2022年上海市寶山區(qū)上海大學(xué)附中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：2B2．作答2B一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．設(shè)向量a，b滿足a2，b1，a,b 60，則atb的取值范圍是A 2, B 3,．C．

2,6

．D．

3,6已知命題p:若a1，則a21，則下列說法正確的是（ ）p是真命題p的逆命題是真命題p的否命題是a1，則a21”p的逆否命題是若a21a1”某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（ ）月收入的極差為60 B．7月份的利潤最大C．這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D．這一年的總利潤超過400萬元ABCAB

，，AB2，BC

1

所成的角的1 1 1

1 1 1正弦值為（ ． 2

105

5

3x,x0abRf(x1

1 yf(xaxb恰有三個零點，則（）A．a(chǎn)0C．a(chǎn)

3x32(a1x2ax,x0B．a(chǎn)0D．a(chǎn)1,b若復(fù)數(shù)z滿足z 3(1z)i1，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是z，則zz（ ）3A．1 B．0 C．1 D．1 i32 2已知數(shù)列

滿足logan 3

1log3

an1

nN* ,aaa

9則log1 aa35335

7 的值是( )A．5 B．

9C．4 D．91xOyE

x2y2a2 b2

b0)FF到直線2bxay0的距離為3A．32

c，則E的離心率為( )22222122B． C． D．2 2 3

3數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為x2y2 x2y2.給出下列四個結(jié)論：①曲線C有四條對稱軸；②曲線C上的點到原點的最大距離為1；4③曲線C第一象限上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為1；8④四葉草面積小于.4其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④.某班級從3AAA和3BB2B中1 2 3 1 3各隨機選出兩名，把選出的4A

兩人組成一隊參加比賽的概率為1 1（ ）1A． B．219 9

1 4C． D．3 91ABCDABC

P

MN

和棱BC

上任意1 1 1 1 1 1 1 1一點，則2PM 2MN的最小值為（ ）A．22

B．2 C．3 D．2x2已知雙曲線a2

y2b2

1（，b0）的左、右焦點分別為，以

（O為坐標(biāo)原點）為直徑的圓C交雙曲線于B兩點，若直線AE與圓C相切，則該雙曲線的離心率為（ ）23 6A．2

B．2 2 62

3 22 6C．2

3 2 6D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合AB5,7.若AB則實數(shù)a的值是 .銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2b2ac0，則sinA的取值范圍是 .sinB函

fx滿足

fxfx4

x2,2

2x33x2a,2xa時，f(x) 若函x,ax2

fx在

0,2020上有1515個零點，則實數(shù)a的范圍為 .如圖已知ACBC4，ACB90，M為BC的中點，D為以AC為直徑的圓上一動點，則AMDC的最小值是 ．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）等差數(shù)列an

的前nSn

aa3

18，S6

36.（Ⅰ）求數(shù)列an

的通項公式及前n項和為S；n 1 （Ⅱ）設(shè)

的前n

1.n

n n18（12分）憲法小衛(wèi)士”5050學(xué)生的競賽成績均在[50，100]內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)段人數(shù)

[50，60)5

[60，70)15

[70，80)15

[80，90)12

[90，100]3將競賽成績在[70,100]內(nèi)定義為合格”，競賽成績在[50,70) 內(nèi)定義為不合格”．請將下面的22列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有95%與是否是高一新生有關(guān)？合格高一新生 12非高一新生合計

不合格 合計6在5055名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競賽成績都合格的概率．n(adbc)2參考公式及數(shù)據(jù)：K2

，其中nabcd．(ad)(ad)PP(K2k)00.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.82819（12分）已知f(x)x3ax2bx,a,bR（1）若b1，且函數(shù)f(x) 在區(qū)間1,1

上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的范圍；2 2 （2）若函數(shù)f(x)有兩個極值點x,x1 2,

，xx1

且存在x0

滿足x1

2x0

3x2

g(x)f(xf(x0

)，試判斷g(x)零點的個數(shù)并證明．20（12分）已知直線l的極坐標(biāo)方程為sin6，圓C的參數(shù)方程為x1co

（為參數(shù)．3 y3 lC的方程化為直角坐標(biāo)方程；l被圓截得的弦長．21（12分）已知函數(shù)f(x)2x,g(x)x22ax.（1）當(dāng)a時，求函數(shù)yf(g(x))(2 x 3)的值.2f(x),x b2（2）設(shè)函數(shù)h(x) ，若ab0，且h(x)的最小值為 ，求實數(shù)a的取值范圍.g(x),xb 222（10分）選修4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為{

x2cosysin為參數(shù)．以直角坐標(biāo)系原點Ox軸的2正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l224

，點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．參考答案125601、B【解析】(t1)(t1)233aatb (atb)2 a22abtt2b2 4t2當(dāng)t1時取等號，所以本題答案為B.

= ，【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.2、B【解析】解不等式，可判斷A選項的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式a211a1p為假命題，A選項錯誤；p的逆命題是a21，則a1”，該命題為真命題，B選項正確；p的否命題是a1，則a21”，C選項錯誤；p的逆否命題是若a21，則a1”，D選項錯誤．故選：B．【點睛】3、D【解析】直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為903060A正確；11220，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤最高，故選項B正確；3803030CD錯誤.D.【點睛】4、C【解析】

BCM,N,PABM,N,PABB的中點，得出MNNPACMQMP和MNP.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:M,N,PABBBB

的中點，BC1 1 1則 1 的夾角為MN和NP夾角或其補角1 5 1 2MN

AB ，NP BC .2 1 2 2 1 2作BC中點Q，則PQM 為直角三角形；1PQ1,MQ AC2ABC 中，由余弦定理得

1AC2AB2BC22ABBCcosABC4122127 AC

，MQ77277MQ2PQ211在△MQP中，MQ2PQ2112在PMN中，由余弦定理得

5211 2 2 25211MN2NP2PM2

2 2

2 25210cosMNP25210

2MHNP 52 21cos2MNP1101cos2MNP11025155故選：C【點睛】5、C【解析】當(dāng)x0時，yf(x)axbxaxb(1a)xb最多一個零點；當(dāng)x 0時，1 1 yf(xaxb1x3 (a1)x2axaxb x3 (a1)x2b，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)1 1 3 2 3 2性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】x0yf(xaxbxaxb(1a)xb0x

b yf(xaxb最多一個零點；1a1 1 1 1當(dāng)x 0時，yf(x)axb x3 (a1)x2axaxb x3 (a1)x2b，3 2 3 2yx2(a1)x，當(dāng)a10即a 1時，y 0，yf(x)axb在[0，)上遞增，yf(x)axb最多一個零點不合題意；當(dāng)a10，即a1時，令y0得x[a1，)，函數(shù)遞增，令y0得x[0，a1)，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點；yf(xaxb3yf(xaxb在(,0)上有一個零點，在[02個零點，如圖：b0 b 0且1 1 ，1a 3(a132(a1)a12b01解得b0，1a00b故選C．

(aa1．6【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及a,b兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.6、C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵z 3zi1，∴z1

1 3i，1 2 2則z1 3i，2 2zz1故選：C．【點睛】7、B【解析】由loga3 n

1log3

an1

，可得an1

3an

，所以數(shù)列

是公比為3的等比數(shù)列，n所以a2

aa4

a9a2

81a2

91a2

9，則a ，92 919則log(aa則1 3

a)log7

(3a2

27a2

243a2

)log1

B.3 3 3n.8、A【解析】由已知可得到直線【詳解】

2bxay

的傾斜角為45

1a2b2c2即可解決.，有2，有2bF到直線2bxay0

，得直線2bxay0的傾斜角為451，2c2 a2c即4a2c2

a2，解得e .323A.【點睛】本題考查橢圓離心率的問題，一般求橢圓離心率的問題時，通常是構(gòu)造關(guān)于a,b,c的方程或不等式，本題是一道容易題.9、C【解析】①利用x,y之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為x,y的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)x,y滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.4【詳解】xx

3 x2y2 x2 3 當(dāng)y變?yōu)閥時，x2y23x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于x軸對稱；當(dāng)y變?yōu)閤時，x2y2

x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于yx軸對稱；2當(dāng)y變?yōu)閤時，x2y23x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于yx軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；2

x2y22②：因為x2y23

x2y2，所以

x2y23

x2y2

， x2x2y2x2y2

，所以

x2

y2 ，4 2 81所以最大距離為，故錯誤；2Pxyxy， 因為x2

x2y2，所以x2y2 x2y2

2xy3，所以xy1， xy

12，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；24 81 1④：由②可知x2y2

x2y24

的內(nèi)部，4S1

，所以四葉草的面積小于，故正確.4 4 4【點睛】xy去分析證明.10、B【解析】C2C2C1C1 A B

C1C1根據(jù)組合知識，計算出選出的4人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為最后簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】3名男生、32C2C2

3 3 A22

2，然后計算和1

1分在一組的數(shù)目為2 2，3 3C1C12名女生平均分為兩組：21A22C1C12名男生平均分為兩組：21A22則選出的4人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為：C1C1

C1C1

C2C2C1C1C2C2 2

2 1A2 3 3 2 2183 3 2

A2 2 A22 2AB1分在一組的數(shù)目為C1C141 2 24 2所以所求的概率為189故選：B【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成mAm，即m!，審清題m意，細(xì)心計算，考驗分析能力，屬中檔題.11、D【解析】ACEMMFABCD

MFNPMEM，1 1 1 1MNB

時，MN最小，由MF

2MN，故1 1 22PM 2MN 2MN2EMMF2AA22PM 2

1 ，即可求解. 【詳解】ACEMMFABC

，如圖：1 1 1 1PMEM，MMNBC時，MN最小．1 1此時由MF面ABCD，可知MFN為等腰直角三角形，MF 2MN，1 1 1 1 22PM 2MN 2MN2EMMF2AA2故 2PM 2 1 . 故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.12、D【解析】連接EC【詳解】

3c，在ACF中，由余弦定理得AF，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.2連接CA，AF，則OCCACF

c，OEc，23c所以EC

c，|FC2 2RtEACAE

2c，cosACE1，3故cosACFcosACE13在ACF中，由余弦定理AF2CA2CF22CACFcosACF

6c.32c

6c2a3ec 2

6 3 2 6所以雙曲線的離心率 a

2 63

3 2 6 2故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.452013、9【解析】根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】AB5,7ABa54a9.故答案為：9【點睛】本題考查集合的交集，是基礎(chǔ)題.32 323 14、 , 3 【解析】由余弦定理，正弦定理得出sinAsin(BAB2AA的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出cosA的.【詳解】由題意得b2a2c22accosBa2acac2acosB由正弦定理得sinAsinC2sinAcosBsin(AB2sinAcosB化簡得sinAsin(BA)又ABC 為銳角三角形B2A0B2A2

,0C3A2A6 4則cosA

, ，2cosA( 2, 3)

1 , 232 223

2cosA 3 232 32sinA

sinA

sinA

1 , sinB sin2A 2sinAcosA 2cosA 3 2.32 3232 323 故答案為 , 3 【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.151,02 【解析】fx在[2,2)3個根，分2a10a11a0afx的單調(diào).【詳解】由已知，fx的周期為4，且至多在[2,2)上有4個根，而0,2020含505個周期，所以fx在[2,2)上有3個g(x)2x33x2

a，g'(x)6x2

6xg(x在(1,0)(1)上單調(diào)遞增，g(2)a40g(1)a50.2a1fx在(a2)fx在[2,a3個根，f(1)0 a10則 ，即 ，此時a；f(0)0 a0若0a1fx在(a2)1f(0)a0fx在[2,a2個根，故不滿足；1a0fx在[2,a2個根，只需f(1)0，解得1

a0；f(a)0 2afx在[2,a1個零點，不滿足題意；1綜上，實數(shù)a故答案為：1,0

a0.22 【點睛】516、845【解析】建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo),進(jìn)而可得AM,DC的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出AMDC的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示：A2,0COM2,2,D2cos,2sin,AM2DC2cos2sin,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,AMDC422cos22sin84sin2cos84 5sin,tan2,因為sin所以AMDC的最小值為84 5.故答案為:84 5【點睛】建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)MDC表示為關(guān)于角的三角函數(shù)屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。n17（Ⅰ）a 2n1，S n2nn

（Ⅱ）見解析【解析】（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.1（Ⅱ） 1

1 1

1 ，根據(jù)裂項求和法計算得到T1

得到證明.S n n2n n n1n

n n1【詳解】（Ⅰ）等差數(shù)列的公差為da

18，

36得a 9，a

12，na4d92a1

35d12，解得a1

7 61，d2.

5 1 6∴a 2n1，S 135n n

(2n1)n2.（Ⅱ）

1n2，∴

1 1

1 1 ，n S n n2n n(n1) n n1nT 11111 1 1 1 1，即

1.n 2 2 3 n n1 n1 n【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本量的計算，裂項求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.18（）（）P310【解析】22列聯(lián)表如下：合格不合格合計高一新生121426非高一新生18624合計30205050(12614182 22則K2的觀測值k 4.3273.841，30202426 52所以有95%的把握認(rèn)為與是否是高一新生有關(guān)．5名學(xué)生中競賽成績合格的有30

53名學(xué)生，記為abc，5020

52名學(xué)生，記為m,n，5052ac,bcan,bm,bn,cm,cnmn10種，2abacbc3種，2P3．10319（1）7a （2）函數(shù)gx有兩個零點x和x34 1 0【解析】（）求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)大于或等于（）先判斷x0

為一個零點，然后再求導(dǎo)，根據(jù)x2x1

3x2

，化簡求得另一個零點。（）當(dāng)b=

fx3x2+2ax1，因為函數(shù)

fx在1,1上單調(diào)遞增， 2 2x1,1fx3x210恒成立．[來源:Z&X&X&K] 2 2函數(shù)fx3x2+2ax1的對稱軸為xa．3a1，即a3f10，33即310，解之得a ，解集為空集；32②1a

1，即3

a3fa03 2 2 3 即3a2+2aa103

a

，所以3

a3 3339 2333③a3

1，即a3時，f103 2 2

2 即31a10a7，所以7a34 4 4 23綜上所述，當(dāng)7a 函數(shù)fx在區(qū)間1,13

上單調(diào)遞增．24 24 （2）∵fx有兩個極值點x,x，1 2∴x,

fx3x2b=0fx在區(qū)間x

和

,上單調(diào)遞增，在1x,

2 1 2上單調(diào)遞減．1 2∵gxfxgx也是在區(qū)間

和

,上單調(diào)遞增，在x,x

上單調(diào)遞減1 2 1 2∵gx0

fx0

fx0

=0，∴x0

是函數(shù)gx的一個零點．gx2

fx2

fx0∵x2x1

3x2

，∴2x0

2x2

xx2

0，∴x0

x∴fx2

fx0

，∴gx2

fx2

fx0

0又gx1

fx1

fx0∵x,

是方程fx3x2+2axb=0的兩個根，1 2∴3x2+2axb=0，3x2+2ax

b=0,1 1 2 2∴gxfxfx=01 1 0gx圖像連續(xù)，且在區(qū)間x上單調(diào)遞增，在xx上單調(diào)遞減，在x上單調(diào)遞增1 1 2 2xxgx0xxxgx0xx

gx0，1 1 0 0gxxx．1 020（）3xy120．x2＝（）16【解析】.2圓心到直線的距離為d126，故弦長為2 r2d2得到答案.2【詳解】sin6 1sin

3cos6 1 3（1）

3

，即2

2 ，即y