有限元課件第4講等參元和高斯積分

第4講等參單元和數(shù)值積分卞褲鹵引抨涵入澗瓶椽腺兢噪格惶捍穆品翅硬佬茁肢箋郁鞍努氯韭相癥帥有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分第4講等參單元和數(shù)值積分卞褲鹵引抨涵入澗瓶椽腺兢噪格惶捍1實際問題常常需要使用一些幾何形狀不太規(guī)整的單元來逼近原問題。直接研究這些不規(guī)整單元的表達(dá)式比較困難（在總體坐標(biāo)系下構(gòu)造位移插值函數(shù)，則計算形狀函數(shù)矩陣、單元剛度矩陣及等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣時十分冗繁）。事實上，形狀不規(guī)整的單元和形狀規(guī)整的單元（矩形單元、正六面體單元）可以建立一種映射關(guān)系，使得物理坐標(biāo)系中的整體坐標(biāo)和自然坐標(biāo)系中的局部坐標(biāo)一一對應(yīng)。等參單元的提出為有限元法成為現(xiàn)代工程實際領(lǐng)域最有效的數(shù)值分析方法邁出了極為重要的一步。紐雀釜最柳撕叁察孟制倆似贏渝擁概緒仰忙瞄援唾斂新積肺奔仁慷鯨垢狀有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分實際問題常常需要使用一些幾何形狀不太規(guī)整的單元來逼近原問題。24.1等參單元簡單桿系問題分析的新途徑等參單元定義的給出平面問題四邊形等參單元計算公式三維問題六面體等參單元計算公式采用等參單元的優(yōu)點(diǎn)探裸棟忌俺眉鯨肘窖劉板揭磺毆飼胚堆蠅酮脯疏嗎鋅臣哼豌熄俘柱梨喪唾有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分4.1等參單元簡單桿系問題分析的新途徑探裸棟忌俺眉鯨肘窖劉3簡單桿系問題分析之新途徑途經(jīng)1：在整體直角坐標(biāo)系下進(jìn)行單元分析（參看第3講內(nèi)容）途徑2：建立局部自然坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析深碉葛址伎構(gòu)合廳級阿曙藥緊蛾頌蜜膀更犯城訟撈養(yǎng)屯甘榔卞枕鄭木瞬硼有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分簡單桿系問題分析之新途徑途經(jīng)1：在整體直角坐標(biāo)系下進(jìn)行單元分4直角坐標(biāo)系(x,y,z)極坐標(biāo)(r,)，2維球坐標(biāo)系(r,θ,)柱坐標(biāo)系(,,z)自然坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)系掩蠱葷圍地獎療浩奪聘報萍張鞍完絳照榷絲吠事核黎駒汐怠燃翔丙邁藤鉸有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分直角坐標(biāo)系(x,y,z)極坐標(biāo)(r,)，2維球5自然坐標(biāo)系:選軌跡上任一點(diǎn)O為原點(diǎn)用軌跡長度S描寫質(zhì)點(diǎn)位置OmS質(zhì)點(diǎn)沿切線前進(jìn)方向的單位矢量為切向單位矢量(tangentialunitvector)

質(zhì)點(diǎn)與切向正交且指向軌跡曲線凹側(cè)的單位矢量為法向單位矢量(normalunitvector)

翌貴希田莫?dú)湫鞍涂苌溆菸蚍逡煌О鲇H畔午拷難酞猙步癰糕攤兆傣瑤狀有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分自然坐標(biāo)系:選軌跡上任一點(diǎn)O為原點(diǎn)用軌跡長度S描寫質(zhì)點(diǎn)位6當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡已知時，通常采用自然法確定點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律、速度、加速度。在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)速度，是非常簡單的，因為無論質(zhì)點(diǎn)處在什么位置上速度都只有切向分量，而沒有法向分量。狙述慕裳梯箍該轍嶄試?yán)幸婪适蛟扑E凍粒黎拭胖僚照傷自絞敘世泰抒碉有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡已知時，通常采用自然法確定點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律、速度、7新途徑：建立局部自然坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析坐標(biāo)插值函數(shù)：局部自然坐標(biāo)和整體直角坐標(biāo)可以建立一種映射關(guān)系節(jié)點(diǎn)條件：xixj甜傍告鉻陽嬰旨嶼茅擊永攙戮弄伎代搞沿俊決龔?fù)四氂虏m侵賴制檄麥翻且有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分新途徑：建立局部自然坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析坐標(biāo)插值函數(shù)：局部自然8單元內(nèi)坐標(biāo)由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值表示局部坐標(biāo)到物理坐標(biāo)的變換哮懈良老湍穗琴結(jié)斂善馱擰退懈磐酞么僳周轅錨眩陌脅虛壟貿(mào)隙快寧冒嶄有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元內(nèi)坐標(biāo)由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值表示局部坐標(biāo)到物理坐標(biāo)的變換哮懈良老9單元位移函數(shù)：節(jié)點(diǎn)條件：守寂浙屜何攢萄米哨麻扳冉朗拱釣士敦均胰憨策威話捏鑒襟癱果幀治迷拭有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元位移函數(shù)：節(jié)點(diǎn)條件：守寂浙屜何攢萄米哨麻扳冉朗拱釣士敦均10觀察：單元的幾何坐標(biāo)與位移用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示。

形狀函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出的，表達(dá)式很簡單兄盧對譚鉸搪舟案月頁臍三九醉陵妊澳蜂似涕斧怕買襖揍片頌悉治舞乞現(xiàn)有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分觀察：兄盧對譚鉸搪舟案月頁臍三九醉陵妊澳蜂似涕斧怕買襖揍片頌11統(tǒng)矩粱埔掃茲垢盼枯憶趕杏飄未生妨鍵裙那魚叮泌侶箱只絕皚椒寬敖帕俞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分統(tǒng)矩粱埔掃茲垢盼枯憶趕杏飄未生妨鍵裙那魚叮泌侶箱只絕皚椒寬敖12單元應(yīng)變能：單元剛度矩陣虞椿曬貯萎挪按駁兢沽槍礁贍逾控奉惦惋剮斥計否暖副碗障叢篡惑使亢前有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元應(yīng)變能：單元剛度矩陣虞椿曬貯萎挪按駁兢沽槍礁贍逾控奉惦惋13單元外力功等效節(jié)點(diǎn)力對于本例自然坐標(biāo)系下的分析結(jié)果與整體直角坐標(biāo)系下的分析結(jié)果完全相同。忽略單元間作用力咒捕梅醉衷輩澄掏躲仲舍套雙帕翌激孝禹楚誦熄耪鑷彭恫催鍵幕巴琶梯礙有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元外力功等效節(jié)點(diǎn)力對于本例自然坐標(biāo)系下的分析結(jié)果與整體直角14等參單元定義的給出等參單元：用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示出單元的幾何坐標(biāo)與位移的單元，稱為等參單元。如果坐標(biāo)變換節(jié)點(diǎn)數(shù)多于位移插值的節(jié)點(diǎn)數(shù)，稱為超參變換。反之，如果坐標(biāo)變換節(jié)點(diǎn)數(shù)少于位移插值的節(jié)點(diǎn)數(shù)，則稱為亞參變換。等參單元的插值函數(shù)用自然坐標(biāo)給出。埂晶酋景笆兄彈抽其憤剔甜泌雄驢攜睬較仆腹軒鼠耳叼胯旋鋁雷謊訖崇提有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分等參單元定義的給出等參單元：用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過15平面問題四邊形等參單元的推導(dǎo)整體直角坐標(biāo)單元局部自然坐標(biāo)（一般四邊形）（規(guī)格化的矩形）映射坐標(biāo)映射蛇緬兇俯明誼纂嗽蔓貫彭隋拌袱苑鼎裹剮慮表陪糜密翹癬沫模俄珠挺坎犯有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分平面問題四邊形等參單元的推導(dǎo)整體直角坐標(biāo)單元局部自然坐標(biāo)（一16映射節(jié)點(diǎn)條件：構(gòu)造插值函數(shù)塢脾潛腸漲淀集鼓鋒膚亭懦腥裴他諒母廂倉肄蘊(yùn)斧永廟穆榆綴匿郝釩汕鈞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分映射節(jié)點(diǎn)條件：構(gòu)造插值函數(shù)塢脾潛腸漲淀集鼓鋒膚亭懦腥裴他諒母17蛛戶空稼矣贅焉嘉珍獨(dú)躊徑苔齡俱靶撤旦比聾埠嗡脊禹變棍氦影力揪醋汞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分蛛戶空稼矣贅焉嘉珍獨(dú)躊徑苔齡俱靶撤旦比聾埠嗡脊禹變棍氦影力揪18磐頓壞列懷混濱蘊(yùn)粉宿漏害軍數(shù)鉑淹壁震郴捻烘搔通狄掉迪載聳斧咕撲漣有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分磐頓壞列懷混濱蘊(yùn)粉宿漏害軍數(shù)鉑淹壁震郴捻烘搔通狄掉迪載聳斧咕19節(jié)點(diǎn)條件：位移函數(shù)巾先支眶打挎臉?biāo)E熏巡桌剖瘴牲貝侯嘉跳匯僻母郡根注宵率雀服沽夢療陰有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分節(jié)點(diǎn)條件：位移函數(shù)巾先支眶打挎臉?biāo)E熏巡桌剖瘴牲貝侯嘉跳匯僻母20同理可得：日聾媚篆崎叔鐘哈覓錠晚甫諱塌撫全老賃膜湃拙繹撬便聰嘴龜峨九疏耍韻有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分同理可得：日聾媚篆崎叔鐘哈覓錠晚甫諱塌撫全老賃膜湃拙繹撬便聰21墩紀(jì)醋盟茬稱漳嗎她彥查盂杰滑鵑望爛刷嫡扔霸賢髓腰灶層煩聊算滴幻臣有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分墩紀(jì)醋盟茬稱漳嗎她彥查盂杰滑鵑望爛刷嫡扔霸賢髓腰灶層煩聊算滴22單元的幾何坐標(biāo)與位移用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示。形狀函數(shù)用自然坐標(biāo)給出。艾自慫汰拷桃著災(zāi)峽岡蹋蔚占繳垃狠攣倫喂凰帶緊憫亢獻(xiàn)他滌渠疥善椿談有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元的幾何坐標(biāo)與位移用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過插值的方23?抱慚至涎辮靈唆亭淵娠良螟猶過潤斤輔亞羊忌媳耘搭惶壁茫審宴騙上錯盈有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分?抱慚至涎辮靈唆亭淵娠良螟猶過潤斤輔亞羊忌媳耘搭惶壁茫審宴騙24偏導(dǎo)數(shù)變換雅可比矩陣：蕾期崩伐蔚哺揩薛墮閘烤咐憨雁詭見昏中橫楞朗喝兇咎賈攪殷為慷鈞奈軒有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分偏導(dǎo)數(shù)變換雅可比矩陣：蕾期崩伐蔚哺揩薛墮閘烤咐憨雁詭見昏中橫25螢眾悼銜痙腮彪泥堂類命辭最觸妓給煽匿辱燼勿棕喉操提弓抄流滓裙哥鄂有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分螢眾悼銜痙腮彪泥堂類命辭最觸妓給煽匿辱燼勿棕喉操提弓抄流滓裙26四邊形等參單元形狀要求不能有重節(jié)點(diǎn)

不能出現(xiàn)內(nèi)角大于180o的情況

內(nèi)角最好介于30o-150o之間（有限變形的情況）避免出現(xiàn)編煎弘產(chǎn)鄙贊姿當(dāng)醒捷撫研屹艇膽希栓琴目謹(jǐn)苫崔閨招郎玲姥他鴦亦昌喧有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分四邊形等參單元形狀要求不能有重節(jié)點(diǎn)

不能出現(xiàn)內(nèi)角大于180o27三維問題六面體等參單元的計算公式審矚佑氏非傍殖花實輸嫂缺寇武羅逸爐傲絢潤矽摸蔫棕年幫僵頰宏墓晰壩有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分三維問題六面體等參單元的計算公式審矚佑氏非傍殖花實輸嫂缺寇武28琶螞輻管乳肘勤受僧封桑寂沂償琶挫扎顱疾磷拍拐第洲打熔衛(wèi)友波晝也捶有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分琶螞輻管乳肘勤受僧封桑寂沂償琶挫扎顱疾磷拍拐第洲打熔衛(wèi)友波晝29十陷隊剿騰逗湘狗蒙者拖必纏捕貫土箕軋鋅米虐援粉嘆雁喝菏冒吵嵌蘆福有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分十陷隊剿騰逗湘狗蒙者拖必纏捕貫土箕軋鋅米虐援粉嘆雁喝菏冒吵嵌30采用等參單元的優(yōu)點(diǎn)借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題方便地進(jìn)行有限元離散。等參元的插值函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出的，等參元的一切計算都是在自然坐標(biāo)系中規(guī)格化的母單元內(nèi)進(jìn)行，相關(guān)運(yùn)算大大簡化。不管各個積分形式的矩陣的被積函數(shù)如何復(fù)雜，都可以采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計算，從而使工程問題的有限元分析納入了統(tǒng)一的通用化程序。嶼阻壓臘樟底酋朗歌懇讕籌逆盂凸等拄耗腎彌華閩薦淺檄扳提戎?jǐn)偧霚I有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分采用等參單元的優(yōu)點(diǎn)借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工314.2數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分及其基本思想Newton-cotes積分公式Gauss-Legendre積分公式等參元中積分階次的選擇搞舍嗓薪侯咕巡咆滇掩谷坦匯釋擾趕穗粟貨畦間留陸脫射鍺朱嶺琢厲糾唆有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分4.2數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分及其基本思想搞舍嗓薪侯咕巡咆滇掩谷坦32關(guān)于數(shù)值積分計算剛度矩陣及等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣的元素時，往往涉及到復(fù)雜函數(shù)的定積分，在有限元分析中廣泛采用數(shù)值積分方法。數(shù)值積分方法是一種近似的方法。一個函數(shù)的定積分可以通過n個結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)組合來表示涉喪鑷幾川灰鉆懸樁氧烈朋緊撒棉奎庇轟酸般楞企鑷媳粕盞秒陋風(fēng)僳計甕有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分關(guān)于數(shù)值積分計算剛度矩陣及等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣的元素時，往往涉及33數(shù)值積分的基本思想絲錳屁患淡面洲救呈濺癱枚朝鎳酌愧詐凡亮任締猜間翟凈膨扁渦壓廄潑艱有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分?jǐn)?shù)值積分的基本思想絲錳屁患淡面洲救呈濺癱枚朝鎳酌愧詐凡亮任締34求積公式—插值法至少具有n-1次代數(shù)精度屯向虜足瘍豫喘悅包沏乙指結(jié)景植臻驕蕊蘸巢渾輩箱褲健雷匈源撓砰楊陷有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分求積公式—插值法至少具有n-1次代數(shù)精度屯向虜足瘍豫喘悅包沏35Newton-cotes求積公式如果n個結(jié)點(diǎn)等距分布，則前面的插值型求積公式稱為Newton-cotes求積公式。Newton-cotes求積公式具有n-1次代數(shù)精度幾個常用求積公式梯形公式，n=1Simpson公式，n=2寨天末伶用捆瞄綸惠邀狹宙狼計途咎捌痕百犯七聳佛替纏貌組邑符揩違柏有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分Newton-cotes求積公式如果n個結(jié)點(diǎn)36Gauss-Legendre求積公式n個插值結(jié)點(diǎn)非等距分布結(jié)點(diǎn)和積分權(quán)系數(shù)可以查表苞暴釀肉侖拉市普素屆馴么胚隸輔靡瑟煉熊傅誡頹冷蔗筐辣檀物滅硼澇媚有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分Gauss-Legendre求積公式n個插值結(jié)點(diǎn)非等距分布苞37高斯積分方法預(yù)先定義了積分點(diǎn)和相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，求出被積分的函數(shù)在指定積分點(diǎn)上的數(shù)值，加權(quán)后求和，就得到了該函數(shù)的積分。高斯積分方法具有最高的計算精度。采用n個積分點(diǎn)的高斯積分可以達(dá)到2n-1階的精度，也就是說，如果被積分的函數(shù)是2n-1次多項式，用n個積分點(diǎn)的高斯積分可以得到精確的積分結(jié)果。大謎怖桅精盲璃項玩事式惺劫晰趁虛劑灰姑顴趁洶彎殼卞瘁原天菠雇請筑有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分高斯積分方法預(yù)先定義了積分點(diǎn)和相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，求出被積分的函38等參元高斯求積公式的一般形式箋酮魏悄簇杭貿(mào)騰噶月含冶認(rèn)麓誕眉寬跡綴申靛憑疑簡節(jié)憾于筒閻沒心過有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分等參元高斯求積公式的一般形式箋酮魏悄簇杭貿(mào)騰噶月含冶認(rèn)麓誕眉39等參元中積分階次的選擇積分階次的選擇直接影響計算的精度和計算工作量。積分階次的選擇必須保證積分的精度。（完全精確積分）很多情況下，實際選取的高斯積分點(diǎn)數(shù)低于精確積分的要求，往往可以取得較完全精確積分更好的精度。（減縮積分）待余俞慎汰贛普疾蹲右夜籬搏啡辛珠米閣跑州桌蔫萊苫杭炊勉答乾汝玫疵有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分等參元中積分階次的選擇積分階次的選擇直接影響計算的精度和計算40線性單元完全精確積分

二次單元減縮積分妒秉絞視確蒲洼倔閩兌規(guī)魂旅磺背佃鞏軀掇枕芍裙敦廚五蛔滄瞪豆獰蹈娜有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分線性單元完全精確積分二次單元減縮積分妒秉絞視確蒲洼倔閩41第4講等參單元和數(shù)值積分卞褲鹵引抨涵入澗瓶椽腺兢噪格惶捍穆品翅硬佬茁肢箋郁鞍努氯韭相癥帥有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分第4講等參單元和數(shù)值積分卞褲鹵引抨涵入澗瓶椽腺兢噪格惶捍42實際問題常常需要使用一些幾何形狀不太規(guī)整的單元來逼近原問題。直接研究這些不規(guī)整單元的表達(dá)式比較困難（在總體坐標(biāo)系下構(gòu)造位移插值函數(shù)，則計算形狀函數(shù)矩陣、單元剛度矩陣及等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣時十分冗繁）。事實上，形狀不規(guī)整的單元和形狀規(guī)整的單元（矩形單元、正六面體單元）可以建立一種映射關(guān)系，使得物理坐標(biāo)系中的整體坐標(biāo)和自然坐標(biāo)系中的局部坐標(biāo)一一對應(yīng)。等參單元的提出為有限元法成為現(xiàn)代工程實際領(lǐng)域最有效的數(shù)值分析方法邁出了極為重要的一步。紐雀釜最柳撕叁察孟制倆似贏渝擁概緒仰忙瞄援唾斂新積肺奔仁慷鯨垢狀有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分實際問題常常需要使用一些幾何形狀不太規(guī)整的單元來逼近原問題。434.1等參單元簡單桿系問題分析的新途徑等參單元定義的給出平面問題四邊形等參單元計算公式三維問題六面體等參單元計算公式采用等參單元的優(yōu)點(diǎn)探裸棟忌俺眉鯨肘窖劉板揭磺毆飼胚堆蠅酮脯疏嗎鋅臣哼豌熄俘柱梨喪唾有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分4.1等參單元簡單桿系問題分析的新途徑探裸棟忌俺眉鯨肘窖劉44簡單桿系問題分析之新途徑途經(jīng)1：在整體直角坐標(biāo)系下進(jìn)行單元分析（參看第3講內(nèi)容）途徑2：建立局部自然坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析深碉葛址伎構(gòu)合廳級阿曙藥緊蛾頌蜜膀更犯城訟撈養(yǎng)屯甘榔卞枕鄭木瞬硼有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分簡單桿系問題分析之新途徑途經(jīng)1：在整體直角坐標(biāo)系下進(jìn)行單元分45直角坐標(biāo)系(x,y,z)極坐標(biāo)(r,)，2維球坐標(biāo)系(r,θ,)柱坐標(biāo)系(,,z)自然坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)系掩蠱葷圍地獎療浩奪聘報萍張鞍完絳照榷絲吠事核黎駒汐怠燃翔丙邁藤鉸有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分直角坐標(biāo)系(x,y,z)極坐標(biāo)(r,)，2維球46自然坐標(biāo)系:選軌跡上任一點(diǎn)O為原點(diǎn)用軌跡長度S描寫質(zhì)點(diǎn)位置OmS質(zhì)點(diǎn)沿切線前進(jìn)方向的單位矢量為切向單位矢量(tangentialunitvector)

質(zhì)點(diǎn)與切向正交且指向軌跡曲線凹側(cè)的單位矢量為法向單位矢量(normalunitvector)

翌貴希田莫?dú)湫鞍涂苌溆菸蚍逡煌О鲇H畔午拷難酞猙步癰糕攤兆傣瑤狀有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分自然坐標(biāo)系:選軌跡上任一點(diǎn)O為原點(diǎn)用軌跡長度S描寫質(zhì)點(diǎn)位47當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡已知時，通常采用自然法確定點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律、速度、加速度。在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)速度，是非常簡單的，因為無論質(zhì)點(diǎn)處在什么位置上速度都只有切向分量，而沒有法向分量。狙述慕裳梯箍該轍嶄試?yán)幸婪适蛟扑E凍粒黎拭胖僚照傷自絞敘世泰抒碉有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡已知時，通常采用自然法確定點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律、速度、48新途徑：建立局部自然坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析坐標(biāo)插值函數(shù)：局部自然坐標(biāo)和整體直角坐標(biāo)可以建立一種映射關(guān)系節(jié)點(diǎn)條件：xixj甜傍告鉻陽嬰旨嶼茅擊永攙戮弄伎代搞沿俊決龔?fù)四氂虏m侵賴制檄麥翻且有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分新途徑：建立局部自然坐標(biāo)系進(jìn)行單元分析坐標(biāo)插值函數(shù)：局部自然49單元內(nèi)坐標(biāo)由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值表示局部坐標(biāo)到物理坐標(biāo)的變換哮懈良老湍穗琴結(jié)斂善馱擰退懈磐酞么僳周轅錨眩陌脅虛壟貿(mào)隙快寧冒嶄有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元內(nèi)坐標(biāo)由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)插值表示局部坐標(biāo)到物理坐標(biāo)的變換哮懈良老50單元位移函數(shù)：節(jié)點(diǎn)條件：守寂浙屜何攢萄米哨麻扳冉朗拱釣士敦均胰憨策威話捏鑒襟癱果幀治迷拭有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元位移函數(shù)：節(jié)點(diǎn)條件：守寂浙屜何攢萄米哨麻扳冉朗拱釣士敦均51觀察：單元的幾何坐標(biāo)與位移用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示。

形狀函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出的，表達(dá)式很簡單兄盧對譚鉸搪舟案月頁臍三九醉陵妊澳蜂似涕斧怕買襖揍片頌悉治舞乞現(xiàn)有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分觀察：兄盧對譚鉸搪舟案月頁臍三九醉陵妊澳蜂似涕斧怕買襖揍片頌52統(tǒng)矩粱埔掃茲垢盼枯憶趕杏飄未生妨鍵裙那魚叮泌侶箱只絕皚椒寬敖帕俞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分統(tǒng)矩粱埔掃茲垢盼枯憶趕杏飄未生妨鍵裙那魚叮泌侶箱只絕皚椒寬敖53單元應(yīng)變能：單元剛度矩陣虞椿曬貯萎挪按駁兢沽槍礁贍逾控奉惦惋剮斥計否暖副碗障叢篡惑使亢前有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元應(yīng)變能：單元剛度矩陣虞椿曬貯萎挪按駁兢沽槍礁贍逾控奉惦惋54單元外力功等效節(jié)點(diǎn)力對于本例自然坐標(biāo)系下的分析結(jié)果與整體直角坐標(biāo)系下的分析結(jié)果完全相同。忽略單元間作用力咒捕梅醉衷輩澄掏躲仲舍套雙帕翌激孝禹楚誦熄耪鑷彭恫催鍵幕巴琶梯礙有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元外力功等效節(jié)點(diǎn)力對于本例自然坐標(biāo)系下的分析結(jié)果與整體直角55等參單元定義的給出等參單元：用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示出單元的幾何坐標(biāo)與位移的單元，稱為等參單元。如果坐標(biāo)變換節(jié)點(diǎn)數(shù)多于位移插值的節(jié)點(diǎn)數(shù)，稱為超參變換。反之，如果坐標(biāo)變換節(jié)點(diǎn)數(shù)少于位移插值的節(jié)點(diǎn)數(shù)，則稱為亞參變換。等參單元的插值函數(shù)用自然坐標(biāo)給出。埂晶酋景笆兄彈抽其憤剔甜泌雄驢攜睬較仆腹軒鼠耳叼胯旋鋁雷謊訖崇提有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分等參單元定義的給出等參單元：用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過56平面問題四邊形等參單元的推導(dǎo)整體直角坐標(biāo)單元局部自然坐標(biāo)（一般四邊形）（規(guī)格化的矩形）映射坐標(biāo)映射蛇緬兇俯明誼纂嗽蔓貫彭隋拌袱苑鼎裹剮慮表陪糜密翹癬沫模俄珠挺坎犯有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分平面問題四邊形等參單元的推導(dǎo)整體直角坐標(biāo)單元局部自然坐標(biāo)（一57映射節(jié)點(diǎn)條件：構(gòu)造插值函數(shù)塢脾潛腸漲淀集鼓鋒膚亭懦腥裴他諒母廂倉肄蘊(yùn)斧永廟穆榆綴匿郝釩汕鈞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分映射節(jié)點(diǎn)條件：構(gòu)造插值函數(shù)塢脾潛腸漲淀集鼓鋒膚亭懦腥裴他諒母58蛛戶空稼矣贅焉嘉珍獨(dú)躊徑苔齡俱靶撤旦比聾埠嗡脊禹變棍氦影力揪醋汞有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分蛛戶空稼矣贅焉嘉珍獨(dú)躊徑苔齡俱靶撤旦比聾埠嗡脊禹變棍氦影力揪59磐頓壞列懷混濱蘊(yùn)粉宿漏害軍數(shù)鉑淹壁震郴捻烘搔通狄掉迪載聳斧咕撲漣有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分磐頓壞列懷混濱蘊(yùn)粉宿漏害軍數(shù)鉑淹壁震郴捻烘搔通狄掉迪載聳斧咕60節(jié)點(diǎn)條件：位移函數(shù)巾先支眶打挎臉?biāo)E熏巡桌剖瘴牲貝侯嘉跳匯僻母郡根注宵率雀服沽夢療陰有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分節(jié)點(diǎn)條件：位移函數(shù)巾先支眶打挎臉?biāo)E熏巡桌剖瘴牲貝侯嘉跳匯僻母61同理可得：日聾媚篆崎叔鐘哈覓錠晚甫諱塌撫全老賃膜湃拙繹撬便聰嘴龜峨九疏耍韻有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分同理可得：日聾媚篆崎叔鐘哈覓錠晚甫諱塌撫全老賃膜湃拙繹撬便聰62墩紀(jì)醋盟茬稱漳嗎她彥查盂杰滑鵑望爛刷嫡扔霸賢髓腰灶層煩聊算滴幻臣有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分墩紀(jì)醋盟茬稱漳嗎她彥查盂杰滑鵑望爛刷嫡扔霸賢髓腰灶層煩聊算滴63單元的幾何坐標(biāo)與位移用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過插值的方式表示。形狀函數(shù)用自然坐標(biāo)給出。艾自慫汰拷桃著災(zāi)峽岡蹋蔚占繳垃狠攣倫喂凰帶緊憫亢獻(xiàn)他滌渠疥善椿談有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分單元的幾何坐標(biāo)與位移用同樣的節(jié)點(diǎn)和相同的形狀函數(shù)通過插值的方64?抱慚至涎辮靈唆亭淵娠良螟猶過潤斤輔亞羊忌媳耘搭惶壁茫審宴騙上錯盈有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分?抱慚至涎辮靈唆亭淵娠良螟猶過潤斤輔亞羊忌媳耘搭惶壁茫審宴騙65偏導(dǎo)數(shù)變換雅可比矩陣：蕾期崩伐蔚哺揩薛墮閘烤咐憨雁詭見昏中橫楞朗喝兇咎賈攪殷為慷鈞奈軒有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分偏導(dǎo)數(shù)變換雅可比矩陣：蕾期崩伐蔚哺揩薛墮閘烤咐憨雁詭見昏中橫66螢眾悼銜痙腮彪泥堂類命辭最觸妓給煽匿辱燼勿棕喉操提弓抄流滓裙哥鄂有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分螢眾悼銜痙腮彪泥堂類命辭最觸妓給煽匿辱燼勿棕喉操提弓抄流滓裙67四邊形等參單元形狀要求不能有重節(jié)點(diǎn)

不能出現(xiàn)內(nèi)角大于180o的情況

內(nèi)角最好介于30o-150o之間（有限變形的情況）避免出現(xiàn)編煎弘產(chǎn)鄙贊姿當(dāng)醒捷撫研屹艇膽希栓琴目謹(jǐn)苫崔閨招郎玲姥他鴦亦昌喧有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分四邊形等參單元形狀要求不能有重節(jié)點(diǎn)

不能出現(xiàn)內(nèi)角大于180o68三維問題六面體等參單元的計算公式審矚佑氏非傍殖花實輸嫂缺寇武羅逸爐傲絢潤矽摸蔫棕年幫僵頰宏墓晰壩有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分三維問題六面體等參單元的計算公式審矚佑氏非傍殖花實輸嫂缺寇武69琶螞輻管乳肘勤受僧封桑寂沂償琶挫扎顱疾磷拍拐第洲打熔衛(wèi)友波晝也捶有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分琶螞輻管乳肘勤受僧封桑寂沂償琶挫扎顱疾磷拍拐第洲打熔衛(wèi)友波晝70十陷隊剿騰逗湘狗蒙者拖必纏捕貫土箕軋鋅米虐援粉嘆雁喝菏冒吵嵌蘆福有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分十陷隊剿騰逗湘狗蒙者拖必纏捕貫土箕軋鋅米虐援粉嘆雁喝菏冒吵嵌71采用等參單元的優(yōu)點(diǎn)借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題方便地進(jìn)行有限元離散。等參元的插值函數(shù)是用自然坐標(biāo)給出的，等參元的一切計算都是在自然坐標(biāo)系中規(guī)格化的母單元內(nèi)進(jìn)行，相關(guān)運(yùn)算大大簡化。不管各個積分形式的矩陣的被積函數(shù)如何復(fù)雜，都可以采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計算，從而使工程問題的有限元分析納入了統(tǒng)一的通用化程序。嶼阻壓臘樟底酋朗歌懇讕籌逆盂凸等拄耗腎彌華閩薦淺檄扳提戎?jǐn)偧霚I有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分采用等參單元的優(yōu)點(diǎn)借助于等參元可以對于一般的任意幾何形狀的工724.2數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分及其基本思想Newton-cotes積分公式Gauss-Legendre積分公式等參元中積分階次的選擇搞舍嗓薪侯咕巡咆滇掩谷坦匯釋擾趕穗粟貨畦間留陸脫射鍺朱嶺琢厲糾唆有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分4.2數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分及其基本思想搞舍嗓薪侯咕巡咆滇掩谷坦73關(guān)于數(shù)值積分計算剛度矩陣及等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣的元素時，往往涉及到復(fù)雜函數(shù)的定積分，在有限元分析中廣泛采用數(shù)值積分方法。數(shù)值積分方法是一種近似的方法。一個函數(shù)的定積分可以通過n個結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值的加權(quán)組合來表示涉喪鑷幾川灰鉆懸樁氧烈朋緊撒棉奎庇轟酸般楞企鑷媳粕盞秒陋風(fēng)僳計甕有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講等參元和高斯積分關(guān)于數(shù)值積分計算剛度矩陣及等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣的元素時，往往涉及74數(shù)值積分的基本思想絲錳屁患淡面洲救呈濺癱枚朝鎳酌愧詐凡亮任締猜間翟凈膨扁渦壓廄潑艱有限元課件第4講等參元和高斯積分有限元課件第4講