某大學數(shù)學科學學院課件

廈門大學數(shù)學科學學院杜妮關(guān)于線性方程組的12/29/20221廈門大學數(shù)學科學學院杜妮關(guān)于線性方程組的與線性方程組相關(guān)的數(shù)學史線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線關(guān)于“線性方程組”的教學體會12/29/20222與線性方程組相關(guān)的數(shù)學史線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線關(guān)于“線性代數(shù)作為一個獨立的分支在20世紀才形成，然而它的歷史卻非常久遠。最古老的線性問題是線性方程組的解法。

中國古代的數(shù)學著作《九章算術(shù)·方程》中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實質(zhì)上相當于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法，即高斯消元法。

12/29/20223線性代數(shù)作為一個獨立的分支在20世紀才形成，然而它的歷史卻非在西方，線性方程組的研究是在

17

世紀后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組。

隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數(shù)的發(fā)展。

12/29/20224在西方，線性方程組的研究是在

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世紀后期由萊布尼茨開創(chuàng)的大量的科學技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進展?，F(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計算數(shù)學中占有重要地位。

12/29/20225大量的科學技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方線性方程組為主線如何判斷方程組是否有解有解時如何求解解的結(jié)構(gòu)12/29/20226線性方程組為主線如何判斷方程組是否有解有解時如何求解解的結(jié)構(gòu)（行列式）（矩陣、初等變換）12/29/20227（行列式）判斷解的存在性和

唯一性定義

Ax=b的系數(shù)矩陣:A;增廣矩陣:解的判定12/29/20228判斷解的存在性和

唯一性定義12/28/20228多解時，解與解之間的關(guān)系？〔向量、線性相關(guān)性、根底解系〕解的構(gòu)造_特解+導出組通解 12/29/20229多解時，解與解之間的關(guān)系？〔向量、線性相關(guān)性、根底解系〕12對“線性方程組”教學內(nèi)容的教學體會1、討論一個向量能否由一組向量線性表示的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組解的存在性及唯一性問題。線性方程組有解12/29/202210對“線性方程組”教學內(nèi)容的教學體會1、討論一個向量能12/29/20221112/28/2022112、對非齊次線性方程組解的構(gòu)造的進一步分析齊次線性方程組的解向量集合構(gòu)成子空間，但非齊次線性方程組的解向量集合則不然。下例給出了非齊次線性方程組的解向量組成的向量組的極大無關(guān)組。12/29/2022122、對非齊次線性方程組解的構(gòu)造的進一步分析齊次線性方程組的解12/29/20221312/28/202213

注：對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給的個解稱為其基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線性組合只有當線性組合系數(shù)之和為1時，才是方程組的解．12/29/202214注：對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給12/28/23、方程組Ax=0的解全是Bx=0的解的充要條件是B的行向量可由A的行向量線性表示.

方程組Ax=0的解與Bx=0同解的充要條件是A的行向量組與B的行向量組等價.

12/29/2022153、方程組Ax=0的解全是Bx=0的解的充要條件是B的行向量例對實矩陣Am×n,證明12/29/202216例對實矩陣Am×n,證明12/28/2022164、線性映射的核例設(shè).定義線性映射A: 則KerA即為Ax=0的解空間.注：由同構(gòu)的思想，求線性映射的核空間的問題可轉(zhuǎn)化為求上述KerA的問題.12/29/2022174、線性映射的核例設(shè).定義例是V的一組基,是U的一組基, 求12/29/202218例是V的一組基12/29/20221912/28/202219例：設(shè)V是四維行向量空間,內(nèi)積為標準內(nèi)積,

求V中與矩陣

的每個行向量都正交的全體向量所構(gòu)成的子空間的維數(shù)。5、齊次線性方程組Ax=0的解空間即為與A的每個行向量都正交的全體向量所構(gòu)成的子空間.12/29/202220例：設(shè)V是四維行向量空間,內(nèi)積為標準內(nèi)積,求V中與矩陣

謝謝！12/29/202221謝謝！12/28/202221

廈門大學數(shù)學科學學院杜妮關(guān)于線性方程組的12/29/202222廈門大學數(shù)學科學學院杜妮關(guān)于線性方程組的與線性方程組相關(guān)的數(shù)學史線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線關(guān)于“線性方程組”的教學體會12/29/202223與線性方程組相關(guān)的數(shù)學史線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線關(guān)于“線性代數(shù)作為一個獨立的分支在20世紀才形成，然而它的歷史卻非常久遠。最古老的線性問題是線性方程組的解法。

中國古代的數(shù)學著作《九章算術(shù)·方程》中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實質(zhì)上相當于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法，即高斯消元法。

12/29/202224線性代數(shù)作為一個獨立的分支在20世紀才形成，然而它的歷史卻非在西方，線性方程組的研究是在

17

世紀后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組。

隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數(shù)的發(fā)展。

12/29/202225在西方，線性方程組的研究是在

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世紀后期由萊布尼茨開創(chuàng)的大量的科學技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進展?，F(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計算數(shù)學中占有重要地位。

12/29/202226大量的科學技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方線性方程組為主線如何判斷方程組是否有解有解時如何求解解的結(jié)構(gòu)12/29/202227線性方程組為主線如何判斷方程組是否有解有解時如何求解解的結(jié)構(gòu)（行列式）（矩陣、初等變換）12/29/202228（行列式）判斷解的存在性和

唯一性定義

Ax=b的系數(shù)矩陣:A;增廣矩陣:解的判定12/29/202229判斷解的存在性和

唯一性定義12/28/20228多解時，解與解之間的關(guān)系？〔向量、線性相關(guān)性、根底解系〕解的構(gòu)造_特解+導出組通解 12/29/202230多解時，解與解之間的關(guān)系？〔向量、線性相關(guān)性、根底解系〕12對“線性方程組”教學內(nèi)容的教學體會1、討論一個向量能否由一組向量線性表示的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組解的存在性及唯一性問題。線性方程組有解12/29/202231對“線性方程組”教學內(nèi)容的教學體會1、討論一個向量能12/29/20223212/28/2022112、對非齊次線性方程組解的構(gòu)造的進一步分析齊次線性方程組的解向量集合構(gòu)成子空間，但非齊次線性方程組的解向量集合則不然。下例給出了非齊次線性方程組的解向量組成的向量組的極大無關(guān)組。12/29/2022332、對非齊次線性方程組解的構(gòu)造的進一步分析齊次線性方程組的解12/29/20223412/28/202213

注：對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給的個解稱為其基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線性組合只有當線性組合系數(shù)之和為1時，才是方程組的解．12/29/202235注：對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給12/28/23、方程組Ax=0的解全是Bx=0的解的充要條件是B的行向量可由A的行向量線性表示.

方程組Ax=0的解與Bx=0同解的充要條件是A的行向量組與B的行向量組等價.

12/29/2022363、方程組Ax=0的解全是Bx=0的解的充要條件是B的行向量例對實矩陣Am×n,證明12/29/202237例對實矩陣Am×n,證明12/28/2022164、線性映射的核例設(shè).定義線性映射A: 則KerA即為Ax=0的解空間.注：由同構(gòu)的思想，求線性映射的核空間的問題可轉(zhuǎn)化為求上述KerA的問題.12/29/2022384、線性映射的核例設(shè).定義例是V的一組基,是U的一組基, 求12/29/202239例是V的一組基