“平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)”辨析

“平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)”辨析

中位數(shù)和眾數(shù)是根據(jù)《數(shù)學(xué)課標(biāo)》的要求新增加的教學(xué)內(nèi)容。在平均數(shù)不能有效地反映出一組數(shù)據(jù)的基本特點(diǎn)時(shí)，往往選用眾數(shù)或中位數(shù)來(lái)表達(dá)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖然都代表一組數(shù)據(jù)典型水平或集中趨勢(shì)的量，但是它們反映數(shù)據(jù)的特征有所不同。下面談?wù)勥@三種統(tǒng)計(jì)量之間的異同點(diǎn)：

一、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的相同點(diǎn)

平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都叫統(tǒng)計(jì)量，它們?cè)诮y(tǒng)計(jì)中，有著廣泛的應(yīng)用。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的“特征數(shù)”，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同側(cè)面給我們提供了同一組數(shù)據(jù)的面貌，平均數(shù)和中位數(shù)都有單位(眾數(shù)如果表示的是數(shù)時(shí)，也有單位)；它們的單位和本組數(shù)據(jù)的單位相同。三者都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表。

二、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的不同點(diǎn)

(一)三者的定義及優(yōu)缺點(diǎn)不同。

1．平均數(shù)。

①平均數(shù)的定義及特點(diǎn)。

小學(xué)數(shù)學(xué)里所講的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù)，也就是一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商。

在統(tǒng)計(jì)中算術(shù)平均數(shù)常用于表示統(tǒng)計(jì)對(duì)象的一般水平，它是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。既可以用它來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的一般情況(用平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的情況，有直觀、簡(jiǎn)明的特點(diǎn))，也可以用它進(jìn)行不同組數(shù)據(jù)的比較，可以看出組與組之間的差別。平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，與這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都有關(guān)系；用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較可靠和穩(wěn)定，它與這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都有關(guān)系，所有的數(shù)據(jù)都參加運(yùn)算，對(duì)這些數(shù)據(jù)所包含的信息的反映最為充分，因而應(yīng)用最為廣泛，特別是在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)有重要作用，但計(jì)算較繁瑣，并且易受極端數(shù)據(jù)的影響。在平均數(shù)中有一種去尾平均數(shù)，它是將一組數(shù)據(jù)的其中一個(gè)最大值和一個(gè)最小值去掉后其余數(shù)值的平均數(shù)．它保留了平均數(shù)的集中趨勢(shì)代表性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)．，又具有中位數(shù)的可排除個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大所帶來(lái)的影響的特點(diǎn)，因而當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)較少、且可能個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，常用去尾平均數(shù)去描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．例如，體操比賽時(shí)給每個(gè)運(yùn)動(dòng)員評(píng)分，實(shí)際上用的就是去尾平均數(shù)：若干個(gè)裁判員同時(shí)給一個(gè)運(yùn)動(dòng)員完成的動(dòng)作評(píng)分；然后在去掉其中一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，將其余分?jǐn)?shù)的平均數(shù)作為該運(yùn)動(dòng)員的得分。

②平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。

反映一組數(shù)的總體情況比中位數(shù)、眾數(shù)更為可靠、穩(wěn)定，它也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)計(jì)算離差、相關(guān)和統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。

③平均數(shù)的缺點(diǎn)。

平均數(shù)需要整批數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加人計(jì)算，因此，在數(shù)據(jù)有個(gè)別缺失的情況下，則無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算。一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都要參加計(jì)算才能求出，特別是當(dāng)一組數(shù)量較大的數(shù)據(jù)，其計(jì)算的工作量也較大。平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，從而使人對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生懷疑。這也就是為什么在許多競(jìng)賽場(chǎng)合下對(duì)評(píng)委亮分后的成績(jī)分?jǐn)?shù)，要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，爾后再計(jì)算平均數(shù)的一種考慮。

2．中位數(shù)。

①中位數(shù)的定義及特點(diǎn)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，為最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。用中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性不高，但受極端數(shù)據(jù)影響的可能性小一些，有利于表達(dá)這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”。

②中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。

簡(jiǎn)單明了，很少受一組數(shù)據(jù)的極端值的影響。

③中位數(shù)的缺點(diǎn)。

中位數(shù)不受其數(shù)據(jù)分布兩端數(shù)據(jù)的影響，因此中位數(shù)缺乏靈敏性，不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息。當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)已經(jīng)分組或靠近中位數(shù)附近有重復(fù)數(shù)據(jù)出現(xiàn)時(shí)，則難以用簡(jiǎn)單的方法確定中位數(shù)。

3．眾數(shù)。

①眾數(shù)的定義及特點(diǎn)。

幾組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這批數(shù)據(jù)的眾數(shù)。用眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性較差，但眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，并且求法簡(jiǎn)便，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，適宜選擇眾數(shù)來(lái)表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”。一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往是人們尤為關(guān)心的一個(gè)量，但各個(gè)數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒(méi)有特別意義。

如果一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)(一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)成為頻數(shù))最多的是并列的兩個(gè)數(shù)，不是用這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)做它們的眾數(shù)，而是說(shuō)這兩個(gè)值都是它們的眾數(shù)。如果一組數(shù)據(jù)中沒(méi)有哪一個(gè)數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)比別的多，我們就說(shuō)它們沒(méi)有眾數(shù)。沒(méi)有眾數(shù)，不能說(shuō)眾數(shù)為O。眾數(shù)也可能不是數(shù)。

例如：2002年8月，某書(shū)店各類圖書(shū)銷(xiāo)售情況如下圖：8月份書(shū)店售出各類圖書(shū)的眾數(shù)是——。

回答應(yīng)該是：8月份書(shū)店售出各類圖書(shū)眾數(shù)是文化藝術(shù)類。

②眾數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。

比較容易了解一組數(shù)據(jù)的大致情況，不受極端數(shù)據(jù)的影響，并且求法簡(jiǎn)便。

③眾數(shù)的缺點(diǎn)。

當(dāng)一組數(shù)據(jù)變化很大時(shí)，它只能用來(lái)大略地估計(jì)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。

(二)三者的計(jì)算方法不同。

1．求平均數(shù)時(shí)，就用各數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，得數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

2．求中位數(shù)時(shí)，首先要先排序(從小到大或從大到小)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，最中間的一個(gè)數(shù)就是中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。

3．眾數(shù)由所給數(shù)據(jù)可直接求出，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是眾數(shù)。

(三)三者的適用范圍不同。

1．平均數(shù)的計(jì)算中要用到每一個(gè)數(shù)據(jù)，因而它反映的是一組數(shù)據(jù)的總體水平，選擇特征數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí)，我們用得最多的是平均數(shù)，用它作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較可靠和穩(wěn)定，它與這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，能夠最為充分地反映這組數(shù)據(jù)所包含的信息，在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)有重要的作用，但容易受到極端數(shù)據(jù)的影響。在大多數(shù)情況下人們喜歡使用平均數(shù)這一指標(biāo)來(lái)代表一批數(shù)據(jù)或用它來(lái)反映大量事物的整體水平。

例如：用平均分反映一個(gè)班級(jí)學(xué)生的某項(xiàng)能力測(cè)驗(yàn)結(jié)果；用平均分來(lái)集中概括一些競(jìng)賽場(chǎng)合下各位評(píng)委對(duì)參賽選手進(jìn)行評(píng)分的總結(jié)果等等。

2．中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)的中間量，代表了中等水平。中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于中間位置，在統(tǒng)計(jì)學(xué)分析中扮演著“分水嶺”的角色，由中位數(shù)可以對(duì)事物的大體趨勢(shì)進(jìn)行判斷和掌控。在個(gè)別的數(shù)據(jù)過(guò)大或過(guò)小的情況下，“平均數(shù)”代表數(shù)據(jù)整體水平是有局限性的，也就是說(shuō)個(gè)別極端數(shù)據(jù)是會(huì)對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生較大的影響的，而對(duì)中位數(shù)的影響則不那么明顯。

所以，這時(shí)用中位數(shù)來(lái)代表整體數(shù)據(jù)更合適。即：如果在一組相差較大的數(shù)據(jù)中，用中位數(shù)作為表示這組數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計(jì)量往往更有意義。

例如：甲乙兩學(xué)生射擊的環(huán)數(shù)如下：甲：10環(huán)、10環(huán)、9環(huán)、3環(huán)。乙：9環(huán)、5環(huán)、3環(huán)、2環(huán)。請(qǐng)你試一試如何評(píng)價(jià)他們的射擊成績(jī)。這里甲有2個(gè)10環(huán)，1個(gè)9環(huán)，一個(gè)意外的3環(huán)，對(duì)于這個(gè)3環(huán)，可以看作是一個(gè)奇異值或極端數(shù)據(jù)，如用平均數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)甲的總成績(jī)就不能客觀反映甲的射擊環(huán)數(shù)主要是9環(huán)與10環(huán)的事實(shí)。由于數(shù)據(jù)中有一個(gè)極低數(shù)值出現(xiàn)，故計(jì)算平均數(shù)時(shí)就一下子把分?jǐn)?shù)降下來(lái)了。采用中位數(shù)9．5環(huán)較合適。乙的射擊成績(jī)中5環(huán)以下有3次，還有一次是意外的9環(huán)，對(duì)這組數(shù)據(jù)，如計(jì)算平均數(shù)后是5環(huán)，但用5環(huán)來(lái)代表乙的成績(jī)?cè)谝欢ǔ潭壬掀吖烙?jì)了乙的總體成績(jī)，所以采用中位數(shù)4環(huán)比較合宜。

3．眾數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平，若一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)的頻數(shù)比較大，并且與其他數(shù)據(jù)的頻數(shù)相差較大時(shí)，我們一般選用眾數(shù)。眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，當(dāng)眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)越多，它就越能代表這組數(shù)據(jù)的整體狀況，并且它能比較直觀地了解到一組數(shù)據(jù)的大致情況。但是，當(dāng)一組數(shù)據(jù)大小不同，差異又很大時(shí)，就很難判斷眾數(shù)的準(zhǔn)確值了。此外，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的那個(gè)眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)不具明顯優(yōu)勢(shì)時(shí)，用它來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的典型水平是不大可靠的。眾數(shù)與各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，不受個(gè)別數(shù)據(jù)的影響，有時(shí)是我們最為關(guān)心的數(shù)據(jù)。

例如：，某班42名同學(xué)，年齡11歲的有24個(gè)人，年齡10歲的有8個(gè)人，年齡12歲的有6個(gè)人，年齡超過(guò)12歲的有4個(gè)人。則該班同學(xué)年齡分布的眾數(shù)為11歲，它表明該班年齡為11歲的同學(xué)最多。(注意眾數(shù)不是24人)

總之，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同的側(cè)面向我們提供了一組數(shù)據(jù)的面貌，我們可以把這三種特征數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，但它們所表示的意義是不同的。

選用它們表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí)，一般是遵循“多數(shù)原則”，即哪種特征數(shù)能代表這組數(shù)據(jù)的絕大多數(shù)，正確選用合適的特征數(shù)來(lái)說(shuō)明、評(píng)價(jià)、分析實(shí)際問(wèn)題，避免誤用和濫用。關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的知識(shí)我們可以總結(jié)為：

分析數(shù)據(jù)平中眾，比較接近選平均，相差較大看中位，頻數(shù)較大用眾數(shù)；

所有數(shù)據(jù)定平均，個(gè)數(shù)去除數(shù)據(jù)和，即可得到平均數(shù)；大小排列知中位；

整理數(shù)據(jù)順次排，單個(gè)數(shù)據(jù)取中問(wèn)，雙個(gè)數(shù)據(jù)兩平均；頻數(shù)最大是眾數(shù)。新課程下的小學(xué)數(shù)學(xué)課外作業(yè)設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)課外作業(yè)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的延伸和繼續(xù)，是課堂內(nèi)容的提升和綜合,是學(xué)科知識(shí)的應(yīng)用和遷移。合理的數(shù)學(xué)課外作業(yè)的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生更好得掌握知識(shí)和技能，進(jìn)而使學(xué)生在思維、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展，并形成樂(lè)于探究的態(tài)度，從而全面實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)。數(shù)學(xué)課作業(yè)的形式一般有：1、游戲類作業(yè)游戲是激發(fā)興趣的最好載體。游戲作業(yè)帶有“玩”的色彩，設(shè)計(jì)游戲類作業(yè)要考慮與所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容有關(guān)系，此類作業(yè)主要用于低中年級(jí)。如《認(rèn)位置》一課后，布置學(xué)生回家和鄰居的小朋友一起做左手、右手的游戲；《認(rèn)識(shí)物體》一課后，讓學(xué)生做一個(gè)認(rèn)識(shí)物體的游戲：把一個(gè)同學(xué)的眼睛蒙起來(lái)，讓他們用手摸桌上的東西，說(shuō)出是什么東西，并說(shuō)出是根據(jù)什么性質(zhì)辨認(rèn)出來(lái)的。這樣的作業(yè)學(xué)生非常樂(lè)意去完成，課后游戲成為課堂教學(xué)的后續(xù)活動(dòng)。2、創(chuàng)作類作業(yè)數(shù)學(xué)創(chuàng)作可以拓展學(xué)生想象的空間，增強(qiáng)和豐富他們的想象力，可以是數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)故事等不同形式。讓學(xué)生把平時(shí)觀察到的身邊的數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律、解題中的新方法、某些運(yùn)算法則、公式的新的推導(dǎo)方法、對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生的疑問(wèn)等及時(shí)記錄分析，定期（一周）互相作一次交流，互相評(píng)價(jià)。如《千克、克》一課可讓學(xué)生寫(xiě)關(guān)于重量的數(shù)學(xué)小故事，說(shuō)說(shuō)生活中碰到的有趣的事，或者是重量單位的小知識(shí)的收集整理。從而養(yǎng)成他們善于觀察、善于思考、善于總結(jié)的好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。3、設(shè)計(jì)類作業(yè)

數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中提高整體素質(zhì)，培養(yǎng)綜合思考的能力。如六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了比例尺的有關(guān)知識(shí)，就可以運(yùn)用這些知識(shí)幫助解決一些生活的實(shí)際問(wèn)題。教師可以提供一定的資料，設(shè)計(jì)一個(gè)廚房，讓學(xué)生自由組合學(xué)習(xí)小組，成立設(shè)計(jì)公司，為客戶設(shè)計(jì)。要求：⑴用合適的比例尺將效果圖畫(huà)在設(shè)計(jì)紙上，并附上設(shè)計(jì)所需要的數(shù)據(jù)和計(jì)算過(guò)程。⑵設(shè)計(jì)合理，經(jīng)濟(jì)實(shí)用。合作設(shè)計(jì)后，讓學(xué)生交流。讓學(xué)生學(xué)會(huì)在眾多的條件、信息中選出需要來(lái)解決的問(wèn)題，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。4、實(shí)踐性作業(yè)數(shù)學(xué)教材中，許多內(nèi)容與社會(huì)、生活密切相關(guān)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、考察、嘗試等活動(dòng)，可加強(qiáng)社會(huì)認(rèn)知，提升社會(huì)參與意識(shí)，促進(jìn)個(gè)體社會(huì)化進(jìn)程。這類作業(yè)可結(jié)合某一教學(xué)單元某個(gè)研究專題進(jìn)行，根據(jù)具體內(nèi)容，可以獨(dú)立完成，也可以采取多人合作的形式。如《年、月、日》課后請(qǐng)同學(xué)根據(jù)課上學(xué)到的知識(shí)，做一個(gè)你需要的年歷。在學(xué)習(xí)了比例尺知識(shí)后，結(jié)合學(xué)校校園建設(shè)的實(shí)際，讓學(xué)生利用幾天時(shí)間，分小組測(cè)量、計(jì)算，用合適的比例尺畫(huà)出學(xué)校的平面圖。學(xué)生在這樣的經(jīng)歷活動(dòng)中，要觀察、測(cè)量、繪圖、檢查，此時(shí)，他們所學(xué)的知識(shí)得到了運(yùn)用，豐富的情感得到了體驗(yàn)，更重要的是促進(jìn)了學(xué)生社會(huì)性的發(fā)展。5、探究性作業(yè)探究性的作業(yè)，可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。教師根據(jù)學(xué)生系列學(xué)習(xí)內(nèi)容后，圍繞學(xué)習(xí)中心，從內(nèi)容、認(rèn)知、技能、數(shù)學(xué)思想、思考方法等方面引導(dǎo)學(xué)生整理“探究課題”。如分?jǐn)?shù)的意義部分，“分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系”，我們經(jīng)常會(huì)用找對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，你能說(shuō)說(shuō)嗎？學(xué)生能從分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，