（精心整理）二次函數(shù)與三角形最大面積的3種求法

二次函數(shù)與三角形最大面積的3種求法一．解答題（共7小題）1．（2012?廣西）已知拋物線y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點A（3，0）和點C，與y軸交于點B（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使得點D到點B、C的距離之和最小，并求出點D的坐標(biāo)；（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2013?茂名）如圖，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，已知點B的坐標(biāo)為（3，0）．（1）求a的值和拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）分別連接AC、BC．在x軸下方的拋物線上求一點M，使△AMC與△ABC的面積相等；（3）設(shè)N是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一點N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．3．（2011?茂名）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線對稱軸l與x軸相交于點M．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）點P在拋物線上，且以A、O、M、P為頂點的四邊形四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù)，請你直接寫出點P的坐標(biāo)；（3）連接AC．探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由．4．（2012?黔西南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線的對稱軸l與x軸相交于點M．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式和對稱軸；（2）設(shè)點P為拋物線（x＞5）上的一點，若以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù)，請你直接寫出點P的坐標(biāo)；（3）連接AC，探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2013?新疆）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最?。咳舸嬖?，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標(biāo)．6．（2009?江津區(qū)）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由．7．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（1，0），C（0，3），且對稱軸為直線x=﹣1．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在拋物線上是否存在點P，使△PAB得面積為10，請寫出所有點P的坐標(biāo)．二次函數(shù)與三角形最大面積的3種求法參考答案與試題解析一．解答題（共7小題）1．（2012?廣西）解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點A（3，0）和點B（0，3），∴，解得a=﹣1，c=3，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3．（2）對稱軸為x==1，令y=﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴C（﹣1，0）．如圖1所示，連接AB，與對稱軸x=1的交點即為所求之D點，由于A、C兩點關(guān)于對稱軸對稱，則此時DB+DC=DB+DA=AB最?。O(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：，解得k=﹣1，b=3，∴直線AB解析式為y=﹣x+3．當(dāng)x=1時，y=2，∴D點坐標(biāo)為（1，2）．（3）結(jié)論：存在．如圖2所示，設(shè)P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y，AN=OA﹣ON=3﹣x．S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB=（OB+PN）?ON+PN?AN﹣OA?OB=（3+y）?x+y?（3﹣x）﹣×3×3=（x+y）﹣，∵P（x，y）在拋物線上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：S△ABP=（x+y）﹣=﹣（x2﹣3x）=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，S△ABP取得最大值．當(dāng)x=時，y=﹣x2+2x+3=，∴P（，）．所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；P點的坐標(biāo)為（，）．2．（2013?茂名）解答：解：（1）∵拋物線y=ax2﹣x+2經(jīng)過點B（3，0），∴9a﹣×3+2=0，解得a=﹣，∴y=﹣x2﹣x+2，∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+3x）+2=﹣（x+）2+，∴頂點坐標(biāo)為（﹣，）；（2）∵拋物線y=﹣x2﹣x+2的對稱軸為直線x=﹣，與x軸交于點A和點B，點B的坐標(biāo)為（3，0），∴點A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．又∵當(dāng)x=0時，y=2，∴C點坐標(biāo)為（0，2）．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線AC的解析式為y=x+2．∵S△AMC=S△ABC，∴點B與點M到AC的距離相等，又∵點B與點M都在AC的下方，∴BM∥AC，設(shè)直線BM的解析式為y=x+n，將點B（3，0）代入，得×3+n=0，解得n=﹣1，∴直線BM的解析式為y=x﹣1．由，解得，，∴M點的坐標(biāo)是（﹣9，﹣4）；（3）在拋物線對稱軸上存在一點N，能夠使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：∵拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于點A和點B，∴點A和點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．連接BC并延長，交直線x=﹣于點N，連接AN，則AN=BN，此時d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．設(shè)直線BC的解析式為y=mx+t，將B（3，0），C（0，2）兩點的坐標(biāo)代入，得，，∴直線BC的解析式為y=﹣x+2，當(dāng)x=﹣時，y=﹣×（﹣）+2=3，∴點N的坐標(biāo)為（﹣，3），d的最大值為BC==．3．（2011?茂名）解答：解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），把點A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴拋物線的對稱軸是：x=3；（2）P點坐標(biāo)為：（6，4），由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又∵點P的坐標(biāo)中x＞5，∴MP＞2，AP＞2；∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，∴四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，在Rt△AOM中，AM===5，∵拋物線對稱軸過點M，∴在拋物線x＞5的圖象上有關(guān)于點A的對稱點與M的距離為5，即PM=5，此時點P橫坐標(biāo)為6，即AP=6；故以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊長度分別是四個連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，即P（6，4）；（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），過點N作NG∥y軸交AC于G；作AM⊥NG于M，由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4；把x=t代入得：y=﹣t+4，則G（t，﹣t+4），此時：NG=﹣x+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AM+CF=CO，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG?OC=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時，△CAN面積的最大值為，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．4．（2012?黔西南州）解答：解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），將點A（0，4）代入上式解得：a=，即可得函數(shù)解析式為：y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，故拋物線的對稱軸是：x=3；（2）P點坐標(biāo)為：（6，4），由題意可知以A、O、M、P為頂點的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又∵點P的坐標(biāo)中x＞5，∴MP＞2，AP＞2；∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，∴四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，在Rt△AOM中，AM===5，∵拋物線對稱軸過點M，∴在拋物線x＞5的圖象上有關(guān)于點A的對稱點與M的距離為5，即PM=5，此時點P橫坐標(biāo)為6，即AP=6；故以A、O、M、P為頂點的四邊形的四條邊長度分別是四個連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，即P（6，4）；（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），過點N作NG∥y軸交AC于G，作AM⊥NG于M，由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4；把x=t代入y=﹣x+4，則可得G（t，﹣t+4），此時：NG=﹣x+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AM+CE=CO，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CE=NG?OC=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時，△CAN面積的最大值為，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．5．（2013?新疆）解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），點C（4，3），∴，解得，所以，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵點A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，所以，直線AC的解析式為y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對稱軸為直線x=2，當(dāng)x=2時，y=2﹣1=1，∴拋物線對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最小；（3）如圖，設(shè)過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，此時x=，y=﹣=﹣，∴點E的坐標(biāo)為（，﹣），設(shè)過點E的直線與x軸交點為F，則F（，0），∴AF=﹣1=，∵直線AC的解析式為y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴點F到AC的距離為AF?sin45°=×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面積=×3×=，此時E點坐標(biāo)為（，﹣）．6．（2009?江津區(qū)）解答：解：（1）將A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得（2分）∴（3分）∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（4分）（2）存在（5分）理由如下：由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x=﹣1對稱∴直線BC與x=﹣1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小∵y=﹣x2﹣2x+3∴C的坐標(biāo)為：（0，3）直線BC解析式為：y=x+3（6分）Q點坐標(biāo)即為解得∴Q（﹣1，2）；（7分）（3）存在．（8分）理由如下：設(shè)P點（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC（9分）=BE?PE+OE（PE+OC）=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）=當(dāng)x=﹣時，S四邊形BPCO最大值=∴S△BPC最大=（10分）當(dāng)x=﹣時，﹣x2﹣2x+3=∴點P坐標(biāo)為（﹣，）．（11分）7．解答：解：（1）根據(jù)題意得：，解得：a=1，b=2，c=﹣3，∴