數(shù)學(xué)建模論文-減肥計(jì)劃

摘要隨著經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，國(guó)人初步過(guò)上了小康生活，但由于過(guò)度飲食和缺乏運(yùn)動(dòng)也使不少自己感覺(jué)肥胖的人紛紛奔向減肥產(chǎn)品的柜臺(tái)?？墒谴罅渴聦?shí)說(shuō)明，多數(shù)減肥產(chǎn)品是達(dá)不到減肥目標(biāo)的，或者即使能減肥一時(shí)，也難以維持下去。許多醫(yī)生和專(zhuān)家意見(jiàn)是，只有通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，才能在不傷害身體的條件下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目的?，F(xiàn)在我們要建立一個(gè)簡(jiǎn)單的體重變化規(guī)律的模型，并由此通過(guò)控制飲食與適度運(yùn)動(dòng)制定合理有效的減肥計(jì)劃。關(guān)鍵字：減肥計(jì)劃控制飲食合理運(yùn)動(dòng)一、背景BMI指數(shù)（身體質(zhì)量指數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)體重指數(shù)，英文為BodyMassIndex，簡(jiǎn)稱(chēng)BMI），是用體重公斤數(shù)除以身高米數(shù)平方得出的數(shù)字，即體質(zhì)指數(shù)(BMI)=體重(kg)/身高m2(m)是目前國(guó)際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。其中中國(guó)成年人身體質(zhì)量指數(shù)：18.5<BMI<25,正常；25<BMI<30,超重；BMI>30,肥胖。我們要通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下來(lái)的目標(biāo)。二、模型分析1、體重的變化是由于體內(nèi)能量守恒破壞所引起的2、飲食（吸收熱量）導(dǎo)致體重的增加3、代謝和運(yùn)功（消耗能量）導(dǎo)致體重的減少三、模型假設(shè)1、體重增加正比于吸收熱量，平均每8000千卡增加體重1kg；2、正常代謝引起的體重減少正比于體重，每周每公斤體重消耗熱量一般在200千卡至320千卡之間，且因人而異，這相當(dāng)于體重70kg的人每天消耗2000千卡~3200千卡;3、運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4、為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò)1.5kg，每周吸收熱量不要小于10000千卡；四、減肥計(jì)劃某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至751）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案五、基本模型記第k周末體重為w(k),第k周吸收的熱量c(k)，熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)a=1/8000(kg/kcal)，代謝消耗系數(shù)b(因人而異)，在不考慮運(yùn)動(dòng)情況下體重變化的基本模型為w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)，k=0,1,2,3……1、不運(yùn)動(dòng)情況下兩階段的減肥計(jì)劃1）確定甲的代謝系數(shù)因?yàn)槟壳凹酌恐芪?0000千卡熱量，體重維持不變，所以令w(k+1)=w(k)=w，c=20000即w=w+ac-bw,b=ac/w=（20000/8000）/100=0.0252）第一階段要求體重每周減少m=1kg，吸收熱量減至下限minc=10000千卡,即w(k)–w(k+1)=m=1,w(k)=w(0)-mk=w(0)-k，又w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)化簡(jiǎn)得c(k+1)=b(w(0))/a-(1+bk)/a代入數(shù)值計(jì)算得：c(k+1)=12000-200k>=minc=10000得k<=10,即第一階段共10周，每周減減1kg,所以第10周末體重達(dá)到90kg。吸收熱量為c(k+1)=12000-200k,k=0,1,2……93）第二階段要求每周吸收熱量保持下限minc,w(k)減至75kg,由基本模型w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-bw(k)可得W(k+1)=(1-b)w(k)+aminc將此式遞推并代入數(shù)據(jù)可得w(k+n)=0.975n[w(k)-50]+50又已知w(k)=90,要求w(k+n)=75,求n。則75=0.975n(90-50)+50得到n=19即每周吸收熱量保持下限10000千卡，再有十九周體重可減至75kg體重按w(n)=40×0.975n+50n=1,2……19減少到75kg2、第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量(千卡):跑步跳舞乒乓自行車(chē)(中速)游泳(50米/分7.03.0記每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t將基本模型改為w(k+1)=w(k)+ac(k+1)-（b+at）w(k)取at=0.003，即t=24.則代謝系數(shù)b+at=0.025+0.003=0.028令=b+at=0.028解得n=14即運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8小時(shí)或騎自行車(chē)10小時(shí)),14周就可成功減肥。3、達(dá)到目標(biāo)體重75千克每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變w=w+ac-(b+at)w解得c=（b+at）w/a代入數(shù)據(jù)可以算出不運(yùn)動(dòng)c=8000×0.025×75=15000千卡若運(yùn)動(dòng)（內(nèi)容同前）則c=8000×0.028×75=16800千卡.所以說(shuō)人的體重變化是有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)該科學(xué)化，定量化。體重的變化與每個(gè)人特殊的生理?xiàng)l件有關(guān)，特別是代謝消耗系數(shù)b，不僅因人而異，而且即使同一個(gè)人在不同的環(huán)境下也會(huì)有所改變。所以在應(yīng)用這個(gè)模型是要對(duì)代謝系數(shù)b做仔細(xì)的核對(duì)。六、具體操作1、第一階段要求體重每周減少m=1kg，吸收熱量減至下限minc=10000千卡。根據(jù)所建立的模型知道，甲每周吸收的熱量為c(k+1)=12000-200k,k=0,1,2……9。這個(gè)我們需要靠均衡的飲食來(lái)達(dá)到。所謂均衡的飲食[3]，是指每餐吃齊四類(lèi)食物里的七大養(yǎng)分，這四類(lèi)食物是指五谷、蔬果、乳類(lèi)和肉類(lèi)，每天都吃齊了，人體每天所需的全部維他命和礦物質(zhì)就不缺，這四類(lèi)食物，合起來(lái)提供人體每天需要的七大養(yǎng)分水份、糖類(lèi)、蛋白質(zhì)、脂肪酸(來(lái)自蔬果和豆類(lèi))、維他命、礦物質(zhì)和纖維，但熱量和油脂不超標(biāo)，纖維足量，每日以五谷和蔬果為主食，作為每日熱能的主要來(lái)源，維他命和礦物質(zhì)不缺，水份夠，蛋白質(zhì)也夠。均衡的飲食對(duì)減肥者的新陳代謝是極為重要的。下面是根據(jù)熱量和均衡飲食列出的減肥營(yíng)養(yǎng)餐[4]：第一周甲吸收的熱量應(yīng)該為12000千卡第一周早餐午餐晚餐星期一雞蛋（煮）151

大卡（100克可食部分）牛奶54

大卡（100克）面包312

大卡（100克）米飯232大卡（200克番茄炒蛋:主料雞蛋150克番茄300克調(diào)料大蒜5克大蔥5克精鹽3克白砂糖5克味精2克花生油15克182大卡（200克紅燒帶魚(yú):帶魚(yú)500克醬油20克白砂糖10克醋15克料酒25克精鹽4克味精2克大蔥20克大蒜15克姜15克116

大卡（100克）紫菜蛋花湯紫菜(干)10克雞蛋65克香油1克精鹽1克味精1克328大卡（200克小米粥46

大卡（100克）烙餅(標(biāo)準(zhǔn)粉)255

大卡（100克）饅頭(富強(qiáng)粉)208大卡（100克）星期二包子（豬肉餡）227

大卡（100克）豆?jié){（甜）33

大卡（100克）荷包蛋（油煎）199

大卡（100克）米飯232大卡（200克肉片炒青椒:豬肉(瘦)100克辣椒(青，尖)200克料酒10克大蔥10克姜10克精鹽4克味精2克白砂糖2克醬油5克豌豆淀粉10克花生油50克346大卡（200克紅燒豬肉:(肋條肉)1000.0g醬油30.0g紅糖40.0g黃酒10.0g飲用水300.0g478

大卡（100克）西紅柿雞蛋湯:雞蛋50.0g番茄50.0g胡椒粉1.0g飲用水500.0g14

大卡（100克）餃子（豬肉韭菜餡）625大卡（250克星期三小米粥46

大卡（100克）包子（三鮮餡）223

大卡（100克）花卷1個(gè)（90克）190大卡米飯232大卡（200克青椒炒雞蛋:雞蛋200克辣椒(青，尖)100克精鹽3克味精2克香醋5克大蔥10克豬油(煉)20克148

大卡（100克）紅燒大排:豬大排300.0g精鹽2.0g白砂糖10.0g雞精5.0g老抽15.0g大蔥2.0g姜2.0g薤白2.0g豆油5.0g530大卡（200克鴨血粉絲湯:鴨血(白鴨)50.0g鴨肝20.0g鴨肫10.0g鴨腸10.0g粉絲（干）100.0g精鹽5.0g味精2.0g豆瓣醬(辣油)5g飲用水150.0g香菜5.0g191

大卡（15什錦炒飯376

大卡（200克牛奶（蒙牛牌）67

大卡（100克）星期四豆?jié){（甜）33

大卡（100克）一根油條270大卡(70克)燒餅(加糖)293

大卡（100克）米飯232大卡（200克糖醋小排:豬大排1000克龍蝦片50克料酒15克白砂糖150克花生油150克精鹽5克醬油25克醋100克小蔥25克姜25克八角5克味精3克468

大卡（15冬瓜排骨湯:豬小排400.0g冬瓜500.0g姜(干)3.0g精鹽5.0g飲用水500.0g102大卡(每200克麻婆豆腐:豆腐250克牛肉(肥瘦)75克五香豆豉15克料酒5克精鹽3克味精2克豌豆淀粉:5克花生油15克小蔥5克百里香15克127

大卡（100克）127

大卡（100克）過(guò)橋米線184

大卡（200克包子（豬肉餡）1個(gè)大包子120g272大卡星期五面條(煮)109

大卡（100克）荷包蛋（煮）164

大卡（100克）花卷1個(gè)（90克）190大卡米飯232大卡（200克素炒小白菜:小白菜250克醬油15克姜5克精鹽5克花生油10克49大卡（100克）酒蒸全雞湯雞(土雞，家養(yǎng)):500.0g花雕酒（16.5%）30.0g姜10.0g味精5.0g精鹽10.0g244大卡（200克宮保雞丁雞肉:250克花生仁（炸）50克辣椒(紅、尖、干)10克姜5克鹽3克大蒜5克醬油20克味精2克醋8克黃酒25克白砂糖5克淀粉(豌豆)15克花椒15克大蔥15克植物油80克各適量313

大卡（100克）鴨血粉絲湯:鴨血(白鴨)50.0g鴨肝20.0g鴨肫10.0g鴨腸10.0g粉絲（干）100.0g精鹽5.0g味精2.0g豆瓣醬(辣油)5.0g飲用水150.0g香菜5.0g381大卡（300克星期六餃子（豬肉白菜餡）218

大卡（100克）酸奶(中脂)64

大卡（100克）米飯232大卡（200克番茄炒蛋:主料雞蛋150克番茄300克調(diào)料大蒜5克大蔥5克精鹽3克白砂糖5克味精2克花生油15克182大卡（200克麻婆豆腐:豆腐250克牛肉(肥瘦)75克五香豆豉15克料酒5克精鹽3克味精2克豌豆淀粉:5克花生油15克小蔥5克百里香15克127

大卡（100克）127

大卡（100克）冬瓜排骨湯:豬小排400.0g冬瓜500.0g姜(干)3.0g精鹽5.0g飲用水500.0g51大卡(每100克)米飯116

大卡（100克）肉片炒青椒:豬肉(瘦)100克辣椒(青，尖)200克料酒10克大蔥10克姜10克精鹽4克味精2克白砂糖2克醬油5克豌豆淀粉:10克花生油50克173

大卡（100克）星期日雞蛋（煮）151

大卡（100克可食部分）豆?jié){（甜）33

大卡（100克）一根油條270大卡(70克)米飯232大卡（200克肉片炒青椒:豬肉(瘦)100克辣椒(青，尖)200克料酒10克大蔥10克姜10克精鹽4克味精2克白砂糖2克醬油5克豌豆淀粉:10克花生油50克173

大卡（100克）鴨血粉絲湯:鴨血(白鴨)50.0g鴨肝20.0g鴨肫10.0g鴨腸10.0g粉絲（干）100.0g精鹽5.0g味精2.0g豆瓣醬(辣油)5.0g飲用水150.0g香菜5.0g191

大卡（15酸辣土豆絲:馬鈴薯300克辣椒(青，尖)15克辣椒(紅，小)15克花椒2克辣椒(紅，尖，干)5克大蔥5克鹽3克味精2克香醋5克花生油15克香油5克120

大卡（100克）米飯116

大卡（100克）青椒炒雞蛋:雞蛋200克辣椒(青，尖)100克精鹽3克味精2克香醋5克大蔥10克豬油(煉)20克148

大卡（100克）紅燒大排:豬大排300.0g精鹽2.0g白砂糖10.0g雞精5.0g老抽15.0g大蔥2.0g姜2.0g薤白2.0g豆油5.0g265

大卡（100克）第二周甲吸收的熱量應(yīng)該為11800千卡,等等，按照模型并結(jié)合各食物熱量以此類(lèi)推，到第十周的時(shí)候，甲吸收的熱量應(yīng)該控制在10000千卡第十周早餐中餐晚餐星期一煎餅100克333大卡牛奶54大卡(每100克)煮雞蛋100克151大卡一碗（瓷碗）米飯150克174大卡糖醋小排（豬大排1000克、龍蝦片50克、料酒15克、白砂糖150克、花生油150克、精鹽5克、醬油25克、醋100克、小蔥25克、姜25克、八角5克、味精3克）312大卡（100g）炒青菜100克45大卡一個(gè)大饅頭120克265大卡土豆牛肉胡蘿卜（牛肉（腹部肉）200.0g馬鈴薯500.0g、胡蘿卜(紅)300.0g、大蔥50.0g、大蒜10.0g、姜10.0g、老抽15.0g、粉絲（干）10.0g、啤酒100.0g、甜面醬30.0g粟米油12.0g、精鹽35.0g）89大卡（100克）一個(gè)中蘋(píng)果210克83大卡星期二牛奶（蒙牛牌）67

大卡（100克）一根大香蕉210克113大卡燕麥片100克367大卡一碗（瓷碗）米飯150克174大卡清燉獅子頭[豬肉(肥瘦)800克、油菜心1250克、姜5克、大蔥5克、精鹽6克、料酒8克、豌豆淀粉8克、花生油15克、豬油(煉)10克]338大卡（200克）香菇木耳雞湯（瓦罐雞湯）（雞胸脯肉150.0g、大蔥20.0g、姜10.0g、木耳(水發(fā))150.0g、香菇100.0g、山藥100.0g、雞精5.0g、精鹽5.0g、飲用水1000.0g）21大卡（100克）玉米湯小米粥（玉米(鮮)300.0g、小米100.0g、飲用水3200.0g）19卡（100克）豆沙包（饅頭(富強(qiáng)粉)500.0g、紅豆沙250.0g、酵母(干)5.0g）220大卡（100克）菜煎餅（小麥粉(標(biāo)準(zhǔn)粉)50.0g、大白菜25.0g、大白菜(小白口)25.0g、胡蘿卜25.0g、水蘿卜25.0g、菠菜25.0g、雞蛋100.0g）124大卡（100克）星期三鮮奶253ml163大卡法式面包2片160大卡瘦火腿兩片60克70大卡一碗（瓷碗）米飯150克174大卡紅燒草魚(yú)（草魚(yú)800.0g、料酒20.0g、醬油20.0g、大蔥10.0g、姜10.0g、色拉油20.0g、精鹽10.0g）124大卡（100克）菜花100克24大卡宮保雞丁雞肉250克花生仁（炸）50克辣椒(紅、尖、干)10克姜5克鹽3克大蒜5克醬油20克味精2克醋8克黃酒25克白砂糖5克淀粉(豌豆)15克花椒15克大蔥15克植物油80克各適量313

大卡（100克）一碗（瓷碗）米飯150克174大卡清蒸蛋羹（雞蛋150克豬肉(瘦)25克飲用水300克香油5克醬油5克精鹽2克大蔥5克）61大卡(100克)清炒油麥菜（油麥菜300克辣椒(紅，尖，干)10克辣椒(青、尖)10克辣椒(青，尖)10克姜5克大蔥5克香菜3克醬油8克生抽3克色拉油15克）54大卡（100克）星期四粥（一碗）135克70大卡煎蛋一只136大卡蘋(píng)果一個(gè)（中）55大卡一碗（瓷碗）米飯150克174大卡干烤大蝦（對(duì)蝦1000克姜25克小蔥25克料酒15克味精2克精鹽10克胡椒粉3克香油35克白砂糖30克）122大卡（100克）炒白菜（油膩版）（大白菜200.0g、金龍魚(yú)食用調(diào)和油20.0g、精鹽10.0g、味精10.0g）99大卡（100克）鮮奶（250ml163大卡）消化餅2塊（140大卡）蘋(píng)果(中)1個(gè)（55大卡） 粥1碗（135克70大卡）低脂芝士片（1片80大卡）燒賣(mài)（2個(gè)84大卡）星期五高鈣低脂奶234ml140大卡麥皮（一碗）135克90大卡雞蛋一只80大卡一碗（瓷碗）米飯150克174大卡蕃茄炒蛋（雞蛋150克、番茄300克、大蒜5克、大蔥5克、精鹽3克、白砂糖5克、味精2克、花生油15克）91大卡（100克）青椒炒雞蛋雞蛋200克辣椒(青，尖)100克精鹽3克味精2克香醋5克大蔥10克豬油(煉)20克148

大卡（100克）紅燒大排豬大排300.0g精鹽2.0g白砂糖10.0g雞精5.0g老抽15.0g大蔥2.0g姜2.0g薤白2.0g豆油5.0g530大卡（200克鴨血粉絲湯鴨血(白鴨)50.0g鴨肝20.0g鴨肫10.0g鴨腸10.0g粉絲（干）100.0g精鹽5.0g味精2.0g豆瓣醬(辣油)5.0g飲用水150.0g香菜5.0g191

大卡（15鴨血粉絲湯鴨血(白鴨)50.0g鴨肝20.0g鴨肫10.0g鴨腸10.0g粉絲（干）100.0g精鹽5.0g味精2.0g豆瓣醬(辣油)5.0g飲用水150.0g香菜5.0g381大卡（300克星期六甜豆奶250ml120大卡煎餅果子（綠豆面100.0g、小麥粉(標(biāo)粉)100.0g、雞蛋70.0g、油條30.0g、大蔥4.0g、辣椒醬3.0g、甜面醬3.0g、飲用水250.0g）160大卡（100克）一碗（瓷碗）米飯150克174大卡酸辣土豆絲（馬鈴薯300克辣椒(青，尖)15克辣椒(紅，小)15克花椒2克辣椒(紅，尖，干)5克大蔥5克鹽3克味精2克香醋5克花生油15克油5克）120大卡（100克）魚(yú)香肉絲（豬肉(里脊)250克、竹筍100克、木耳(水發(fā))50克、雞蛋50克、大蔥10克、姜10克、大蒜5克、料酒10克、醋5克、精鹽3克、醬油5克、白砂糖10克、味精2克、豌豆淀粉5克、花生油20克、剁辣椒10克）138大卡（100克）冬瓜排骨湯豬小排400.0g冬瓜500.0g姜(干)3.0g精鹽5.0g飲用水500.0g102大卡(每200克麻婆豆腐豆腐250克牛肉(肥瘦)75克五香豆豉15克料酒5克精鹽3克味精2克豌豆淀粉5克花生油15克小蔥5克百里香15克127

大卡（100克）127

大卡（100克）過(guò)橋米線184

大卡（200克包子（豬肉餡）1個(gè)大包子120g272大卡星期日高鈣低脂奶234ml140大卡法式面包2片160大卡燕麥片100克367大卡一碗（瓷碗）米飯150克174大卡蠔油生菜（生菜(葉用萵苣)300克）20大卡（100克）紅燒大排（豬大排300.0g、精鹽2.0g、白砂糖10.0g、雞精5.0g、老抽15.0g、大蔥2.0g、姜2.0g、薤白2.0g、豆油5.0g）265大卡（100克）什錦炒飯376

大卡（200克牛奶（蒙牛牌）67

大卡（100克）2、第二階段要求每周吸收熱量保持下限minc。早餐和午餐各吃多少卡的熱量，可自行決定；要吃什麼食物，也自由選擇，但要吃齊四大類(lèi)食物，只要熱量、油量、蛋白質(zhì)(肉類(lèi))等三項(xiàng)不入超，每餐有頗大的選擇食物的空間；晚餐亦然。每餐熱量定好后，食譜可自行斟酌，而且富于變化，這樣的節(jié)食法，較能長(zhǎng)期維持，故成功的機(jī)會(huì)最大[5]。按照下表計(jì)規(guī)劃每餐的份量，使一周所吸收的熱量控制在10000千卡，就可以有效控制體重。七、附錄常見(jiàn)食物的熱量表:五谷類(lèi)[6]食品數(shù)量熱量(大卡)白飯1碗(135g)200粥1碗(13