約束極值問題

§3單周期的隨機型存貯模型隨機因素是需求和拖后時間 .統(tǒng)計規(guī)律為歷史資料 .策略分類:按訂貨條件分:訂購點訂貨法;定期訂貨法.按訂貨量分:定量訂貨法;補充訂貨法單周期:只訂一次(缺時也不訂),期后可處理余貨 .一、模型六:需求是離散隨機變量報童問題:報童每天售出的報紙份數(shù)r是一個隨機變量,其概率P(r)為已知.報童每售出一份報紙能賺k元;如售剩報紙 ,每剩一份賠 h元.問報童每第 1頁 共 19頁天應準備多少份報紙 ?分析:售出r份概率P(r), P(r) 1,設(shè)每天備Q份.0損失期望值最小值原則當Q r(供大于求)時,損失期望值Qh(Q r)P(r)0當Qr(供不應求)時,錯失期望值k(r Q)P(r)r Q1第 2頁 共 19頁故每天的損失期望值QC(Q) h (Q r)P(r) k (r Q)P(r)r 0 r Q1邊際分析(微分或差分)法:C(Q) C(Q 1) C(Q)Q1h (Q 1 r)P(r) k (r Q 1)P(r)r 0 r Q 2Qh (Q r)P(r) k (r Q)P(r)r 0 r Q1第 3頁 共 19頁Q Q QhP(r)kP(r)hP(r)k1P(r)r0rQ1r0r0Qk(kh)P(r)khr0Qk記F(Q)P(r),損益轉(zhuǎn)折概率Nhr0k從而:C(Q)(kh)[F(Q)N]與F(Q)N同號F(Q)是Q的增函數(shù).且F()1C()h>0(每增一份,損h元)第 4頁 共 19頁由于 C(0) (k h)[F(0) N]若F(0)N,則C(0)0C(1)C(0)C(Q)先降;隨Q增大,一般F(Q)N,則C(Q)0C(Q1)C(Q)C(Q)后升;故必有最小值點,設(shè)Q時,有C(Q)minC(Q)0QC(Q1)0和C(Q)0F(Q1)NF(Q)Q第 5頁 共 19頁若F(0)N,即P(0)NC(0)0,并且C(Q)0C(Q),Q0,1,2,..增C(0)最小Q0.綜上所述最佳訂購量Q滿足Q1kQP(r)P(r)(11.8)khrr00第 6頁 共 19頁獲利期望值最大準則設(shè)獲利期望值C(Q)當Q r時,賺kr元,賠h(Q r),獲利期望值:Q[kr h(Q r)]P(r)r 0當Q r時,賺kQ元,獲利期望值: kQP(r)r Q1故總獲利期望值QC(Q) [kr h(Q r)]P(r) kQP(r)r 0 r Q1第 7頁 共 19頁作同樣邊際分析:C(Q)C(Q1)C(Q)化簡后得C(Q)k[1khQP(r)]k[11F(Q)]kr0N顯然C(Q)與k[11F(Q)]同號,且嚴格遞減.N當F(0)N時,與前同論(先升后降),得C(Q1)0和C(Q)0Q1kQ也推得:P(r)P(r).kr0hr0第 8頁 共 19頁當F(0) N,即C(Q)嚴格遞減,最大值為C(0),故Q0.注:兩種角度,結(jié)果一致,理由如下.經(jīng)計算可得:C(Q) C(Q) k rP(r)r 0其中 rP(r) E(r)平均需求量,故r 0C(Q) C(Q) 平均盈利(常數(shù))故一個最大,另一個最小.例5某工廠將從國外進口 150臺設(shè)備.這種設(shè)備有第 9頁 共 19頁一個關(guān)鍵部件,其備件必須在進口設(shè)備時同時購買,不能單獨訂貨.該種備件訂購單價為500元,無備件時導致的停產(chǎn)損失和修復費用合計為10000元.根據(jù)有關(guān)資料計算,在計劃使用期內(nèi),150臺設(shè)備因關(guān)鍵部件損壞而需要r個部件的概率P(r)下表.問工廠應如何訂購.r0123456789上P(r)0.470.200.070.050.050.030.030.030.020.02解若關(guān)鍵部件損壞時,有備件,可免損10000,故邊際收益為:k100005009500元.若多一個備件,則浪費h500元,第 10 頁共 19頁因此,損益轉(zhuǎn)折概率Nk95000.95kh9500500由上表得,備件需要量r的累積概率QF(Q)rP(r)r078rP(r)0.93N0.95rP(r)0.96r0r0因此Q8,即同時購買8個關(guān)鍵部件,可使損失期望值最小.第 11 頁共 19頁例6某商品每件進價40元,售價73元.商品過期后將削價為每件20元并一定可以售出.已知該商品銷售量r服從泊分布:erP(r)r!根據(jù)以往經(jīng)驗,平均銷售量6件.問采購多少件該商品.解每件銷售贏利(邊際收益)k734033元滯銷損失(邊際損失)h402020元損益轉(zhuǎn)折概率N33/(3320)0.623.第 12 頁共 19頁銷售量r累積概率:F(Q)Qerr!r0查表得:F(6)0.60630.623F(7)0.7440故應采購7件該商品,可使損失期望值最小.二、模型七:需求是連續(xù)的隨機變量設(shè)每件進價 k,售價p,存貯費C1,需求量r連續(xù)第 13 頁共 19頁型隨機變量,密度a(r)dr.(r),分布F(a)0問訂購量(或生產(chǎn)量)Q為多少時,使贏利期望最大.分析實際銷售:min[r,Q]實際收入:pmin[r,Q]進貨成本:kQ存貯費為:C1(Q)C1(Qr),rQ0,rQ銷售贏利:W(Q)pmin[r,Q]kQC(Q)1第 14 頁共 19頁贏利期望:QE[W(Q)]pr(r)drQpQ(r)drkQC1(Qr)(r)dr00QpE(r)[p(rQ)(r)drC1(Qr)(r)drkQ]00平均盈利缺貨損失期望值滯銷損失期望值損失期望值(含進貨成本)記中括號為E[C(Q)],則E[W(Q)]E[C(Q)]pE(r)與模型六同,maxE[W(Q)]可轉(zhuǎn)化為minE[C(Q)],其中Q同.第 15 頁共 19頁分析minE[C(Q)]:令dE[C(Q)]d[p(rQ)(r)drC(Qr)(r)drkQ]QdQdQQ01C1Q(r)drp(r)drk0Q(C1Qp)(r)dr(pk)00得pkF(Q)Q(r)drQ為最小值點.0pC1(因為E[C(Q)]對Q的二階導數(shù)>0)第 16 頁共 19頁若p k 0,表示無利可圖,故不訂貨Q 0.若缺貨損失含賠償?shù)荣M時 ,用單位缺貨費 C2( p)代p是合理的,此時有F(Q)QC2k定出Q.(r)drC2C10模型七也為一次性訂貨問題.多階段訂貨問題設(shè)本段存貯量為I,則進貨成本少kI,余同模七.故可用(t,S)存貯策略,SQ(最大存貯量),第 17 頁共 19頁F(QC2k)C2C1若IQ,本階段不訂貨;若IQ,本階段訂貨,訂貨量QQI(補足).例7工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,成本220元/噸,售價320元,每月存貯費10元.月銷售量為正態(tài)分布,平均值為60噸,標準差3噸.工廠應產(chǎn)多少,使獲利期望最大