物體的力學(xué)平衡靜力學(xué)課件

應(yīng)用平衡條件解題注意（二）

（二）剛體轉(zhuǎn)動軸的選定是任意的但必須合理，應(yīng)使盡量多的未知力（特別是不需求的）的力矩為零

例題、證明如圖所示的三個人抬一勻質(zhì)三角形木板時所用的力相等。ABC證明：木板受力如圖所示。以BC為轉(zhuǎn)動軸，F(xiàn)1F2F3GOO2O1O3所以分別以AC、AB邊為軸則可得到所以有α有平衡條件有：應(yīng)用平衡條件解題注意（二）（二）剛體轉(zhuǎn)動軸的選定是任1（三）正確判斷受力方向

（1）當(dāng)剛體受三個非平行力處于平衡時，若其中的兩個力的方向已知，則可準(zhǔn)確確定第三個力的方向依據(jù)：剛體受三個非平行力作用而處于平衡時，該三力必共面共點。PF1F2F3墻壁對橫桿AB

的作用力R

的方向由此得以確定。GTR

1、準(zhǔn)確確定力的方向

用“反證法”證明依據(jù)的正確性若F3

不在F1

和F2所決定的平面內(nèi)，則F1

與

F2

的合力F12

就不可能與F3

反向；若F3

不過F1

與F2

的交點P，則對過P點的不與F3

平行的轉(zhuǎn)動軸來說，合力矩必定不為零。（三）正確判斷受力方向（1）當(dāng)剛體受三個非平行力處2（2）若n個力平衡，其中的（n-1）個力交于一點且交點已知，則可準(zhǔn)確確定第n個力的方向。

12n-1nP

依據(jù)：若n個力平衡，且其中的（n-1）個力交于一點，則第n個力的作用線必過此點。

用反證法證明依據(jù)若第n個力不過此點，則該力對過此點的轉(zhuǎn)軸的力矩不為零，而其它（n-1）個力對此轉(zhuǎn)軸的力矩為零，所以該n個力對此轉(zhuǎn)軸的合力矩不為零。這與平衡條件矛盾。應(yīng)用平衡條件解題注意（三）（2）若n個力平衡，其中的（n-1）個力交于一點且交點已知，3用一根細(xì)線懸掛圓規(guī)時，為使其旋轉(zhuǎn)點抬升得最高，應(yīng)該讓圓規(guī)的張角等于

。（假定圓規(guī)兩臂等長，考慮一個簡單模型，以一個無質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)點連接的兩個相同的均質(zhì)細(xì)木棍替代實際中的圓規(guī)）θαβＡＢＣ兩虛線分別為角平分線和兩邊中點的邊線。所以Ｏ即為重心。則繩子的延長線過Ｏ點。角α越大，A點越高

O用一根細(xì)線懸掛圓規(guī)時，為使其旋轉(zhuǎn)點抬升得最高，應(yīng)該讓圓規(guī)的張4θαβＡＢＣθαβＡＢＣ5靜摩擦角1、靜摩擦角的概念（1）定義：（2）幾何意義：最大靜摩擦力fm和正壓力N的合力與正壓力N夾角。Nf

(φ0是全反力R與N的最大夾角。)全反力（3）靜摩擦角概念的應(yīng)用fmR注意：φ0的大小僅由兩接觸面的材料性質(zhì)所決定物體靜平衡時：

6利用靜摩擦角解題有時會很方便

例題、如圖所示，有一長為l，重為W0勻質(zhì)桿AB，A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻壁的靜摩擦系數(shù)為μ。B端用一強度足夠而不可伸長的輕繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁的C點。木桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為θ。（1）求桿能保持平衡時μ與θ應(yīng)滿足的條件;

（2）桿保持平衡時，桿上有一點P存在：若在P點與A點之間的任一點懸掛一重物，則當(dāng)重物的總量W足夠大時總可以使平衡被破壞;而在P點與B點之間的任一點懸掛任意重量的重物，都不能使平衡破壞。求出這一點P與A點的距離。分析：（1）桿未掛重物時受力如圖TθABCW0你能否確定R的方向？由力的平衡條件及幾何關(guān)系知φRNf既然桿能保持平衡，所以應(yīng)有即利用靜摩擦角解題有時會很方便例題、如圖7θABCTW0（2）桿掛上重物W時重物掛在何處能使1、R和N的夾角φ＞φ02、R和N的夾角φ≤φ0P作出墻壁和桿間的靜摩擦角φ0

=∠BAD。又作DP⊥AB，所得交點P即為所求。若重物W掛在P、B之間：WWDD2W2W1D1RR無論W多大，均有φ≤φ0若重物W掛在P、A之間：當(dāng)W足夠大時，就能使φ＞φ0由幾何關(guān)系得由此解得如何計算AP=?WθABCTW0（2）桿掛上重物W時重物掛在何處能使P作出墻壁8如圖所示，放在水平地面上的兩個圓柱體相互接觸，大、小圓柱的半徑分別為R和r，大圓柱體上纏有繩子，現(xiàn)通過繩子對大圓柱體施加一水平力F，設(shè)各接觸處的靜摩擦因數(shù)都是μ，為使大圓柱體能翻過小圓柱體，問μ應(yīng)滿足什么條件？FA如圖所示，放在水平地面上的兩個圓柱體相互接觸，大、小圓柱的半9解：FA圖系統(tǒng)的受力情況如圖所示.(1)由于小圓柱既不滑動，也不滾動，而大圓柱在小圓柱上作無滑滾動，故B、C兩處都必定有靜摩擦力作用.(2)大圓柱剛離開地面時，它受三個力作用：拉力F，重力G1，小圓柱對它的作用力R1.由于這三個力平衡，所以它們的作用線必相交于一點,這點就是A點.α角不大于最大摩擦角(3)由于小圓柱受力平衡，所以它所受的三個力作用：重力G2，大圓柱對它的作用力R1，地面對它的作用力R2必組成一個閉合三角形.即有BDCO1O2G1G2R1R2ααR1θ解：FA圖系統(tǒng)的受力情況如圖所示.(1)由于小圓柱既不滑10G2R2R1αθ圖2如圖2所示，同樣應(yīng)該有所以由上面三式得由圖2知由圖1得所以于是BDCO1O2G1G2R1R2ααR1θFA圖1G2R2R1αθ圖2如圖2所示，同樣應(yīng)該有所以由上面三式得由11例一質(zhì)量分布均勻的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端擱在豎直墻上，梯子與地面、梯子與墻面的動摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2，求梯子平衡時與地面所成的最小夾角θ。關(guān)鍵：判斷臨界情況下，A、B兩端同時達(dá)到臨界，A端達(dá)到B端未達(dá)到，或是B端達(dá)到而A端尚未達(dá)到？結(jié)論：梯子與地面成最小夾角θ而平衡時，A、B端同時達(dá)到最大靜摩擦力。例一質(zhì)量分布均勻的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端擱在豎12拓變：若已知均勻梯子的質(zhì)量為m，一端靠在光滑的墻上，另一端置于粗糙的水平地面上，靜摩擦系數(shù)為μ，一個質(zhì)量為M的人沿梯子往上爬，為了保證人的安全，對梯子的放置有什么要求？切入點在哪里？為保證人的安全，必須是人爬到梯頂時，梯子仍不會滑到。（M+m)gDCNEN’f’拓變：若已知均勻梯子的質(zhì)量為m，一端靠在光滑的墻上，另一端置13二、微元法的應(yīng)用在涉及到繩子內(nèi)部張力以及形變等問題時，除了采用隔離法外，對于質(zhì)量不可忽略的繩子，通常選取長度微元進(jìn)行研究。例題：已知原長為ι、勁度系數(shù)為κ的彈簧，其線密度為ρ，鉛垂懸掛，求由其自重引起的伸長。問題的切入點在哪？為什么會伸長？各部分的伸長是否均勻確定研究對象原長為△x的部分受到向下原長為x的那部分重力二、微元法的應(yīng)用例題：已知原長為ι、勁度系數(shù)為κ的彈簧，其線14如圖所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為ρ.試求鐵鏈A端受的拉力T.解析：以鐵鏈為研究對象，由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點，分析每一小段鐵鏈的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況.在鐵鏈上任取長為△L的一小段（微元）為研究對象，其受力分析如圖所示.由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足：如圖所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面15由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大△Tθ，所以整個鐵鏈對A端的拉力是各段上△Tθ的和，由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大△Tθ，所以16如圖所示，質(zhì)量分布均勻的細(xì)鏈，長為L＝10m，質(zhì)量為10kg，其一端系于天花板的P點處，人提著另一端，P、Q兩點的高度差為h=2m，設(shè)人的提拉力F＝100N，試求天花板對細(xì)鏈的作用力.圖QP

虛功原理許多平衡狀態(tài)的問題,可以假設(shè)其狀態(tài)發(fā)生一個微小的變化,某一個力做了一個微小的功△W,使系統(tǒng)的勢能發(fā)生了一個微小的變化△E,然后利用△W=△E求出所需要的物理量,這就是虛功原理.該原理是由伯努利首先提出來的。如圖所示，質(zhì)量分布均勻的細(xì)鏈，長為L＝10m，質(zhì)量為10kg17解:(虛似法)由于細(xì)鏈掛在豎直平面內(nèi)，且沒有對稱性，所以無法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虛似:圖1QPhPQTPTQ圖2人將鏈條沿其拉力方向緩慢移動一微小位移?L，在這一過程中保持鏈條的形狀和位置不變，那么這僅僅相當(dāng)于把微元?L從P點移到Q點，鏈條的勢能減少了.據(jù)功能原理有又所以解:(虛似法)由于細(xì)鏈掛在豎直平面內(nèi)，且沒有對稱性，18三、摩擦平衡系統(tǒng)的處理求解有摩擦的物體系統(tǒng)平衡問題，原則上與光滑系統(tǒng)相似，只是要在接觸處加上摩擦力，但由于摩擦力可以在0到fmax之間取值，往往使問題復(fù)雜化。摩擦平衡問題通常有三類：平衡的判斷、求臨界平衡和平衡范圍。核心問題是求解臨界平衡，其它兩類問題可歸納為臨界平衡，臨界平衡狀態(tài)的判斷又是求解中需要解決的首要問題。對于多點摩擦，先后滑動。這類問題中，有多處摩擦，但系統(tǒng)的臨界狀態(tài)只要求其中一處或兩處達(dá)到最大摩擦力。到底哪一處先達(dá)到最大值呢？若不能事先作出確切判斷，就必須把所有可能的情形一一求算，最后選取實際出現(xiàn)的情形。三、摩擦平衡系統(tǒng)的處理求解有摩擦的物體系統(tǒng)平衡問題，原則19例題:如圖所示，物塊A、B、滾輪C質(zhì)量均為m。滾輪C由固定在一起的兩個同心圓盤組成，半徑分別為2r和r。各接觸面處靜摩擦系數(shù)均為μ

，求維持系統(tǒng)平衡時，μ最小值為多少？mgNcfcNPfPmgNBNPfPfB學(xué)生最初的感覺不易下手何為μ的最小值呢?如何理解?對輪C有對B物有NC和NB哪一個大呢?對輪C以O(shè)為軸滿足而對整體又必須有這說明B和地面之間已經(jīng)到達(dá)最大靜摩擦力時輪C與地面之間尚未到達(dá)最大靜摩擦力從結(jié)構(gòu)上可看出B與C和B與地面之間同時達(dá)到最大靜摩擦力考慮到例題:如圖所示，物塊A、B、滾輪C質(zhì)量均為m。滾輪C由固定在20質(zhì)量分別為m和M的兩個小球用長度為L的輕桿連接，并按圖所示位置那樣處于平衡狀態(tài)，桿與棱邊緣之間的摩擦因數(shù)為μ，小球m與豎直墻壁之間的摩擦力可以不計。為達(dá)到圖示的平衡狀態(tài)，參數(shù)m、M、μ、L、d、α應(yīng)滿足什么條件？質(zhì)量分別為m和M的兩個小球用長度為L的輕桿連接，并按圖所示位21受力分析如圖所示，根據(jù)力的平衡條件可列出：

桿不滑動的條件為：

以m所在位置為轉(zhuǎn)動軸得力力矩平衡方程：

受力分析如圖所示，根據(jù)力的平衡條件可列出：桿不滑動的條件為22以桌棱為軸轉(zhuǎn)動平衡方程為：

物體不轉(zhuǎn)動的條件是：

以桌棱為軸轉(zhuǎn)動平衡方程為：物體不轉(zhuǎn)動的條件是：23物體的力學(xué)平衡靜力學(xué)課件24如圖，AB、CD桿各長3ι和4ι，AD=DB，A、D、B、C處為光滑鉸鏈，E處為光滑接觸，∠ABC=π/2，各桿都是輕桿?，F(xiàn)在DE桿上作用一個力偶m，求A、C兩處的作用力。N1N2N1=N2=NNNAxNBXNAYNBYNByNNCy如圖，AB、CD桿各長3ι和4ι，AD=DB，A、D、B、C25

浮體問題一個裝滿水的容器底部有一個半徑為r的圓筒，洞由一個質(zhì)量為m、半徑為R的球堵住。容器中的水慢慢減少，當(dāng)達(dá)到一個確定值h0時，球從筒中升起，求h0切入點，從小球的受力分析：mgF浮同學(xué)可能會想到洞邊緣的支持力第一個難點，浮力如何表示？從表達(dá)式可看出，當(dāng)h足夠大時，F(xiàn)為負(fù)的，表示力向下，當(dāng)h減小時，F(xiàn)逐步增大。浮體問題一個裝滿水的容器底部有一個半徑為r的圓筒26物體的力學(xué)平衡靜力學(xué)課件27對上式求導(dǎo)，可得F有極大值要使小球浮起，須滿足對上式求導(dǎo)，可得F有極大值要使小球浮起，須滿足28物體的力學(xué)平衡靜力學(xué)課件29七、用“三視圖”進(jìn)行受力分析

有時已知的研究對象是一個立體模型，直接分析有困難，需對研究對象從不同的角度去觀察和剖視，得到的平面圖稱為“三視圖”。即：正視圖、俯視圖、側(cè)視圖。但也有從平面圖轉(zhuǎn)化成立體圖的情形。例題：三根重均為G，長均為L的相同均勻鐵桿（其直徑d＜＜L）對稱地擱在一起，三桿底端間均相距L。若有一重為G的人坐在A桿的中點處，則A桿頂端所受作用力的大小為多少？方向如何？2GaO’T對OA桿：以A為支點對OB、OC桿整體、以BC為軸七、用“三視圖”進(jìn)行受力分析有時已知的研究對象是306.半徑為r，質(zhì)量為m的三個相同的球放在水平桌面上，兩兩相互接觸，用一個高為1.5r的圓柱形圓筒（上下均無底）將此三個球套在筒內(nèi)，圓筒的半徑取適當(dāng)?shù)闹?，使得各球間以及球與圓筒壁之間均保持無形變接觸.現(xiàn)取一質(zhì)量也為m、半徑為R的第四個球，放在三球的上方正中，設(shè)第四個球的表面、圓筒的內(nèi)壁表面均由相同的材料構(gòu)成，其相互之間的最大靜摩擦因數(shù)為μ=3/（15）1/2

，問R取何值時，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個球也一起提起來？6.半徑為r，質(zhì)量為m的三個相同的球放在水平桌面上，兩兩31解：rrOO1O2O3圖1由圖1(俯視圖）可見，圖2（剖面圖）為球1的受力圖.當(dāng)豎直向上提起圓筒時，能把4個球一起提起，下面兩式應(yīng)得到滿足圖2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ否則上、下球之間及球與筒壁之間會發(fā)生相對滑動.以球1為研究對象，取O1為軸，由力矩平衡條件易得解：rrOO1O2O3圖1由圖1(俯視圖）可見，圖2（剖32圖2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ以圖2中的A為軸，可得由此式易知，N1>N2,所以只要(2)式得到滿足，(1)式就自然得到滿足.又以圖2中的B為軸，可得再以4個球為整體作為研究對象，有圖2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ以圖2中33圖2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ由(3)、(5)、(6)式可得再結(jié)合(2)式可得兩邊平方，整理后可得圖2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ由(3)34由此可解得（另一解舍去）設(shè)R＝nr,由圖2的幾何關(guān)系可得圖2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ所以由此可解得（另一解舍去）35rrOO1O2O3圖1故又為使第4個球不至于從下面三個球中間掉下，因此須結(jié)合上面兩式可知第4個球的半徑必須滿足下式rrOO1O2O3圖1故又為使第4個球不至于從下面三個球中間36例題：三個半徑均為r，質(zhì)量相等的球放在一個半球形的碗中，現(xiàn)把第四個半徑也為r，質(zhì)量相等的球放到這三個球的正上方，要使這四個球都能靜止，半球形碗的半徑R應(yīng)滿足的條件？不考慮各處的摩擦。這里為什么強調(diào)半球形碗的半徑R應(yīng)滿足的條件？若半球形碗的半徑太大，第四球放上去會使下面三個球互相散開，那么，碗半徑的最大值出現(xiàn)在什么時候呢？上面的球放了以后，下面的3個球盡管還接觸，但相互之間無相互作用，則4個球的球心在空間呈什么形狀呢？mgFN對B球在豎直方向分析在水平方向有例題：三個半徑均為r，質(zhì)量相等的球放在一個半球形的碗中，現(xiàn)把37例題：在水平M上有一個正方形薄木板ABCD，在木板上靜放一質(zhì)量為m的小物塊，如圖所示，現(xiàn)保持木板的AB邊不動，將木板以AB邊為軸緩慢向上轉(zhuǎn)動，使木板AD邊與水平面成θ角度；然后再木板的AD邊不動，將木板以AD邊為軸緩慢向上轉(zhuǎn)動，使木板的AB邊與水平面成相同的θ角度；若轉(zhuǎn)動過程中小物塊始終相對于木板靜止，則最終小物塊所受的靜摩擦力大小為多少？學(xué)生的可能解法：mgN1F1F1N1N2F2例題：在水平M上有一個正方形薄木板ABCD，在木板上靜放一質(zhì)38三、靜平衡的穩(wěn)定性反映的是處于靜平衡的物體克服所遭遇的（破壞平衡的）微小擾動的性能。（一）概念：1、穩(wěn)定平衡靜平衡按穩(wěn)定性分類：（二）2、非穩(wěn)定平衡23、隨遇平衡3平衡的穩(wěn)定性1下列處于平衡的物體，在遭遇擾動時有不同表現(xiàn)：三、靜平衡的穩(wěn)定性39平衡的穩(wěn)定性1、穩(wěn)定平衡2、非穩(wěn)定平衡3、隨遇平衡（三）物體平衡的穩(wěn)定性的判定1、受力分析：看物體偏離平衡位置后，所受力是否總是使物體移向平衡位置。2、受力矩分析：看物體偏離平衡位置后，所受力矩是否總是使物體轉(zhuǎn)向平衡位置。

3、重心升降（如果有重心變化）分析：看物體偏離平衡位置后，其重心高度如何變化。4、勢能分析：看物體偏離平衡位置后，其勢能如何變化。平衡的穩(wěn)定性1、穩(wěn)定平衡2、非穩(wěn)定平衡3、隨遇平衡（三）物體40例題：如圖裝置，它是由一個長為L的木釘、從木釘上端向左右斜伸出兩個下垂的長為b的細(xì)木桿，及在木桿的末端裝有質(zhì)量同為m的小重球而做成。木釘及木桿的重量忽略不計，木釘與木桿間的夾角為α。此裝置放在硬質(zhì)木柱上。試求：間應(yīng)當(dāng)滿足什么關(guān)系才能使木釘由豎直位置稍偏斜后，此裝置以O(shè)點為支點左右擺動而不至傾倒。分析：木釘由豎直位置稍偏斜后，此裝置以O(shè)點為支點左右擺動而不至傾倒，即處于穩(wěn)定平衡。因此，也就是要求此裝置穩(wěn)定平衡的條件。方法一：力矩判斷法以逆時針方向為正要求方法二：重心升降法裝置平衡時，重心離O點的高度例題：如圖裝置，它是由一個長為L的木釘、從木釘上端向左右斜伸41綜合以上討論得綜合以上討論得42應(yīng)用平衡條件解題注意（二）

（二）剛體轉(zhuǎn)動軸的選定是任意的但必須合理，應(yīng)使盡量多的未知力（特別是不需求的）的力矩為零

例題、證明如圖所示的三個人抬一勻質(zhì)三角形木板時所用的力相等。ABC證明：木板受力如圖所示。以BC為轉(zhuǎn)動軸，F(xiàn)1F2F3GOO2O1O3所以分別以AC、AB邊為軸則可得到所以有α有平衡條件有：應(yīng)用平衡條件解題注意（二）（二）剛體轉(zhuǎn)動軸的選定是任43（三）正確判斷受力方向

（1）當(dāng)剛體受三個非平行力處于平衡時，若其中的兩個力的方向已知，則可準(zhǔn)確確定第三個力的方向依據(jù)：剛體受三個非平行力作用而處于平衡時，該三力必共面共點。PF1F2F3墻壁對橫桿AB

的作用力R

的方向由此得以確定。GTR

1、準(zhǔn)確確定力的方向

用“反證法”證明依據(jù)的正確性若F3

不在F1

和F2所決定的平面內(nèi)，則F1

與

F2

的合力F12

就不可能與F3

反向；若F3

不過F1

與F2

的交點P，則對過P點的不與F3

平行的轉(zhuǎn)動軸來說，合力矩必定不為零。（三）正確判斷受力方向（1）當(dāng)剛體受三個非平行力處44（2）若n個力平衡，其中的（n-1）個力交于一點且交點已知，則可準(zhǔn)確確定第n個力的方向。

12n-1nP

依據(jù)：若n個力平衡，且其中的（n-1）個力交于一點，則第n個力的作用線必過此點。

用反證法證明依據(jù)若第n個力不過此點，則該力對過此點的轉(zhuǎn)軸的力矩不為零，而其它（n-1）個力對此轉(zhuǎn)軸的力矩為零，所以該n個力對此轉(zhuǎn)軸的合力矩不為零。這與平衡條件矛盾。應(yīng)用平衡條件解題注意（三）（2）若n個力平衡，其中的（n-1）個力交于一點且交點已知，45用一根細(xì)線懸掛圓規(guī)時，為使其旋轉(zhuǎn)點抬升得最高，應(yīng)該讓圓規(guī)的張角等于

。（假定圓規(guī)兩臂等長，考慮一個簡單模型，以一個無質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)點連接的兩個相同的均質(zhì)細(xì)木棍替代實際中的圓規(guī)）θαβＡＢＣ兩虛線分別為角平分線和兩邊中點的邊線。所以Ｏ即為重心。則繩子的延長線過Ｏ點。角α越大，A點越高

O用一根細(xì)線懸掛圓規(guī)時，為使其旋轉(zhuǎn)點抬升得最高，應(yīng)該讓圓規(guī)的張46θαβＡＢＣθαβＡＢＣ47靜摩擦角1、靜摩擦角的概念（1）定義：（2）幾何意義：最大靜摩擦力fm和正壓力N的合力與正壓力N夾角。Nf

(φ0是全反力R與N的最大夾角。)全反力（3）靜摩擦角概念的應(yīng)用fmR注意：φ0的大小僅由兩接觸面的材料性質(zhì)所決定物體靜平衡時：

48利用靜摩擦角解題有時會很方便

例題、如圖所示，有一長為l，重為W0勻質(zhì)桿AB，A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻壁的靜摩擦系數(shù)為μ。B端用一強度足夠而不可伸長的輕繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁的C點。木桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為θ。（1）求桿能保持平衡時μ與θ應(yīng)滿足的條件;

（2）桿保持平衡時，桿上有一點P存在：若在P點與A點之間的任一點懸掛一重物，則當(dāng)重物的總量W足夠大時總可以使平衡被破壞;而在P點與B點之間的任一點懸掛任意重量的重物，都不能使平衡破壞。求出這一點P與A點的距離。分析：（1）桿未掛重物時受力如圖TθABCW0你能否確定R的方向？由力的平衡條件及幾何關(guān)系知φRNf既然桿能保持平衡，所以應(yīng)有即利用靜摩擦角解題有時會很方便例題、如圖49θABCTW0（2）桿掛上重物W時重物掛在何處能使1、R和N的夾角φ＞φ02、R和N的夾角φ≤φ0P作出墻壁和桿間的靜摩擦角φ0

=∠BAD。又作DP⊥AB，所得交點P即為所求。若重物W掛在P、B之間：WWDD2W2W1D1RR無論W多大，均有φ≤φ0若重物W掛在P、A之間：當(dāng)W足夠大時，就能使φ＞φ0由幾何關(guān)系得由此解得如何計算AP=?WθABCTW0（2）桿掛上重物W時重物掛在何處能使P作出墻壁50如圖所示，放在水平地面上的兩個圓柱體相互接觸，大、小圓柱的半徑分別為R和r，大圓柱體上纏有繩子，現(xiàn)通過繩子對大圓柱體施加一水平力F，設(shè)各接觸處的靜摩擦因數(shù)都是μ，為使大圓柱體能翻過小圓柱體，問μ應(yīng)滿足什么條件？FA如圖所示，放在水平地面上的兩個圓柱體相互接觸，大、小圓柱的半51解：FA圖系統(tǒng)的受力情況如圖所示.(1)由于小圓柱既不滑動，也不滾動，而大圓柱在小圓柱上作無滑滾動，故B、C兩處都必定有靜摩擦力作用.(2)大圓柱剛離開地面時，它受三個力作用：拉力F，重力G1，小圓柱對它的作用力R1.由于這三個力平衡，所以它們的作用線必相交于一點,這點就是A點.α角不大于最大摩擦角(3)由于小圓柱受力平衡，所以它所受的三個力作用：重力G2，大圓柱對它的作用力R1，地面對它的作用力R2必組成一個閉合三角形.即有BDCO1O2G1G2R1R2ααR1θ解：FA圖系統(tǒng)的受力情況如圖所示.(1)由于小圓柱既不滑52G2R2R1αθ圖2如圖2所示，同樣應(yīng)該有所以由上面三式得由圖2知由圖1得所以于是BDCO1O2G1G2R1R2ααR1θFA圖1G2R2R1αθ圖2如圖2所示，同樣應(yīng)該有所以由上面三式得由53例一質(zhì)量分布均勻的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端擱在豎直墻上，梯子與地面、梯子與墻面的動摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2，求梯子平衡時與地面所成的最小夾角θ。關(guān)鍵：判斷臨界情況下，A、B兩端同時達(dá)到臨界，A端達(dá)到B端未達(dá)到，或是B端達(dá)到而A端尚未達(dá)到？結(jié)論：梯子與地面成最小夾角θ而平衡時，A、B端同時達(dá)到最大靜摩擦力。例一質(zhì)量分布均勻的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端擱在豎54拓變：若已知均勻梯子的質(zhì)量為m，一端靠在光滑的墻上，另一端置于粗糙的水平地面上，靜摩擦系數(shù)為μ，一個質(zhì)量為M的人沿梯子往上爬，為了保證人的安全，對梯子的放置有什么要求？切入點在哪里？為保證人的安全，必須是人爬到梯頂時，梯子仍不會滑到。（M+m)gDCNEN’f’拓變：若已知均勻梯子的質(zhì)量為m，一端靠在光滑的墻上，另一端置55二、微元法的應(yīng)用在涉及到繩子內(nèi)部張力以及形變等問題時，除了采用隔離法外，對于質(zhì)量不可忽略的繩子，通常選取長度微元進(jìn)行研究。例題：已知原長為ι、勁度系數(shù)為κ的彈簧，其線密度為ρ，鉛垂懸掛，求由其自重引起的伸長。問題的切入點在哪？為什么會伸長？各部分的伸長是否均勻確定研究對象原長為△x的部分受到向下原長為x的那部分重力二、微元法的應(yīng)用例題：已知原長為ι、勁度系數(shù)為κ的彈簧，其線56如圖所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為ρ.試求鐵鏈A端受的拉力T.解析：以鐵鏈為研究對象，由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點，分析每一小段鐵鏈的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況.在鐵鏈上任取長為△L的一小段（微元）為研究對象，其受力分析如圖所示.由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足：如圖所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面57由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大△Tθ，所以整個鐵鏈對A端的拉力是各段上△Tθ的和，由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大△Tθ，所以58如圖所示，質(zhì)量分布均勻的細(xì)鏈，長為L＝10m，質(zhì)量為10kg，其一端系于天花板的P點處，人提著另一端，P、Q兩點的高度差為h=2m，設(shè)人的提拉力F＝100N，試求天花板對細(xì)鏈的作用力.圖QP

虛功原理許多平衡狀態(tài)的問題,可以假設(shè)其狀態(tài)發(fā)生一個微小的變化,某一個力做了一個微小的功△W,使系統(tǒng)的勢能發(fā)生了一個微小的變化△E,然后利用△W=△E求出所需要的物理量,這就是虛功原理.該原理是由伯努利首先提出來的。如圖所示，質(zhì)量分布均勻的細(xì)鏈，長為L＝10m，質(zhì)量為10kg59解:(虛似法)由于細(xì)鏈掛在豎直平面內(nèi)，且沒有對稱性，所以無法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虛似:圖1QPhPQTPTQ圖2人將鏈條沿其拉力方向緩慢移動一微小位移?L，在這一過程中保持鏈條的形狀和位置不變，那么這僅僅相當(dāng)于把微元?L從P點移到Q點，鏈條的勢能減少了.據(jù)功能原理有又所以解:(虛似法)由于細(xì)鏈掛在豎直平面內(nèi)，且沒有對稱性，60三、摩擦平衡系統(tǒng)的處理求解有摩擦的物體系統(tǒng)平衡問題，原則上與光滑系統(tǒng)相似，只是要在接觸處加上摩擦力，但由于摩擦力可以在0到fmax之間取值，往往使問題復(fù)雜化。摩擦平衡問題通常有三類：平衡的判斷、求臨界平衡和平衡范圍。核心問題是求解臨界平衡，其它兩類問題可歸納為臨界平衡，臨界平衡狀態(tài)的判斷又是求解中需要解決的首要問題。對于多點摩擦，先后滑動。這類問題中，有多處摩擦，但系統(tǒng)的臨界狀態(tài)只要求其中一處或兩處達(dá)到最大摩擦力。到底哪一處先達(dá)到最大值呢？若不能事先作出確切判斷，就必須把所有可能的情形一一求算，最后選取實際出現(xiàn)的情形。三、摩擦平衡系統(tǒng)的處理求解有摩擦的物體系統(tǒng)平衡問題，原則61例題:如圖所示，物塊A、B、滾輪C質(zhì)量均為m。滾輪C由固定在一起的兩個同心圓盤組成，半徑分別為2r和r。各接觸面處靜摩擦系數(shù)均為μ

，求維持系統(tǒng)平衡時，μ最小值為多少？mgNcfcNPfPmgNBNPfPfB學(xué)生最初的感覺不易下手何為μ的最小值呢?如何理解?對輪C有對B物有NC和NB哪一個大呢?對輪C以O(shè)為軸滿足而對整體又必須有這說明B和地面之間已經(jīng)到達(dá)最大靜摩擦力時輪C與地面之間尚未到達(dá)最大靜摩擦力從結(jié)構(gòu)上可看出B與C和B與地面之間同時達(dá)到最大靜摩擦力考慮到例題:如圖所示，物塊A、B、滾輪C質(zhì)量均為m。滾輪C由固定在62質(zhì)量分別為m和M的兩個小球用長度為L的輕桿連接，并按圖所示位置那樣處于平衡狀態(tài)，桿與棱邊緣之間的摩擦因數(shù)為μ，小球m與豎直墻壁之間的摩擦力可以不計。為達(dá)到圖示的平衡狀態(tài)，參數(shù)m、M、μ、L、d、α應(yīng)滿足什么條件？質(zhì)量分別為m和M的兩個小球用長度為L的輕桿連接，并按圖所示位63受力分析如圖所示，根據(jù)力的平衡條件可列出：

桿不滑動的條件為：

以m所在位置為轉(zhuǎn)動軸得力力矩平衡方程：

受力分析如圖所示，根據(jù)力的平衡條件可列出：桿不滑動的條件為64以桌棱為軸轉(zhuǎn)動平衡方程為：

物體不轉(zhuǎn)動的條件是：

以桌棱為軸轉(zhuǎn)動平衡方程為：物體不轉(zhuǎn)動的條件是：65物體的力學(xué)平衡靜力學(xué)課件66如圖，AB、CD桿各長3ι和4ι，AD=DB，A、D、B、C處為光滑鉸鏈，E處為光滑接觸，∠ABC=π/2，各桿都是輕桿?，F(xiàn)在DE桿上作用一個力偶m，求A、C兩處的作用力。N1N2N1=N2=NNNAxNBXNAYNBYNByNNCy如圖，AB、CD桿各長3ι和4ι，AD=DB，A、D、B、C67

浮體問題一個裝滿水的容器底部有一個半徑為r的圓筒，洞由一個質(zhì)量為m、半徑為R的球堵住。容器中的水慢慢減少，當(dāng)達(dá)到一個確定值h0時，球從筒中升起，求h0切入點，從小球的受力分析：mgF浮同學(xué)可能會想到洞邊緣的支持力第一個難點，浮力如何表示？從表達(dá)式可看出，當(dāng)h足夠大時，F(xiàn)為負(fù)的，表示力向下，當(dāng)h減小時，F(xiàn)逐步增大。浮體問題一個裝滿水的容器底部有一個半徑為r的圓筒68物體的力學(xué)平衡靜力學(xué)課件69對上式求導(dǎo)，可得F有極大值要使小球浮起，須滿足對上式求導(dǎo)，可得F有極大值要使小球浮起，須滿足70物體的力學(xué)平衡靜力學(xué)課件71七、用“三視圖”進(jìn)行受力分析

有時已知的研究對象是一個立體模型，直接分析有困難，需對研究對象從不同的角度去觀察和剖視，得到的平面圖稱為“三視圖”。即：正視圖、俯視圖、側(cè)視圖。但也有從平面圖轉(zhuǎn)化成立體圖的情形。例題：三根重均為G，長均為L的相同均勻鐵桿（其直徑d＜＜L）對稱地擱在一起，三桿底端間均相距L。若有一重為G的人坐在A桿的中點處，則A桿頂端所受作用力的大小為多少？方向如何？2GaO’T對OA桿：以A為支點對OB、OC桿整體、以BC為軸七、用“三視圖”進(jìn)行受力分析有時已知的研究對象是726.半徑為r，質(zhì)量為m的三個相同的球放在水平桌面上，兩兩相互接觸，用一個高為1.5r的圓柱形圓筒（上下均無底）將此三個球套在筒內(nèi)，圓筒的半徑取適當(dāng)?shù)闹?，使得各球間以及球與圓筒壁之間均保持無形變接觸.現(xiàn)取一質(zhì)量也為m、半徑為R的第四個球，放在三球的上方正中，設(shè)第四個球的表面、圓筒的內(nèi)壁表面均由相同的材料構(gòu)成，其相互之間的最大靜摩擦因數(shù)為μ=3/（15）1/2

，問R取何值時，用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個球也一起提起來？6.半徑為r，質(zhì)量為m的三個相同的球放在水平桌面上，兩兩73解：rrOO1O2O3圖1由圖1(俯視圖）可見，圖2（剖面圖）為球1的受力圖.當(dāng)豎直向上提起圓筒時，能把4個球一起提起，下面兩式應(yīng)得到滿足圖2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ否則上、下球之間及球與筒壁之間會發(fā)生相對滑動.以球1為研究對象，取O1為軸，由力矩平衡條件易得解：rrOO1O2O3圖1由圖1(俯視圖）可見，圖2（剖74圖2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CBθθ以圖2中的A為軸，可得由此式易知，N1>N2,所以只要(2)式得到滿足，(1)式就自然得到滿足.又以圖2中的B為軸，可得再以4個球為整體作為研究對象，有圖2RrN2mg