《狀元之路》2016屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)：必修部分 開卷速查41 空間幾何體的表面積和體積

PAGE12-開卷速查(四十一)空間幾何體的表面積和體積A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練1．[2014·重慶]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()正視圖左視圖俯視圖A．54 B．60C．66 D．72解析：題中的幾何體可看作是從直三棱柱ABC－A1B1C1中截去三棱錐E－A1B1C1后所剩余的部分(如圖所示)，其中在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，則BC＝5，△ABC的面積等于eq\f(1,2)×3×4＝6.AA1⊥平面ABC，則直角梯形ABEA1的面積等于eq\f(1,2)×(2＋5)×4＝14，矩形ACC1A1的面積等于3×5＝15.過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AA1于點(diǎn)F，則EF＝AB＝4，A1F＝B1E＝BB1－BE＝3，則A1E＝5，所以△A1C1E的面積等于eq\f(1,2)×3×5＝eq\f(15,2)，直角梯形BCC1E的面積等于eq\f(1,2)×(2＋5)×5＝eq\f(35,2)，因此題中的幾何體的表面積為6＋14＋15＋eq\f(15,2)＋eq\f(35,2)＝60，選B.答案：B2．[2014·安徽]一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18解析：由三視圖可知該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體從后面右上角和前面左下角分別截去一個(gè)小三棱錐后剩余的部分，其表面積為S＝6×4－eq\f(1,2)×6＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).答案：A3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8π＋16 B．8π－16C．8π＋8 D．16π－8解析：由三視圖可知，該幾何體為底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝4的半圓柱挖去一個(gè)底面為等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2eq\r(2)高為4的直三棱柱，故所求幾何體的體積為V＝π×22×4×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×4＝8π－16，故選B.答案：B4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A.eq\f(16,3)π B．eq\f(19,12)πC.eq\f(19,3)π D.eq\f(4,3)π解析：由三視圖可知該幾何體是底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱．其外接球的球心為上下底面中心連線的中點(diǎn)．∴R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(19,12)，S＝4πR2＝eq\f(19,3)π，故選C.答案：C5．如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱AB上，且EF＝2，動(dòng)點(diǎn)Q在棱D′C′上，則三棱錐A′-EFQ的體積()A．與點(diǎn)E，F(xiàn)位置有關(guān)B．與點(diǎn)Q位置有關(guān)C．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q位置都有關(guān)D．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q位置均無(wú)關(guān)，是定值解析：因?yàn)閂A′－EFQ＝VQ－A′EF＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×4))×4＝eq\f(16,3)，故三棱錐A′-EFQ的體積與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無(wú)關(guān)，是定值．答案：D6．已知球O，過(guò)其球面上A、B、C三點(diǎn)作截面，若O點(diǎn)到該截面的距離是球半徑的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，則球O的表面積為()A.eq\f(64π,3) B．eq\f(8π,3)C．4π D.eq\f(16π,9)解析：如圖，球心O在截面ABC的射影為△ABC的外接圓的圓心O1.由題意知OO1＝eq\f(R,2)，OA＝R，其中R為球O的半徑．在△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝eq\r(22＋22－2×2×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2eq\r(3).設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝eq\f(AC,sin120°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，得r＝2，即O1A＝2.在Rt△OO1A中，OOeq\o\al(2,1)＋O1A2＝OA2，即eq\f(R2,4)＋4＝R2，解得R2＝eq\f(16,3)，故球O的表面積S＝4πR2＝eq\f(64π,3)，故選A.答案：A7．[2014·山東]三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝__________.解析：如圖，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，三角形PAB的面積為S，則V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE－ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為__________．解析：該幾何體為一個(gè)半圓錐，故其體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×2＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．在三棱錐A-BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，則該三棱錐的外接球的表面積為________．解析：依題意得，該三棱錐的三組對(duì)棱分別相等，因此可將該三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，且其外接球的半徑為R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝62，,b2＋c2＝52，,c2＋a2＝52，))得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即為該三棱錐的外接球的半徑，所以該三棱錐的外接球的表面積為4πR2＝43π.答案：43π10．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解析：(1)由該幾何體的俯視圖、正視圖、側(cè)視圖可知，該幾何體是四棱錐，且四棱錐的底面ABCD是相鄰兩邊長(zhǎng)分別為6和8的矩形，高HO＝4，O點(diǎn)是AC與BD的交點(diǎn)，如圖所示．∴該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×8×6×4＝64.(2)如圖所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，側(cè)面HAB中，HE＝eq\r(HO2＋OE2)＝eq\r(42＋32)＝5，∴S△HAB＝eq\f(1,2)×AB×HE＝eq\f(1,2)×8×5＝20.側(cè)面HBC中，HF＝eq\r(HO2＋OF2)＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).∴S△HBC＝eq\f(1,2)×BC×HF＝eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＝12eq\r(2).∴該幾何體的側(cè)面積S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋24eq\r(2).B級(jí)能力提升練11．[2014·大綱全國(guó)]正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)解析：由圖知，R2＝(4－R)2＋2，∴R2＝16－8R＋R2＋2，∴R＝eq\f(9,4)，∴S表＝4πR2＝4π×eq\f(81,16)＝eq\f(81,4)π，選A.答案：A12．[2014·湖南]一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A．1B．2C．3D．4解析：該幾何體為直三棱柱，底面是邊長(zhǎng)分別是6,8,10的直角三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為12，故能得到的最大球的半徑等于底面直角三角形內(nèi)切圓的半徑，其半徑為r＝eq\f(2×\f(1,2)×6×8,6＋8＋10)＝2，故選B.答案：B13．已知三棱錐D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2)，BC⊥AD，則該三棱錐的外接球的表面積為()A.eq\r(6)π B．6πC．5π D．8π解析：∵由勾股定理易知AB⊥BC，DA⊥BC，∴BC⊥平面DAB.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(6).∴AC2＋AD2＝CD2.∴DA⊥AC.取CD的中點(diǎn)O，由直角三角形的性質(zhì)知O到點(diǎn)A，B，C，D的距離均為eq\f(\r(6),2)，其即為三棱錐的外接球球心．故三棱錐的外接球的表面積為4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝6π.答案：B14．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體D－ABC的體積．解析：(1)證明：在圖中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，從而AC2＋BC2＝AB2