關(guān)于x的不等式x-2(其中【答案】答案見解析

【分析】首先移項通分化簡不等式為X一口，根據(jù)。的范圍討論土二與2的大小關(guān)系, -<u a-2x-2即可得到不等式的解集.a—4［詳解］解：”(x-l)；［="(I) ("2)1所4)：TOC\o"1-5"\h\zX—1 X—2 X—2 X-2又由1-2=3及知a-2 a-2當0<。工1時，=>2,則集合4=｛x［2<x<U｝：當a=0時，原不等式解集A為空集；當。<0時，=<2,則集合4={x|±4<x<2}；ci—2 d—2a—4綜上：當OvaWl時，A={x\2<x<——-}；a-2當。=0時，A為空集；當.<0時，A={x\— <x<2].a-2(2019?福建?廈門雙十中學(xué)高一開學(xué)考試)若數(shù)。使關(guān)于x的分式方程二+二=4的解x-l［-Xy+2八］為正數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組13 2 的解集為y<-2,則符合條件的所有整數(shù)。的2(y-a)?0和為()TOC\o"1-5"\h\zA.10 B.12 C.14 D.9【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出a<6".”3,根據(jù)不等式組的解集為y<-2,即可得出a...-2,找出-2?a<6且ax3中所有的整數(shù)，將其相加即可得H；結(jié)論.【詳解】解：分式方程二+==4的解為*=￥且、工1,X—11—x 3???關(guān)于X的分式方程土￥+==4的解為正數(shù)，.?.￥>()且手wl,，。<6且4X3.x-1l-x 3 3y+2y, r與 fy+2y,不等式組3 2整理得，???關(guān)于y的不等式組｛3 2 的解集為y<-2,2(y-a),0 1為" 匕(y-a),,0a.2.-2,。<6ILaX3.符合條件的所有整數(shù)。為-2、-1、0、1、2、4、5,它們的和為9.故選：D.3.2022?全國?高一課時練習(xí))解關(guān)于x的不等式^~-<2.3x-4【答案】］x|x>g或X4；1【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式即可求解【詳解】2x—3,c2x—3—【詳解】2x—3,c2x—3—,八—4x+5,八4x—5 <2<=> 2<0<=> <0<=> >03x-43x-43x—43x-4<=>%等”。，解得W或W，所以不等式E42的解集為卜卜>^或【題型四】絕對值不等式【題型四】絕對值不等式【典例分析】（2022?上海交大附中高三開學(xué)考試）不等式（x+l）|x-3| 」 （2022?上海交大附中高三開學(xué)考試）不等式（x+l）|x-3| 」 ,m會>。的解為【答案】(1,3)53,田)【分析】由題設(shè)|x-3|*0。+帥一）>。’討論x的范圍求得|x-3|工0 ,'即可得解集.【詳解】由題設(shè)有|x-3k0(x+l)(|x|-l)>0當x<-l或時，（x+l）（|x|-D<0不合題設(shè);當X>1時，（x+l）（|x|-l）>o滿足題設(shè);所以|x-3|#0x>l可得所以|x-3|#0x>l可得xe(1,3)0(3,+oo).故答案為：（1,3）。（3,鉆）.【提分秘籍】基本規(guī)律絕對值不等式解法：分類討論。討論點是每個絕對值的對應(yīng)的零點?！咀兪接?xùn)練】（2021?全國?高一課時練習(xí)）若關(guān)于x的不等式|2x+5|+|4-2x|<a無實數(shù)解，則實數(shù)。的取取值范圍是.【答案】（y,9]【分析】利用絕對值三角不等式的性質(zhì)求出（|2犬+5|+|4-2功“而=9,進而可得答案.【詳解】由絕對值三角不等式可知：|2x+5|+|4-2x|>|（2x+5）+（4-2x）|=9,即（疝+5|+|4—2動1nhi=9,因為關(guān)于x的不等式|2x+5|+|4-2耳<。無實數(shù)解所以實數(shù)。的取值范圍是。49.故答案為：（-8,9].（2022?全國?高一專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：|2x+l|>x+l2【答案】或X>。｝【分析】對絕對值符號里的式子分兩種情況討論，將不等式化為兩個不等式組，分別求出各不等式組的解，即可得到原不等式的解集；[2x+l>0 f2.r+l<0【詳解】解:原不等式可化為下面兩個不等式組來解c, 」①或”口\、口②，[2x+l>x+l [-（2x+l）>x+l

不等式組①的解為x>0,? 2 2不等式組②的解為..?原不等式的解集為｛x|x<-；或x>。｝.【題型五】不等式的整數(shù)解【典例分析】（2022?全國?高一單元測試）設(shè)0<6<l+a,若關(guān)于x的不等式（x-b）?>（以）?的解集中的整數(shù)解恰有3個，則（）.A.—IvavO B.OvavlC.1<a<3 D.3<a<5【答案】C【分析】由題意，。>1，不等式的解集為乂o<—1<1,則解集中的整數(shù)為-2,\a-\a+\J a+\-1,0,進而列出不等式求解即可得答案.【詳解】解：關(guān)于X的不等式（x-b）2>（"）2,BP（a2-l）x2+2^x-/?2<0,"：0<b<\+a,［（a+l）x—- 可<0的解集中的整數(shù)恰有3個，二。“，.?.不等式的解集為（=，上力，乂...解集中的整數(shù)為-2,-1,0.\a-\a^\） Q+］?'.一3< <-2,即2V 43, 2a—2<Z?<3a—3,*.*/?<14-a?a-1 u—\工勿一2vl+a,解得av3,綜上,lvav3.故選：C.【變式訓(xùn)練】（2023.全國?高三專題練習(xí)）滿足不等式卜一呼卜-矛乂x-3?）…（x-lOOjwO整數(shù)解個數(shù)為?【答案】5100【分析】利用穿針引線法得到整數(shù)解的規(guī)律，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】利用穿針引線法解不等式.如圖示：滿足不等式。-12）卜一巧［-32）.?（4一1002）40整數(shù)解有：在［FN］有22T2+1個：在［3,42］有42-32+1個：……在（992/001有ioo2_992+i個.由此歸納得：在區(qū)間［（2〃-1）2,（2〃）2］內(nèi)有（2〃）2_（2〃-1）2+1=4〃個.所以整數(shù)解的個數(shù)為4+8+L+4x50=（4+200）x5°=5ioo.故答案為：51002fx+6<2+3x（2022?福建?泉州五中高一開學(xué)考試）若關(guān)于*的不等式組,a+2x. 有且只有四個整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍是（）.B.12<6r<14D.12<a<14A.B.12<6r<14D.12<a<14C.12<a<14【答案】C

【分析】按照解一元一次不等式組步驟，進行計算可得2<x4，然后根據(jù)題意可得6<產(chǎn)7,進行計算即可解答.x+6v2+3xCD【詳解】解：a+2x公，解不等式①得x>2,解不等式②得x<二, >式2） 2依題意原不等式組的解集為2<x<p???不等式組有且只有四個整數(shù)解，…（與",.-.12<?<14,故選：C.3x+a<2x（2022?浙江?臺州市書生中學(xué)高一開學(xué)考試）已知不等式組1 5 ,有解但沒有整數(shù)—x<—x+2I3 3解，則。的取值范圍為.【答案】04a<1【分析】求出不等式的解后根據(jù)無整數(shù)解可得因為無整數(shù)解，故-l<-aWO即04a<l.故答案為：04。<1【題型六】不等式組求參【典例分析】Iax-V=11（2022?湖南?長郡中學(xué)高一開學(xué)考試）整數(shù)。使得關(guān)于MV的二元一次方程組，*?的[3x-y=1解為正整數(shù)（兌卜均為正整數(shù)），且使得關(guān)于x的不等式組,32x+8）27無解，則所有滿足x-a<2條件的。的和為（）D.30A.9 B.1D.30【答案】C【分析】解出二元一次方程組的解，由。為整數(shù)且方程組的解為正整數(shù)確定出a的值，再由不等式組無解，確定出滿足題意a的值，即可得到答案3x-y=\10【詳解】解：當a=3時，代入方程組得,易得無實數(shù)解，V題意矛盾3x-y=\10[ar-y=11 //-I當"3時，由方程組加二]解得一337M為整數(shù),X,y為正整數(shù).."3=1或2或5或10,解得：。=4或5或8或13,不等式組G（2x+8）N7整理得：.不等式組無解,x-a<2 i???〃+2K10,解得。48,???滿足題意〃的值為4或5或8,則所有滿足條件的。的和為4+5+8=17,故選：C【變式訓(xùn)練】

(2022?全國?高一專題練習(xí))若關(guān)于x、y的二元一次方程組 ' .的解滿足不等式[x-y=k+2x>0,y<0,則&的取值范圍是()A.k>-- B.k>1 C.無解 D.——<A:<1【答案】D【分析】解方程組求得x，y,然后由X>o,y<o可得.【詳解】解:x+y=3Z①

【詳解】解:x+y=3Z①

x-y=k+2@①+②得，2x=4A+2,解得x=2A+l,①-②得，2y=2k-2,.-x>0,y<0,'2左+1>0①

%-1<0②解不等式①得，k>~,解不等式②得,k<\.所以，不等式組的解集是故選：D.\2x+b>3(2022?全國?高一專題練習(xí))已知關(guān)于x的不等式組儲一X>1的解集是l<x<2.(1)求才"的值：(2)若關(guān)于x的方程』7-半7=%的解是負數(shù)，求m的取值范圍.X+1X-11 1 2【答案】(1)§(2)機>§且/nxq【分析】(1)解不等式求得x>9"x<“-1,結(jié)合不等式解集l<x<2可得方程組，求得答案：(2)解分式方程可得工=1-3機，由題意列出不等式組，求得答案.(1)TOC\o"1-5"\h\z由題意[2x+'>,，解不等式①得：x>=,解不等式②得：x<a-l,[a-x>\? 2=] [a=3 1???原不等式組的解集為l<x<2,.I2 ,解得\,,.'.a-*=3'=4，”1=2 上1 3V.(2)由題意得：———土=1方程兩邊同時乘以(x+l)(x-l)得：x(x-1)-3?=x2-1,x+1X一[l-3/n<0 1 2解得：工=1一3也???方程的解是負數(shù),??.〈3 3Y2_2v_2>0(2022?湖南?株洲二中高一開學(xué)考試)已知關(guān)于X的不等式組\,亦小,c僅有2/+(2jt+7)x+7Z<0一個整數(shù)解，則4的值可能為()A.-5 B.-73 C.兀 D.5【答案】ABD【分析】根據(jù)一元二次不等式可求兩個不等式的解，根據(jù)不等式組的解只有一個整數(shù)解，結(jié)合兩不等式的解的交集，即可確定第二個不等式端點需要滿足的關(guān)系，即可列不等式求解.【詳解】解不等式f_2x_8>0,得x>4或x<—27解方程2x+(2%+7)x+7%=0,得％=—,X[=-k7 7 7(1)當k〉],即一女<一§時，不等式2/+(24+7口+72<0的解為：-k<x<--TOC\o"1-5"\h\z{x?8>0 ( 7Ac「二r、”，八的解集為-A，-彳，依題意，則—5VTt<y，即lx1+(2k+l)x+lk<0 I 2)4<A:<5；7 7c 7(2)當％<5,即一%>-]時，不等式2/+(2jl+7)x+7k<0的解為：--<x<-k,要使不2x Q>0c「，二r、八的解集中只有一個整數(shù)，2x+(2k+l)x+lk<0則需滿足：-3<Tt45,即-544<3；所以《的取值范圍為[-5,3)U(4,5].故選：ABD.【題型七】恒成立求參：一元二次討論型【典例分析】(2022?黑龍江?哈師大附中高一開學(xué)考試)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切xeR恒成立，則。的取值范圍是()A.a<2 B.-2<a<2 C.-2<a<2D.a<-2【答案】C【分析】討論二次項系數(shù)是否為零，結(jié)合判別式符號可得答案.【詳解】當a=2時，原式化為T<0,顯然恒成立；當aw2時，不等式(a—2)x°+2(a—2)x-4<0對一切xwR恒成立，?a-2<0則有。一2<0且/<0,\. .2 c、八解得-2<a<2.4(a-2)+16(a-2)<0綜上可得，-2<a<2.故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律一元二次恒成立型:.開口方向。.判別式【變式訓(xùn)練】(2022?安徽宣城?高二開學(xué)考試)關(guān)于x的一元二次不等式蛆2-2皿-1,,0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為()A.(y,。] B.(-00,1]C.[-1,0) D.[—1,0]【答案】C

【分析】利用二次不等式恒成立列出不等式組求解即可.【詳解】因為不等式為一元:次不等式，所以%片0.若一元二次不等式wir?-2，nr-L,0恒成立,可得-可得-L,6<0,此時不等式恒成立.則A一4八[A=4m+4m,,0故選：C（2022?全國?高一單元測試）對任意實數(shù)x,不等式2履2+收一3<0恒成立，則實數(shù)％的取值范圍是（）D.[24,+8)A.(0,24) B.(-24,0] C.D.[24,+8)【答案】B【分析】當左=0時，得到-3<0恒成立，當&xO時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組,即可求解.【詳解】由題意，對任意實數(shù)x,不等式2丘2+Ax-3<0恒成立，當左=0時，不等式即為-3<0,不等式恒成立;當上片0時，若不等式262+收一3<0恒成立,則滿足^<0△則滿足^<0△=左2+24A<0解得一24<%<0,綜上，實數(shù)4的取值范圍為（-24,0].故選：B.【題型八】恒成立求參：均值型【典例分析】（2023?全國?高三專題練習(xí)）當x>2時，不等式工+一12。恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是x-2（）A.（-℃,2] B.[2,4-oo） C.[4,+oo） D.（~°0,4]【答案】D【分析】利用基本不等式可求得X+—二的最小值，由此可得。的范圍.x-2【詳解】當x>2時，x+—!—=x-2+—!—+2>2.L-2）-—!—+2=4（當且僅當x=3時取X—2 X—2 V X—2等號），.?“44，即。的取值范圍為（F,4].故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律利用均值不等式求最小值最大值?！咀兪接?xùn)練】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x+：2a2-3a對任意實數(shù)x>0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（ ）A.{a\-l<dr<4}B.（a\a<-2 a>5}C.[a\a<-1 ?>4}D.{a\-2<a<5}【答案】A4【分析】利用基本不等式求出不等式.r+上的最小值為4,轉(zhuǎn)化為4初2-3〃，由此解得實數(shù)〃x的取值范圍.【詳解】解：：x>0，???不等式內(nèi)+±22、]4=4,當且僅當x=2時，衣達式取得最小值X\X為44山關(guān)于x的不等式x+—之標-3a對任意實數(shù)x>0恒成立，x可得4>a2-3a,解得-l<a<4,故選：A.（2022?貴州?遵義市第五中學(xué)高二期中（理））若對滿足&z+b="的任意正數(shù)a,。及任意xgR,不等式a+2Z?N-x2+2x+18-力恒成立，則實數(shù)團的取值范圍是（）A.[-6,+oo） B.（-°°，同 C. D.【答案】a【34】利用基本不等式T的妙用求得a+%的最小值，即可轉(zhuǎn)化為.次不等式恒成M間題，利用判別式求得實數(shù)旭的取值范圍即可.【詳解】:正數(shù)a，b滿足&z+b=ab,.81i z..8 「2〃 -12b8a__??一+—=1,ci+2b=（a+2Z?）—i—I=17H F—N17+2J—,—=25,ba '\ba）ab\ab當且僅當竺=也，即6=2a,a=5,b=10時，等號成立，ab/.25N-/+2工+18-，即Y一2x+7+m20對任意實數(shù)不恒成立，A=4-4（7+n?）<0,解得mN-6.故選：A.（2022?全國?高一課時練習(xí)）若x>0,不等式一^>M-機有解，則實數(shù)機的取值范圍x~+4是.【答案】（-L2）Qr【分析】因為x>0,對式子牟■的分子分母同除以凡利用基本不等式求得其最大值，令r+4病一機,結(jié)合不等式解出實數(shù)"?的取值范圍.8x8,8 -~;= t——?1=2 4【詳解】：》〉。，???V+4 .4rz,當且僅當x=2,即x=2時取等號，??/萼彳]=2，*'?nr-m<2,即（m+l）（m-2）<0,得一1<相<2,所以實數(shù)，”的取值VX+4/max范圍是（一1,2）.故答案為：（一1,2）【題型九】恒成立求參：絕對值型【典例分析】(2021?全國?高三專題練習(xí))若關(guān)于x的不等式|x+l|-|x-2|4m在(-8,1]上恒成立，則實數(shù)膽的取值范圍為A.[1,+oo) B.(-co,1] C.[3,+oo) D.(-<?,3]【答案】A【分析】由題意可得m>(|x+l|-|x-2|)max.討論xV-1,-1<x<1時，求得|x+l|-|x-2|的最大值，由恒成立思想可得所求m的范圍.【詳解】關(guān)于X的不等式|x+l|-|x-2區(qū)m在(-00,1]上恒成立,即為mN(|x+l|-|x-2|)max，由-IWxWl時，|x+11-|x-2|=x+1+x-2=2x-16[-3.1]；xVT時,|x+l|-|x-2|=-x-1+(x-2)=-3.則|x+l|-|x-2|的最大值為1,可得m21,故選A.【提分秘籍】基本規(guī)律.分類討論求最值。.利用絕對值公式：||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.【變式訓(xùn)練】(2021?北京?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí))不等式|x+3|-卜-1|4/一3°對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)”的取值范圍為A.(―°°,—1]34,+<?) B.(-℃,—2]o[5,+<?)C.[1,2] D.(ro,l]52,+oo)【答案】A【詳解】因為74卜+3卜卜一1區(qū)4對任意x恒成立，所以〃-3a24,解得或。4一1.(2021?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)高二期末(理))已知不等式帆Wx-6|+|x-3|對一切xeR恒成立，則實數(shù)切的取值范圍為()A.m<3 B.m>3 C.m<-9 D.m>-9【答案】A【分析】利用絕對值三角不等式求出卜-6|+?-3|的最小值，m4(,-6|+卜-3%.即可.【詳解】解：因為|x-6|+|x-3性,-6-x+3]=3,所以Qx-6|+|x-3。，=3.要使不等式機0x-6|+|x-3|對一切xwR恒成立，只需，”4(|x-6|+|x-3|L，所以.故選：A.(2021.上海市楊浦高級中學(xué)高一期中)不等式|x+l|+|x-2|2k對任意xeR恒成立，則空數(shù)4的取值范圍為()A.[3,+8) B. C.[!,+?>) D.【答案】B【分析】利用絕對值的幾何意義求解.【詳解】由題意得(卜+1|+卜一斗)“山”，因為k+1|+卜一2住卜+1-》+2|=3,所以A43.故選：B.【題型十】恒成立：分離常數(shù)型【典例分析】(2022?吉林一中高二期末)若上目1,2]使關(guān)于x的不等式/一女+12。成立，則實數(shù)。的取值范圍是 .【答案】(-8，|]【分析】根據(jù)題意，玉?1，2],使關(guān)于x的不等式犬-雙+120成立，則orVx2+],即小%+工,x?l，2]，再結(jié)合對勾函數(shù)找到最大值即可求出實數(shù)。的取值范圍.X【詳解】解：玉目1，2],使關(guān)于x的不等式f-ar+120成立，貝lax"*，即aV(x+_L)2，xe[l,2],X令g(x)=x+Lxe[l,2],則對勾函數(shù)g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，所以8(外皿=8出=生，故"e(—8$.故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律一元二次型函數(shù)恒成立型，注意變量取值范圍能否滿足分離常數(shù)?！咀兪接?xùn)練】(2021?全國?高一專題練習(xí))當xe(l,2)時，不等式/+如+2>。恒成立，則加的取值范圍是()A.(-2,-h?) B.(2立,+8) C.(0,-h?) D.(-20,+8)【答案】D【分析】先分離變量可得/?>-[%+：)在xw(l,2)時恒成立，然后利用均值不等式求最值即可.【詳解】解：當xw(L2)時，不等式/+皿+2>0恒成立，等價于+在xe(l,2)時恒成立，即等價于帆> ?-、 -imax而因為xw(l,2),故-(》+￡)4-2，71=-2五,當且僅當x=|,即、=&時-(x+1)取得最大值-2近.故加>-2近.故選：D.(2022可南?信陽高中高一階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=4av2+4x-l,"xw(-l,l),/(x)<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()D.a<-\【答案】B【解析】將不等式化簡，參變分離，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)并求出值域，可得實數(shù)”的取值范圍.【詳解】/(x)=4ar2+4x-l<0,EP4ar2<-4x4-1當x=0時，不等式恒成立，aeR；當xwO時，x2>0,則4〃<(一，+與］令f=』￡(-oo,T)d(1,+oo),則y=Tf+『=(r-2)2-4g[-4,+oo)即4av-4,解得avT。故選：B【題型十一】恒成立：分類討論【典例分析】(安徽省合肥市肥東縣高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中)設(shè)函數(shù)f(x)=^-ax+a+3,函數(shù)g(x)=ar—2a,若存在xeR,使得/(x)<0與g(x)<0同時成立，則實數(shù)〃的取值范圍是.【答案】(7,包)【分析】先計算△=/-4(a+3)>0,解得。<一2或a>6,分別討論a<-2和a>6兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算得到答案.【詳解】函數(shù)/(x)=f—亦+。+3的圖象的開口向上，且存在xeR,使得〃x)<0成立所以△=/-4(°+3)>0,解得"-2或a>6.①當a<-2時，若存在xeR,使得g(x)<0成立，則x>2,此時函數(shù)/(力=/-?+。+3的圖象的對稱軸為直線x=￡,且1<-1故函數(shù)/(可在仁，+8)上單調(diào)遞增.又/(1)=4,所以/(x)<0不成立.②當a>6時，若存在xeR,使得g(x)<0成立，則x<2此時函數(shù)/(力=亡-奴+。+3需滿足〃2)<0,解得a>7.綜上所述：實數(shù)。的取值范圍是(7,內(nèi)).故答案為(久+8)【提分秘籍】基本規(guī)律.“軸動區(qū)間定”和“軸定區(qū)間動”.分類討論時，要注意開口，判別式，對稱軸以及端點值的正負等等【變式訓(xùn)練】1.(江蘇省無錫市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期11月階段性檢測)若對任意的xNO,/-2"+〃+220成立，則實數(shù)。的取值范圍為.【答案】[一2,2].【分析】若對任意的xNO,--2℃+a+220成正，則函數(shù)f(x)=V-2ar+a+2在區(qū)間[0,+?>)」:的最小值大于等于0,按照二次函數(shù)的對稱軸分類求出最值即可.【詳解】若對任意的x20,f-2奴+”+220成立，則函數(shù)f(x)=x2-2ar+a+2在區(qū)間[0,+?>)上的最小值大于等于0,f(x)=(x—a)-+a+2-a",當aVO時，f(x)在[0,+oo)上單調(diào)遞增，/(x)而.=/(0)="+220,解得aN-2,所以一24a40,當a>0時，f(x)在[0M上單調(diào)遞減，在",+?0上單調(diào)遞增，所以/(x)mi?=/(a)=a+2-a2>0,解得一14a42,所以0<a42,綜上，〃的取值范圍是一24。42,故答案為：[-2,2].2.已知函數(shù)/'(幻=4公-1)(4N0),設(shè)關(guān)于x的不等式〃x+a)</(x)的解集為A,若,則實數(shù)〃的取值范圍是( )A. B. (-℃,-2]U^0^C. (-2,0)U(l,+oo) D. [-2,0)U[l,+<?)【答案】B【分析】分別討論a>0和a<0,利用不等式之間的關(guān)系，求解集，利用條件確定不等44式關(guān)系，即可求實數(shù)。的取值范圍.【詳解】由/(x+a)</(x)得(x+a)[a(x+a)-l】<x(ar-l),即2a2x+a(a2-1)<0,①若a>0,則不等式等價為祟，即x<M，若d)aA,則2a2 2a 44 2a4即2a2+3々一2?0,解得一2效hg,a>0,/.0<a,,.②若a<0,則不等式等價為2斷+片一>0,即2a若(~H)aA,則'"…?,va<0,.,.2a2+3a-2..O,解得a,-2或a..：,:4,一2.44 2a4 2綜上：0<4,q或a,-2.故選：B不分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練?71*4-1Dy（2022?湖南?衡陽市第六中學(xué)高一開學(xué)考試）已知x=3是關(guān)于x的不等式力+〈莖的一個解，則々的取值范圍為（）A.a>-5 B.a<-5 C.a<4 D.a>4【答案】B【分析】把“尸3”代入不等式即可解得.【詳解】將“尸3”代入不等式可得9+2,解得：a<-5.故選：B（2022?四川?仁壽一中高一開學(xué)考試）解關(guān)于x的不等式_/+叔-4<0【答案】⑴【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為-（x-2f<0即可得解；【詳解】由-/+4*-4<0可得:-（x-2『<0,所以xw2,故解集為：｛巾#2｝；解得l<x<5所以不等式的解集為｛申<x<5｝.（2022?江蘇南通?高一開學(xué)考試）不等式*+1+—-23X+1+一一的解是（）3x+l 3x+lA.x>0 B.x<0C.xKO且XH— D.—<x<0TOC\o"1-5"\h\z3 2【答案】c【分析】將不等式化筒即可求得答案，注意分母不為0.fx+l>3x+l X~° 1【詳解】不等式即為、,n= 1,即不等式的解為：x40且X#-；.[3x+lw0 xw—— 3I3故選：C.（2022?全國?高一專題練習(xí)）以下不等式中，與不等式“一可，3同解的不等式是（）A.1-xVi3 B.1—3C,-3<l-x<3 D.x-123時一14一3【答案】C【分析】利用絕對值不等式的解法即得.【詳解】；|1-目43,；.-34143.故選：C.fx-I>0（2022?全國?高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次不等式組 門有2個整數(shù)解，則。的[2人一〃<。取值范圍是.【答案】6<a<8【分析】求出不等式組的解，然后根據(jù)整數(shù)的情形得出。的范圍.【詳解】解：解不等式A--l>0，得：X>1,解不等式2x-a<0,得：x<^.則不等式組的解集為l<x<^,?.?不等式組仃2個整數(shù)解，2???不等式組的整數(shù)解為2、3,則3<^<4，解得6<。48,故答案為：6<a<8（2022?全國?高一專題練習(xí)）已知不等式組解為-2<x<3,則（a-bf22的值為In人uq乙【答案】1【分析】根據(jù)已知求出。，人的值即得解.【詳解】解：解不等式①得x>l-a,解不等式②得xV學(xué)，\2,x—b<2（2/ 2原不等式組的解為1-a<x〈學(xué)，?.?該不等式組的解為-2<r<3,所以l-a=-2,且等=3,,a=3,b=4,A（a-b嚴=（3-4產(chǎn)=（-1）2022=1.故答案為：1（2022?全國?高一課時練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次不等式丁+,我+140的解集為0,則實數(shù)根滿足（）A.mW-2或%22 B.-2<m<2C.，“<-2或%>2 D.-2<m<2【答案】B【分析】一元二次不等式的解集為0，即/<0,求解關(guān)于實數(shù)用的不等式即可.【詳解】解：由于關(guān)于X的一元：次不等式W+〃zr+lW0的解集為0.所以△=/??一4=（團+2乂初-2）<0,解得一2</n<2.故選：B.（2021?全國?高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x+』>a在區(qū)間[1,5]上恒成立，則”的取值范圍是（）A.（2>/^,+co） B.（-【答案】B【分析】利用基本不等式進行求解即可.【詳解】因為xe[L5],所以x+；>2，T|=2&,當且僅當x=]時取等號，即當*=應(yīng)時取等號，因此要想關(guān)于X的不等式X+4>。隹區(qū)間[1,5]上恒成立，只需a<2a.故選：B（2019?浙江?高二學(xué)業(yè)考試）若不等式卜+2|+卜-1|24對xeR恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）A.（3,-f-oo） B.[3,+oo） C.（9，3） D.（-co,3]【答案】D【分析】利用絕對值三角不等式求出k+2|+|x-l|的最小值，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求出實數(shù)"的取值范圍.【詳解】v|x+2|+|x-1|>|a：4-2-x+1|=3,又|x+2|+|x—l|Na對XWR恒成立，，aV3.故選：D.（2020?四川省瀘縣第二中學(xué)高二期中（理））當xw[2,+oo）時，不等式辦+220恒成立，則”的取值范圍是（）A.（-oo,20） B.（-8,2⑸ C.S,3） D.（f3]【答案】D2 2【分析】問題轉(zhuǎn)化為4,x+士在[2,+8）恒成立，令/（x）=x+—（x..2）,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)X X性求出/（X）的最小值，從而求出a的范圍即可.

7【詳解】解：當XN2時，不等式x2-R:+2..0恒成立，即+±在12,+8）恒成立,X2令f（x）=x+-（x.2）,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f。）在[2,內(nèi)）上單調(diào)遞增,故/（X）的最小值是/（2）=3,故4,3,故選：D.培優(yōu)第二階能力提升練培優(yōu)第二階能力提升練TOC\o"1-5"\h\z一_l-3x 4-18x2a+l1.（2021?全國?高一課時練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：其中aeR,且。工0.2a+l【答案】當時，｛x|xv2：+1｝；當白=，時，XG0；當avj且000時，｛x|x>6 3 6 6【分析】a2為正，可以去分母整理不等式，然后分類討論一次項系數(shù)進行求解.【詳解】原不等式整理得3（6a-l）x<（2a+l）（6a-l）,... 1_,.. 2a+1.當。>工時，｛x|x<——｝；6 3當。=—時，XE0;2。2。+1當〃<一口。工0時，｛x|x>6（2022?全國?高一專題練習(xí)）解關(guān)于無的不等式?+2x+tz>0.【答案】分類討論，答案見解析.【分析】利用含參一元二次方程不等式的解法求解.【詳解】方程/+2工+°=0中a=4-4a=4（1-。），①當1-avO即。>」時,不等式的解集是火,②當1—。=0,即a=1時，不等式的解集是｛xwRIx*—1｝,③當l-a>0即a<l時，由x?+2x+a=0解得：=-1—yjl—cifx,=-1+Jl-a,.,“<1時，不等式的解集是｛x|x>-1+VFK或,蹤J”>1時，不等式的解集是R,a=l時，不等式的解集是｛xwRIxx-l｝,”1時，不等式的解集是｛x|x>-l+Jl-a或x< .<0的解為（2021?上海市七寶中學(xué)高一階段練習(xí)）不等式【答案】｛x|-3<x<2<0的解為【分析】先將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，再結(jié)合二次不等式求解.【詳解】：W<。，則（X一2乂》+3）<0*??—3vxv2不等式三|<0的解為｛x|-3<x<2｝故答案為：｛x[—3<x<2｝.（2021?上海?上外附中高一期中）解關(guān)于x的不等式：x|x-l|<|x|.【答案】（一》，2]【分析】分x<0,04x<l和xNl三種情況求解即可【詳解】當x<0時，不等式x|x-l|4可可化為x（l-x）4-x,f一2xN0,得x40或xN2,所以xvO,當04x<1時，不等式x|x-1|4W可化為x(l-x)Vx,X2>0.得xeR，所以O(shè)4x<l,當x21時，不等式x|x-l|<|x|可化為x(x-1)<x,^-2%<0f得04x42,所以14x42,綜上，不等式的解集為(TO,2】(2023?全國?高三專題練習(xí))若關(guān)于x的不等式-f+(a+2)x-2a>0恰有1個正整數(shù)解，則?的取值范圍是.【答案】(yJ)U(3,4]【分析】先解帶有參數(shù)的一元二次不等式，再對“進行分類討論，使得恰有1個正整數(shù)解,最后求出。的取值范圍【詳解】不等式一/+(。+2)*—2。>0等價于x2—(a+2)x+2a<0.令V—(a+2)x+勿=。，解得x=2或x=a.當。>2時，不等式乂-(。+2?+為<0的解集為(2,(7),要想恰有I個正整數(shù)解，則3<?,4；當a=2時，不等式/一(。+2卜+為<0無解，所以。=2不符合題意；當a<2時，不等式/一(a+2卜+為<0的解集為(0,2),則a<l.綜上，。的取值范圍是(tU)U(3,4].故答案為：(yo,1)U(3,4]fx+1+2。>0/ 、(2022?全國?高一專題練習(xí))已知關(guān)于x的不等式組 ,.na>-l).[x-3-2a<0v(1)當a=g時，解此不等式組；(2)若不等式組的解集中恰含三個奇數(shù)，求a的取值范圍.【答案】(l)-2<x<4(2)0<a411 fx+2>0【分析】(1)當。=：時，解不等式組 ，八即可得解；2 [x-4<0(2)解原不等式組可得出27Vx<2a+3,計算出解集的中點值，可確定解集中三個奇?數(shù)的值，由此可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式組，由此可解得實數(shù)”的取值范圍.[x+2>0解：當。=:時，不等式組即為《(八，解得—2vxv4.[x-4<0解：當.>-1時，(2a+3)-(-2a-l)=4a+4>0,fx+2a+l>0解不等式組《cc八可得—2rz—lvxv2n+3.[X一3—2。<0?.二2a二*2a±3=],所以，-2。_1、加+3的平均值為1，且原不等式組的解集中恰含三個奇數(shù)，則這三個奇數(shù)應(yīng)為-1、1、3,,一,[3<2a+3<5 ",所以，°,“,解得0<a41.[-34-2。-1<-1(2020.浙江.高一期末)命題“蘇-2"+4>0恒成立"是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A.a<0或aN3 B.a40或a24 C."0或a>3 D.a<0或【答案】D

【解析】先求出命題“ar1-25+4>0恒成立“是真命題時實數(shù)a的取值范圍，分。=0和。工0討論即可，然后可得命題“ar?-2ar+4>0恒成立是假命題時實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：若命題“汗_2辦+4>0恒成立”是真命題，當。=0時，4>0,恒成立；a>0當〃00時，\ / 2八，解得0vav4,A=(2a)-16a<0綜合得04av4.所以當命題“以2一2奴+4>o恒成立”是假命題時，有〃<0或心4.故選：D.TOC\o"1-5"\h\z_ 2(2020?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二期中(理))已知關(guān)于x的不等式2工+--在(0+8)上x恒成立，則實數(shù)。的最大值為()A.2 B.-2 C.4 D.4【答案】C2 2一【解析】分離參數(shù)得。<2%+-,。小于或等于2x+—在(0+8)的最小值即可.X X2【詳解】由題意知：a<2x+—對xe(0+8)恒成立，2 9 ?令/(X)=2x+—,只需aWf(x)min則/(x)=2x+->2J2xx-=4,2當且僅當2x=±,即x=l時等號成立，x7所以〃x)=2x+,的最小值為4,所以。44,實數(shù)。的最大值為4，故選：C(2020?廣東?珠海市第一中學(xué)高一階段練習(xí))若VxwR,關(guān)于x的不等式|x-1|+|"2|之n恒成立，則實數(shù)，”的取值范圍是()A.m<3 B.m>\D.m￡D.m￡1【答案】A【解析】由絕對值三角不等式求得lx-l|+k+2|的最小值為3,從而求得〃，的范圍.【詳解】；關(guān)于x的不等式|x-在R上恒成立，故|x-1|+卜+2|的最小值大于或等于％而由|x-ll+lx+2以(x-1)-(x+2)|=3,當且僅當(x-1)(x+2)<0,可得|x-l|+|x+2|的最小值為3,故有壯3,故選：A.(2023?全國?高三專題練習(xí))若不等式/+奴+120對一切恒成立，則。的取值范圍是()A.a>0B.a<-2A.a>0B.a<-2C.a>-—2D.a<-3【答案】C【分析】利用參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=-(x+_)在(0，；］的最大值，即可求解.【詳解】若不等式W+ar+lZO對切恒成立,

y=-（x+￡j在（o，；單調(diào)遞增，ymax="|.所以故選：c培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練j2x-6〃+4<0（2021?全國?高一課時練習(xí)）設(shè)a為實數(shù)，解關(guān)于x的不等式組：l-x+2a-5<0.【答案】答案見解析【分析】化簡不等式組（ cc…對。進行分類討論，由此求得不等式組的解集.[r+2a-5Vofx<3a-2【詳解】原不等式組等價于 。」[x>2a-5當加一5之3々一2,即。?一3時，原不等式組的解集為0；當2?-5<3a-2,即。>一3時，原不等式組的解集為（2a-5,32）.（2022?全國?高一專題練習(xí)）當把0時，解關(guān)于x的不等式加+（l-2a）x-220.【答案】答案見解析【分析】不等式化筒為（ar+l）（x—2）K）,分類討論a=0,。=-1，--<a<0^a<--,2 2 2求出不等式的解集，即可求出答案.【詳解】解：由6ZX"+（1—2a）x—220口J得（如+1）（x—2）>0①當a=0時，原不等式即x—2K）,解得應(yīng)2;②當〃<0時，（ar+1）（x-2）>0,方程（ar+1）（x—2）=0的兩根為辦=-!,用=2當時，原不等式解為：x=2;當一:<。<0時，-->2,原不等式的解為；24X4-La a當時，--<2,原不等式的解為：-‘4x42,綜上，當a=0時，原不等式的解集為例》22｝；當。=-；時，原不等式的解集為｛小=2｝；當-g<a<0時，原不等式的解集為：jx|2<x<-lj；當時，原不等式的解為：|x|-1<x<2