畢業(yè)論文-二階常微分方程解存在的問題

2021屆畢業(yè)生畢業(yè)論文題目:二階常微分方程解的存在問題分析院系名稱：專業(yè)班級(jí)：學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：教師職稱：2012年5月25日摘要在科學(xué)研究、工程技術(shù)中，常常需要將某些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程問題。因此，研究不同類型的二階常微分方程的求解方法及探討其解的存在唯一性問題，是十分重要的。本文首先介紹了二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般解法——特征方程法，及二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法，然后又介紹了一些可降階的微分方程類型。接著討論了二階變系數(shù)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法，并論述了如何利用變量代換法將某些變系數(shù)方程化為常系數(shù)方程。另外，本文還介紹了求解初值問題的另一種方法——拉普拉斯變換法。最后，給出了二階微分方程的存在唯一性定理的證明以及它的一些應(yīng)用。關(guān)鍵詞：二階線性微分方程，常系數(shù)，變系數(shù)，通解，特解，存在唯一性

Title:AnalysisofthesolutionexistenceproblemforSecondorderordinarydifferentialequationAbstractInscience,engineeringtechnology,weoftenneedtoconversionsomepracticalproblemsintosecond-orderordinarydifferentialequations.Therefore,tostudythemethodsofdifferenttypesofsecondorderordinarydifferentialequationandtoinvestigatetheexistenceanduniquenessofthesolutionisveryimportant.Thepaperfirstintroducesthegeneralsolutionofthesecondorderconstantcoefficienthomogeneouslineardifferentialequations-thecharacteristicequationmethod,andthemethodforsolvingsecondorderconstantcoefficientnon-homogeneouslineardifferentialequationundeterminedcoefficients,thendescribessometypesofdifferentialequationwhichcanbereduced-order.Followedit,thisarticlealsodiscussestheutilizationofpowerseriessolutiontosolvethesecond-ordervariablecoefficientdifferential,anddiscusseshowtousevariablesubstitutiontoconversioncertainequationswithvariablecoefficientsintoconstantcoefficient.Inaddition,thearticlealsodescribesanothermethodforsolvinginitialvalueproblems-Laplacetransformmethod.Finally,theregivestheproofoftheexistenceanduniquenesstheoremofthesecond-orderdifferentialequationsaswellassomeofitsapplications.Keywords:Secondorderlineardifferential,ConstantCoefficients,VariableCoefficients,Generalsolution,Particularsolution,ExistenceandUniqueness.

目錄TOC\o"1-3"\h\z\t"1級(jí)標(biāo)題,1,3級(jí)標(biāo)題,3,2級(jí)標(biāo)題,2"1476§1引言 516785§2常系數(shù)線性微分方程的解法 5295632.1二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法——特征方程法 5207342.2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 7135982.2.1類型Ⅰ： 7203422.2.2類型Ⅱ： 1013873§3二階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法 117453.1可將階的一些方程類型 11295623.2二階線性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 14208123.3二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化 16200243.3.1歐拉方程 16259813.3.2二階線性微分方程的常系數(shù)化 1716901§4拉普拉斯變換 188216§5二階微分方程的存在唯一性 20232455.1存在唯一性定理 20235705.2應(yīng)用舉例 25295735.2.1關(guān)于二階線性齊次方程解的零點(diǎn) 2533545.2.2二階線性非齊次方程的邊值問題 2519328致謝 2811790參考文獻(xiàn) 29§1引言二階線性微分方程是常微分方程中一類很重要的方程。這不僅是因?yàn)槠湟话憷碚撘呀?jīng)研究地比擬清楚，而且還因?yàn)樗茄芯糠蔷€性微分方程的根底，在工程技術(shù)和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。本文將主要介紹幾種不同類型的二階線性微分方程的解法，及二階微分方程的初值問題的存在唯一性定理?！?常系數(shù)線性微分方程的解法2.1二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法——特征方程法假設(shè)是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中均為常數(shù) 〔2.1〕的兩個(gè)線性無關(guān)的解，那么〔2.1〕的通解就可表示成〔為任意常數(shù)〕由此可知，只要找到方程〔2.1〕的兩個(gè)線性無關(guān)的解，就能求出〔2.1〕的通解。我們知道，當(dāng)為常數(shù)時(shí)，函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)。因此，可以設(shè)想〔2.1〕有形如的解，將代入方程〔2.1〕得：又，那么必有 〔2.2〕即如果是〔2.1〕的解，那么必滿足方程〔2.2〕.反之，假設(shè)滿足方程〔2.2〕，那么就是〔2.1〕的一個(gè)特解。我們稱方程〔2.2〕是方程〔2.1〕的特征方程，它的根就稱為特征根，且特征根.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進(jìn)行討論。1〕有兩個(gè)不相等的實(shí)根:，易知和是方程〔2.1〕的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，那么方程〔2.1〕的通解為：；2〕有兩個(gè)相等的實(shí)根:易知是方程〔2.1〕的一個(gè)特解，設(shè)另一特解為，將代入到〔2.1〕得： 〔2.3)又，，那么可得，不妨取，代入〔2.3〕得：，那么方程〔2.1〕的通解為：；有一對(duì)共軛復(fù)根：，易知與是方程〔2.1〕的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)值解。而，假設(shè)取，由解的疊加性知，也是方程〔2.1〕的兩個(gè)特解，又，于是，就是方程〔2.1〕的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)值解。從而方程〔2.1〕的通解為：。2.2二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法現(xiàn)在討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 〔2.4〕的求解問題。這里是常數(shù)，是連續(xù)函數(shù)。我們可以由其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程(2.1)的通解出發(fā)，使用常數(shù)變易法求出〔2.4〕的特解。因而，只要能求出〔2.1〕的特征根，〔2.4〕的求解問題就已經(jīng)解決。但是，這樣的方法往往是比擬繁瑣的，而且必須經(jīng)過積分運(yùn)算。事實(shí)上，只要求得方程〔2.1〕的通解，再求出該方程的一個(gè)特解，就可得出它的通解表達(dá)式。下面，我們討論當(dāng)是某些特殊形式的連續(xù)函數(shù)時(shí)，所適用的求解其特解的簡便方法——待定系數(shù)法。類型Ⅰ：設(shè)是次多項(xiàng)式，即〔〕下面來證明：1〕當(dāng)不是特征根時(shí)，〔2.4〕有形如的特解，其中是關(guān)于的次待定的多項(xiàng)式，即.2〕當(dāng)是重特征根時(shí)，〔2.4〕有形如的特解，其中也是形如上述的次多項(xiàng)式。中的系數(shù)可以由待定系數(shù)法求得。證：假設(shè)，此時(shí)，下面分兩種情況進(jìn)行討論。〔i〕假設(shè)不是特征根，〔2.4〕的特征方程為，那么.是次多項(xiàng)式，方程〔2.4〕有如下形式的特解： 〔2.5〕將〔2.5〕代人〔2.4〕得：等式兩邊的同次冪系數(shù)相等，得到一個(gè)確定待定系數(shù)的方程組：由于，所以上述方程組有唯一解〔ii〕假設(shè)是重特征根當(dāng)時(shí)，有，那么，，方程〔2.4〕變?yōu)椋?〔2.6〕令，那么〔2.6〕式變?yōu)椋?〔2.7〕，不是〔2.7〕的特征根。由〔i〕知，方程〔2.7〕有形如：的特解。從而，，其中，我們只需求出〔2.4〕的一個(gè)特解，故可取，此時(shí)，〔2.4〕的一個(gè)特解為：時(shí)，有，那么，，方程〔2.4〕變?yōu)椋旱仁絻蛇叿e分兩次得：，其中，.取，那么所以，是重特征根時(shí)，方程〔2.4〕有形如的特解。假設(shè)，作變量變換，代入方程〔2.4〕可化為：即， 〔2.8〕其中，.由變換知，當(dāng)〔2.8〕的特征根為時(shí)，〔2.4〕的特征根就為。從而，方程〔2.4〕的非零特征根就對(duì)應(yīng)于方程〔2.8〕的零特征根，并且重?cái)?shù)也相同。因此，利用的結(jié)果就有如下結(jié)論：當(dāng)不是特征根時(shí)，〔2.4〕有形如的特解；當(dāng)是重特征根時(shí)，〔2.4〕有形如的特解。類型Ⅱ：其中，分別為兩個(gè)的關(guān)于的次和次多項(xiàng)式，為常數(shù)。由歐拉公式，得.故可以改寫成 〔2.9〕其中，分別是次和次多項(xiàng)式?？梢钥闯?，〔2.9〕式就相當(dāng)于兩個(gè)類型Ⅰ形狀的函數(shù)相加。由非齊次方程的疊加原理，就可求出類型Ⅱ的特解了。疊加原理設(shè)有二階非齊次方程 〔2.10〕且分別是方程的解，那么函數(shù)是方程〔2.10〕的解。根據(jù)疊加原理及類型Ⅰ討論的結(jié)果，我們有當(dāng)不是特征根時(shí)，〔2.4〕有如下形式的特解即 〔2.11〕當(dāng)是重特征根時(shí)，〔2.4〕有如下形式的特解即 〔2.12〕其中為兩個(gè)待定多項(xiàng)式，.注意：當(dāng)中有一個(gè)恒為零時(shí)，方程〔2.4〕仍具有形如〔2.11〕、〔2.12〕的特解。即不能當(dāng)時(shí)，就令，而時(shí)，就令.§3二階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法3.1可將階的一些方程類型1.方程不顯含未知函數(shù)和未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即 〔3.1〕假設(shè)令,那么，那么方程〔3.1〕即降為關(guān)于的一階微分方程，兩邊積分得：，兩邊再次積分，就能得到方程〔3.1〕的通解.方程不顯含未知函數(shù),即 〔3.2〕假設(shè)令，那么方程〔3.2〕就變?yōu)?，這是一個(gè)關(guān)于的一階微分方程.方程不顯含自變量，即 〔3.3〕假設(shè)令，那么那么方程〔3.3〕就變?yōu)檫@是一個(gè)關(guān)于的一階微分方程.4.恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程型二階微分方程也可以表示成的形式。假設(shè)方程 〔3.4〕的左端恰為某一函數(shù)對(duì)的全導(dǎo)數(shù)，即那么稱方程〔3.4〕為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。于是，方程〔3.4〕可寫成那么有，〔為任意常數(shù)〕這樣就把原方程降為了一階微分方程。5.關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的方程方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的是指滿足.作變換〔是新未知函數(shù)〕，那么有,代入到〔3.4〕中，有因?yàn)榉匠剃P(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的，約去非零公因子，得到上式經(jīng)整理后可化為的形式，這就是關(guān)于新未知函數(shù)的一階微分方程。注意:假設(shè)，那么可作變換。實(shí)際問題中，我們作變換后，還要考慮是不是方程的解。6.二階變系數(shù)齊次線性方程 〔3.5〕假設(shè)方程〔3.5〕的一個(gè)非零特解，我們作變換,方程〔3.5〕就化為一階變系數(shù)齊次微分方程：即 〔3.6〕其通解為：〔為任意常數(shù)〕我們?nèi)?，那么方程?.6〕的一個(gè)特解為：從而〔3.5〕的一個(gè)特解為：常數(shù)，線性無關(guān)。故方程〔3.5〕的通解為：〔為任意常數(shù)〕3.2二階線性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法二階線性微分方程 (3.7)在近代物理學(xué)以及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，但是，當(dāng)它的系數(shù)不為常數(shù)時(shí)，它的解往往不能用“有限形式〞表示出來。而冪級(jí)數(shù)解法就解決了這個(gè)問題，它不但對(duì)于求解方程有意義，而且由此引出了很多新的超越函數(shù)，在理論上具有很重要的地位。定理1如果在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析，即它們可以展成的冪級(jí)數(shù)，且，那么〔3.7〕的解在的鄰域內(nèi)也能展成的冪級(jí)數(shù) 〔3.8〕定理2如果在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析，而是的重零點(diǎn)，是的不低于重的零點(diǎn)〔假設(shè)〕，是的不低于重的零點(diǎn)〔假設(shè)〕，那么方程〔3.7〕至少有一個(gè)形如 〔3.9〕的廣義冪級(jí)數(shù)解，其中是某一常數(shù)。注意：利用定理1、2求解方程〔3.7〕的過程如下：首先，判斷在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)是否解析，也即是將展成的冪級(jí)數(shù)。再根據(jù)或兩種情況，分別在形式上假定〔3.7〕有形如〔3.8〕或〔3.9〕的冪級(jí)數(shù)解。將〔3.8〕或〔3.9〕微分后代人方程〔3.7〕，并令等式兩端的同次冪系數(shù)相等，從而得到關(guān)于〔3.8〕或〔3.9〕的系數(shù)的方程組，解出代人〔3.8〕或〔3.9〕中，便可得到〔3.7〕的形式解。另外，還要求出〔3.8〕或〔3.9〕的收斂區(qū)間，由于在收斂區(qū)間上才可以進(jìn)行逐次微分與積分，這說明在前面將〔3.8〕或〔3.9〕代人〔3.7〕中是合理的。即最后所得的冪級(jí)數(shù)〔3.8〕或〔3.9〕在收斂區(qū)間上確是我們要求的解。下面舉個(gè)例子進(jìn)行簡單說明。例：求的通解。解：在點(diǎn)解析且，由定理1可設(shè)其有級(jí)數(shù)解將代入原方程中，得：比擬等式兩端的的同次冪的系數(shù)，有：解之得：更一般地有，其中，是任意的。那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是無窮大，那么上式就是原方程的通解。3.3二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化歐拉方程形如 ， 〔3.10〕的方程稱為歐拉方程，其中都是常數(shù)。此方程可以通過變量變換化為常系數(shù)線性方程。下面以二階歐拉方程為例介紹一下此類方程常系數(shù)化的過程。我們在開區(qū)間上考慮二階歐拉方程 〔3.11〕令，即，引進(jìn)新的變量〔如果在上，那么令，所得結(jié)果與上述情況一樣〕。那么有，于是，我們可得到，將其代入方程〔3.11〕中，得， 〔3.12〕這樣，方程〔3.11〕就化為了二階常系數(shù)線性方程。根據(jù)二階常系數(shù)線性方程的特征方程解法，我們就可以求得方程〔3.12〕的通解，再將換成原來的變量〔注意：〕，就可得出方程〔3.11〕的通解。由上述推導(dǎo)過程，我們知道方程〔3.12〕有形如的解，從而方程〔3.11〕就有形如的解。將代入〔3.11〕并約去因子，就得到確定的代數(shù)方程 〔3.13〕我們稱〔3.13〕為二階歐拉方程的特征方程，它的根就稱為特征根。類似于二階常系數(shù)線性微分方程的特征方程法中特征根與通解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以得到：1〕當(dāng)〔3.13〕有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，方程〔3.11〕的通解為；2〕當(dāng)〔3.13〕有兩個(gè)相同的實(shí)根時(shí)，方程〔3.11〕的通解為；當(dāng)〔3.13〕有一對(duì)共軛復(fù)根，時(shí)，方程〔3.11〕的通解為。二階線性微分方程的常系數(shù)化對(duì)二階變系數(shù)齊次線性微分方程 〔3.14〕〔其中均為連續(xù)函數(shù)〕作變換，那么有，代入到〔3.14〕中，得 〔3.15〕不妨令的系數(shù)等于零，即從而那么 代入到方程中，整理得〔〕當(dāng)取某些特殊的函數(shù)時(shí)。我們有：1〕〔為常數(shù)〕，方程〔3.15〕可化為歐拉方程。2〕〔為常數(shù)〕，方程〔3.15〕可化為常系數(shù)線性方程?！?拉普拉斯變換我們已經(jīng)知道二階常系數(shù)線性方程 〔4.1〕的通解結(jié)構(gòu)和求解方法，但是，在實(shí)際問題中往往還要求〔4.1〕的滿足初始條件的解。我們當(dāng)然可以先求出〔4.1〕的通解，然后由初始條件確定其中的任意常數(shù)。此外，還有另外一種方法可以求解初值問題，即拉普拉斯〔Laplace〕變換法.因?yàn)樗鼰o需求出方程的通解，而是直接求出它的特解來，從而在運(yùn)算上得到很大簡化。拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果含參量的無窮積分對(duì)的某一取值范圍是收斂的，那么稱 〔4.2〕為函數(shù)的拉普拉斯變換，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)，并且記為一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的根本性質(zhì)1〕線性性質(zhì)：設(shè)函數(shù)，滿足定理3的條件，那么在它們的象函數(shù)共同的定義域上，有其中為任意常數(shù)。2〕原函數(shù)的微分性質(zhì)：如果均滿足定理3的條件，那么象函數(shù)的微分性質(zhì)：如果，那么4〕如果，那么拉普拉斯變換的應(yīng)用舉例下面運(yùn)用拉普拉斯變換法來求解二階常系數(shù)線性方程的初值問題：設(shè)方程兩端同取拉普拉斯變換，得到：由拉普拉斯變換的性質(zhì)，整理得：也即解之得：上式使用拉普拉斯逆變換即可求出初值問題的解。注：由象函數(shù)求原函數(shù)的運(yùn)算稱為拉普拉斯逆變換，記為§5二階微分方程的存在唯一性5.1存在唯一性定理如果在二階微分方程 〔5.1〕中，令，那么，它就可化為方程組 〔5.2〕我們稱〔5.2〕為一階微分方程組。從而，要討論二階微分方程的初值問題的存在唯一性，就只需討論一階微分方程組的初值問題的存在唯一性。令，，并定義：，，那么〔5.2〕可記成向量形式 〔5.3〕初始條件可記為，其中那么二階微分方程 〔5.4〕的初值問題就可記為 〔5.5〕此外，我們把二維向量的范數(shù)定義為.下面，我們給出初值問題〔5.5〕的解的存在與唯一性定理。定理3如果函數(shù)在三維空間的區(qū)域上滿足：1〕連續(xù)；2〕關(guān)于滿足李普希茲條件，即存在，使對(duì)于上任意兩點(diǎn)，有，那么初值問題〔5.5〕的解在區(qū)間上存在唯一，其中.類似于一階微分方程的初值問題的存在唯一性定理的證明，下面來簡單證明一下定理4.引理：如果函數(shù)在三維空間的區(qū)域上連續(xù)，那么初值問題〔5.5〕的解,,與積分方程 〔5.6〕在區(qū)間上的連續(xù)解等價(jià)，其中，.由引理我們知道，要證明定理4，只要證明積分方程〔5.6〕的連續(xù)解在區(qū)間上存在唯一就行了。存在性的證明下面用畢卡逐次逼近法來證明積分方程(6)的連續(xù)解的存在性，可分三個(gè)步驟進(jìn)行。構(gòu)造區(qū)間上的逐次近似的連續(xù)向量函數(shù)列.令，構(gòu)造畢卡逐次逼近向量函數(shù)序列如下：向量函數(shù)稱為〔5.5〕的第次近似解。用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：即曲線未越出區(qū)域，保證了逐次逼近可以一直進(jìn)行下去。證明函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂?？紤]向量函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 〔5.7〕它的局部和是所以，要說明函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂，只需證明級(jí)數(shù)〔5.7〕在區(qū)間上一致收斂。，由數(shù)學(xué)歸納法，我們可以得到：而,易于看出級(jí)數(shù)〔5.7〕每一項(xiàng)的絕對(duì)值都不會(huì)超過正項(xiàng)級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)。上面的級(jí)數(shù)顯然是收斂的。從而，級(jí)數(shù)〔5.7〕在區(qū)間上一致收斂。設(shè)其和函數(shù)為，從而函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于。由于在區(qū)間上是連續(xù)的，因而也是連續(xù)的。證明是積分方程〔5.6〕的解。對(duì)兩邊取極限，得要證是積分方程〔5.6〕的解，只需證在區(qū)間上一致收斂，使時(shí)，有.那么是積分方程〔5.6〕的解。唯一性的證明證：設(shè)也是積分方程〔6〕的解，且滿足那么有于是由Bellman不等式得：得出矛盾。因此，(5.6)在的解唯一。綜上，〔5.5〕的存在唯一性定理得證。5.2應(yīng)用舉例關(guān)于二階線性齊次方程解的零點(diǎn)例：方程，在上連續(xù)，如果是非零解的一個(gè)零點(diǎn)，那么存在的一個(gè)鄰域，使得在該鄰域內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)。證：〔反證法〕假設(shè)在內(nèi)存在無限個(gè)點(diǎn)，使，且當(dāng)時(shí)，.又連續(xù)，那么是方程的解，存在，且即滿足，根據(jù)定理4，知，與是非零解矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，從而命題得證。二階線性非齊次方程的邊值問題例：設(shè)在上連續(xù)，是證明：方程 〔5.8〕滿足條件的解唯一的充要條件是：方程 〔5.9〕只有零解滿足條件.證：設(shè)是方程〔5.9〕的兩個(gè)線性無關(guān)的解，是〔5.8〕的一個(gè)特解，那么(5.9)的通解為： 〔5.10〕〔5.8〕的通解為： 〔5.11〕將初值條件代入到〔5.11〕中，得： 〔5.12〕那么〔5.8〕滿足初值條件的解唯一等價(jià)于〔5.12〕有唯一解，也等價(jià)于設(shè)是〔5.9〕的滿足初值條件的解。將初值條件代入到〔5.10〕中，得： 〔5.13〕當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，〔5.13〕只有零解，即，那么，顯然命題得證。

結(jié)論關(guān)于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就，尤其在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問題和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。二階微分方程的解的存在唯一性定理不僅可判斷解的存在唯一性，而且還有著廣泛的應(yīng)用。而冪級(jí)數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比擬繁瑣的，計(jì)算量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級(jí)數(shù)在某個(gè)區(qū)間是否收斂等。另外，對(duì)于二階變系數(shù)非齊次微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的，還有待于進(jìn)一步的開展和研究。

致謝首先，我要感謝我的指導(dǎo)老師——侯長順老師。侯老師平時(shí)還要給學(xué)生上課,工作很忙，但還是幫我們查找與論文相關(guān)的資料，來供我們參考；在做論文的過程中，幫助我解決各個(gè)問題和困難，并在論文修改時(shí)提出很多的意見和建議，論文能如期完成，是與侯老師的指導(dǎo)分不開的。然后還要感謝大學(xué)四年來所有的老師,為我們打下數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的根底；同時(shí)還要感謝我身邊的同學(xué),謝謝你們的支持和鼓勵(lì)，才使這次畢業(yè)論文順利完成。最后，在畢業(yè)來臨之際，祝河南工業(yè)大學(xué)更加輝煌。參考文獻(xiàn)[1]朱思銘，王壽松，王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.[2]丁同仁．常微分方程教程[M]．北京：高等教育出版社，2004.[3]朱乃明，李虹莉.常微分方程[M]．重慶:西南師范大學(xué)出版社,2005.[4]都長清，焦寶聰，焦炳照.常微分方程[M]．北京：首都師范大學(xué)出版社，2001.[5]黃啟昌.常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，1982.[6]王克，潘家齊.常微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M]．北京：高等教育出版社，2007.[7]田巍，李奇.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的特征根公式法[J].高師理科學(xué)刊,2007,(06).[8]劉培進(jìn).二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的公式解法[J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2002,(03).[9]孫梅娟,倪致祥.可線性常系數(shù)化的二階常微分方程[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2021,(02).[10]石正華.淺談二階變系數(shù)齊次微分方程的求解問題[J].南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào),2021,(01).[11]李錄蘋,王通.關(guān)于幾類二階微分方程的解法[J].雁北師范學(xué)報(bào),2006,(02).[12]李永利,桑改蓮.一類二階變系數(shù)齊次微分方程通解的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006,(03).[13]胡勁松等.一種二階變系數(shù)線性微分方程的求解方法[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,(03).[14]陳湘.對(duì)常系數(shù)非齊次線性微分方程的一種講授法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2021,(03)[15]李中平.用觀察法求二階變系數(shù)齊線性方程的非零特解[J].高等數(shù)學(xué)研究,2021,(03).[16]SlimaneBenaicha.PeriodicBoundaryValueProblemforSecondOrderOrdinaryDifferentialEquations.AppliedMathematicalSciences,Vol.3,2021,no.6,267–276.[17]L.F.Shampine.NumericalSolutionofOrdinaryEquations.ChapmanandHall,1994.[18]R.P.Agarwal.Boundaryvalueproblemsforhighorderdifferentialequations,WorldScientic,Singapore,1986. 總黃酮生物總黃酮是指黃酮類化合物，是一大類天然產(chǎn)物，廣泛存在于植物界，是許多中草藥的有效成分。在自然界中最常見的是黃酮和黃酮醇，其它包括雙氫黃〔醇〕、異黃酮、雙黃酮、黃烷醇、查爾酮、橙酮、花色苷及新黃酮類等。簡介近年來，由于自由基生命科學(xué)的進(jìn)展，使具有很強(qiáng)的抗氧化和消除自由基作用的類黃酮受到空前的重視。類黃酮參與了磷酸與花生四烯酸的代謝、蛋白質(zhì)的磷酸化、鈣離子的轉(zhuǎn)移、自由基的去除、抗氧化活力的增強(qiáng)、氧化復(fù)原作用、螯合作用和基因的表達(dá)。它們對(duì)健康的好處有：〔1〕抗炎癥〔2〕抗過敏〔3〕抑制細(xì)菌〔4〕抑制寄生蟲〔5〕抑制病毒〔6〕防治肝病〔7〕防治血管疾病〔8〕防治血管栓塞〔9〕防治心與腦血管疾病〔10〕抗腫瘤〔11〕抗化學(xué)毒物等。天然來源的生物黃酮分子量小，能被人體迅速吸收，能通過血腦屏障，能時(shí)入脂肪組織，進(jìn)而表達(dá)出如下功能：消除疲勞、保護(hù)血管、防動(dòng)脈硬化、擴(kuò)張毛細(xì)血管、疏通微循環(huán)、活化大腦及其他臟器細(xì)胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。近年來國內(nèi)外對(duì)茶多酚、銀杏類黃酮等的藥理和營養(yǎng)性的廣泛深入的研究和臨床試驗(yàn)，證實(shí)類黃酮既是藥理因子，又是重要的營養(yǎng)因子為一種新發(fā)現(xiàn)的營養(yǎng)素，對(duì)人體具有重要的生理保健成效。目前，很多著名的抗氧化劑和自由基去除劑都是類黃酮。例如，茶葉提取物和銀杏提取物。葛根總黃酮在國內(nèi)外研究和應(yīng)用也已有多年，其防治動(dòng)脈硬化、治偏癱、防止大腦萎縮、降血脂、降血壓、防治糖尿病、突發(fā)性耳聾乃至醒酒等不乏數(shù)例較多的臨床報(bào)告。從法國松樹皮和葡萄籽中提取的總黃酮"碧蘿藏"--〔英文稱PYCNOGENOL〕在歐洲以不同的商品名實(shí)際行銷應(yīng)用25年之久，并被美國FDA認(rèn)可為食用黃酮類營養(yǎng)保健品，所報(bào)告的保健作用相當(dāng)廣泛，內(nèi)用稱之為"類維生素"或抗自由基營養(yǎng)素，外用稱之為"皮膚維生素"。進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)碧蘿藏的抗氧化作用比VE強(qiáng)50倍，比VC強(qiáng)20倍，而且能通過血腦屏障到達(dá)腦部，防治中樞神經(jīng)系統(tǒng)的疾病，尤其對(duì)皮膚的保健、年輕化及血管的健康抗炎作用特別顯著。在歐洲碧蘿藏已作為保健藥物，在美國作為膳食補(bǔ)充品〔相當(dāng)于我國的保健食品〕，風(fēng)行一時(shí)。隨著對(duì)生物總黃酮與人類營養(yǎng)關(guān)系研究的深入，不遠(yuǎn)的將來可能證明黃酮類化合物是人類必需的微營養(yǎng)素或者是必需的食物因子。性狀：片劑。功能主治與用法用量功能主治：本品具有增加腦血流量及冠脈血流量的作用，可用于緩解高血壓病癥〔頸項(xiàng)強(qiáng)痛〕、治療心絞痛及突發(fā)性耳聾，有一定療效。用法及用量：口服：每片含總黃酮６０ｍｇ，每次５片，１日３次。不良反響與注意不良反響和注意：目前,暫沒有發(fā)現(xiàn)任何不良反響.洛伐他丁【中文名稱】：洛伐他丁【英文名稱】：Lovastatin【化學(xué)名稱】：(S)-2-甲基丁酸-(1S,3S,7S,8S,8aR)-1,2,3,7,8,8a-六氫-3,7-二甲基-8-[2-(2R,4R)-4-羥基-6氧代-2-四氫吡喃基]-乙基]-1-萘酯【化學(xué)結(jié)構(gòu)式】：洛伐他丁結(jié)構(gòu)式【作用與用途】洛伐他丁胃腸吸收后，很快水解成開環(huán)羥酸，為催化膽固醇合成的早期限速酶〔HMG－coA復(fù)原酶〕的競爭性抑制劑?？山档脱獫{總膽固醇、低密度脂蛋白和極低密度脂蛋白的膽固醇含量。亦可中度增加高密度脂蛋白膽固醇和降低血漿甘油三酯。可有效降低無并發(fā)癥及良好控制的糖尿病人的高膽固醇血癥，包括了胰島素依賴性及非胰島素依賴性糖尿病?！居梅ㄓ昧俊靠诜阂话闶挤┝繛槊咳?0mg，晚餐時(shí)1次頓服，輕度至中度高膽固醇血癥的病人，可以從10mg開始服用。最大量可至每日80mg。【考前須知】①病人既往有肝臟病史者應(yīng)慎用本藥，活動(dòng)性肝臟病者禁用。②副反響多為短暫性的：胃腸脹氣、腹瀉、便秘、惡心、消化不良、頭痛、肌肉疼痛、皮疹、失眠等。③洛伐他丁與香豆素抗凝劑同時(shí)使用時(shí)，局部病人凝血酶原時(shí)間延長。使用抗凝劑的病人，洛伐他丁治療前后均應(yīng)檢查凝血酶原時(shí)間，并按使用香豆素抗凝劑時(shí)推薦的間期監(jiān)測。他汀類藥物他汀類藥物(statins)是羥甲基戊二酰輔酶A〔HMG-CoA〕復(fù)原酶抑制劑，此類藥物通過競爭性抑制內(nèi)源性膽固醇合成限速酶(HMG-CoA)復(fù)原酶，阻斷細(xì)胞內(nèi)羥甲戊酸代謝途徑，使細(xì)胞內(nèi)膽固醇合成減少，從而反響性刺激細(xì)胞膜外表(主要為肝細(xì)胞)低密度脂蛋白(lowdensitylipoprotein，LDL)受體數(shù)量和活性增加、使血清膽固醇去除增加、水平降低。他汀類藥物還可抑制肝臟合成載脂蛋白B-100，從而減少富含甘油三酯AV、脂蛋白的合成和分泌。他汀類藥物分為天然化合物(如洛伐他丁、辛伐他汀、普伐他汀、美伐他汀)和完全人工合成化合物(如氟伐他汀、阿托伐他汀、西立伐他汀、羅伐他汀、pitavastatin)是最為經(jīng)典和有效的降脂藥物，廣泛應(yīng)用于高脂血癥的治療。他汀類藥物除具有調(diào)節(jié)血脂作用外，在急性冠狀動(dòng)脈綜合征患者中早期應(yīng)用能夠抑制血管內(nèi)皮的炎癥反響，穩(wěn)定粥樣斑塊，改善血管內(nèi)皮功能。延緩動(dòng)脈粥樣硬化〔AS〕程度、抗炎、保護(hù)神經(jīng)和抗血栓等作用。結(jié)構(gòu)比擬辛伐他汀〔Simvastatin〕是洛伐他汀〔Lovastatin〕的甲基化衍化物。美伐他汀〔Mevastatin，又稱康百汀，Compactin〕藥效弱而不良反響多，未用于臨床。目前主要用于制備它的羥基化衍化物普伐他汀〔Pravastatin〕。體內(nèi)過程洛伐他汀和辛伐他汀口服后要在肝臟內(nèi)將結(jié)構(gòu)中的其內(nèi)酯環(huán)翻開才能轉(zhuǎn)化成活性物質(zhì)。相對(duì)于洛伐他汀和辛伐他汀，普伐他汀本身為開環(huán)羥酸結(jié)構(gòu)，在人體內(nèi)無需轉(zhuǎn)化即可直接發(fā)揮藥理作用，且該結(jié)構(gòu)具有親水性，不易彌散至其他組織細(xì)胞，極少影響其他外周細(xì)胞內(nèi)的膽固醇合成。除氟伐他汀外，本類藥物吸收不完全。除普伐他汀外，大多與血漿蛋白結(jié)合率較高。用藥注意大多數(shù)患者可能需要終身服用他汀類藥物，關(guān)于長期使用該類藥物的平安性及有效性的臨床研究已經(jīng)超過10年。他汀類藥物的副作用并不多，主要是肝酶增高，其中局部為一過性，并不引起持續(xù)肝損傷和肌瘤。定期檢查肝功能是必要的，尤其是在使用的前3個(gè)月，如果病人的肝臟酶血檢查值高出正常上線的3倍以上，應(yīng)該綜合分析病人的情況，排除其他可能引起肝功能變化的可能，如果確實(shí)是他汀引起的，有必要考慮是否停藥；如果出現(xiàn)肌痛，除了體格檢查外，應(yīng)該做血漿肌酸肌酸酶的檢測，但是橫紋肌溶解的副作用罕見。另外，它還可能引起消化道的不適，絕大多數(shù)病人可以忍受而能夠繼續(xù)用藥。紅曲米天然降壓降脂食品——紅曲米紅曲紅曲米又稱紅曲、紅米，主要以秈稻、粳稻、糯米等稻米為原料，用紅曲霉菌發(fā)酵而成，為棕紅色或紫紅色米粒。紅曲米是中國獨(dú)特的傳統(tǒng)食品，其味甘性溫，入肝、脾、大腸經(jīng)。早在明代，藥學(xué)家李時(shí)珍所著?本草綱目?中就記載了紅曲的成效：營養(yǎng)豐富、無毒無害，具有健脾消食、活血化淤的成效。上世紀(jì)七十年代，日本遠(yuǎn)藤章教授從紅曲霉菌的次生級(jí)代謝產(chǎn)物中發(fā)現(xiàn)了能夠降低人體血清膽固醇的物質(zhì)莫納可林K〔Monacolin-k〕或稱洛伐他汀，〔Lovastatin〕，引起醫(yī)學(xué)界對(duì)紅曲米的關(guān)注。1985年，美國科學(xué)家Goldstein和Brown進(jìn)一步找出了Monacolin-k抑制膽固醇合成的作用機(jī)理，并因此獲得諾貝爾獎(jiǎng)，紅曲也由此名聲大噪。紅曲米的醫(yī)療保健成效如下：降壓降脂：研究說明，紅曲米中所含的Monacolin-K能有效地抑制肝臟羥甲基戊二酰輔酶復(fù)原酶的作用，降低人體膽固醇合成，減少細(xì)胞內(nèi)膽固醇貯存；加強(qiáng)低密度脂蛋白膽固醇的攝取與代謝，降低血中低密度脂蛋白膽固醇的濃度，從而有效地預(yù)防動(dòng)脈粥樣硬化；抑制肝臟內(nèi)脂肪酸及甘油三酯的合成，促進(jìn)脂質(zhì)的排泄，從而降低血中甘油三酯的水平；升高對(duì)人體有益的高密度脂蛋白膽固醇的水平，從而到達(dá)預(yù)防動(dòng)脈粥樣硬化，甚至能逆轉(zhuǎn)動(dòng)脈粥樣硬化的作用。2.降血糖：遠(yuǎn)藤章教授等人曾直接以紅曲菌的培養(yǎng)物做飼料進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，除確定含有紅曲物的飼料可以有效地使兔子的血清膽固醇降低18%~25%以上外，又發(fā)現(xiàn)所有試驗(yàn)兔子在食入飼料之后的0.5小時(shí)內(nèi)血糖降低23%~33%，而在1小時(shí)之后的血糖量比對(duì)照組下降了19%~29%。說明紅曲降糖功能顯著。3.防癌成效：紅曲橙色素具有活潑的羥基，很容易與氨基起作用，因此不但可以治療胺血癥且是優(yōu)良的防癌物質(zhì)。4.保護(hù)肝臟的作用：紅曲中的天然抗氧化劑黃酮酚等具有保護(hù)肝臟的作用。壓樂膠囊壓樂膠囊成分壓樂膠囊〞唯一成分“紅曲酵素〞大紀(jì)事1970：紅曲米提取6種他汀，制成降脂藥世界第一紅曲，是寄生在紅曲米上，發(fā)酵提取壓樂膠囊的活性生物菌。70年代日本科學(xué)家遠(yuǎn)藤根據(jù)?本草綱目?上記載紅曲的“活血〞成效的啟示，從紅曲營養(yǎng)液中別離出優(yōu)良的6種含膽固醇抑制劑和甘油三酯分解劑的紅曲菌，被命名為“莫納可林〞即“他汀類〞，此后30多年來，紅曲米提取的“他汀〞被世界醫(yī)學(xué)界公認(rèn)為最好的降脂藥，在臨床上大量使用。2002：降壓史上歷史性突破6種他丁+2種紅曲降壓素=“紅曲酵素〞2002年，震驚世界的生物領(lǐng)域重大創(chuàng)造，紅曲中的降糖、降壓、抗癌成分〔GABA-GLUCOSAMINE〕通過發(fā)酵提取，在原來6種他丁的根底上合成“紅曲酵素〔Monacolin-R〕，經(jīng)大量的臨床試驗(yàn)，這種復(fù)合酵素不僅保存了生物他丁的降脂成效，而且它的降血壓效果堪比任何藥物，?藥日新聞?撰文品論，紅曲酵素的出現(xiàn)，將開辟降壓藥新時(shí)代。2021：6年臨床證實(shí)“紅曲酵素〞降血壓、治心腦、防猝死、能停藥隨后的6年，5萬名高血壓患者臨床運(yùn)用證實(shí)：“紅曲酵素〞對(duì)調(diào)理器官微血循環(huán)、幫助血液進(jìn)行重新分配，迅速降壓，修復(fù)受損心腦肝腎作用顯著。而且“紅曲酵素〞降壓同時(shí)、養(yǎng)心、護(hù)腦、清肝、活腎的成效，到達(dá)了降壓藥的頂峰！“紅曲酵素〞也被世界醫(yī)學(xué)界譽(yù)為“可以媲美青霉素的曠世發(fā)現(xiàn)！〞“紅曲酵素〞摘取美國醫(yī)學(xué)界最高榮譽(yù)“拉斯克獎(jiǎng)〞“紅曲酵素〞的發(fā)現(xiàn)者日本Biopharm研究所所長遠(yuǎn)藤章〔74歲〕，因此項(xiàng)創(chuàng)造被授予美國醫(yī)學(xué)界最高榮譽(yù)“拉斯克獎(jiǎng)〞，紐約市長布隆博格將頒獎(jiǎng)理由歸結(jié)于“數(shù)千萬人因此得以延長生命！〞通知各地消費(fèi)者：為了打擊假冒偽劣產(chǎn)品，保護(hù)消費(fèi)者利益，公司從2021年4月起，正式委托國家GMP認(rèn)證企業(yè)吉林市隆泰參茸制品有限責(zé)任公司生產(chǎn)我公司產(chǎn)品?壓樂牌鑫康延平膠囊?〔以下簡稱壓樂〕。按照國家規(guī)定，?壓樂?產(chǎn)品盒子和說明書做以下相應(yīng)調(diào)整：1.委托生產(chǎn)企業(yè)由原來的“山西天特鑫保健食品〞，改為“吉林市隆泰參茸制品有限責(zé)任公司〞。2.生產(chǎn)地址由原來的“山西省大同縣馬連莊〞，改為“吉林省樺甸市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)〞。3.產(chǎn)品企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)由“Q140200TTX009-2021〞改為“Q/HDLTS.09-2021〞.4.衛(wèi)生許可證由“晉衛(wèi)食證字〔2007〕140000-110039號(hào)〞，改為吉衛(wèi)食證字〔2021〕第220282-SC4348號(hào)。5.6.盒子上增加了“數(shù)碼鈔票花紋防偽〞技術(shù)，包裝上的花紋清晰，仔細(xì)觀看，花紋中間有“壓樂〞字樣。北京鑫康勝生物技術(shù)開發(fā)2021年4月6日本店鄭重聲明：不賣假貨!每天解釋防偽碼的問題真的很累！請(qǐng)顧客買之前先看完。廠家因?yàn)椴蛔屧诰W(wǎng)上出售，所以我們的防偽碼都要刮掉，那個(gè)防偽碼對(duì)于顧客來講是查詢真?zhèn)斡玫?，但是?duì)于代理來講是廠家用來查串貨用的，所以我們網(wǎng)上出售一定要撕掉，希望您理解！如果您不能接受的話，請(qǐng)不要拍，免得沒有必要的麻煩！以后但凡因?yàn)榉纻未a被撕申請(qǐng)退貨的顧客，本店一律不支持！請(qǐng)您考慮好了再拍！~我們盒子上的防偽挖掉了一局部，是查不了的，因?yàn)閺S家嚴(yán)查網(wǎng)上低價(jià)串貨，廠家可以從防偽數(shù)字查出貨源，不能接受的請(qǐng)不要拍！絕對(duì)正品，收到可以試用幾天滿意在確認(rèn)，不滿意可以全額退款!誰能詳細(xì)給我介紹一下藥品串貨。謝謝！瀏覽次數(shù)：697次懸賞分：0|解決時(shí)間：2021-9-1216:15|提問者：yanyecc最正確答案藥品串貨是一種違規(guī)操作。一般來說藥品的經(jīng)營，在地方都是有代理商，代理商是負(fù)責(zé)獨(dú)家供貨，而藥品的生產(chǎn)廠家也會(huì)給予市場保護(hù)，每個(gè)地區(qū)不能出現(xiàn)同樣品種的經(jīng)營