流體力學典型題16

第一章緒論［例1］：一可動和一不動平板別離置于液體中，間距h=0.5mm?？蓜影錠=dv0.25m/s，水平右移，維持V不變，加在動板上的外力為2Pa。求U。dvyV解：由t=^一dyyV火=弓（線性散布）dyh由坐標系，按牛頓粘性定律:火=弓（線性散布）dyh^=^—=\2=4x10-3dvVdyh［例2］：［1-15］滑動軸承直徑D=20cm,寬b=30cm,液膜厚t=0.08cm,U=?s，消耗功率N=，求n=?若是n=1000rpm，求N=?解：A=nDb=X10-im2,“二切力消耗的功率(1)N=F-v=^A--v=^AV2,v=(互)％=9.38x10-1m/sefttRA兀Dnv=60n=^2Z=8.96x10rpm=1.49rad/s兀D(2)n=1000rpmv="=1.05x10m/s60Ne=vFf=rA^=6.35x103W注：一、消耗功率全數(shù)用于克服粘性阻力；二、應用牛頓粘性定律時，用切向速度。第二章流體靜力學［例1］:測壓計測A中水的壓強。h=0.5m，h1=0.2m，h2=0.25m，h3=0.22m，酒精相對密度d^=0.8，水銀相對密度d^=13.6。真空計讀數(shù)p0=0.25x105Pa真空度，求P。解：由等壓面：p1=p2，p3=p4，p5=p6，由靜壓強散布取得：

p6=Po+PmA，P4=P5—Pal§h2，P2=P3+Pmc§h1,P=Pi-p"聯(lián)立以上方程，有：mcmcP=Po+Pmcg(h1+h3)-Pal§h2-Pwgh=—0.25X105+13.6X103X9.81（0.22+0.2）-0.8x103x9.81x0.25-103x9.81x0.5=（計示壓強）注：因p。為計示壓強，計算時，未計?以上空氣壓強。［例2］：［2—9］試給出圖中四種情形側(cè)壁面上壓強的散布圖。解：［例3］：［2—11］容器中盛有水和空氣，各水面相對位置不同離為：h=h=0.91m,-.14h=h=0.305m，求：A、B、C、D各點的絕對壓強，并指出哪些為真空狀態(tài)？（不2、3-一.一計空氣重力，取P=X104Pa）解：pA=pa+pg(h3+h4)=X104+103XX(+)=X105Pa.,由于P廣。，故：Pb-Pc=Pa—Pg^2=X104-103XX=X104Pa.,Pd=Pc—Pg(外+^2+%)=X104-103XX(++)=X104Pa。由于Pa>Pa，Pb<Pa，Pc<Pa，Pd<Pa，因此，B、C、D為真空狀態(tài)。［例4］：［2—21］一封鎖容器內(nèi)盛有油和水，P油=890kg/m3,h=0.3m,h=0.5m,h=0.4m解：由等壓面原理，可列方程：試求液面上的表壓強。p+pgh+pgh=pg(h+h—h)+p0油12水銀12,表壓強：p=P0—p=pg(h+h—h)—pgh—pgh水銀12油12=13600x9.81(0.3+0.5—0.4)—890x9.81x0.3—1000x9.81x0.5=45842Pa［例5］：［2—24］直徑D=1.2m，長L=2.5m的油罐車，內(nèi)裝相對密度為的石油，油面高度h=1m，以加速度a=2m/s水平運動，試確信油槽車側(cè)蓋A和B上所受到的油液的作使勁。解：等壓面：tgP=a=上=0.20387g9.81L2.5hAc=-tgP+h=~Yx0.20387+1=1.2548mFA=pghAcA=0.9x103x9.81x1.2548x兀/4x1.22=12529.6NL2.5hBc=h--tgP=1-項x0.20387=0.745mFb=pghBcA=°.9x103x9.81x0.745x兀/4x1.22=7439N［例6］：［2—26］盛有高度為h的水的圓筒形容器，以角速度3繞垂直縱軸作等速旋轉(zhuǎn)，容器半徑為R，試求當3超過量少時，可露出筒底？解：建坐標系如圖，由等壓面方程:，32R2當露出底部時，勺=%g^，現(xiàn)在，水的體積v為:-2兀rdr=丸①2RR32r2V=jz-2兀rdr=j-2兀rdr=丸①2002gR42——原體積二兀R2如于是V=兀①2—=nR2h，得出：3=-vgh。［例7］：［2—43］圖示一儲水設備，在C點測得絕對壓強為p=294300Pa，h=2m，R=1m，求半球曲面AB所受到液體的作使勁。解：半球曲面AB所受到液體的作使勁因水平方向?qū)ΨQ，合力為零，因此大小應等于垂直方向的分力F。故此題的關鍵是要畫出壓力體，即第一找出對應于大氣壓強的自由面位置，為此，假定自由面位置距底面為H，那么壓力體高度為h=H-h，02壓力體體積V：V=kR2h0-3兀R3,由于：p=p-p=294300-9.81x104=1.962x105Pa，而：p=pg(H-h/2)=103x9.81x(H-2/2)=1.962x105，m故，H=21m，h=H-h=21-2=19m。21一_2一_1V=兀R2h-3兀R3=Kx12x19-3XKX13=183兀,1F=pgV=103x9.81x18—k=5.65x105(N)，方向垂直向上。z3VV［例8］：［2—44］畫出圖中四種曲面圖形的壓力體圖。解：第三章流體運動學［例1］：已知:-ky［例1］：已知:-kyv=xx2+y2kx(k>0)解：由v=0，為二元流動。代入式（3—6）,dxdy代入式（3—6）,——(x2+y2)=(x2+y2)-kykxk>0，有：xdx+ydy=0積分：x2+y2=。，為以原點為圓心的圓。判定流向：假設x>0,y>0，那么v<0,v>0顯然，v指向逆時針方向轉(zhuǎn)。［例2］：假設流體恒定流速度為vx=x2,vy=y2,vz=z2，求過(2，4，8)點的流線方程。［例2］：假設流體恒定流速度為解：由流線方程:vxdy=vyd解：由流線方程:vxdy=vydxvdy—vdzlzy代入已知條件:x2dy=y2dx

z2dy=y2dz分離變量積分:JU=J里+Cx2y21J坐=J宜+cy2z22-1+Cxy11-1+Cyz2當x=2，y=4，C]=1/4T/2=T/4,y=4z=8時，C=-1/8111所求方程為：，xy4L1—1〔yz8所求方程為：，［例3］：不可緊縮流體v分量:=2x2+y,vy=2y2+z，且在z=0,v=0,求解：持續(xù)方程:

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"SvSvSv\o"CurrentDocument"x+y+zSxSySz代入：4x+4y+Svdv—亍=0，有：—孑=—4x—4ySzSz積分：v=-4(x+y)z+f(x,y)z

代入：4x+4y+當z=0,v=0，即f(x,y)=0v=-4(x+y)zz[例4]:[3—8]已知流體運動的速度場為：v=2yt+at3,v=2xt,v=0，式中a為常數(shù)，試求t=1時，過(0，b)點的流線方程。解：由流線方程vxdy=vdx，(2yt+at3)dy=2xtdxx2-y2-at2y=C當：t=1，x=0，y=b，a=const時有：C=-b2-ab，x2-y2-ay=-b2-aba2a,x2—(y+_)2=——b2—ab=—(_+b)2242a為雙曲線。(y+*2aa(+b)2(+b)222［例5］:證明以下二維流場是無旋的，并找出過（1，2）點的流線方程式。為雙曲線。v=x2-y2+x,v=-(2xy+y)解：?=2(3*^一￡^)=2(-2y+2y)=0，故是無旋的。流線方程為：vdy=vdx，(x2-y2+x)dy=-(2xy+y)dx轉(zhuǎn)為全微分：—d(3y3)+d(x2y)+d(xy)=0積分：x2y+xy-3y3=C當x=1，y=2時，c=2+2-8=-33得：3x2y+3xy-y3=4［例6］：［3—11］設有兩個流動，速度分量為:(1)vx=-ay，vy=ax，vz=0（2）vxcyx2+y2ycxx2+y2v（2）vxcyx2+y2ycxx2+y2vz=0Xdvv=ax，v=Xdvv=ax，v=0，=a，dv—X=-a1dvd^1,、八w=^^~^—~dX)=2(a+a)=a壬0有旋;L=2(idx+#=0，無變形;②v=——————,v=—————,v=0，a、c為常數(shù)。xX2+y2yx2+y2z=1(竺—生)=1(竺—生)=1-^2dxdy21x2+y2r1丫+cxlx2+y2)Xc+x2+y2r1v+cylx2+y2)y」1—c(2x2+2y2)(x2+y2)2—=0，無旋;x2+y2x2+y21r也—生〕21dxdy)c2cx2c+2cy2x2+y2q2+y2》x2+y2。2+y2=谷二￥。0，有角變形；x2+y22［例7］：［3—14］有兩個不可緊縮流場：⑴v=ax2+by,v=0；⑵v=e-xchy+1,v=0。求v(設y=0時，v=0)。TOC\o"1-5"\h\zdvdvdv^解(1)小x+y=0，2ax+y=0，v=—2axy+C(x,z)dxdydyyy=0,v=0，C(x,z)=0二v=—2axy\o"CurrentDocument"dv,dvdv⑵v=e—xchy+1，v=0，田：+~^^=。有：—e—xchy+=0，積分：v=e-xshy+C(x,z)j=0,v=0,C(x,z)=0，:.v-e~xshy［例8］:不可緊縮流體作二維流動，流體中任一點的速度v方向與到同一點的徑向r垂直，其大小為I可卡|=c，其中，c為常數(shù)，r=\；x2+y2。試問：此流場是有旋仍是有勢？并求其旋轉(zhuǎn)角速度。解：已知|可?|r|=c,/X2+y2=r2,v2+v2=v2，y，I2y+22y+2，

c=\222V+2X2c=2yV+2XV=0tg=

y-x+2XV\)z2y+22XV

2

AnyX一y2y+24^2y+2=2c1-=2V2X=2v2y+2dvXd+(-y)?f^=f^k2+y2必*2+y2/y2-x22+y2dvdv故?=2-?x=0，無旋，即有勢。第四章理想流體動力學基礎［例1］：［4-5］已知不可緊縮理想流體的流動速度分量為:v=ay，v=bx，v=0，求等壓面（p=const）方程，不計質(zhì)量力。解：由理想流體恒定不可緊縮且為二元流動（七=0）的歐拉運動微分方程，1dpdvdv節(jié)云~~dXvx+~dyvy1dPdvdv—=yv+yvpdydxxdyy由dP=J汁X+斜y，上三式分乘dX，dy相加，并注意到導=0，令=a，土=b，=0，取得：-上dp=abxdx+abydy令dp=0，取得等壓面方程為：x2+y2=C［例2］：［4-8］測量流速的畢托管如圖示，設被測流體密度為p，測壓管內(nèi)流體密度為P］，測壓管中液面高差為h，試證明所測流速為v=*gh（R-p）/p。解：沿流線1——2,以1點所在水平面為z軸基準，列Bernoulli方程：pv22g=&+~pg+2gZ1=0，vi=0，那么：2g=-&+p^—gp2(1)由于測速計內(nèi)流體靜止，可按靜壓給出，p—pgz=p，p=pgh+p，133314p2+pg(z2—z4)=p4得：p1—p2=pgz3+p1gh—pg(z4-z2)代入(1)vZ1=0，由于測速計內(nèi)流體靜止，可按靜壓給出，p—pgz=p，p=pgh+p，133314p2+pg(z2—z4)=p4得：p1—p2=pgz3+p1gh—pg(z4-z2)代入(1)v2=2g(-電+心)2pg=2g[—z+pgz3+p1gh—pg(z4—z2)]2pg=2gpgz2+pg(z2-z4)+pgz3+p]ghpgcpg(z—z)+pghc—ph+phe,p—p=2g341—=2g1—=2ghpgpp因此：v=氣.'2gh(p1—p)/p［例3］：一水箱底部有一小孔，射流的截面積為A(x)，在小孔處x=0,截面積為A0通過不斷注水使水箱水位h維持常數(shù)，水箱截面積遠大于小孔。設流動為理想不可緊縮的，求射流面積隨x的轉(zhuǎn)變規(guī)律A(x)。解：如圖，對理想不可緊縮流體，以液面為基準，任取一流線0-1-x，成立Bernoulli方程：光+也+生=z1+p+豎(1)勺唯瑚=勺+參成(2)對(1)式，z=0,v=0,p=p，z--h,p=p，有:111a00a咀=h，即:2g顯然，速度僅與高度有關，在同一橫截面上，速度相同，均等于平均速度，由持續(xù)性方程：V0A0=vA(x)，那么取得：A(x)=A。V0=A。x［例4］：［4-12］求重力作用下理想不可緊縮流體在開口等徑曲管中振動的運動規(guī)律。設管中液柱長為l，a,p為曲管兩頭與水平線之間的夾角，振動從平穩(wěn)位置開始。解：這是一個非恒定流動問題，采納沿流線積分式，注意到截面不變，是一個勻加速運動，a=dv，于dtpv2pv2dvl%+pg+2g=z2+畚+2g+dtg式中:"1=v?dvddx，代入，有:dtz1=-xsina，z2=x式中:"1=v?dvddx，代入，有:dtld2xgdt一x(sina+sinp)，即x+g(sina+sinPld2xgdt這是一個振動方程。討論：(1)振動方程的圓頻率為①=」g(sina+sinP)，周期為：T=竺l①(2)假設管端全數(shù)密封，平穩(wěn)位置氣壓為

P0，管徑為d,液面上的壓強別離為p1,p2且氣體轉(zhuǎn)變?yōu)榈葴剡M程，那么題中的振動將發(fā)生轉(zhuǎn)變。由等溫進程，pV=const，p(l+x)A=plA=plA122^01p-p=pl()=pl-2—-，z，z=—h,p=p，有：=h，即：v=扣2gh1aM1*Ma2g1M“6101l]aM1*Ma2g1M“61ld2xpl(l—l—x)=—x(sina+sinB)+——1gdtpg(l1+x)l2TOC\o"1-5"\h\zd2xgpl(l—l—x)、c+—[x(sina+sinB)一—1]=0，dtlpg(l1+x)l2專門地，當管兩頭水平平齊時，l=x+1，l-x=l，上式變成:\o"CurrentDocument"1212<d—x+g[x(sina+sinB)+—p0l1x—]=0，考慮至0x?l，那么:dtlpg(l2—x2)1^+—[(sina+sinB)+^p0]x=0，dtlpgl1當a=p=900時，l1=h，2兀T=——o［例5］：［4-14］圖示真空吸水裝置。在下述情形下：（1）M斷面產(chǎn)生負壓，（2）C點的水被吸入時。試求A/a與水頭的關系。解：（1）M斷面產(chǎn)生負壓，即：pM=pa。對理想不可緊縮流體，以左液面為基準，任取一流線0-M-A，成立Bernoulli方程：z方程：z0+也+生=z_+&+盅2g=Zm+pg對（1）式，z0=0,v0=0,p0=p對⑵式，扁=0,v0=0,p0=p顯然，速度僅與高度有關，續(xù)性方程：在同一橫截面上，速度相同，均等于平均速度，由持VMa=VAA，那么取得A對⑵式，扁=0,v0=0,p0=p顯然，速度僅與高度有關，續(xù)性方程：在同一橫截面上，速度相同，均等于平均速度，由持VMa=VAA，那么取得Av'h=、「VA/a速度散布為:b，于^￡，vAr<5時，（2）C點的水被吸入時，pc=pa，pM=p—pgh，現(xiàn)在，（1）、（2）a速度散布為:b，于^￡，vAr<5時，1=—x,v5r>5時，,v=_J^,v=0.r>5時，X2+y2yx2+y2z試求沿圓周X2+y2=R2的速度環(huán)量，其中圓半徑R別離為：（1）R=3,（2）R=5,（3）R=10?！概蕖伞y）TOC\o"1-5"\h\zA=兀R2=兀x32=9兀118r=2J=2x—x9兀=—兀\o"CurrentDocument"55（2）R=5日寸，A=兀R2=kx52=25兀，r=2①A=2x解：（1）①x25k=1頃。解：（1）①5（3）r>5時，o=1［坐一空「|=0。為復連通域，r三「z2"SxdyJR=5R>5R=10時，「=10兀。［例2］：［5—9］速度分量:=y+2［例2］：［5—9］速度分量:=y+2z,vy=z+2x,v=x+2y，試求渦線方程。假設渦管斷面dA二皿，求J。11解：①x=2,°y=2,氣dxdydz1/21/21/2即：dx=dy=dz。解出：x=y+C,y=z+CJ=wdA=h'G/2）2x3dA=Bx0.0001=8.66x10—5（m2/s）。i2第六章理想流體平面勢流［例1］：［6—1］平面不可緊縮流體速度散布為：⑴v.=y，vy=-xSxv=x+y；（3）v=x2-y2+x，vy=-（2xy+y）v=x+y；（3）v=x2-y2+x，-一dv［解］:⑴性=1，dvdvdvx豐dydx，平不存在。dvdvdyT=0，故土dv—，W存在。dydW=~d~dx+^dWdy=-vdx+vdy=xdx+ydydvw=2（x2+y2）平不存dvdvy=1；x公y，

dxd^ydxdv平不存在。dv-——x=dv-——x=1，dx8v—=1，dy那么dvdv豐—W不存在。⑶v=x2-y2+x，vdv-dvdvdv平存在。，dx貝0―=-2y，一=-2y；—xdydxdy

d中=vdx+vdj=C2-j2+Ddx-(2xy+y)dyx3x2y2=d(—)-y2dx+d(—)-xdy2-d(十)J乙乙dx3dx2dy222x3x2y2=d(——xy2+——匕)3228vc平存在。，dxdx3dx2dy222x3x2y2=d(——xy2+——匕)3228vc「8v由于：―x=2x+1,―ydxdy=-(2x+1),故亙二=———,w存在。\o"CurrentDocument"dxdydw=-vdx+vdy=(2xy+y)dx+C2-y2+xLyy"1…=ydx2+ydx+x2dy+xdy-3dy3=d(x2y)+d(xy)-3dy3=d(x2y+xy-y3W=x2y+xy--3-［例2］：［6-2］給出以下w表示的圖形（標方向），計算V、a,求出平，畫出平圖。(1)W=x+y;(2)w=xy；(3)w=5y；(4)w=x2-y2。［解］:(1)W=x+y，令w=C，那么x+y=C。取特殊點，x+y=0,y=-x。那么曲線如圖。v=目改=1那么曲線如圖。v=目改=1,xdydwv兀vy=--^=1,tg0=1=-1,0=-—v=..-v2+v2=v2lxydvdvdv氣=虧+vx舌+vy有了=0dvdvdv+vx京+vy否=0x那么：a=0。dvdv——=0=——，那么中存在，d中=dx-dy=d(x-y)。⑵w=xy，令w=xy=C，那么曲線如圖（包括X、y軸、原點）。dw8ydx=—ytg0=-ydw8ydx=—ytg0=-y=-dvdvx-

dt+vdv(-y).0=a=vE+v也=x?0+(-y).(-1)=ya=＜：^，tg0=紜=2yxdxydyaxdvdv1，—=-1，流函數(shù)存在;dvdvdv1，—=-1，流函數(shù)存在;dv.,—=0，9存在。dx(y20)。令寸=x=c，y=x，那么曲線如圖（包括y軸，不含原