第二屆中國大學生數(shù)學競賽預賽暨第21屆北京市大學生數(shù)學競賽試卷(非數(shù)學類)參考答案及評分標準

第二屆中國大學生數(shù)學競賽預賽試卷參考答案及評分標準(非數(shù)學類，2010)一(本題共5小題，每小題5分，共25分)、計算下列各題(要求寫出重要步驟).=(l+a).(l+<?)?(l+ar)，其中|a|<l，求lunrw.解將X。恒等變形=(1一a)(l+a)(l+a2)?.(l+a2=(1一a)(l+a)(l+a2)?.(l+a2)丄i-a=(1-a2).(l十e?)?(l+ar(l-a4).(l+a4)…(1+1一a由丁，|a|<l,可知lima2=0，從而lunx==expUnix2x*x*J=expUnix2x*x*J(3)沒(3)沒$>0.求之=￡m(n=i，2，-).lnufWO,所以，由此得到，1?=Ilf-Hx>-由此得到，1?=Ilf-Hx>-Ixf=n\n-H⑷沒函數(shù)/G)有二階連續(xù)的導數(shù)，r=批+y2.g(x，y)=/山，求祭+祭.rdxr0-解因為字2，字2,所以dxroyr利用對稱性，(5)求盥線l/-[X~^=Q與A線= =的跑離.二=0 4 —2 —1解汽線＜的對稱式方程為/1：|=|=^.記Wft線的方向向莆分別為I,=(1，1，0)，r=(4,-2,-1)，Wft線I?.的定點分別為ZJ(O.O.O)和6(2，1,3)，“涵=(2，1，3).Z；Z；xZ；=(-l,l,-6).由向景的性質(zhì)可知，線的距離二(本題共15分)、設(shè)函數(shù)/(x)在(-的,十叫上具有二階導數(shù)，并且f"(x)>0,limf\x)=a>0,limf\x)=fl<0,且存在一點r0.使得f(x0)<0.i->-Ko x->-w證明：方程f(x)=0^(-co,+^)恰有W個實報.證1.由limf(x)=a>0必有一個充分大的a>x0,使得/(a)>0./"(x)>oilly=/(x)是lu】函數(shù)，從而f(x)>f(a)+f\a)(x-a)(x>a)當X->+cO時，/(+00)+ ->+?.(6分〉故存在b>a,(6分〉f{b)>f(a)+f’(a)(b-a)>0同樣,|hUmf\x)=fi<09必有c<x。，使得r(c)<0.廠(X)>0知J=f(x)是円］函數(shù)，從而/(.x)>f(c)+f(c)(x-c) (x<c)當 時，/(-^)+y'(C)(X-C)->+c0.故存在d<c，使得f(d)>f(c)+f'_-c)>0 (10分)在［X。乂］和［a，x。］利用零點定理，Bxle(x0,b).x2e(d9x0)使得/(\)=/(x2)=0 (12分)下而證明方程/(幻=0在(-%+叫只有W個實根.用反證法.假S方程，⑻=0在(-co,+co)內(nèi)有三個實報，不妨S為x.a^x,.且xt<X2<Xj.對/(X)在區(qū)間【.W］和［x:,x3］上分別應用洛爾定理，則各至少存在一點4(^<<<^2)和乙(x2<C2<x3),使得/?)=/(4)=0.再將/⑹在區(qū)間［么<］上使用洛爾定理，則至少存在一點狐<”<匕)，使，⑻=0.此與條件廠(x)>0矛盾.從而方程/(x)=0在(-的，+的)不能多于兩I "??????????????????????(15 )證2.先證方程/(x)=0乍少有叫個實根.由limf(x)=a>0,必有一個充分大的a>x0,使得尸⑹〉0.因/(X)在(-的，+C0)上JWj?二階導數(shù)，故/(X)及尸(X)在(-CC.+CO)均連續(xù).由拉格朗日中值定理，對Tx>a有f⑻-［/⑻+f⑹(x-a)］= f(a)-，⑹(x-a)］=/'⑺(x-a)-/'⑻(x-a)=［/'⑺-/'⑹］(x-a)O)Gf-a)(x-a).其中a<(J<x,a<rj<x.注意到fu(rj)>0(W為fH(x)>0).則發(fā)敗. 發(fā)敗. （15分）發(fā)敗. 發(fā)敗. （15分）_=f. _=f. （11分）TOC\o"1-5"\h\z+ (x>a)又因，⑻>0,故存在b>a，使得f（b）>/（；7）+ -a）>0 （6分）乂己知/（xQ）<0,山連續(xù)函數(shù)的中閬值定理，至少存在一點使得/（xJ=O.即方程f（x）=0在（又。,+的）上至少有一個根x丨 （7分）冋理可證方程/（x）=0在（-co,x。）上至少有一個根x2. （12分）下而證明方程/（x）=0在（-%#）只有兩個實根.（以下冋證丨）.......（15分）:（本題共15分〉'沒函數(shù)”麟數(shù)C卜1）所確定.且￥=,其中_具有二階導數(shù)’曲線=帽與y=+1在z=1處相求函數(shù)時0.解因為⑽=1解因為⑽=1 (2+20/(0-2^(t)(1+ow)-_2+21(2+好4(1+O3（3分）2V3由題.沒2V3由題.沒(1+OV(OXO34(1+0(1十 艸)=3(1十O2,即4(1+0'^(0-11+戶卜剃.設(shè)U=^(0*則有=3(1+0,1+^JXi+fxi+ffW+q=(l+t)(3t+JXi+fxi+ffW+q=(l+t)(3t+C1). (9分)f: 3由|lll線y=tp(t)與y=ffe^du+—在t=1處相切知識(1)=—，2e 2e

所以“|=^/(1)=-,知C\=i-3.r=1 e e祕=f(l+t)(3t+C\)dt=|(^2+(3+C^t+C，)dt=t3+ +C/+C,,由叭i)=冬，?C;=2.于是^/(f)=y+^f2+(i—3K+2(f>_1).…(15分〉2e 2ee四（本題共15分）、設(shè)^n＞0, = 證明:k=l當《＞1時，級數(shù)收斂;當＜z當《＞1時，級數(shù)收斂;當＜z＜1,且Sn4的（n-＞奶）時，級數(shù)發(fā)散.證明令f（x）=X1-"，xe［S^，氏］.將/（X）在區(qū)間］上用拉格朗日中值定證明理，存在“（U。）f(Sn)-fD=f?G)(S，SnJ（5分〉（1）當《＞1時，的????????????（1）當《＞1時，的????????????(8分〉前《項和有界，從而收斂，所以級數(shù)收斂.（2）當a=I時.因為人〉0,S單調(diào)遞增，所以W為SW為Sn 對任意17，S^P發(fā)敗. 發(fā)敗. (12分)3a<1吋，發(fā)散及比較判別法.3a<1吋，發(fā)散及比較判別法.(10分)五(本題共15分)、Kz是過原點，方向為(a,.5,7)(其中a2+妒+7:=1)的線，均埔球卜g+ (其中Wa，密度為，＞繞離.求M轉(zhuǎn)動慣最：(2)求其轉(zhuǎn)動慣最關(guān)丁?方向(q,3,7)的最大值和最小值.解⑴設(shè)旋轉(zhuǎn)軸I的方向向景為1=(a，.3,7)，橢球內(nèi)任意一點P(x，ya的砼向錆為r,則點P到旋轉(zhuǎn)軸/的距離的平方為d1=r2—(rl)_=(1—q2)a2+(1—32)少2+(1—72)二2—^ctQxy— —2ayxz(A，J，=)44-￡+￡1<1b1c1'巾積分區(qū)域的對稱性可知JJJ(2a3xy+2,^7jc+2a，x:)dxdydz=0.其中Q=， (2分)rfijx2dxdyd二=Jx2dxn -a=>■y,xrfijx2dxdyd二=Jx2dxn -a=>■TOC\o"1-5"\h\za2 15(成JJJx2dxdvdz='jd0J Ja2r2siii'cos'6abcr2siii^dr=n ooo 】5取鋒=令，坩::寧=警???????????????(5分)由轉(zhuǎn)到慣璜的定義Jj=d~dxdyd~= ((1—a:)a:+(1—3~)b~+(1—7:)c2) (6分)考慮目標函數(shù)/(a,3,7)=(l-a2)a2+(1—02)b2+(1—72>c2在約束a2+52+r=l下的條件極值.設(shè)拉格朗LI蚋數(shù)為￡(。，/?，7，入)=(l-a2)a2+(1-郎2+(1-72K2+A(a2+.52+72-” (S分) 令Lo=2a(A-a2)=0,L3=23、X-b2)=0，L.=2-,(X-c2)=0,Zx=a24-5：+7:-l=0解得極值點為Q（士l，O,O，a2），込（0,土1，O，P），ft（0.0,士l，c2）….…（12分）比較可知，繞。軸（短軸）的轉(zhuǎn)動慣景最大，為繞 x軸（長軸）的轉(zhuǎn)動慣景最小，為 （15分） A（本題共15分）、S函數(shù)Mx）具有連續(xù)的導數(shù)，在繞原點的任意光滑的簡申.閉曲線（7上，曲線積分+ 的值為常數(shù).x+r（1） 沒L為正向閉曲線（x-2）2+r=l.證明：T^dx+^xfdy=（）^JLx4+r（2） 求函數(shù)^（x）： （3） 沒＜?S圍繞原點的光滑簡單正閉曲線，求f2n^+-^-）4V??J?+r 解（1）沒C卞⑽=門閉曲線￡巾1:口=1，2組成.沒L。為不經(jīng)過原點JL?+廠的光搟曲線，使得（其中‘為久的反向曲線）和l0Ul2分別組成_繞原點的分段光滑W曲線C,j=l，2.由曲線積分的性質(zhì)和題S條件，Q(x9y)= ………（5分）r2^dx+^(x)dyr+r2xy^dx^(x)dyf+f_f_c