靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)

靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)受力與結(jié)構(gòu)變形上，靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)并無本質(zhì)區(qū)別無論是靜定結(jié)構(gòu)還是超靜定結(jié)構(gòu)，都是在外荷載及支座反力的作用下保持平衡。但超靜定結(jié)構(gòu)中未知約束力的數(shù)目超過了體系所能列出的獨(dú)立的靜力平衡方程。因此無法直接求解。若能在一定方法的幫助下解出超靜定結(jié)構(gòu)多余約束中的約束力，則結(jié)構(gòu)則可以轉(zhuǎn)換為靜定結(jié)構(gòu)求解?！?-2力法的基本概念

力法即是以結(jié)構(gòu)多余約束力為基本未知量，通過結(jié)構(gòu)的位移條件建立方程的一種對超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析的方法一、引例△1=△11+△1p=0△1=△B=0位移條件(多余約束處位移為0)力法方程：力法基本未知量—多余約束中的多余未知力力法基本方程—利用基本體系的變形狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)一致的條件所建立的確定多余未知力的方程力法基本結(jié)構(gòu)—原結(jié)構(gòu)去掉多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為力法基本結(jié)構(gòu)力法基本體系—受到多余未知力和荷載共同作用的基本結(jié)構(gòu)稱為力法基本體系基本結(jié)構(gòu)Δ11=δ11X1

=1二、力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)去掉多余約束代以多余未知力X1計算出多余未知力根據(jù)位移條件建立力法基本方程力法基本原理

以多余約束中的多余未知力為基本未知量，根據(jù)基本體系在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致的原則，建立力法方程。解方程求出多余未知力，其后就是靜定結(jié)構(gòu)的計算問題了。

二、力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路二、力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路三、力法計算一次超靜定結(jié)構(gòu)例：試用力法計算圖示超靜定剛架，并繪內(nèi)力圖。解：1.選擇基本體系可能選擇的力法基本體系。。。。力法計算時，基本體系的選擇有無窮多個。選擇的原則就是：基本體系的選擇要有利于彎矩圖的繪制及系數(shù)的求解3.計算系數(shù)和自由項，繪和MP圖2.建立力法方程

d11X1+D1P=0例：試用力法計算圖示超靜定剛架，并繪內(nèi)力圖。解：1.選擇基本體系4.計算X15.繪內(nèi)力圖 利用計算各桿端彎矩例：試用力法計算圖示超靜定剛架，并繪內(nèi)力圖。3.計算系數(shù)和自由項，繪和MP圖2.建立力法方程

d11X1+D1P=0解：1.選擇基本體系4.計算X15.繪內(nèi)力圖例：試用力法計算圖示超靜定剛架，并繪內(nèi)力圖。3.計算系數(shù)和自由項，繪和MP圖2.建立力法方程

d11X1+D1P=0解：1.選擇基本體系二、力法的計算步驟1）確定基本未知量數(shù)目2）選擇力法基本體系。3）建立力法基本方程。4）求系數(shù)和自由項。5）解方程，求多余未知力。6）作內(nèi)力圖。7）校核。【例7-1】試計算圖7-9a所示連續(xù)梁，并作內(nèi)力圖。解：(1)確定基本未知量數(shù)目(2)選擇力法基本體系(3)建立力法基本方程此連續(xù)梁外部具有一個多余約束，即n=1qABClla)一次超靜定結(jié)構(gòu)拐點拐點qqABCX1X1b)基本體系(4)求系數(shù)d11和自由項D1P在基本結(jié)構(gòu)（靜定的簡支梁）上分別作圖和MP圖(5)解方程，求多余未知力X1()qMP圖AABBCCA1A1A2A2ql2/8ql2/8y01y01y02y02圖11(6)作內(nèi)力圖可利用疊加公式計算和作M圖，即M圖ql2/8ql2/8ql2/8(ql2/8)(ql2/8)ABCDE取桿件為隔離體，化作等效簡支梁，根據(jù)已知的桿端彎矩和跨間荷載，由平衡條件求出桿端剪力，并作FQ圖力法：以結(jié)構(gòu)中的多余未知力為基本未知量；根據(jù)基本體系上解除多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)的已知位移相等的變形條件，建立力法的基本方程，求得多余未知力；最后，在基本結(jié)構(gòu)上，應(yīng)用疊加原理作原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖ql2/8ql2/8ql2/8(ql2/8)(ql2/8)ABCDEM圖FQ圖ABC3ql/85ql/83ql/85ql/87.3力法的基本體系選擇及典型方程一、關(guān)于基本體系的選擇第一，必須滿足幾何不變的條件。FPFPFPFPFPFPqqqqqqX2X1X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3第二，便于繪制內(nèi)力圖和進(jìn)行位移計算FPFPFPMMMqqqAABBBCCCDDDX1X2X1X2A第三，基本結(jié)構(gòu)只能由原結(jié)構(gòu)減少約束而得到，不能增加新的約束。AAABBBCCCDDDX1X1X1基本體系在多余約束處的變形條件FPABCFPFPFPFPFPqqqqAAAAABBBBBCCCCCX1X1X1X2X2X2基本體系之一基本體系之二D11D21D12D22D1PD2P二、關(guān)于基本方程的建立根據(jù)疊加原理，上述位移條件可寫為FPABCFPFPFPFPFPqqqqAAAAABBBBBCCCCCX1X1X1X2X2X2基本體系之一基本體系之二D11D21D12D22D1PD2PD11=d11X1、D21=d21X1D12=d12X2、D22=d22X2因為代入得這就是根據(jù)變形條件建立的求解兩次超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力X1和X2的力法基本方程。(7-3)也可以選擇其它形式的基本體系，如圖。這時，變形條件仍可寫為D1=0（表示基本體系在X1處的轉(zhuǎn)角為零）D2=0（表示基本體系在X2處的水平位移為零）據(jù)此，可按前述推導(dǎo)方法得到在形式上與式（7-3）完全相同的力法基本方程。因此，式（7-3）也稱為兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程。不過須注意，由于不同的基本體系中基本未知量本身的含義不同，因此變形條件及典型方程中的系數(shù)和自由項的實際含義也不相同。FPqABCFPqABCX1X2有沒有變形條件不為0的力法方程？對于n次超靜定結(jié)構(gòu)，則有n個多余未知力，而每一個多余未知力都對應(yīng)著一個多余約束，相應(yīng)地也就有一個已知變形條件，故可據(jù)此建立n個方程，從而可解出n個多余未知力。當(dāng)原結(jié)構(gòu)上各多余未知力作用處的位移為零時，這n個方程可寫為(7-4)這就是n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程。方程組中每一等式都代表一個變形條件基本體系沿多余未知力方向的位移＝原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移三、關(guān)于系數(shù)和自由項的計算1）主斜線（自左上方的d11至右下方的dnn）上的系數(shù)dii稱為主系數(shù)或主位移，它是單位多余未知力Xi=1單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時所引起的沿其本身方向上的位移，其值恒為正，且不會等于零。2）其它的系數(shù)dij（i≠j）稱為副系數(shù)或副位移，它是單位多余未知力Xj=1單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時所引起的沿Xi方向的位移，其值可能為正、負(fù)或零。3）各式中最后一項DiP稱為自由項，它是荷載單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時所引起的沿Xi方向的位移，其值可能為正、負(fù)或零。4）根據(jù)位移互等定理可知，在主斜線兩邊處于對稱位置的兩個副系數(shù)dij與dji是相等的，即dij

=dji

典型方程中的各系數(shù)和自由項，都是基本結(jié)構(gòu)（即靜定結(jié)構(gòu)）在已知力作用下的位移，完全可以用第6章所述方法求得。對于荷載作用下的平面結(jié)構(gòu)，這些位移的計算式可寫為結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖可按疊加法作出，即作出原結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖后，可直接應(yīng)用平衡條件計算FQ和FN，并作出FQ圖和FN圖。如上所述，力法典型方程中的每個系數(shù)都是基本結(jié)構(gòu)在某單位多余未知力作用下的位移。顯然，結(jié)構(gòu)的剛度愈小，這些位移的數(shù)值愈大，因此，這些系數(shù)又稱為柔度系數(shù)；力法典型方程表示變形條件，故又稱為結(jié)構(gòu)的柔度方程；力法又稱為柔度法。7.4用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力一、超靜定梁和剛架【例7-2】試計算圖7-14a所示兩端固定梁，并作內(nèi)力圖。

EA、EI均為常數(shù)。解:(1)確定基本未知量數(shù)目n=3(2)選擇力法基本體系(3)建立力法典型方程X1X2qABX3基本體系qABl拐點拐點(4)求系數(shù)和自由項d13=d31=0，d23==d32=0，D3P=0力法典型方程中的第三式d33X3=0據(jù)此可得X3=0故力法典型方程簡化為ABl拐點拐點qX1=1AABB1X2=11圖圖AABBX3=1qql2/8MP圖圖應(yīng)用圖乘法，可得(5)解方程，求多余未知力()ABl拐點拐點qABqql2/8MP圖X1=1AABB1X2=11圖圖(6)作最后彎矩圖和剪力圖AABBql2/12ql2/12（ql2/8）ql2/24ql/2ql/2M圖FQ圖例：用力法計算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

解：1、選擇基本體系（如圖示）

2、力法基本方程3、計算系數(shù)和自由項作單位彎矩圖M1、M2和荷載彎矩圖MP例：用力法計算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

解：

1、選擇基本體系（如圖示）

2、力法基本方程3、計算系數(shù)和自由項作單位彎矩圖M1、M2和荷載彎矩圖MP4、求多余未知力X1、X2

將系數(shù)和自由項代入力法方程，得解得例：用力法計算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

解：

1、選擇基本體系（如圖示）

2、力法基本方程3、計算系數(shù)和自由項5、繪內(nèi)力圖4、求多余未知力X1、X2例：用力法計算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

解：

1、選擇基本體系（如圖示）

2、力法基本方程3、計算系數(shù)和自由項FQ取結(jié)點C為脫離體

取結(jié)點A為脫離體

②對同一超靜定結(jié)構(gòu)可以選用不同的基本體系進(jìn)行計算，但計算的繁簡程度可能是不相同的。討論：①超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下其內(nèi)力與EI的實際值無關(guān)，只與EI的相對值有關(guān)；5、計算FRA,FRC例：用力法計算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

【例7-3】試計算圖7-15a所示剛架，并作內(nèi)力圖。EI=常數(shù)解：(1)確定基本未知量數(shù)目n=2(2)選擇力法基本體系(3)建立力法典型方程(C處水平方向不離開)(C處豎直方向不錯開)ABDEF8kNX1X1X2基本體系A(chǔ)BCDE2m2m2m2m8kNF(4)求系數(shù)和自由項8kNMP圖(kN.m)16X1=144圖圖X2=1X2=122222(5)解方程，求多余未知力(6)作最后內(nèi)力圖利用疊加公式，計算最后彎矩如下作出M圖以及FQ圖、FN:ABCDE2m2m2m2m8kNF8kN24241304659M圖()FQ圖(kN)FN圖(kN)【例7-4】試計算圖7-16a所示具有彈性支座的結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖?？罐D(zhuǎn)剛度系數(shù)。解：(1)確定基本未知量數(shù)目n=1(2)選擇力法基本體系(3)建立力法典型方程ABCll/2l/2MkqEI=常數(shù)ABCMX1X1基本體系(4)求系數(shù)和自由項MM2MABCMP圖ABCX1=1111圖(5)解方程，求多余未知力:(6)作最后彎矩圖MM2MABCMP圖ABCX1=1111圖ABCMMMM圖ABCMX1X1基本體系

=1系數(shù)和自由項按下式計算：各桿的最后軸力按下式計算：二、超靜定桁架例：用力法計算圖示桁架的軸力。(各桿EA相等為常數(shù)）3）計算系數(shù)和自由項解：1)確定基本體系（如圖所示）2）建立力法方程：

d11X1+△1P=0（基本體系在切口兩邊截面沿X1方向的相對位移）FN1FNP4)計算多余未知力X15)作最后內(nèi)力圖例：用力法計算圖示桁架的軸力。(各桿EA相等為常數(shù)）FN1FNP-21X+3240-35FN【例7-5】試計算圖7-17a所示桁架的軸力，設(shè)各桿EA相同。(2)選擇力法基本體系解：(1)確定基本未知量數(shù)目(3)建立力法基本方程ABCDEFFP2aaaFPX1X1基本體系X1X1n=1(4)求系數(shù)和自由項(5)解方程，求多余未知力(6)計算原結(jié)構(gòu)各桿軸力X1=1X1=1-0.707-0.707-0.707-0.707111圖FPFNP圖FPFPFPFN圖0.897FPFP-0.103FP-0.103FP-0.103FP三、超靜定組合結(jié)構(gòu)計算系數(shù)和自由項時，對桁桿考慮軸向變形的影響；對梁式桿考慮彎曲變形的影響?！纠?-6】試用力法分析圖7-18a所示超靜定組合結(jié)構(gòu)。已知橫梁AB：Eh=3×107kN/m2，I=6.63×10-4m4壓桿CE、DF：Eh=3×107kN/m2，A1=1.65×10-2m2拉桿AE、EF、FB：Eg=2×108kN/m2，A2=0.12×10-2m2100kN3m3m2m2m2mABCDEF解：為了簡化計算，首先求出如下各比值：(1)確定基本未知量數(shù)目n=1(2)選擇力法基本體系(3)建立力法基本方程100kN3m3m2m2m2mABCDEF100kNX1基本體系超靜定結(jié)構(gòu)在僅在荷載作用下，其內(nèi)力只與桿件的相對剛對有關(guān)(4)求系數(shù)和自由項由公式:可得X1=12211100kN250150150MP(kN.m),FNP(kN)(5)解方程，求多余未知力(6)作最后內(nèi)力圖X1=12211100kN250150150MP(kN.m),FNP(kN)24.1524.1575.8587.07104.57104.57-57.87-57.87M(kN.m),FN(kN)四、鉸接排架對排架進(jìn)行內(nèi)力分析，主要是計算排架柱的內(nèi)力。屋架柱基礎(chǔ)鏈桿基礎(chǔ)面EA=∞EI1EI1EI2EI2【例7-7】試用力法計算圖7-20a所示排架，并作彎矩圖。解：(1)確定基本未知量數(shù)目n=1(2)選擇力法基本體系對于鉸接排架取切斷橫向鏈桿為基本體系(3)建立力法基本方程ABCDX1基本體系0.4kN/m0.3kN/mEA=∞EIEI3EI3EIABCD0.4kN/m15m8m6m2m0.3(4)求系數(shù)和自由項12.89.60.80.6(1.8)(1.35)MP圖(kN.m)X1=12288圖X1=12288圖12.89.60.80.6(1.8)(1.35)MP圖(kN.m)(5)解方程，求多余未知力(6)作最后彎矩圖ABCDX1基本體系0.4kN/m0.3kN/mX1=12288圖12.89.60.80.6(1.8)(1.35)MP圖(kN.m)M圖(kN.m)11.6110.790.50.9五、兩鉸拱用力法計算時，通常采用簡支曲梁為基本結(jié)構(gòu)，以支座的水平推力為多余未知力（圖7-21b）。利用基本體系在B支座沿X1方向的線位移為零的變形條件，可建立力法方程ABlfxyFP1FP1FP2FP2X1基本體系一般略去剪力的影響，而軸力的影響僅在扁平拱（拱高f<l/5）的情況下計算d11式中予以考慮，即MP=M0(a)將以上、和MP表達(dá)式代入式（a），可得X1=1xyKjxy101jK故多余未知力X1（即水平推力）為(b)水平推力求出后，對在豎向荷載作用下的兩腳等高的兩鉸拱的內(nèi)力計算公式與三鉸拱完全相同。兩鉸拱上任一截面的內(nèi)力為(c)自由項D1P計算式相同，仍為帶拉桿的兩鉸拱用力法計算時，一般將拉桿切斷，在于在計算系數(shù)d11時多了拉桿AB的軸向變形量，即FP1FP1FP2FP2X1X1基本體系拉桿EgAg于是，可得(e)多余未知力X1（即拱肋所受的推力FH）算出后，仍可由式（c）計算拱中任一截面的內(nèi)力?！纠?-8】試用力法計算圖7-23a所示兩鉸拱的水平推力FH。設(shè)拱的截面尺寸為常數(shù)。以左支座為原點，拱軸方程為計算時，采用兩個簡化假設(shè)：第一，忽略軸向變形，只考慮彎曲變形；xyfl/2l/2qAB第二，當(dāng)拱比較平時（例如f<l/5），可近似地取ds=dx，cosj=1。因此，位移的公式簡化為右半跨左半跨xyfl/2l/2qABCABCq3ql/8ql/8M0圖ABCM圖ql2/64ql2/64由力法方程，求得FH求出后，利用公式，可作出M圖如圖7-23c所示。本例的這個彎矩圖與三鉸拱的彎矩圖相同。這個結(jié)果與三鉸拱在半跨均布荷載作用下的結(jié)果是一樣的。這不是一個普遍性結(jié)論。但是，在一般荷載作用下，兩鉸拱的推力與三鉸拱的推力是比較接近的。xyfl/2l/2qABCABCM圖ql2/64ql2/647.5用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動和溫度變化時的內(nèi)力對于靜定結(jié)構(gòu)，在支座移動、溫度變化等非荷載因素作用下，并不引起內(nèi)力；而對于超靜定結(jié)構(gòu)，由于存在多余約束，在非荷載因素作用下，一般會產(chǎn)生內(nèi)力，這種內(nèi)力稱為自內(nèi)力。第一，力法方程中的自由項不同。這里的自由項，不再是荷載引起的DiP，而是由支座移動或溫度變化等因素引起基本結(jié)構(gòu)多余未知力方向上的位移Dic或Dit等。第二，對支座移動問題，力法方程右端項不一定為零。當(dāng)取有移動的支座約束力為基本未知力時，Di≠0，而是Di=Ci

第三，計算最后內(nèi)力的疊加公式不完全相同。由于基本結(jié)構(gòu)（是靜定結(jié)構(gòu)）上支座移動、溫度變化時均不引起內(nèi)力，因此內(nèi)力全是由多余未知力引起的。最后彎矩疊加公式為（7-9）一、支座移動時的內(nèi)力計算第i個方程（即對應(yīng)于第i個多余約束處的位移條件）可寫為dij為柔度系數(shù)Ci，表示原結(jié)構(gòu)在Xi方向的實際位移Dic，表示基本結(jié)構(gòu)在支座移動作用下在Xi方向的位移【例7-9】圖7-24a所示單跨超靜定梁AB，已知EI為常數(shù)，左端支座轉(zhuǎn)動角度為q

，右端支座下沉位移為a，試求在梁中引起的自內(nèi)力。(1)第一種解法

:一次超靜定，分別采用三種基本體系求解。取支座B的豎向反力為多余未知力X1，其力法方程為得由此求得

其中ABCall/2l/2qqX1aqqqqX1=1D1cl基本體系之一圖【例7-9】圖7-24a所示單跨超靜定梁AB，已知EI為常數(shù)，左端支座轉(zhuǎn)動角度為q

，右端支座下沉位移為a，試求在梁中引起的自內(nèi)力。(1)第一種解法

:一次超靜定，分別采用三種基本體系求解。取支座B的豎向反力為多余未知力X1，其力法方程為由此求得

ABCall/2l/2qqX1aqqqqX1=1D1cl基本體系之一圖彎矩疊加公式為：X1M圖(2)第二種解法

取支座A的反力偶作為多余未知力X1，其力法方程為其中力法方程

與第一種解法所作M圖完全相同。X1基本體系之二aqaD1cX1=11圖X1M圖(3)第三種解法

將梁AB中點截面C改為鉸結(jié)（m）

其中力法方程為由此可得

作出M圖，與第一、二種解法所作的M圖完全相同。qqqqaaX1基本體系之三qD1cX1=1圖12X1M圖以上選取三種不同基本結(jié)構(gòu)，得出三個不同的力法方程：第一種解法第二種解法第三種解法ABCaqqX1aqq基本體系之一X1基本體系之二aqqqaX1基本體系之三D1＝－aD1＝qD1＝0基本體系位移條件原結(jié)構(gòu)位移條件力法方程位移條件的實質(zhì)基本體系的位移＝原結(jié)構(gòu)的位移(5)特例1）若a=0，則原體系如圖7-25a所示，相應(yīng)的M圖如圖7-25b所示。A點的,若引入符號稱為桿件的線剛度則qqlABEIAB3iq3iq/33iq/3M圖2）若q=0，并令DAB

=a，則原體系如圖7-26a所示，相應(yīng)的M圖如圖7-26b所示。A點的，若再引入符號稱為桿AB的弦轉(zhuǎn)角，則(6)上述計算結(jié)果表明：在支座位移時，超靜定結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生內(nèi)力和反力值與各桿件剛度的絕對值成正比。ABl弦轉(zhuǎn)角bEIDABABM圖二、溫度變化時的內(nèi)力計算在溫度變化時，n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程中，第i個方程的一般形式為（7-11）式中，

Dit表示基本結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下沿Xi方向的位移；Di表示原結(jié)構(gòu)沿Xi方向的位移（在溫度變化問題中，一般D

i=0）。例7-10】試作圖7-27a所示剛架在溫度改變時所產(chǎn)生的M圖。各桿截面為矩形，高度h=l/10，線膨脹系數(shù)為a。設(shè)EI=常數(shù)解:此結(jié)構(gòu)為一次超靜定剛架，取基本體系如圖7-27b所示。力法方程為lllAABBCCDD+15℃+15℃+15℃-15℃-10℃+5℃基本體系+15℃+15℃+15℃-15℃-10℃+5℃X1X1AB段t0=0℃BC段t0=2.5℃CD段t0=10℃AB段Dt=30℃BC段Dt=25℃CD段Dt=10℃分別作圖和圖，如圖7-27c、d所示。圖X1=111ABCDABDC圖代入典型方程，可得()最后彎矩圖，如圖7-27e所示。由計算結(jié)果可知，在溫度變化時，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與反力與各桿件剛度的絕對值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自內(nèi)力狀態(tài)的有效途徑。另外，對于鋼筋混凝土梁，要特別注意因降溫可能出現(xiàn)裂縫的情況（對超靜定梁而言，其低溫一側(cè)受拉而高溫一側(cè)受壓）。桿件的制作誤差、材料的收縮和徐變所引起超靜定結(jié)構(gòu)自內(nèi)力的計算，其基本原理與上述溫度變化時相同。77.5EIa/l77.5EIa/l77.5EIa/l77.5EIa/lM圖ABCD在計算自由項時，須注意將基本結(jié)構(gòu)中因軸線平均溫度變化t0而引起的桿長變化量at0l，代之以桿件制作長度的誤差或材料的收縮量Dl，亦即將溫度變化時的自由項計算公式代之以桿件制作誤差（或材料收縮與徐變）時的自由項計算公式（7-12）可看出，周邊的約束剛度對上述非荷載因素所引起的結(jié)構(gòu)的自內(nèi)力有很大的影響。7.6對稱結(jié)構(gòu)的簡化計算一、簡化的前提條件結(jié)構(gòu)必須具有對稱性。所謂結(jié)構(gòu)的對稱性，是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、內(nèi)部聯(lián)結(jié)、支承條件以及桿件剛度均對于某一軸線是對稱的。二、簡化的主要目標(biāo)力法簡化的主要目標(biāo)是：使典型方程中盡可能多的副系數(shù)以及自由項等于零，從而使典型方程成為獨(dú)立方程或少元聯(lián)立方程。其關(guān)鍵都在于選擇合理的基本結(jié)構(gòu)，以及設(shè)置適當(dāng)?shù)幕疚粗?。EI1EI1EI2EI2EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI3對稱軸對稱軸Ⅰ對稱軸Ⅱ三、簡化的方法之一——選擇對稱的基本結(jié)構(gòu)1、簡化副系數(shù)計算圖示對稱的三次超靜定剛架中，沿對稱軸上梁的中間截面切開，所得基本結(jié)構(gòu)是對稱的。此時，力法典型方程為(a)EI1EI2EI2ABCDFP對稱軸基本體系基本結(jié)構(gòu)FPX1X2X2X3典型方程的系數(shù)為典型方程（a）就簡化為可以看出，當(dāng)取對稱的基本結(jié)構(gòu)及基本未知力為對稱的和反對稱的，力法方程將分解為獨(dú)立的兩組：一組中只包含對稱未知力X1和X2；一組中只包含反對稱未知力X3。圖X1=1X2=1X3=1X3=1圖圖圖2、簡化自由項計算(1)在對稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖和變形圖是對稱的。因此反對稱未知力X3=0,只需計算對稱未知力X1和X2

FP/2FP/2FP/2FP/2X1X2X2X1（X3=0）MP圖(2)在反對稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖和變形圖是反對稱的。彎矩圖MP是反對稱的?？芍?，對稱未知力X1=0，X2=0，只需用式（c）計算反對稱未知力X3。FP/2FP/2FP/2FP/2MP圖X3X3（X1=0，X2=0）由以上分析可得出如下結(jié)論：1）對稱荷載在對稱結(jié)構(gòu)中只引起對稱的反力、內(nèi)力和變形。因此，反對稱的未知力必等于零，而只有對稱未知力。2）反對稱荷載在對稱結(jié)構(gòu)中只引起反對稱的反力、內(nèi)力和變形。因此，對稱的未知力必等于零，而只有反對稱未知力。當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)上作用任意荷載時，一種做法是，可以根據(jù)求解的需要把荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載兩部分，按兩種荷載分別計算后再疊加；另一種做法是，不進(jìn)行分解，直接按該任意荷載進(jìn)行計算。這兩種做法各有利弊，可根據(jù)情況選用。例7-11】試?yán)脤ΨQ性分析圖7-32a所示剛架，并作最后彎矩圖。假設(shè)EI為常數(shù)。解：這是一個四次超靜定的對稱結(jié)構(gòu)，受到非對稱荷載作用。先將荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載。由于圖7-32b所示剛架在一組對稱的、沿桿軸向的、平衡的結(jié)點荷載作用下，彎矩M對=0，故只需計算圖7-32c所示受反對稱荷載作用的剛架的彎矩M反，該M反即為原體系的最后彎矩M.ABCDEF6kN6m6m4m3kN3kN反對稱荷載3kN3kN對稱荷載M對=0(FN=-3kN)=+選取對稱的基本結(jié)構(gòu)，其對應(yīng)的基本體系如圖7-32d所示。由于荷載是反對稱的，故可知正對稱的多余未知力皆為零，而只有對稱的多余未知力X1，從而使力法方程大為簡化，僅相當(dāng)于求解一次超靜定的問題。3kN3kN反對稱荷載3kN3kN3m3mX1X1基本體系分別作出、MP圖，如圖7-32e、f所示。由圖乘法，可得最后彎矩圖如圖7-32g所示。X1=1X1=1333333圖30303018189991821318213M圖(kN.m)MP圖(kN.m)3kN3kN3m3mX1X1基本體系四、簡化方法之二——選取等效的半結(jié)構(gòu)1、奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)AABBCCFPFPFPFPFPFPAACCDCVDCH=0qC=0DCHDCV=0qCqC2、偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)FPFPFPFPFPEIFPFPEI/2EI/2FPEI/2FPFPEI/2EI/2FQ【例7-12】圖7-35a、c、e所示三個對稱結(jié)構(gòu)分別受到反對稱荷載或正對稱荷載作用。試?yán)脤ΨQ性，分別截取其等效半結(jié)構(gòu)。解：FPFP2FP2FPABCEIAABBABCEI/2FPn=1ABFPn=2ABFPn=2EI0=∞【例7-13】試作圖7-36a所示對稱結(jié)構(gòu)的彎矩圖。解：FPFP/2FP/2FP/2FP/2lllEIEI2EIEI1EI1M對=0=+對稱結(jié)構(gòu)的半結(jié)構(gòu)分析法，不僅在力法中采用，在位移法和力矩分配法等其它方法中也會用到。FP/2EIEIEI1反對稱1/2結(jié)構(gòu)FP/4FP/4FP/4FP/4M對=0=FP/4反對稱1/4結(jié)構(gòu)+FP/41/4結(jié)構(gòu)M圖FP/21/2結(jié)構(gòu)M圖FP原結(jié)構(gòu)M圖7.7用彈性中心法計算對稱無鉸拱一、彈性中心為了簡化計算，采用以下兩項簡化措施：第一選取對稱的基本結(jié)構(gòu)力法方程簡化為兩組獨(dú)立的方程，即FPFPABAB對稱軸X1X3X2X2第二項簡化措施是利用剛臂進(jìn)一步使余下的一對副系數(shù)d

12和d

21也等于零，從而使力法方程進(jìn)一步簡化為三個獨(dú)立的一元一次方程：下面，說明如何利用剛臂來達(dá)到上述簡化目的。第一步，把原來的無鉸拱換成帶剛臂的無鉸拱,這個帶剛臂的無鉸拱與原來的無鉸拱是等效的，可以相互代替。FPFPAABBKEI=∞CCxyyysOX1X1X2X2X3X3O第二步，選取基本體系。將帶剛臂的無鉸拱在剛臂下端O處切開。第三步，確定剛臂的長度，也就是確定剛臂端點O的位置。副系數(shù)d12的算式如下：FPABEI=∞COFPABKCxyyysX1X1X2X2X3X3O得式中，yS為剛臂長度；j為截面處拱軸切線與水平線之間的夾角，在右半拱取正，左半拱取負(fù)。xxxyyyyysKKKX1=1X1=1X2=1X2=1X3=1X3=1xj令d12=

d

21=0，便可得到剛臂長度yS為為了形象地理解式的幾何意義，設(shè)想沿拱軸線作寬度等于1/EI的圖形，則ds/EI代表此圖中的微面積，而式（7-14）就是計算這個圖形面積的形心計算公式。由于此圖形的面積與結(jié)構(gòu)的彈性性質(zhì)EI有關(guān)，故稱它為彈性面積圖，它的形心則稱為彈性中心。(7-14)如果先按式（7-14）求出yS，即確定彈性中心的位置，并將剛臂端點引至彈性中心，然后取形如圖7-37d所示帶剛臂的基本體系，則力法方程中的全部副系數(shù)都等于零。這一方法就稱為彈性中心法。ysxyydsO彈性中心二、荷載作用下的計算力法方程簡化為式當(dāng)計算系數(shù)和自由項時，可忽略軸向變形和剪切變形的影響，只考慮彎曲變形一項。但當(dāng)拱軸線接近合理拱軸時，或拱高f<l/5時，或拱高f>l/5且拱頂截面高度hc>l/10時，還需考慮軸力對d22的影響。即由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔離體的平衡條件或內(nèi)力疊加公式[參見單位未知力引起的內(nèi)力表達(dá)式（d）]求得式中，MP、FQP和FNP分別為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下該截面的彎矩、剪力和軸力。彈性中心法可以推廣到適用于任何形狀的三次超靜定的閉合結(jié)構(gòu)，是一種具有普遍意義的方法?！纠?-14】試用彈性中心法計算圖7-40a所示圓拱直墻剛架的彎矩MA和MC。設(shè)EI=常數(shù)。解：此剛架為三次超靜定結(jié)構(gòu)，圓拱部分承受徑向荷載。因為由于荷載對稱，故反對稱力X3=0qqRRABCdsqdsqdssinqqdscosqqqqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本體系(1)求彈性中心位置qqRRABCdsqdsqdssinqqdscosqqqqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本體系(2)計算系數(shù)和自由項由隔離體的平衡條件建立彎矩方程為1）在X1=1作用下直、曲桿段2）在X2=1作用下曲桿段直桿段qqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本體系X2=1ysy3）在荷載作用下曲桿段直桿段據(jù)此，可求得系數(shù)和自由項為qqqqysyRMP

MP(曲桿段)(直桿段)q(3)求多余未知力X1和X2(4)根據(jù)疊加公式，求得三、溫度變化時的計算無鉸拱在溫度變化時，將會產(chǎn)生明顯的內(nèi)力。設(shè)圖7-41a所示對稱無鉸拱的外側(cè)溫度升高t1℃，內(nèi)側(cè)溫度升高t2℃。力法計算時仍采用彈性中心法，其基本體系如圖7-41b所示。由于溫度變化對稱于y軸，因此有X3=0，力法方程簡化為（7-16）xxysfl/2l/2yy+t1℃+t1℃+t2℃+t2℃X1X1X2X2X3X3基本體系主系數(shù)計算同式（7-15），自由項為(f)分別把、和、代入式（f），得于是有這表明，當(dāng)全拱內(nèi)外側(cè)溫度均勻改變時，在彈性中心處只有水平多余力X2。當(dāng)溫度升高時，X2為正方向，使拱截面內(nèi)產(chǎn)生壓力；溫度降低時，X2為反方向，使拱截面內(nèi)產(chǎn)生拉力。對于混凝土拱，應(yīng)注意避免由于降溫引起的拉力使拱產(chǎn)生裂縫。當(dāng)多余未知力確定以后，拱上任意截面的內(nèi)力均可按式（e）（令荷載項為零）求出?；炷恋氖湛s對超靜定結(jié)構(gòu)的影響與溫度均勻下降的情況相似，故可用溫度均勻變化的計算方式來處理?；炷恋臏囟染€膨脹系數(shù)為a=0.00001，而一般混凝土的收縮率at約為0.025%，相當(dāng)于溫度均勻下降25℃。若拱體的混凝土是分段分期澆筑的，則其收縮的影響通常相當(dāng)于溫度下降10℃~15℃。四、支座移動時的計算力法方程為式中，主系數(shù)計算同式（7-15），自由項為（g）xxyyl/2l/2faabbqqysX1X1X2X2X3X3基本體系求出各單位多余力作用于基本結(jié)構(gòu)時與支座位移相應(yīng)的支座反力（圖7-42c），代入式（g），得X1=1X2=1X3=11001010l/2f-ys于是有當(dāng)多余未知力確定以后，拱上任意截面的內(nèi)力均可按式（e）（令荷載項為零）求出。與其它超靜定結(jié)構(gòu)一樣，無鉸拱由于溫度變化和支座移動引起的內(nèi)力也與拱的絕對剛度有關(guān)，且成正比，拱的剛度愈大，由于溫度變化或支座移動所引起的自內(nèi)力也愈大7.8超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算第6章中所介紹的計算位移的單位荷載法，不僅可以用于求解靜定結(jié)構(gòu)的位移，也同樣適用于求解超靜定結(jié)構(gòu)的位移，區(qū)別僅在于內(nèi)力需按計算超靜定結(jié)構(gòu)方法求出。一、荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算解法一ql/2l/2l/2l/2ABCDCV已知EI，求DCVM圖A1A2l/2l/2y01y02l/8l/8l/81圖像以上這樣，為了作圖，將虛擬力狀態(tài)建立在原結(jié)構(gòu)上（圖7-43c），就需要另行解算一個兩次超靜定問題，顯然比較繁瑣，有必要尋求更為簡捷的方法。

思路：利用靜定的基本結(jié)構(gòu)來求原結(jié)構(gòu)的位移。

按照上述思路，只需在任意選取的靜定基本結(jié)構(gòu)上建立虛擬力狀態(tài)，并求出單位荷載作用下的單位彎矩圖圖，即可利用位移計算公式或圖乘法計算出C點的豎向位移。解法二l/2l/2M圖A1A21l/2l/2l/2圖q基本體系之一三種解法計算結(jié)果相同,由于基本結(jié)構(gòu)是靜定的，在單位荷載作用下的內(nèi)力易求出，因而位移計算就更為簡捷。解法三l/2l/2M圖A1A2q1l/4l/2l/2基本體系之二圖超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)計算超靜定結(jié)構(gòu)位移的基本思路:利用基本體系求原結(jié)構(gòu)的位移.計算超靜定結(jié)構(gòu)位移的步驟將計算出的多余未知力作為外荷載1、解超靜定結(jié)構(gòu),作超靜定結(jié)構(gòu)的最終內(nèi)力圖；2、取原結(jié)構(gòu)的任一基本結(jié)構(gòu)作為虛擬狀態(tài)，并作虛擬力狀態(tài)下的單位內(nèi)力圖；3、計算位移。在荷載作用下，位移計算公式為：超靜定梁和剛架桁架【例7-15】試求圖7-44a所示剛架CB桿D點的豎向位移DDV。解：(1)作原超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖(2)作虛擬力狀態(tài)下的單位彎矩圖(3)用圖乘法求位移當(dāng)取基本結(jié)構(gòu)一或二時FPl/2l/2l/2l/2ABCDEI2EIM圖1l/4圖之一1l/4圖之二當(dāng)取基本結(jié)構(gòu)三時由以上計算結(jié)果可見，選取的基本結(jié)構(gòu)雖然不同，但其計算結(jié)果是相同的。1l/2l/2圖之三M圖二、支座移動時超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算位移計算公式為（7-20)式中，M為超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖；和分別為原結(jié)構(gòu)的任一基本結(jié)構(gòu)由于虛擬單位荷載作用產(chǎn)生的單位彎矩和單位反力?！纠?-16】試計算圖7-45a所示超靜定梁在支座移動時B點的轉(zhuǎn)角qB。解：(1)作原超靜定梁的最后彎矩圖laqqABM圖(3)計算位移：(2)作虛擬力狀態(tài)下的單位彎矩圖laqqABM圖11圖三、溫度變化時超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化時的位移計算，同樣可以在其任一相應(yīng)的靜定基本結(jié)構(gòu)上建立虛擬力狀態(tài)，從而將問題轉(zhuǎn)化為靜定基本結(jié)構(gòu)由于多余未知力和溫度變化共同作用產(chǎn)生的位移計算。其位移公式為(7-21)式中，M為超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖；和為原結(jié)構(gòu)的任一基本結(jié)構(gòu)由于虛擬單位荷載作用產(chǎn)生的單位彎矩和單位軸力。四、綜合因素影響下的位移計算在荷載及非荷載等因素綜合影響下，其位移計算公式為(7-22)式中，、和分別為超靜定結(jié)構(gòu)在全部因素影響下