地球物理計(jì)算方法-2018秋-第二章數(shù)值積分

地球物理計(jì)算方法

地球物理與信息技術(shù)學(xué)院內(nèi)容：數(shù)值算法在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用參考提綱：?jiǎn)栴}背景

數(shù)值方法介紹

數(shù)值方法應(yīng)用（要求編程上機(jī)實(shí)現(xiàn)）

結(jié)果分析

結(jié)論/討論實(shí)際問(wèn)題選題不限，但推薦選擇地球物理相關(guān)問(wèn)題；數(shù)值方法選擇不限，不一定局限于課本所學(xué)內(nèi)容；編程語(yǔ)言不限，推薦用MATLAB。讀書(shū)報(bào)告要求以小組為單位完成，每組5-7人，共分成7-10組；自愿分組，此工作請(qǐng)?jiān)谑ひ患倨谄陂g完成，兩班學(xué)委在下次上課前將分組名單發(fā)給老師。倒數(shù)第二次課上每組就報(bào)告內(nèi)容做10分鐘匯報(bào)，形式不限，但嚴(yán)格限制時(shí)間，不得超時(shí)。每組匯報(bào)結(jié)束后老師就匯報(bào)內(nèi)容提問(wèn)1-2分鐘。讀書(shū)報(bào)告要求最后一次課之前提交讀書(shū)報(bào)告電子版，應(yīng)包括：1.報(bào)告文檔（要有標(biāo)題、組員名單、組員分工情況、報(bào)告正文、必要的源程序及圖表、參考文獻(xiàn)列表等）2.匯報(bào)文檔（PPT或音視頻等）3.完整的源程序（應(yīng)包含適當(dāng)?shù)淖⑨屨f(shuō)明）將上述文件打包壓縮后發(fā)送至郵箱：不用提交紙質(zhì)版！老師結(jié)合匯報(bào)情況和報(bào)告完成情況按組打分，滿分10分，全體組員分?jǐn)?shù)相同。讀書(shū)報(bào)告要求課堂情況反饋復(fù)習(xí)問(wèn)題（數(shù)值積分問(wèn)題）數(shù)值方法（機(jī)械求積、N-C公式、復(fù)化求積、龍貝格加速）誤差分析（余項(xiàng)定理）上節(jié)課講了些什么？重要的低階牛頓-科特斯公式梯形公式辛普生公式柯特斯公式復(fù)習(xí)8所以，n為偶數(shù)時(shí)的積分公式更加常用。復(fù)習(xí)梯形公式余項(xiàng)公式辛普生公式余項(xiàng)公式余項(xiàng)公式復(fù)習(xí)復(fù)化求積公式可以克服高次Newton-Cotes公式計(jì)算不穩(wěn)定的問(wèn)題，運(yùn)算簡(jiǎn)單且易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。把積分區(qū)間[a,b]平均分成若干小區(qū)間[xk,xk+1]

第一步，在每個(gè)小區(qū)間上采用次數(shù)不高的Newton-Cotes求積公式，如梯形公式或Simpson公式；

第二步，對(duì)每個(gè)區(qū)間的近似積分值求和，用所得的值近似代替原積分值。如此得到的求積公式稱為復(fù)化求積公式。

復(fù)習(xí)復(fù)化梯形公式復(fù)化辛普生公式復(fù)化求積公式復(fù)習(xí)復(fù)化梯形余項(xiàng)公式復(fù)化辛普生余項(xiàng)公式復(fù)化求積余項(xiàng)公式復(fù)習(xí)13復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差：復(fù)化辛普生公式的截?cái)嗾`差：步長(zhǎng)h越小，截?cái)嗾`差越小。

注意：教材P64公式（21）-（23）推導(dǎo)不嚴(yán)謹(jǐn)，請(qǐng)勿使用！復(fù)習(xí)148個(gè)重要公式（記住?。┨菪喂?、Simpson公式及其余項(xiàng)公式；復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式及其余項(xiàng)公式。復(fù)習(xí)用梯形公式計(jì)算積分近似值按變步長(zhǎng)梯形公式計(jì)算積分近似值將區(qū)間逐次分半,令區(qū)間長(zhǎng)度計(jì)算Romberg加速算法：復(fù)習(xí)16③按加速公式求加速值梯形加速公式：辛卜生加速公式：

龍貝格求積公式：④精度控制（其中ε為允許的誤差）復(fù)習(xí)表示二分前后的差

龍貝格加速過(guò)程復(fù)習(xí)18下列說(shuō)法中正確的是：數(shù)值求積公式計(jì)算總是穩(wěn)定的中矩形公式與梯形公式具有相同階的代數(shù)精度n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式代數(shù)精度至少n次求積公式階數(shù)與所依據(jù)插值多項(xiàng)式次數(shù)一樣ABCD提交多選題2分1、機(jī)械求積2、Newton-cotes積分公式3、復(fù)化求積方法4、Romberg加速算法5、Gauss積分公式6、數(shù)值微分1920問(wèn)題的提出構(gòu)造牛頓-柯特斯公式時(shí)，我們限定用等分點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)化了處理過(guò)程（求系數(shù)Ck，已知節(jié)點(diǎn)xk），但同時(shí)限制了求積公式的精度。代數(shù)精度：n階或n+1階精度（注意：n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)）21適當(dāng)?shù)剡x取求積節(jié)點(diǎn)（求系數(shù)Ak，待求節(jié)點(diǎn)xk)，使求積公式具有2n-1次代數(shù)精度（注意：

n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)）。具有2n-1次精度的求積公式為高斯公式，該待求節(jié)點(diǎn)xk為高斯點(diǎn)。特別地，當(dāng)n=1時(shí)的一點(diǎn)高斯公式即為中矩形公式，高斯點(diǎn)x1=0。23根據(jù)代數(shù)精度定義：求積具有2n-1

次代數(shù)精度，令f(x)=1,x,x2,…,x2n-1

代入機(jī)械求積公式令等式準(zhǔn)確成立，即建立等式。如兩點(diǎn)高斯公式：方法：則：n=2（2個(gè)求積節(jié)點(diǎn)），可以得到3次代數(shù)精度的公式，

得到一個(gè)非線性方程組，四個(gè)方程，四個(gè)未知數(shù)：兩個(gè)系數(shù)：A1，A2，兩個(gè)求積節(jié)點(diǎn)：x1

，x2即對(duì)f(x)=1,x,x2,x3用上式積分恒等。2點(diǎn)高斯公式3點(diǎn)高斯公式26將區(qū)間進(jìn)行拉伸和平移，可得到任意區(qū)間的積分公式：對(duì)任意區(qū)間[a,b]的高斯積分公式：將x進(jìn)行變量替換（平移和拉伸），使新變量的積分區(qū)間為[-1,1]。將新變量的高斯點(diǎn)代入函數(shù)中，應(yīng)用高斯公式求積分系數(shù)。272.高斯點(diǎn)的基本特性根據(jù)代數(shù)精度方法，高斯點(diǎn)的確定及系數(shù)的求取雖然原則上可以化為代數(shù)問(wèn)題，但是非線性的方程組求解存在困難（系數(shù)Ak線性，節(jié)點(diǎn)xk非線性）。辦法：從研究過(guò)高斯點(diǎn)多項(xiàng)式的基本特性（如正交性）著手來(lái)解決高斯公式的構(gòu)造問(wèn)題。28設(shè)xk(k=1,2,..n)是求積公式的高斯點(diǎn)，作多項(xiàng)式w(x)對(duì)于任意次數(shù)<=n-1的多項(xiàng)式pn-1(x)，以高斯點(diǎn)為零點(diǎn)的n次多項(xiàng)式w(x)與一切<=n-1的多項(xiàng)式pn-1(x)正交2930設(shè)xk(k=1,2,..n)是求積公式的高斯點(diǎn)，作多項(xiàng)式w(x)對(duì)于任意次數(shù)<=n-1的多項(xiàng)式pn-1(x)，以高斯點(diǎn)為零點(diǎn)的n次多項(xiàng)式w(x)與一切<=n-1的多項(xiàng)式pn-1(x)正交(2)如果n次多項(xiàng)式w(x)與任意n-1的多項(xiàng)式pn-1(x)正交，則其零點(diǎn)必須為高斯點(diǎn)。3132定理：節(jié)點(diǎn)xk(k=1,2,..n)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是，多項(xiàng)式w(x)與一切<=n-1的多項(xiàng)式pn-1(x)正交。對(duì)任意的多項(xiàng)式pn-1(x)成立；最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式為1,x,x2…xn-1，所以根據(jù)下列積分等式，可以求出w(x)及各高斯點(diǎn)xk當(dāng)高斯點(diǎn)xk已知，代入線性方程組中，求出積分系數(shù)Ak;33343.勒讓德多項(xiàng)式設(shè)xk(k=1,2,..n)是求積公式的高斯點(diǎn)，以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的n次多項(xiàng)式稱為勒讓德多項(xiàng)式。（1）求出勒讓德多項(xiàng)式pn(x)的零點(diǎn)值即找到了高斯點(diǎn)；(2)利用勒讓德多項(xiàng)式，取它的零點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)即可構(gòu)造出高斯公式。35數(shù)學(xué)物理方程復(fù)習(xí)球坐標(biāo)系下應(yīng)用分離變量法求解拉普拉斯方程：關(guān)于的勒讓德方程（其中）：其通解可通過(guò)勒讓德多項(xiàng)式Pn(x)來(lái)表示，且Pn(x)滿足正交性：36構(gòu)造出勒讓德多項(xiàng)式（過(guò)程：教材P74）逐步構(gòu)造出勒讓德多項(xiàng)式高斯點(diǎn)令勒讓德多項(xiàng)式為零，即為方程求根；根據(jù)定義：這些根為高斯點(diǎn)；38高斯積分公式的特點(diǎn)：（1）收斂性，當(dāng)n->無(wú)窮大收斂到積分值；（2）數(shù)值穩(wěn)定性好；高斯積分公式的數(shù)值穩(wěn)定性證明：40高斯積分公式的特點(diǎn)：（1）收斂性，當(dāng)n->無(wú)窮大收斂到積分值；（2）數(shù)值穩(wěn)定性好；（3）高斯求積公式具有內(nèi)在的對(duì)稱性（系數(shù)和節(jié)點(diǎn)）；（4）困難：為了同時(shí)處理求積系數(shù)與求積節(jié)點(diǎn)，用代數(shù)精度方法歸結(jié)出的代數(shù)方程組是非線性的；（5）高階高斯公式由于形式復(fù)雜不便實(shí)際應(yīng)用，可將高斯公式進(jìn)一步分段復(fù)化。41下列說(shuō)法中正確的是：n+1個(gè)點(diǎn)的插值型求積公式代數(shù)精度最多2n+1次高斯求積公式僅適用于區(qū)間[-1,1]上的積分Simpson公式與兩點(diǎn)高斯公式代數(shù)精度相同階數(shù)不同的高斯求積公式?jīng)]有公共節(jié)點(diǎn)ABCD提交多選題2分42構(gòu)造求積公式的2類基本問(wèn)題：（1）若給定[a,b]上的求積節(jié)點(diǎn),這時(shí)只有Ai未知,求解線性方程組即可牛頓-科特斯型在此基礎(chǔ)上復(fù)化求積法

龍貝格加速算法（2）若不給定,這時(shí)要求解關(guān)于Ai的非線性方程組高斯型換元法,定積分區(qū)間[a,b]→[-1,1]

小結(jié)小結(jié)1、梯形求積公式和辛普生求積公式是低精度的方法，但對(duì)于光滑性較差的函數(shù)有時(shí)比用高精度方法能得到更好的效果。復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生求積公式，精度較高，計(jì)算較簡(jiǎn)，但收斂速度較慢。2、Romberg求積方法，算法簡(jiǎn)單，當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密提高積分精度時(shí)，前面的計(jì)算結(jié)果可以為后面的計(jì)算使用，對(duì)減少計(jì)算量很有好處。3、Gauss型求積，它的節(jié)點(diǎn)是不規(guī)則的，所以當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，前面的計(jì)算的函數(shù)值不能被后面利用。計(jì)算過(guò)程比較麻煩，但精度高。特別是對(duì)計(jì)算奇異積分或無(wú)窮區(qū)間上的積分，是其他方法所不能比的。1、機(jī)械求積2、Newton-cotes積分公式3、復(fù)化求積方法4、Romberg加速算法5、Gauss積分公式6、數(shù)值微分44451、差商公式h->0時(shí)的極限，數(shù)值微分：用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。差商（差分）代微分的重要思想差商比較示意圖

―――――中點(diǎn)方法

47中點(diǎn)格式表達(dá)成為誤差R誤差R正比于h2。從截?cái)嗾`差角度看，h越小越好；從舍入誤差角度看，h不能太小（f(a+h)與f(a-h)太接近）；所以實(shí)際計(jì)算時(shí)h選擇一個(gè)合適值（變步長(zhǎng)逐次二分h）。482、中點(diǎn)方法的加速中點(diǎn)格式表達(dá)成為誤差R正比于h2分析步長(zhǎng)減半為h/2時(shí)誤差R正比于h2/449故有其誤差事后估計(jì)得到：整理得到（一次校正加速公式）：可以逐步二分h，逐步加速中點(diǎn)方法加