高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件

極坐標與直角坐標的互化

黃松極坐標與直角坐標的互化1學習目標1：理解極坐標系中ρ和θ所的代表的意義2：掌握極坐標系和直角坐標系點的互化3：掌握極坐標系和直角坐標系方程的互化學習目標1：理解極坐標系中ρ和θ所的代表的意義2復習穩(wěn)固11：極點，極軸，極徑，極角的定義？2：ρ和θ所的代表的意義？復習穩(wěn)固11：極點，極軸，極徑，極角的定義？31;極坐標系的建立:在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點;自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位及其正方向這樣就建立了一個極坐標系.2：ρ和θ所的代表的意義設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為

ρ

;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角,記為θ.有序數(shù)對(ρ,θ)叫做點M的極坐標,記為M(ρ,θ).

不作特殊說明時,我們認為ρ≥0,θ可取任意實數(shù).1;極坐標系的建立:2.點的極坐標一般地,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示〔ρ，θ+2Kπ.〕當規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(ρ,θ)表示;同時,極坐標(ρ,θ)表示的點也是唯一確定的.這樣就能把極坐標系和直角坐標系統(tǒng)一起來2.點的極坐標復習思考21：所有的極坐標和直角坐標都能互化嗎？滿足什么條件才能互化？2：你能推導出它們的互化公式嗎？復習思考21：所有的極坐標和直角坐標都能互化嗎？滿足什么條件63.極坐標與直角坐標的互化(1)互化的前提條件:①極坐標系中的極點與平面直角坐標系中的原點重合;②極軸與x軸的正半軸重合;③兩種坐標系取相同的長度單位.(2)互化公式:3.極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標點的互化

分析：直接利用直角坐標與極坐標的互化公式即可.〔二〕應用轉(zhuǎn)化極坐標與直角坐標點的互化

分析：直接利用直角坐標與極坐標的高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件方法歸納

方法歸納做一做(1)假設(shè)點P的直角坐標為(-),那么它的極坐標可表示為()

(2)點M的極坐標為,那么它的直角坐標為.

做一做(1)假設(shè)點P的直角坐標為(-高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件極坐標方程與直角坐標方程的互化

【例2】

(1)直角坐標方程y2=4x化為極坐標方程為

;

(2)直角坐標方程y2+x2-2x-1=0化為極坐標方程為

;

(3)極坐標方程θ=(ρ≥0)化為直角坐標方程為

;

(4)極坐標方程ρ2cos2θ=4化為直角坐標方程為

.

答案：(1)ρsin2θ=4cosθ

(2)ρ2-2ρcosθ-1=0(3)y=x(x≥0)

(4)x2-y2=4極坐標方程與直角坐標方程的互化

答案：(1)ρsin2θ=4解析：根據(jù)互化公式求解.(1)將x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入y2=4x,得(ρsin

θ)2=4ρcos

θ.化簡,得ρ2sin2θ=4ρcos

θ.因為極點在曲線上,所以極坐標方程可簡化為ρsin2θ=4cos

θ.(2)將x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsin

θ)2+(ρcos

θ)2-2ρcos

θ-1=0,化簡,得ρ2-2ρcos

θ-1=0.(4)∵ρ2cos

2θ=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.解析：根據(jù)互化公式求解.(4)∵ρ2cos2θ=4,反思感悟1.將ρ2=x2+y2,ρcos

θ=x,ρsin

θ=y,tan

θ=(x≠0)代入曲線的極坐標方程,整理即得曲線的直角坐標方程.2.解決此類問題常常通過方程變形,構(gòu)造出形如ρcos

θ,ρsin

θ,ρ2的式子,進行整體代換.方程的兩邊同乘(或同除以)ρ或方程兩邊平方是常用的變形方法.反思感悟1.將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsin變式訓練1

(1)極坐標方程ρ=4sinθ化為直角坐標方程為

;

(2)極坐標方程ρ=9(cosθ+sinθ)化為直角坐標方程為

.

(3)直角坐標方程x+y-2=0化為極坐標方程是

;

(4)直角坐標方程2x2+2y2-3x+7=0化為極坐標方程是

.

解析：(1)兩邊同乘ρ,得ρ2=4ρsin

θ.∵ρ2=x2+y2,ρsin

θ=y,∴直角坐標方程為x2+y2=4y.變式訓練1(1)極坐標方程ρ=4sinθ化為直角坐標方程(2)把方程變形為ρ2=9(ρcos

θ+ρsin

θ),∵ρ2=x2+y2,ρcos

θ=x,ρsin

θ=y,∴直角坐標方程為x2+y2=9(x+y),即x2+y2-9x-9y=0.(3)把x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入x+y-2=0,得ρcos

θ+ρsin

θ-2=0.即ρ(cos

θ+sin

θ)=2.(4)把x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入2x2+2y2-3x+7=0,得2ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-3ρcos

θ+7=0.化簡得2ρ2-3ρcos

θ+7=0.(2)把方程變形為ρ2=9(ρcosθ+ρsinθ),變式訓練2將以下直角坐標方程與極坐標方程進行互化:

解：(1)將x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入方程

3y2+3x2+5x+1=0,得3ρ2+5ρcos

θ+1=0.變式訓練2將以下直角坐標方程與極坐標方程進行互化:

解：例3極坐標方程C1:ρ=10,C2:ρsin=6.(1)化C1,C2的極坐標方程為直角坐標方程,并分別判斷曲線的形狀;(2)求C1,C2交點間的距離.分析：對于(1),可利用互化公式求解;對于(2),可轉(zhuǎn)化為求圓的弦長問題.例3極坐標方程C1:ρ=10,C2:ρsin高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件24高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件25高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件26謝謝大家！請多指教！謝謝大家！請多指教！27極坐標與直角坐標的互化

黃松極坐標與直角坐標的互化28學習目標1：理解極坐標系中ρ和θ所的代表的意義2：掌握極坐標系和直角坐標系點的互化3：掌握極坐標系和直角坐標系方程的互化學習目標1：理解極坐標系中ρ和θ所的代表的意義29復習穩(wěn)固11：極點，極軸，極徑，極角的定義？2：ρ和θ所的代表的意義？復習穩(wěn)固11：極點，極軸，極徑，極角的定義？301;極坐標系的建立:在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點;自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位及其正方向這樣就建立了一個極坐標系.2：ρ和θ所的代表的意義設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為

ρ

;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角,記為θ.有序數(shù)對(ρ,θ)叫做點M的極坐標,記為M(ρ,θ).

不作特殊說明時,我們認為ρ≥0,θ可取任意實數(shù).1;極坐標系的建立:2.點的極坐標一般地,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示〔ρ，θ+2Kπ.〕當規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(ρ,θ)表示;同時,極坐標(ρ,θ)表示的點也是唯一確定的.這樣就能把極坐標系和直角坐標系統(tǒng)一起來2.點的極坐標復習思考21：所有的極坐標和直角坐標都能互化嗎？滿足什么條件才能互化？2：你能推導出它們的互化公式嗎？復習思考21：所有的極坐標和直角坐標都能互化嗎？滿足什么條件333.極坐標與直角坐標的互化(1)互化的前提條件:①極坐標系中的極點與平面直角坐標系中的原點重合;②極軸與x軸的正半軸重合;③兩種坐標系取相同的長度單位.(2)互化公式:3.極坐標與直角坐標的互化極坐標與直角坐標點的互化

分析：直接利用直角坐標與極坐標的互化公式即可.〔二〕應用轉(zhuǎn)化極坐標與直角坐標點的互化

分析：直接利用直角坐標與極坐標的高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件方法歸納

方法歸納做一做(1)假設(shè)點P的直角坐標為(-),那么它的極坐標可表示為()

(2)點M的極坐標為,那么它的直角坐標為.

做一做(1)假設(shè)點P的直角坐標為(-高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件高中數(shù)學極坐標和直角坐標的互化優(yōu)秀課件極坐標方程與直角坐標方程的互化

【例2】

(1)直角坐標方程y2=4x化為極坐標方程為

;

(2)直角坐標方程y2+x2-2x-1=0化為極坐標方程為

;

(3)極坐標方程θ=(ρ≥0)化為直角坐標方程為

;

(4)極坐標方程ρ2cos2θ=4化為直角坐標方程為

.

答案：(1)ρsin2θ=4cosθ

(2)ρ2-2ρcosθ-1=0(3)y=x(x≥0)

(4)x2-y2=4極坐標方程與直角坐標方程的互化

答案：(1)ρsin2θ=4解析：根據(jù)互化公式求解.(1)將x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入y2=4x,得(ρsin

θ)2=4ρcos

θ.化簡,得ρ2sin2θ=4ρcos

θ.因為極點在曲線上,所以極坐標方程可簡化為ρsin2θ=4cos

θ.(2)將x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsin

θ)2+(ρcos

θ)2-2ρcos

θ-1=0,化簡,得ρ2-2ρcos

θ-1=0.(4)∵ρ2cos

2θ=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.解析：根據(jù)互化公式求解.(4)∵ρ2cos2θ=4,反思感悟1.將ρ2=x2+y2,ρcos

θ=x,ρsin

θ=y,tan

θ=(x≠0)代入曲線的極坐標方程,整理即得曲線的直角坐標方程.2.解決此類問題常常通過方程變形,構(gòu)造出形如ρcos

θ,ρsin

θ,ρ2的式子,進行整體代換.方程的兩邊同乘(或同除以)ρ或方程兩邊平方是常用的變形方法.反思感悟1.將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsin變式訓練1

(1)極坐標方程ρ=4sinθ化為直角坐標方程為

;

(2)極坐標方程ρ=9(cosθ+sinθ)化為直角坐標方程為

.

(3)直角坐標方程x+y-2=0化為極坐標方程是

;

(4)直角坐標方程2x2+2y2-3x+7=0化為極坐標方程是

.

解析：(1)兩邊同乘ρ,得ρ2=4ρsin

θ.∵ρ2=x2+y2,ρsin

θ=y,∴直角坐標方程為x2+y2=4y.變式訓練1(1)極坐標方程ρ=4sinθ化為直角坐標方程(2)把方程變形為ρ2=9(ρcos

θ+ρsin

θ),∵ρ2=x2+y2,ρcos

θ=x,ρsin

θ=y,∴直角坐標方程為x2+y2=9(x+y),即x2+y2-9x-9y=0.(3)把x=ρcos

θ,y=ρsin

θ代入x+y-2