軸的扭轉課件

工程應用實例工程應用實例1工程應用實例工程應用實例2幾個重要概念扭轉：是桿的又一種基本變形形式。其受力特點是：構件兩端受到兩個作用面與桿的軸線垂直的、大小相等的、轉向相反的力偶矩作用，使桿件的橫截面繞軸線發(fā)生相對轉動。扭轉角：任意兩橫截面間的相對角位移。軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如鉆探機的鉆桿，電動機的主軸及機器的傳動軸等。MMOBAABO幾個重要概念扭轉：是桿的又一種基本變形形式。其受力特點是：構3一、外力偶矩§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖

設電機輸入功率為

N

(kW)，軸的轉速為n

(r/min)，則N=mω，將ω=2πn/60帶入整理可得外力偶矩計算公式：

一、外力偶矩§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖設電機輸入功4電機傳遞扭矩

轉動機器已知勻速轉速—n轉/分鐘

；輸出功率—N千瓦

，求扭矩T（圖中

T是機器對于電機扭矩的反作用力矩）解:

《出發(fā)點

——計算一分鐘的功

W》從扭矩看

從電機看

兩式得扭矩

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖電機傳遞扭矩轉動機器已知勻速轉速—n轉/分鐘；輸出5二、扭矩和扭矩圖扭矩矢量背離截面為

+

，指向截面為

-符號規(guī)定：用矢量表示，采用右手螺旋法則：

——繞軸線旋轉

∴由截面法

扭矩（T）

的內(nèi)力偶矩

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖二、扭矩和扭矩圖扭矩矢量背離截面為+，指向截面為-符號6扭矩圖——扭矩沿軸線的變化圖線

2.正值畫在上方，扭矩圖的做法：1.橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩；負值畫在下方?！?.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖扭矩圖——扭矩沿軸線的變化圖線2.正值畫在上方，扭矩圖的做7例

8-1

某傳動軸受力如圖所示，已知：MeA=350N·m，1.求扭矩

解：

MeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此軸的扭矩圖。

對AB段：

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖例8-1某傳動軸受力如圖所示，已知：MeA=350N·m81.求扭矩

對AB段：

對BC段：

MeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此軸的扭矩圖。解：

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖例

8-1

某傳動軸受力如圖所示，已知：MeA=350N·m，1.求扭矩對AB段：對BC段：MeB=1000N·m91.求扭矩

解：

對AB段：

對BC段：

2.作扭矩圖MeAACBMeBMeCMeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此軸的扭矩圖。§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖例

8-1

某傳動軸受力如圖所示，已知：MeA=350N·m，1.求扭矩解：對AB段：對BC段：2.作扭矩103.討論

將輪B與輪C的位置對調(diào)

結論：

為了減小傳動軸內(nèi)的

扭矩，應合理的安排主動輪與從動輪的位置。。

MeAACBMeBMeC§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖3.討論將輪B與輪C的位置對調(diào)結論：為了減小傳動11求扭矩的法則：

任意橫截面上的扭矩

實用法則：

取左(右)段時，向左(右)的外扭矩矢量，在截面上

=截面一側所有外扭矩的

代數(shù)和

產(chǎn)生正扭矩，反之，產(chǎn)生負扭矩；代數(shù)和為正，則扭矩為正，代數(shù)和為負，則扭矩為負。MeAACBMeBMeC§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖求扭矩的法則：任意橫截面上的扭矩實用法則：取左(12薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）薄壁圓筒扭轉實驗（1）實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。1、薄壁圓筒扭轉時的切應力§8.2受扭構件的應力及強度條件薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）薄壁圓筒扭轉實驗（1）實驗13（2）實驗后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。（3）結論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。②各縱向線均傾斜了同一微小角度。③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形?！?.2受扭構件的應力及強度條件（2）實驗后：①圓周線不變；（3）結論：§8.2受扭構件的14推論橫截面上無正應力，只有切應力；切應力方向垂直半徑或與圓周相切.dxt

圓周各點處切應力的方向與圓周相切，且數(shù)值相等，近似的認為沿壁厚方向各點處切應力的數(shù)值無變化。MeMeABDC§8.2受扭構件的應力及強度條件推論橫截面上無正應力，只有切應力；切應力方向垂直半徑或與圓周15薄壁圓筒扭轉時的切應力：

A：平均半徑所作圓的面積r：圓筒平均半徑Tττ§8.2受扭構件的應力及強度條件薄壁圓筒扭轉時的切應力：A：平均半徑所16xdydzdxyz2、切應力互等定理ττ

2.1在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應力，其方向于y

軸平行.

可知，兩側面的內(nèi)力元素

dydz

大小相等，方向相反，將組成一個力偶。由平衡方程其矩為(dydz)dx§8.2受扭構件的應力及強度條件xdydzdxyz2、切應力互等定理ττ2.1在單元體17xydydzzdxττ2.2要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩數(shù)量相等而轉向相反，從而可得(dydz)dx§8.2受扭構件的應力及強度條件xydydzzdxττ2.2要滿足平衡方程在單元體的上、182.3切應力互等定理在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。xydydzzdxττ§8.2受扭構件的應力及強度條件2.3切應力互等定理在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必19§8.2受扭構件的應力及強度條件單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。acddxbdy′′tz純剪切單元體：單元體平面上只有切應力而無正應力，則稱為純剪切單元體.§8.2受扭構件的應力及強度條件單元體的四個側面上只有剪應20

扭轉時,單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了微小的相對錯動，引起單元體abcd的剪切變形。

如圖所示：ab邊對cd邊相對錯動的距離是：

直角abc的角度改變量：3、剪切胡克定律§8.2受扭構件的應力及強度條件扭轉時,單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了21mml式中，r為薄壁圓筒的平均半徑.由圖所示的幾何關系得到

薄壁圓筒的扭轉試驗發(fā)現(xiàn)，當外力偶

m在某一范圍內(nèi)時，與m（在數(shù)值上等于T）成正比.∴§8.2受扭構件的應力及強度條件mml式中，r為薄壁圓筒的平均半徑.由圖所示的幾何關系得22τ∝mγ∝φγ∝τ切應力低于剪切比例極限時：φ∝m∴§8.2受扭構件的應力及強度條件τ∝mγ∝φγ∝τ切應力低于剪切比例極限時：φ∝m∴23

式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系：

可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。§8.2受扭構件的應力及強度條件剪切胡克定律式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模24二、圓軸扭轉時橫截面上的應力1、變形幾何關系

§8.2受扭構件的應力及強度條件扭轉變形現(xiàn)象：

取一等直圓軸，在其表面上作圓周線和縱向線，在扭轉力偶矩m作用下，得到與薄壁圓筒受扭時相似的現(xiàn)象，即各圓周線繞軸線相對地旋轉了一個角度，但大小、形狀和相鄰圓周間的距離不變。在小變形的情況下，縱向線近似地是一條直線，只是傾斜了一個微小的角度。變形前表面上的矩形，變形后錯動成平行四邊形。圓軸扭轉平面假設：圓軸扭轉變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直徑，且相鄰兩截面間的距離不變。二、圓軸扭轉時橫截面上的應力1、變形幾何關系§8.2受扭25

扭轉時,單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了微小的相對錯動，引起單元體abcd的剪切變形。

如圖所示：ab邊對cd邊相對錯動的距離是：

直角abc的角度改變量：§8.2受扭構件的應力及強度條件扭轉時,單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了26可以求得距圓心為處的切應變?yōu)椋骸?.2受扭構件的應力及強度條件可以求得距圓心為處的切應變?yōu)椋骸?.2受扭構件的應力及272、物理關系

由剪切胡克定律

同一圓周上各點剪應力

均相同，且其值與成正比，

與半徑垂直。§8.2受扭構件的應力及強度條件2、物理關系由剪切胡克定律同一圓周上各點剪應力283、靜力學關系

令：IP

—為橫截面對形心的極慣性矩則：或：

從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉時，橫截面上任一點處切應力計算公式:§8.2受扭構件的應力及強度條件3、靜力學關系令：IP—為橫截面對形心的極慣性矩則：或29橫截面周邊上各點處(

=R)的最大切應力為:引入:

式中Wp稱為抗扭截面系數(shù)，其單位為m3?！?.2受扭構件的應力及強度條件橫截面周邊上各點處(=R)的最大切應力為:引入:式中304、圓截面的極慣性矩Ip和扭轉截面系數(shù)Wp實心圓截面：空心圓截面：§8.2受扭構件的應力及強度條件4、圓截面的極慣性矩Ip和扭轉截面系數(shù)Wp實心圓截面：空心圓31強度條件扭轉強度條件同樣可以用來解決三類問題：三、圓軸扭轉時的強度計算圓軸扭轉時的強度條件設計截面尺寸強度校核確定許用載荷§8.2受扭構件的應力及強度條件強度條件扭轉強度條件同樣可以用來解決三類問題：三、圓軸扭轉時32

例8-2

如圖所示為階梯形圓軸，其中實心AB段直徑d1=40mm；BD段為空心部分，外徑D=55mm，內(nèi)徑d=45mm。軸上A、D、C處為皮帶輪，已知主動輪C輸入的外力偶矩為MC=1.8kN·ｍ，從動輪A、D傳遞的外力偶矩分別為MA=0.8kN·m，MD=1kN·m，材料的許用切應力[]=80MPa。試校核該軸的強度。解：

1）畫扭矩圖：用截面法（或簡捷方法）可作出該階梯形圓軸的扭矩圖如圖所示。1.0kNm0.8kNm§8.2受扭構件的應力及強度條件例8-2如圖所示為階梯形圓軸，其中實心AB段332）強度校核：由于兩段軸的截面面積和扭矩值不同，故要分別進行強度校核。

AB段：

CD段：軸的內(nèi)外徑之比

故：此階梯形圓軸滿足強度條件。

§8.2受扭構件的應力及強度條件2）強度校核：由于兩段軸的截面面積和扭矩值不AB段：

CD段34一、扭轉變形扭轉角：圓軸扭轉時，兩橫截面相對轉過的角度稱為這兩截面的相對扭轉角?？古偠龋菏街械腉IP

稱為圓軸的抗扭剛度，它反映了圓軸抵抗扭轉變形的能力。MMOBA若在圓軸的l長度內(nèi)，T、G、IP均為常數(shù)，則圓軸兩端截面的相對扭轉角為：§8.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算一、扭轉變形扭轉角：圓軸扭轉時，兩橫截面相對轉過的角度稱為這35

工程上[

]的單位通常用度/米（/m），由于1弧度=180/，故上述剛度條件又可寫成單位長度扭轉角剛度條件剛度條件二、剛度計算§8.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算工程上[]的單位通常用度/米（/m），由于1弧36單位長度許用扭轉角[

]的大致取值如下：剛度條件說明

精密機器、儀器的軸：[]=/m（0.25～0.50）

精度要求不高的傳動軸：[]=/m（2.0～4.0）

一般傳動軸：[]=/m（0.5～1.0）§8.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算單位長度許用扭轉角[]的大致取值如下：剛度條件說明37

例8-3

傳動軸如圖所示，已知軸的直徑d=45mm，轉速n

=300r/min。主動輪A輸入的功率PA=36.7KW；從動輪B、C、D輸出的功率分別為PB=14.7KW，PC=PD=11KW。軸材料的剪切彈性模量G=80GPa，許用切應力[

]=40MPa，單位長度的許用扭轉角[]=1.5/m，試校核軸的強度和剛度。解：

1）計算外力偶矩

同理§8.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算例8-3傳動軸如圖所示，已知軸的直徑d=382）繪制扭矩圖

用截面法求1-1截面的扭矩2-2截面的扭矩3-3截面的扭矩

繪出的扭矩圖如圖所示。顯然AC段扭矩最大，由于是等截面圓軸，故危險截面在AC段內(nèi)。112233700Nm350Nm468NmBACD§8.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算2）繪制扭矩圖

用截面法求2-2截面的扭矩3393）強度校核

4）剛度校核因軸同時滿足剛度條件，所以傳動軸是安全的。軸滿足強度條件§8.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算3）強度校核

4）剛度校核因軸同時滿足剛度條件，所以40例8-4

若將前題中的圓軸改為同樣強度的空心圓軸，其內(nèi)外徑之比

=d/D=0.7，試設計其內(nèi)外徑尺寸，并與前題所消耗材料作一比較。解：要求與前題之軸具有同樣強度，即要求該空心圓軸工作時的最大切應力與實心圓軸的最大切應力相同：max＝38.4MPa，即有§8.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算例8-4若將前題中的圓軸改為同樣強度的空心圓軸，其內(nèi)外徑41

二者所費材料比就是橫截面積之比

可見空心圓軸所用材料只占實心軸所用材料的61%，節(jié)約了材料?！?.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算二者所費材料比就是橫截面積之比可見空心圓42工程應用實例工程應用實例43工程應用實例工程應用實例44幾個重要概念扭轉：是桿的又一種基本變形形式。其受力特點是：構件兩端受到兩個作用面與桿的軸線垂直的、大小相等的、轉向相反的力偶矩作用，使桿件的橫截面繞軸線發(fā)生相對轉動。扭轉角：任意兩橫截面間的相對角位移。軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如鉆探機的鉆桿，電動機的主軸及機器的傳動軸等。MMOBAABO幾個重要概念扭轉：是桿的又一種基本變形形式。其受力特點是：構45一、外力偶矩§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖

設電機輸入功率為

N

(kW)，軸的轉速為n

(r/min)，則N=mω，將ω=2πn/60帶入整理可得外力偶矩計算公式：

一、外力偶矩§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖設電機輸入功46電機傳遞扭矩

轉動機器已知勻速轉速—n轉/分鐘

；輸出功率—N千瓦

，求扭矩T（圖中

T是機器對于電機扭矩的反作用力矩）解:

《出發(fā)點

——計算一分鐘的功

W》從扭矩看

從電機看

兩式得扭矩

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖電機傳遞扭矩轉動機器已知勻速轉速—n轉/分鐘；輸出47二、扭矩和扭矩圖扭矩矢量背離截面為

+

，指向截面為

-符號規(guī)定：用矢量表示，采用右手螺旋法則：

——繞軸線旋轉

∴由截面法

扭矩（T）

的內(nèi)力偶矩

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖二、扭矩和扭矩圖扭矩矢量背離截面為+，指向截面為-符號48扭矩圖——扭矩沿軸線的變化圖線

2.正值畫在上方，扭矩圖的做法：1.橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩；負值畫在下方?！?.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖扭矩圖——扭矩沿軸線的變化圖線2.正值畫在上方，扭矩圖的做49例

8-1

某傳動軸受力如圖所示，已知：MeA=350N·m，1.求扭矩

解：

MeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此軸的扭矩圖。

對AB段：

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖例8-1某傳動軸受力如圖所示，已知：MeA=350N·m501.求扭矩

對AB段：

對BC段：

MeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此軸的扭矩圖。解：

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖例

8-1

某傳動軸受力如圖所示，已知：MeA=350N·m，1.求扭矩對AB段：對BC段：MeB=1000N·m511.求扭矩

解：

對AB段：

對BC段：

2.作扭矩圖MeAACBMeBMeCMeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此軸的扭矩圖?！?.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖例

8-1

某傳動軸受力如圖所示，已知：MeA=350N·m，1.求扭矩解：對AB段：對BC段：2.作扭矩523.討論

將輪B與輪C的位置對調(diào)

結論：

為了減小傳動軸內(nèi)的

扭矩，應合理的安排主動輪與從動輪的位置。。

MeAACBMeBMeC§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖3.討論將輪B與輪C的位置對調(diào)結論：為了減小傳動53求扭矩的法則：

任意橫截面上的扭矩

實用法則：

取左(右)段時，向左(右)的外扭矩矢量，在截面上

=截面一側所有外扭矩的

代數(shù)和

產(chǎn)生正扭矩，反之，產(chǎn)生負扭矩；代數(shù)和為正，則扭矩為正，代數(shù)和為負，則扭矩為負。MeAACBMeBMeC§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖求扭矩的法則：任意橫截面上的扭矩實用法則：取左(54薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）薄壁圓筒扭轉實驗（1）實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。1、薄壁圓筒扭轉時的切應力§8.2受扭構件的應力及強度條件薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）薄壁圓筒扭轉實驗（1）實驗55（2）實驗后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。（3）結論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。②各縱向線均傾斜了同一微小角度。③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形?！?.2受扭構件的應力及強度條件（2）實驗后：①圓周線不變；（3）結論：§8.2受扭構件的56推論橫截面上無正應力，只有切應力；切應力方向垂直半徑或與圓周相切.dxt

圓周各點處切應力的方向與圓周相切，且數(shù)值相等，近似的認為沿壁厚方向各點處切應力的數(shù)值無變化。MeMeABDC§8.2受扭構件的應力及強度條件推論橫截面上無正應力，只有切應力；切應力方向垂直半徑或與圓周57薄壁圓筒扭轉時的切應力：

A：平均半徑所作圓的面積r：圓筒平均半徑Tττ§8.2受扭構件的應力及強度條件薄壁圓筒扭轉時的切應力：A：平均半徑所58xdydzdxyz2、切應力互等定理ττ

2.1在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應力，其方向于y

軸平行.

可知，兩側面的內(nèi)力元素

dydz

大小相等，方向相反，將組成一個力偶。由平衡方程其矩為(dydz)dx§8.2受扭構件的應力及強度條件xdydzdxyz2、切應力互等定理ττ2.1在單元體59xydydzzdxττ2.2要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩數(shù)量相等而轉向相反，從而可得(dydz)dx§8.2受扭構件的應力及強度條件xydydzzdxττ2.2要滿足平衡方程在單元體的上、602.3切應力互等定理在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。xydydzzdxττ§8.2受扭構件的應力及強度條件2.3切應力互等定理在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必61§8.2受扭構件的應力及強度條件單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。acddxbdy′′tz純剪切單元體：單元體平面上只有切應力而無正應力，則稱為純剪切單元體.§8.2受扭構件的應力及強度條件單元體的四個側面上只有剪應62

扭轉時,單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了微小的相對錯動，引起單元體abcd的剪切變形。

如圖所示：ab邊對cd邊相對錯動的距離是：

直角abc的角度改變量：3、剪切胡克定律§8.2受扭構件的應力及強度條件扭轉時,單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了63mml式中，r為薄壁圓筒的平均半徑.由圖所示的幾何關系得到

薄壁圓筒的扭轉試驗發(fā)現(xiàn)，當外力偶

m在某一范圍內(nèi)時，與m（在數(shù)值上等于T）成正比.∴§8.2受扭構件的應力及強度條件mml式中，r為薄壁圓筒的平均半徑.由圖所示的幾何關系得64τ∝mγ∝φγ∝τ切應力低于剪切比例極限時：φ∝m∴§8.2受扭構件的應力及強度條件τ∝mγ∝φγ∝τ切應力低于剪切比例極限時：φ∝m∴65

式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系：

可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來?！?.2受扭構件的應力及強度條件剪切胡克定律式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模66二、圓軸扭轉時橫截面上的應力1、變形幾何關系

§8.2受扭構件的應力及強度條件扭轉變形現(xiàn)象：

取一等直圓軸，在其表面上作圓周線和縱向線，在扭轉力偶矩m作用下，得到與薄壁圓筒受扭時相似的現(xiàn)象，即各圓周線繞軸線相對地旋轉了一個角度，但大小、形狀和相鄰圓周間的距離不變。在小變形的情況下，縱向線近似地是一條直線，只是傾斜了一個微小的角度。變形前表面上的矩形，變形后錯動成平行四邊形。圓軸扭轉平面假設：圓軸扭轉變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直徑，且相鄰兩截面間的距離不變。二、圓軸扭轉時橫截面上的應力1、變形幾何關系§8.2受扭67

扭轉時,單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了微小的相對錯動，引起單元體abcd的剪切變形。

如圖所示：ab邊對cd邊相對錯動的距離是：

直角abc的角度改變量：§8.2受扭構件的應力及強度條件扭轉時,單元體abcd的ab邊相對于cd發(fā)生了68可以求得距圓心為處的切應變?yōu)椋骸?.2受扭構件的應力及強度條件可以求得距圓心為處的切應變?yōu)椋骸?.2受扭構件的應力及692、物理關系

由剪切胡克定律

同一圓周上各點剪應力

均相同，且其值與成正比，

與半徑垂直。§8.2受扭構件的應力及強度條件2、物理關系由剪切胡克定律同一圓周上各點剪應力703、靜力學關系

令：IP

—為橫截面對形心的極慣性矩則：或：

從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉時，橫截面上任一點處切應力計算公式:§8.2受扭構件的應力及強度條件3、靜力學關系令：IP—為橫截面對形心的極慣性矩則：或71橫截面周邊上各點處(

=R)的最大切應力為:引入:

式中Wp稱為抗扭截面系數(shù)，其單位為m3?！?.2受扭構件的應力及強度條件橫截面周邊上各點處(=R)的最大切應力為:引入:式中724、圓截面的極慣性矩Ip和扭轉截面系數(shù)Wp實心圓截面：空心圓截面：§8.2受扭構件的應力及強度條件4、圓截面的極慣性矩Ip和扭轉截面系數(shù)Wp實心圓截面：空心圓73強度條件扭轉強度條件同樣可以用來解決三類問題：三、圓軸扭轉時的強度計算圓軸扭轉時的強度條件設計截面尺寸強度校核確定許用載荷§8.2受扭構件的應力及強度條件強度條件扭轉強度條件同樣可以用來解決三類問題：三、圓軸扭轉時74

例8-2

如圖所示為階梯形圓軸，其中實心AB段直徑d1=40mm；BD段為空心部分，外徑D=55mm，內(nèi)徑d=45mm。軸上A、D、C處為皮帶輪，已知主動輪C輸入的外力偶矩為MC=1.8kN·ｍ，從動輪A、D傳遞的外力偶矩分別為MA=0.8kN·m，MD=1kN·m，材料的許用切應力[]=80MPa。試校核該軸的強度。解：

1）畫扭矩圖：用截面法（或簡捷方法）可作出該階梯形圓軸的扭矩圖如圖所示。1.0kNm0.8kNm§8.2受扭構件的應力及強度條件例8-2如圖所示為階梯形圓軸，其中實心AB段752）強度校核：由于兩段軸的截面面積和扭矩值不同，故要分別進行強度校核。

AB段：

CD段：軸的內(nèi)外徑之比

故：此階梯形圓軸滿足強度條件。

§8.2受扭構件的應力及強度條件2）強度校核：由于兩段軸的截面面積和扭矩值不AB段：

CD段76一、扭轉變形扭轉角：圓軸扭轉時，兩橫截面相對轉過的角度稱為這兩截面的相對扭轉角。抗扭剛度：式中的GIP

稱為圓軸的抗扭剛度，它反映了圓軸抵抗扭轉變形的能力。MMOBA若在圓軸的l長度內(nèi)，T、G、IP均為常數(shù)，則圓軸兩端截面的相對扭轉角為：§8.3圓軸扭轉時的變形和剛度計算一、扭轉變形扭轉角：圓軸扭轉時，兩橫截面相對轉過的