階段性測試題十一

階段性測試題十一(統(tǒng)計與概率)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．(2011～2012·龍文中學(xué)、程溪中學(xué)、薌城中學(xué)三校聯(lián)考)某學(xué)校為了調(diào)查高三年級的200名文科學(xué)生完成課后作業(yè)所需時間，采取了兩種抽樣調(diào)查的方式：第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機(jī)抽取20名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查；第二種由教務(wù)處對該年級的文科學(xué)生進(jìn)行編號，從001到200，抽取學(xué)號最后一位為2的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，則這兩種抽樣的方法依次為()A．分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣B．簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣C．分層抽樣，系統(tǒng)抽樣D．簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣[答案]D2．(文)(2011～2012·襄陽調(diào)研)甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在某幾場比賽得分的莖葉圖如圖所示，則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是()A.63 B．64C．65 D．66[答案]A[解析]甲的中位數(shù)為36，乙的中位數(shù)為eq\f(1,2)(26＋28)＝27，故中位數(shù)之和為63.(理)(2011～2012·泉州五中模擬)下圖是七位評委為甲、乙兩名參賽歌手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲，乙兩名歌手得分的平均數(shù)分別為a和b，則一定有()A.a>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)，b的大小與m的值有關(guān)[答案]B[解析]由莖葉圖知，甲、乙兩歌手得分在各分?jǐn)?shù)段人數(shù)一樣多，去掉最低分與最高低后，a＝80＋eq\f(1,5)(5＋4＋5＋5＋1)＝84，b＝80＋eq\f(1,5)(4＋4＋6＋4＋7)＝85，∴a<b.3．(文)(2011～2012·平頂山、許昌、新鄉(xiāng)二調(diào))某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本．已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取的學(xué)生是()A．42名 B．38名C．40名 D．120名[答案]C[解析](1200－420－380)×eq\f(120,1200)＝40(名)．(理)(2011～2012·淄博一模)某單位有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，老、中、青職工共有430人．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A．16 B．18C．27 D．36[答案]B[解析]設(shè)中年職工有x人，則老年職工有eq\f(x,2)人，由160＋x＋eq\f(x,2)＝430得x＝180，∴老年職工有90人，設(shè)應(yīng)抽取老年職工t人，則eq\f(t,90)＝eq\f(32,160)，∴t＝18(人)．4．(2011～2012·濱州市沾化一中期末)在A，B兩個袋中都有6張分別寫有數(shù)字0,1,2,3,4,5的卡片，現(xiàn)從每個袋中任取一張卡片，則兩張卡片上數(shù)字之和為7的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)[答案]A[解析]所有基本事件共6×6＝36個，其中和為7的基本事件有4個，故所求概率P＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).5．(文)(2011～2012·河南開封市二模)將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)，則向量p與q共線的概率為()A.eq\f(1,18) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,9) D.eq\f(2,9)[答案]B[解析]基本事件共有36個，由p∥q得6m－3n∴n＝2m滿足條件的有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝2))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2,n＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝6))，∴所求概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(理)(2011～2012·安徽六校教育研究會聯(lián)考)連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角記為α，則α∈(0，eq\f(π,4))的概率為()A.eq\f(5,18) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)[答案]B[解析]連續(xù)投擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)m、n，構(gòu)成的向量a＝(m，n)，共有36個，a與b的夾角α∈(0，eq\f(π,4))，∴cosα＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(m,\r(m2＋n2))∈(eq\f(\r(2),2)，1)，即eq\f(\r(2),2)<eq\f(m,\r(m2＋n2))<1，∴n<m，滿足要求的向量a有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)共15個，∴所求概率P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).6．(文)(2011～2012·河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知甲、乙兩名籃球運(yùn)動員某十場比賽得分的莖葉圖如圖所示，則甲、乙兩人在這十場比賽中得分的平均數(shù)與方差的大小關(guān)系為()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙) B.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙Seq\o\al(2,甲)>Seq\o\al(2,乙)C.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙Seq\o\al(2,甲)>Seq\o\al(2,乙) D.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙)[答案]D[解析]從莖葉圖可見，乙的得分主要分布在前三個分?jǐn)?shù)段，并且從低分段到高分段個數(shù)減少，而甲的得分以30～40分?jǐn)?shù)段為主呈對稱布，故eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙).[點(diǎn)評]通過計算可以比較其大小，但運(yùn)算量較大，而觀察發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)分布具有明顯差別時，可不必計算．(理)(2011～2012·河北五校聯(lián)盟聯(lián)考)二項(xiàng)式(x＋eq\f(2,\r(x)))12展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．第7項(xiàng) B．第8項(xiàng)C．第9項(xiàng) D．第10項(xiàng)[答案]C[解析]通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,12)x12－r·(eq\f(2,\r(x)))r＝2r·Ceq\o\al(r,12)xeq\s\up15(12－eq\f(3r,2))，令12－eq\f(3r,2)＝0得，r＝8，∴常數(shù)項(xiàng)為第9項(xiàng)．7．(2011～2012·哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考)某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持和不支持兩種態(tài)度)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計算K2＝7.069，則所得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有()的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”．()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%[答案]C[解析]∵7.069>6.635，P(K2≥6.635)＝0.01，∴1－0.01＝0.99，故選C.8．(2011～2012·河北五校聯(lián)盟模擬)某學(xué)生四次模擬考試時，其英語作文的減分情況如下表：考試次數(shù)x1234所減分?jǐn)?shù)y4.5432.5顯然所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為()A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25[答案]D[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝2.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝31.5，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(31.5－4×2.5×3.5,30－4×2.52)＝－0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25，∴回歸直線方程為y＝－0.7x＋5.25.9．(文)若區(qū)域M＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，在區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則x2－y2≥0的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]C[解析]區(qū)域M是以(－2,0)，(2,0)，(0，－2)，(0,2)為頂點(diǎn)的正方形，如圖所示，其中滿足y2≤x2的是直線y＝x和y＝－x所夾的包含(－2,0)，(2,0)的兩塊區(qū)域即陰影部分，這個區(qū)域的面積恰好是區(qū)域M面積的一半，故所求的概率為eq\f(1,2).(理)(2011～2012·河北五校聯(lián)盟模擬)任取k∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|≥2eq\r(3)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(3),3)[答案]C[解析]圓心C(2,3)到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))，∵|MN|≥2eq\r(3)，∴d＝eq\r(r2－\f(|MN|,2)2)≤eq\r(4－3)＝1，即eq\f(2|k|,\r(1＋k2))≤1，解之得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，∴所求概率為P＝eq\f(\f(\r(3),3)－－\f(\r(3),3),\r(3)－－\r(3))＝eq\f(1,3).10．(文)(2011～2012·延邊州質(zhì)檢)下列命題中正確命題的個數(shù)是()(1)命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1則x2－3x＋2≠(2)設(shè)回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1＋2x中，x平均增加1個單位時，y平均增加2個單位(3)若p∧q為假命題，則p，q均為假命題(4)對命題p：?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0.A．4 B．3C．2 D．1[答案]B[解析]由逆否命題的定義知(1)正確；在回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1＋2x中，k＝2>0，(2)正確；p與q中只要有一個為假命題，則p∧q就是假命題，故(3)錯；特稱命題的否定為全稱命題，“<”的否定為“≥”，故④正確．(理)(2011～2012·綏化市一模)有5盆菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2盆黃菊花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花的不同擺放種數(shù)是()A．12 B．24C．36 D．48[答案]B[解析]2盆黃菊花必須相鄰，把它看作一個元素與紅菊花先排好，有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)種排法，在其形成的3個空位(不包括兩盆黃菊花之間的空位)中插入2盆白菊花有Aeq\o\al(2,3)種插法，∴共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24種．11．(2011～2012·廣東韶關(guān)兩校聯(lián)考)某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)登錯了，甲實(shí)得80分卻記成了50分，乙實(shí)得70分卻記成了100分，則更正后平均分和方差分別是()A．70,50 B．70,75C．70,72.5 D．65,70[答案]A[解析]∵甲、乙兩同學(xué)正確分?jǐn)?shù)的和與錯誤分?jǐn)?shù)的和相等，故平均分不變，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝70，設(shè)除甲、乙外的46名同學(xué)的分?jǐn)?shù)為xi，i＝1,2,3，…，46，由條件知，eq\f(1,48)×[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x46－70)2＋(50－70)2＋(100－70)2]＝75，∴(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x46－70)2＝2300，∴S2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x46－70)2＋(80－70)2＋(70－70)2]＝eq\f(1,48)[2300＋100]＝50，故選A.12．(文)(2011～2012·莆田一中質(zhì)檢)我市某學(xué)校在“9.11”舉行老師、學(xué)生消防知識比賽，報名的學(xué)生和教師的人數(shù)之比為6:1，學(xué)校決定按分層抽樣的方法從報名的師生中抽取35人組隊(duì)進(jìn)行比賽，已知教師甲被抽到的概率為eq\f(1,10)，則報名的學(xué)生人數(shù)是()A．350 B．30C．300 D．35[答案]C[解析](35÷eq\f(1,10))×eq\f(6,6＋1)＝300(人)．(理)(2011～2012·浙江六校聯(lián)考)四個大小相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、3，把它們放在一個盒子里，從中任意摸出兩個小球，它們所標(biāo)有的數(shù)字分別為x、y，記ξ＝x＋y，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為()A．2.5 B．3.5C．4.5 D．1.5[答案]B[解析]ξ的分布列為ξ2345Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)∴E(ξ)＝2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝3.5.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．)13．(文)(2011～2012·南通市調(diào)研)在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則|x|≤1的概率為________．[答案]eq\f(2,5)[解析]∵|x|≤1，∴－1≤x≤1，∴P＝eq\f(1－－1,3－－2)＝eq\f(2,5).(理)(2011～2012·陜西師大附中模擬)將一根長為10厘米的鐵絲用剪刀剪成兩段，再將每一段剪成相等的兩段，然后將剪開的4段鐵絲圍成一個矩形，則圍成的矩形面積大于6的概率等于________．[答案]eq\f(1,5)[解析]設(shè)剪成兩段長度分別為x,10－x，則圍成矩形的面積S＝eq\f(x,2)·(5－eq\f(x,2))，令S>6得，eq\f(x,2)(5－eq\f(x,2))>6，∴x(10－x)>24，∴4<x<6，∴所求概率為P＝eq\f(6－4,10)＝eq\f(1,5).14．(文)(2011～2012·浙江寧波市期末)連擲骰子兩次(骰子六個面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6)得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b，則使直線3x－4y＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝4相切的概率為________．[答案]eq\f(1,18)[解析]以(a，b)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有36個，直線與圓相切時，eq\f(|3a－4b|,5)＝2，∴|3a－4b|＝10，經(jīng)檢驗(yàn)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝2))時滿足，∴P＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(理)(2011～2012·溫州一測)某高校進(jìn)行自主招生面試時的程序如下：共設(shè)3道題，每道題答對給10分、答錯倒扣5分(每道題都必須回答，但相互不影響)．設(shè)某學(xué)生對每道題答對的概率都為eq\f(2,3)，則該學(xué)生在面試時得分的期望值為________分．[答案]15[解析]設(shè)該生面試時得分?jǐn)?shù)為ξ，則ξ的分布列為ξ30150－15Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)∴E(ξ)＝30×eq\f(8,27)＋15×eq\f(4,9)＋0×eq\f(2,9)＋(－15)×eq\f(1,27)＝15.15．(2011～2012·臺州市質(zhì)評)在某次法律知識競賽中，將來自不同學(xué)校的學(xué)生的成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知成績在[60,70)的學(xué)生有40人，則成績在[70,90)的有________人．[答案]25[解析]eq\f(40,0.04×10)×[(0.015＋0.01)×10]＝25(人)．16．(2011～2012·安徽名校聯(lián)考)已知x是1,2,3，x,5,6,7這七個數(shù)據(jù)的中位數(shù)，且1,3，x，－y這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)1，則eq\f(1,x)＋y的最小值為________．[答案]eq\f(10,3)[解析]由已知得3≤x≤5，eq\f(1＋3＋x－y,4)＝1，∴y＝x，∴eq\f(1,x)＋y＝eq\f(1,x)＋x，又函數(shù)y＝eq\f(1,x)＋x在[3,5]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝3時取最小值eq\f(10,3).三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分12分)(文)(2011～2012·平頂山、許昌、新鄉(xiāng)調(diào)研)某高校選派了8名廣州亞運(yùn)志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉英語，C1，C2通曉韓語．從中選出通曉日語、英語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．(1)求A1被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率．[解析](1)從8人中選出日語、英語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機(jī)會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6個基本事件組成，因而P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)用N表示“B1，C1不全被選中”這一事件，則其對應(yīng)事件eq\o(N,\s\up6(－))表示“B1，C1全被選中”這一事件，由于eq\o(N,\s\up6(－))＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件eq\o(N,\s\up6(－))有3個基本事件組成，所以P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6)，由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).(理)(2011～2012·延邊州質(zhì)檢)文科班某同學(xué)參加吉林省學(xué)業(yè)水平測試，物理、化學(xué)、生物獲得等級A和獲得的等級不是A的機(jī)會相等，物理、化學(xué)、生物獲得等級A的事件分別記為W1、W2、W3，物理、化學(xué)、生物獲得等級不是A的事件分別記為eq\o(W,\s\up6(－))1、eq\o(W,\s\up6(－))2、eq\o(W,\s\up6(－))3.(1)試列舉該同學(xué)這次水平測試中物理、化學(xué)、生物成績是否為A的所有可能結(jié)果(如三科成績均為A記為(W1，W2，W3))；(2)求該同學(xué)參加這次水平測試中恰好獲得兩個A的概率；(3)試設(shè)計一個關(guān)于該同學(xué)參加這次水平測試物理、化學(xué)、生物成績情況的事件，使該事件的概率大于85%，并說明理由．[解析](1)該同學(xué)這次學(xué)業(yè)水平測試中物理、化學(xué)、生物成績是否為A的可能結(jié)果有8種，分別為(W1，W2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，W3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(W1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)；(2)由(1)可知，恰有兩個A的情況為(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，W3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(W1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)三個，從而其概率為P＝eq\f(3,8).(3)方案一：該同學(xué)參加這次學(xué)業(yè)水平測試中物理、化學(xué)、生物成績不全為A的事件概率大于85%，理由如下：該同學(xué)參加這次學(xué)業(yè)水平測試中物理、化學(xué)、生物成績不全為A的事件有如下七種情況：(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，W3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(W1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)，概率是P＝eq\f(7,8)＝0.875>85%.方案二：該同學(xué)參加這次學(xué)業(yè)水平測試中物理、化學(xué)、生物成績至少一個A的事件概率大于85%，理由如下：該同學(xué)參加這次學(xué)業(yè)水平測試中物理、化學(xué)、生物成績至少有一個為A的事件有如下七種情況：(W1，W2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，W3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(W1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)，概率是P＝eq\f(7,8)＝0.875>85%.(方案一或二中任意一種都可以)18．(本小題滿分12分)(文)(2011～2012·青島市期末)已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0,x>0,y>0))內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，設(shè)A＝{y＝f(x)有兩個零點(diǎn)，其中一個大于1，另一個小于1}，求事件A發(fā)生的概率．[解析](1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝eq\f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.若a＝1，則b＝－1，若a＝2則b＝－1,1，若a＝3，則b＝－1,1，記B＝{函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)}則事件B包含基本事件的個數(shù)是1＋2＋2＝5，∴P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絜q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0))))))，其面積SΩ＝eq\f(1,2)×8×8＝32.事件A構(gòu)成的區(qū)域：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0,f1<0))))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0,a－4b＋1<0))))))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0,a－4b＋1＝0))，得交點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(31,5)，eq\f(9,5))，∴SA＝eq\f(1,2)×(8－eq\f(1,4))×eq\f(31,5)＝eq\f(961,40)，∴事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(961,1280).(理)(2011～2012·泉州五中模擬)某旅游公司為甲，乙兩個旅游團(tuán)提供四條不同的旅游線路，每個旅游團(tuán)可任選其中一條旅游線路．(1)求甲、乙兩個旅游團(tuán)所選旅游線路不同的概率．(2)某天上午9時至10時，甲，乙兩個旅游團(tuán)都到同一個著名景點(diǎn)游覽，20分鐘后游覽結(jié)束即離去．求兩個旅游團(tuán)在該著名景點(diǎn)相遇的概率．[解析](1)用1,2,3,4表示四條不同的旅游線路，甲選旅游線路a，乙選旅游線路b，用(a，b)表示a，b＝1,2,3,4.所有的基本事件為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．記“甲，乙兩個旅游團(tuán)所選旅游線路不同”為事件A，∴P(A)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).答：甲，乙兩個旅游團(tuán)所選旅游線路不同的概率為eq\f(3,4).(2)設(shè)甲，乙兩個旅游團(tuán)到達(dá)著名景點(diǎn)的時刻分別為x，y，依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤60,0≤y≤60,|x－y|≤20))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤60,0≤y≤60,x－y≤20,x－y≥－20))，作出不等式表示的平面區(qū)域如圖．記“兩個旅游團(tuán)在著名景點(diǎn)相遇”為事件BP(B)＝eq\f(60×60－40×40,60×60)＝eq\f(5,9)，答：兩個旅游團(tuán)在著名景點(diǎn)相遇的概率為eq\f(5,9).19．(本小題滿分12分)(文)(2011～2012·南昌一模)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20～80mg/100ml(不含80)之間，屬于酒后駕車；在80mg/100ml(含80)以上時，屬醉酒駕車，對于酒后駕車和醉酒駕車的駕駛員公安機(jī)關(guān)將給予不同程度的處罰．某市公安局交通管理部門在某路段的一次攔查行動中，依法檢查了250輛機(jī)動車，查出酒后駕車和醉酒駕車的駕駛員20人，下圖是對這20人血液中酒精含量進(jìn)行檢查所得結(jié)果的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求此次抽查的250人中，醉酒駕車的人數(shù)；(2)從血液酒精濃度在[70,90)范圍內(nèi)的駕駛員中任取2人，求恰有1人屬于醉酒駕車的概率．[解析](1)酒精含量(單位：mg/100ml)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人數(shù)3441酒精含量(單位：mg/100ml)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)2321所以醉酒駕車的人數(shù)為2＋1＝3人．(2)因?yàn)檠壕凭珴舛仍赱70,80)內(nèi)范圍內(nèi)有3人，記為a，b，c，[80,90)范圍內(nèi)有2人，記為d，e，則從中任取2人的所有情況為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種．恰有一人的血液酒精濃度在[80,90)范圍內(nèi)的情況有(a，d)，(a，e)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，共6種，設(shè)“恰有1人屬于醉酒駕車”為事件A，則P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(理)(2011～2012·吉林重點(diǎn)中學(xué)一模)為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖．已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列{an}的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列{bn}的前六項(xiàng)．(1)求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求等差數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(3)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生，試估計該校新生的近視率μ的大?。甗解析](1)由題意知：a1＝0.1×0.1×100＝1，a2＝0.3×0.1×100＝3，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴公比q＝eq\f(a2,a1)＝3，∴an＝a1qn－1＝3n－1.(2)∵a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，∴b1＋b2＋…＋b6＝100－(a1＋a2＋a3)＝87，∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∴設(shè)數(shù)列{bn}公差為d，則得b1＋b2＋…＋b6＝6b1＋15d，∴6b1＋15d＝87，∵b1＝a4＝27，∴d＝－5，∴bn＝32－5n.(3)μ＝eq\f(a1＋a2＋a3＋b1＋b2＋b3＋b4,100)＝0.91，(或μ＝1－eq\f(b5＋b6,100)＝0.91)答：估計該校新生近視率為91%.20．(本小題滿分12分)(2011～2012·龍文中學(xué)、程溪中學(xué)、薌城中學(xué)三校聯(lián)考)某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)求回歸直線方程；(2)試預(yù)測廣告費(fèi)支出為10萬元時，銷售額多大？(3)在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組，求至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對值不超過5的概率．(參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝13500，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380)．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝eq\f(25,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝eq\f(250,5)＝50，又已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380，于是可得：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×5×5)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.(2)根據(jù)上面求得的回歸直線方程得，當(dāng)x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5×10＋17.5＝82.5(萬元)，即當(dāng)廣告費(fèi)支出為10萬元時，這種產(chǎn)品的銷售收入大約為82.5萬元．(3)解：x24568y3040605070eq\o(y,\s\up6(^))30.543.55056.569.5基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10個．兩組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對值都超過5的只有(60,50)．所以至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測值與實(shí)際值之差的絕對值不超過5的概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).21．(本小題滿分12分)(文)(2011～2012·哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)汽車是碳排放量比較大的行業(yè)之一．歐盟規(guī)定，從2012年開始，將對CO2排放量超過130g/km的M1型新車進(jìn)行懲罰(視為排放量超標(biāo))．某檢測單位對甲、乙兩類M1型品牌車各抽取5輛進(jìn)行CO2排放量檢測，記錄如下：(單位：g/km)甲80110120140150乙100120xy160經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙品牌車CO2排放量的平均值為eq\o(x,\s\up6(－))乙＝120g/km.(1)從被檢測的5輛甲類品牌車中任取2輛，則至少有一輛CO2排放量超標(biāo)的概率是多少？(2)若90<x<130，試比較甲、乙兩類品牌車CO2排放量的穩(wěn)定性．[解析](1)從被檢測的5輛甲類品牌車中任取2輛，共有10種不同的CO2排放量結(jié)果：80,100；80,120；80,140；80,150；，110,120；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150.設(shè)“至少有一輛不符合CO2排放量”為事件A，則事件A包含以下7種不同的結(jié)果：80,140；80,150；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150，所以P(A)＝eq\f(7,10)＝0.7.(2)由題可知，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝120，∴x＋y＝220，5Seq\o\al(2,甲)＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2＝30005Seq\o\al(2,乙)＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(y－120)2＋(160－120)2＝2000＋(x－120)2＋(y－120)2，∵x＋y＝220，∴5Seq\o\al(2,乙)＝2000＋(x－120)2＋(x－100)2，令x－120＝t，∵90<x<130，∴－30<t<10，∴5Seq\o\al(2,乙)＝2000＋t2＋(t＋20)2，∴5Seq\o\al(2,乙)－5Seq\o\al(2,甲)＝2t2＋40t－600＝2(t＋30)(t－10)<0，∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝120，Seq\o\al(2,乙)<Seq\o\al(2,甲)，∴乙類品牌車碳排放量的穩(wěn)定性好．(理)(2011～2012·綏化市一模)某高中社團(tuán)進(jìn)行社會實(shí)踐，對[25,55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次是否開通“微博”的調(diào)查，若開通“微博”的稱為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”．通過調(diào)查分別得到如圖1所示統(tǒng)計表和如圖2所示的各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖.組數(shù)分組時尚族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)1200.6第二組[30,35)195P第三組[35,40)1000.5第四組[40,45)a0.4第五組[45,50)300.3第六組[50,55]150.3請完成以下問題：(1)補(bǔ)全頻率直方圖，并求n，a，p的值；(2)從[40,45)歲和[45,50)歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取18人參加網(wǎng)絡(luò)時尚達(dá)人大賽，其中選取3人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的3名領(lǐng)隊(duì)中年齡在[40,50)歲的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．[解析](1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高為eq\f(0.3,5)＝0.06.頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)為eq\f(120,0.6)＝200，頻率為0.04×5＝0.2，所以n＝eq\f(200,0.2)＝1000，所以第二組的人數(shù)為1000×0.3＝300，p＝eq\f(195,300)＝0.65，第四組的頻率為0.03×5＝0.15，第四組的人數(shù)為1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因?yàn)閇40,45)歲與[45,50)歲年齡段的“時尚族”的比值為60:30＝2:1，所以采用分層抽樣法抽取18人，[40,45)歲中有12人，[45,50)歲中有6人．隨機(jī)變量X服從超幾何分布．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,12)C\o\al(3,6),C\o\al(3,18))＝eq\f(5,204)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(2,6),C\o\al(3,18))＝eq\f(15,68)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,12)C\o\al(1,6),C\o\al(3,18))＝eq\f(33,68)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(0,6),C\o\al(3,18))＝eq\f(55,204)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(5,204)eq\f(15,68)eq\f(33,68)eq\f(55,204)∴數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(5,204)＋1×eq\f(15,68)＋2×eq\f(33,68)＋3×eq\f(55,204)＝2，(或者E(X)＝eq\f(12×3,18)＝2)．[點(diǎn)評]若X服從參數(shù)為N、M、n的超幾何分布，則E(X)＝eq\f(M·n,N).22．(本小題滿分14分)(文)(2011～2012·安徽名校聯(lián)考)某校在一次對喜歡數(shù)學(xué)學(xué)科和喜歡語文學(xué)科的同學(xué)的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：數(shù)學(xué)學(xué)科語文學(xué)科總計男生401858女生152742總計5545100(1)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，喜歡語文學(xué)科的同學(xué)是否與性別有關(guān)？(2)用分層抽樣方法在喜歡語文學(xué)科的同學(xué)中隨機(jī)抽取5名，女同學(xué)應(yīng)該抽取幾名？(3)在上述抽取的5名同學(xué)中任取2名，求恰有1名同學(xué)為男性的概率．[解析](1)因?yàn)槟行缘?8名同學(xué)中有18名喜歡語文學(xué)科，而女性的42名同學(xué)中有27名喜歡語文學(xué)科，所以，經(jīng)直觀分析，喜歡語文學(xué)科的同學(xué)是與性別有關(guān)的．(2)從題中所給條件可以看出喜歡語文學(xué)科的同學(xué)共有45人，隨機(jī)抽取5人，則抽樣比為eq\f(5,45)＝eq\f(1,9)，而女生應(yīng)抽取27×eq\f(1,9)＝3(人)．(3)抽取的5名同學(xué)中女生有3人，男生有2人，記女生為a1，a2，a3，男生為b1，b2，則從5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)共10個，其中恰有1個男生的有6個，故所求概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(理)(2011～2012·深圳市調(diào)研)隨機(jī)調(diào)查某社區(qū)80個人，以研究這一社區(qū)居民在20:00～22:00時間段的休閑方式與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：休閑方式性別看電視看書合計男105060女101020合計206080(1)將此樣本的頻率作為總體的概率估計，隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和期望；(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“在20:00～22:00時間段的休閑方式與性別有關(guān)系”？參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635[解析](1)依題意，隨機(jī)變量X的取值為：0,1,2,3，且每個男性在這一時間段以看書為休閑方式的概率為p＝eq\f(5,6).方法一：P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(1,6))3＝eq\f(1,216)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,6))2(eq\f(5,6))＝eq\f(5,72)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,6))(eq\f(5,6))2＝eq\f(25,72)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(5,6))3＝eq\f(125,216).∴X的分布列為：X0123Peq\f(1,216)eq\f(5,72)eq\f(25,72)eq\f(125,216)∴E(X)＝0×eq\f(1,216)＋1×eq\f(5,72)＋2×eq\f(25,72)＋3×eq\f(125,216)＝eq\f(5,2).方法二：根據(jù)題意可得X～B(3，eq\f(5,6))，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(1,6))3－k(eq\f(5,6))k，k＝0,1,2,3.∴E(X)＝np＝3×eq\f(5,6)＝eq\f(5,2).(2)提出假設(shè)H0：休閑方式與性別無關(guān)系，根據(jù)樣本提供的2×2列聯(lián)表得k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(80×10×10－10×502,60×20×20×60)＝eq\f(80,9)≈8.889>6.635.因?yàn)楫?dāng)H0成立時K2≥6.635的概率約為0.01，所以我們有99%的把握認(rèn)為“在2000～2200時間段的休閑方式與性別有關(guān)系”．1．(2011～2012·江西贛州市期末)若a＝eq\i\in(0,π,)(sint＋cost)dt，則(x＋eq\f(1,ax))6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A．－eq\f(1,8) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(5,2) D.eq\f(5,2)[答案]D[解析]a＝eq\i\in(0,π,)(sint＋cost)dt＝(－cost＋sint)|eq\o\al(π,0)＝2，∴(x＋eq\f(1,ax))6＝(x＋eq\f(1,2x))6展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r·(eq\f(1,2x))r＝(eq\f(1,2))r·Ceq\o\al(r,6)·x6－2r，令6－2r＝0得r＝3，∴常數(shù)項(xiàng)為T4＝(eq\f(1,2))3·Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(5,2).2．(2011～2012·湄潭中學(xué)檢測)2名男生和2名女生站成一排，則2名男生相鄰的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]C[解析]將兩名男生記為A、B，兩名女生記為c、d，則站成一排的所有可能情況有