《線性代數(shù)》(第二版)智能教學(xué)系統(tǒng)-電子教案-第四章-特征值與特向量-第五節(jié)課件

第五節(jié)應(yīng)用(一)污染與工業(yè)開展的工業(yè)增長模型萊斯利(Leslie)種群模型第五節(jié)應(yīng)用(一)污染與工業(yè)開展的工業(yè)增長模型萊斯利(矩陣的特征值，特征向量的理論在微分方程和差分方程理論中有重要應(yīng)用，而自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)管理中的許多問題都可以用微分方程或差分方程的數(shù)學(xué)模型來描述.對(duì)于這些模型的分析、計(jì)算，不僅可以定性地分析模型中各個(gè)因素的關(guān)系，而且可以定量地確定各因素間的數(shù)量特征.分析的結(jié)果有助于決策者作出正確的判斷，為科學(xué)、合理的決策提供依據(jù).矩陣的特征值，特征向量的理論在微分方程和差分方程理論中有重要一、污染與工業(yè)開展的工業(yè)增長模型在本章第一節(jié)中，我們已介紹了污染水平與工業(yè)開展的增長模型.下面我們較詳盡地討論這一模型.設(shè)某地區(qū)在某年的污染水平和工業(yè)開展水平分別為x0和y0.把這一年作為起點(diǎn)(亦稱基年)，記作t=0.一、污染與工業(yè)開展的工業(yè)增長模型在本章第一節(jié)中，我們已介紹了如果以假設(shè)干年(如5年)作為一個(gè)期間，第t個(gè)期間的污染和工業(yè)開展水平記作xt和yt，那么§4.1的例1中的模型可以寫為記那么(4.15)的矩陣形式為t

=At-1

(t=1,2,…,k)(4.16)如果以假設(shè)干年(如5年)作為一個(gè)期間，第t個(gè)期間如果該地區(qū)基年的水平0=(x0,y0)T,利用t

=At-1就可以預(yù)測(cè)第k期(如k=10)時(shí)該地區(qū)的污染程度和工業(yè)開展水平.實(shí)際上，由(4.16)，可得1=A0,2=A20,…,k=Ak0(4.17)如果直接計(jì)算A的各次冪，計(jì)算將十分煩瑣.如果利用矩陣特征值和特征向量的有關(guān)性質(zhì)，不但使計(jì)算大大簡(jiǎn)化，而且模型的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)也更為清晰.先計(jì)算A的特征值.如果該地區(qū)基年的水平0=(x0,y0)T,A的特征多項(xiàng)式為所以，A的特征值為1=1,2=4.對(duì)于特征值1=1，解齊次線性方程組(E–A)X=0得A的屬于1=1的一個(gè)特征向量1=(1,-2)T.對(duì)于特征值1=4，解齊次線性方程組(4E–A)X=0A的特征多項(xiàng)式為所以，A的特征值為1=1,得A的屬于1=1的一個(gè)特征向量2=(1,1)T.且1,2線性無關(guān).如果基年(t=0)時(shí)的水平0恰等于2=(1,1)T,那么t=k時(shí)，k=Ak0=Ak2,由于Ak必有特征值4k,對(duì)應(yīng)的特征向量仍是2=0.于是特別地，當(dāng)k=10時(shí)，可得10=(410,410)T.這說明：盡管工業(yè)開展水平可以到達(dá)相當(dāng)高的程度,得A的屬于1=1的一個(gè)特征向量2=(1但照此開展下去，環(huán)境的污染也將直接威脅人類的生存.如果基年(t=0)時(shí)的水平0=(1,7)T,那么不能直接應(yīng)用上述方法分析.然而，因?yàn)?,2線性無關(guān)，0=(1,7)T必可由向量組1,2唯一地線性表示.不難計(jì)算，這時(shí)0=-21+32

于是但照此開展下去，環(huán)境的污染也將直接威脅人類的生存.如果基年k=Ak0=Ak(-21+32)=(-2)1k1+32k2

特別地，當(dāng)k=10時(shí)，可得10=(-2+3410,4+3410)T.由上面的分析可以看出：盡管A的特征向量1=(1,-2)T沒有實(shí)際意義(因?yàn)?中含有負(fù)分量),但任一具有實(shí)際意義的向量0都可以表示為1,2

k=Ak0=Ak(-21+32)=的線性組合，從而在分析過程中，1

仍然具有重要作用.的線性組合，從而在分析過程中，1仍然具有重要作用.二、萊斯利〔Leslie〕種群模型萊斯利模型是研究動(dòng)物種群數(shù)量增長的重要模型.這一模型研究了種群中雌性動(dòng)物的年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律.在某動(dòng)物種群中，僅考慮雌性動(dòng)物的年齡和數(shù)量.設(shè)雌性動(dòng)物的最大生存年齡為L(單位：年或二、萊斯利〔Leslie〕種群模型萊斯利模型是研究動(dòng)物種群數(shù)其他時(shí)間單位).把[0,L]等分為幾個(gè)年齡組，每一年齡組的長度為L/n:設(shè)第i個(gè)年齡組的生育率為ai，存活率為bi(i=1,2,…,n).應(yīng)注意ai表示第i個(gè)年齡組的每一雌性動(dòng)物平均生育幼體個(gè)數(shù)；bi表示第i個(gè)年齡組中可存活到第i+1年齡組的雌性數(shù)與該年齡組總數(shù)之比.在不發(fā)生意外事件(災(zāi)害等)的條件下，ai,bi其他時(shí)間單位).把[0,L]等分為幾個(gè)年齡組，均為常數(shù)，且ai

0(i=1,2,…,n),0<bi

1(i=1,2,…,n–1).同時(shí)，假設(shè)至少有一個(gè)ai

>0(1

i

n)，即至少有一個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物具有生育能力.利用統(tǒng)計(jì)資料可獲得基年(t=0)該種群在各年齡組的雌性動(dòng)物數(shù)量.記xi(0)(i=1,2,…,n–1)為t=0時(shí)第i年齡組雌性動(dòng)物的數(shù)量，就得到初始時(shí)刻年齡分布向量X(0)=(x1(0),x2(0),…,xn(0))T均為常數(shù)，且ai0(i=1,2,…,如果以年齡組的間隔L/n作為時(shí)間單位，記并統(tǒng)計(jì)在tk

時(shí)各年齡組雌性動(dòng)物的數(shù)量xi(k)(i=1,2,…,n)，可得tk

時(shí)的年齡分布向量X(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T,k=0,1,2,…隨著時(shí)間的變化，由于出生、死亡以及年齡的增長，該種群中每一年齡組的雌性動(dòng)物數(shù)量都將發(fā)生變化.實(shí)際上，在tk

時(shí)，種群中第一年齡組的雌如果以年齡組的間隔L/n作為時(shí)間單位，記并統(tǒng)計(jì)在tk性個(gè)數(shù)應(yīng)等于在tk-1和tk之間出生的所有雌性幼體的總和，即x1(k)

=a1x1(k-1)+a2x2(k-1)+…+anxn(k-1)(4.18)同時(shí)，在tk

時(shí)，第i+1年齡組(i=1,2,…,n–1)中雌性動(dòng)物的數(shù)量應(yīng)等于在tk-1時(shí)第i年齡組中雌性動(dòng)物數(shù)量xi(k-1)乘以存活率bi

，即xi+1(k)=bixi(k-1)i=1,2,…,n–1(4.19)綜合上述分析，由(4.18)和(4.19)可得到tk與tk-1時(shí)各年齡組中雌性動(dòng)物數(shù)量間的關(guān)系：性個(gè)數(shù)應(yīng)等于在tk-1和tk之間出生的所有雌性幼體的記矩陣記矩陣那么(4.20)可寫成X(k)=LX(k-1)k=1,2,…(4.21)其中L稱為萊斯利矩陣.由(4.21)可得：X(1)=LX(0),X(2)=LX(1)=L2X(0),….一般，有X(k)=LX(k-1)=LkX(0),k=1,2,…如果初始時(shí)年齡分布向量X(0)，那么可以推算任一時(shí)刻tk時(shí)，該種群中雌性的年齡分布向量，并以此對(duì)種群的總量進(jìn)行科學(xué)的分析.那么(4.20)可寫成X(k)=LX(k-1)例某種動(dòng)物雌性的最大生存年齡為15年，以5年為一間隔，把這一動(dòng)物種群分為3個(gè)年齡組[0,5),[5,10),[10,15).利用統(tǒng)計(jì)資料，初始時(shí)刻t=0時(shí)，3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物個(gè)數(shù)分別為500,1000,500那么初始年齡分布向量和萊斯利矩陣為例某種動(dòng)物雌性的最大生存年齡為15年，以5年為一間隔于是，于是，《線性代數(shù)》(第二版)智能教學(xué)系統(tǒng)-電子教案-第四章-特征值與特向量-第五節(jié)課件為了分析k

時(shí)，該動(dòng)物種群年齡分布向量的特點(diǎn).我們先求出矩陣L的特征值和特征向量:L的特征多項(xiàng)式為由此可得L的特征值為了分析k時(shí)，該動(dòng)物種群年齡分布向量的特點(diǎn).我們不難看出1是矩陣L唯一正特征值，且|1|>|2||1|>|3|，因此矩陣L可與對(duì)角矩陣相似.設(shè)矩陣L屬于特征值i

的特征向量為i(i=1,2,3).不難計(jì)算，L的屬于特征值的特征向量為記矩陣P=(1

,2

,3

),=diag(1,2,3)，那么P-1LP=或L=PP-1不難看出1是矩陣L唯一正特征值，且|1|X(k)=LkX(0)=PkP-1X(0)

于是即X(k)=LkX(0)=PkP-1X(0)于是即因?yàn)樗杂浟邢蛄縋-1X(0)的第一個(gè)元素為c(常數(shù))，那么上式可化為因?yàn)樗杂浟邢蛄縋-1X(0)的第一個(gè)元素為c(常數(shù)于是，當(dāng)k充分大時(shí)，近似地成立這一結(jié)果說明，當(dāng)時(shí)間充分長，這種動(dòng)物中雌性的年齡分布將趨于穩(wěn)定：即3個(gè)年齡組的數(shù)量比為并由此可近似得到tk時(shí)種群中雌性動(dòng)物的總量，從而對(duì)整個(gè)種群的總量進(jìn)行估計(jì).于是，當(dāng)k充分大時(shí)，近似地成立這一結(jié)果說明，當(dāng)時(shí)間充分長本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)第五節(jié)應(yīng)用(一)污染與工業(yè)開展的工業(yè)增長模型萊斯利(Leslie)種群模型第五節(jié)應(yīng)用(一)污染與工業(yè)開展的工業(yè)增長模型萊斯利(矩陣的特征值，特征向量的理論在微分方程和差分方程理論中有重要應(yīng)用，而自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)管理中的許多問題都可以用微分方程或差分方程的數(shù)學(xué)模型來描述.對(duì)于這些模型的分析、計(jì)算，不僅可以定性地分析模型中各個(gè)因素的關(guān)系，而且可以定量地確定各因素間的數(shù)量特征.分析的結(jié)果有助于決策者作出正確的判斷，為科學(xué)、合理的決策提供依據(jù).矩陣的特征值，特征向量的理論在微分方程和差分方程理論中有重要一、污染與工業(yè)開展的工業(yè)增長模型在本章第一節(jié)中，我們已介紹了污染水平與工業(yè)開展的增長模型.下面我們較詳盡地討論這一模型.設(shè)某地區(qū)在某年的污染水平和工業(yè)開展水平分別為x0和y0.把這一年作為起點(diǎn)(亦稱基年)，記作t=0.一、污染與工業(yè)開展的工業(yè)增長模型在本章第一節(jié)中，我們已介紹了如果以假設(shè)干年(如5年)作為一個(gè)期間，第t個(gè)期間的污染和工業(yè)開展水平記作xt和yt，那么§4.1的例1中的模型可以寫為記那么(4.15)的矩陣形式為t

=At-1

(t=1,2,…,k)(4.16)如果以假設(shè)干年(如5年)作為一個(gè)期間，第t個(gè)期間如果該地區(qū)基年的水平0=(x0,y0)T,利用t

=At-1就可以預(yù)測(cè)第k期(如k=10)時(shí)該地區(qū)的污染程度和工業(yè)開展水平.實(shí)際上，由(4.16)，可得1=A0,2=A20,…,k=Ak0(4.17)如果直接計(jì)算A的各次冪，計(jì)算將十分煩瑣.如果利用矩陣特征值和特征向量的有關(guān)性質(zhì)，不但使計(jì)算大大簡(jiǎn)化，而且模型的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)也更為清晰.先計(jì)算A的特征值.如果該地區(qū)基年的水平0=(x0,y0)T,A的特征多項(xiàng)式為所以，A的特征值為1=1,2=4.對(duì)于特征值1=1，解齊次線性方程組(E–A)X=0得A的屬于1=1的一個(gè)特征向量1=(1,-2)T.對(duì)于特征值1=4，解齊次線性方程組(4E–A)X=0A的特征多項(xiàng)式為所以，A的特征值為1=1,得A的屬于1=1的一個(gè)特征向量2=(1,1)T.且1,2線性無關(guān).如果基年(t=0)時(shí)的水平0恰等于2=(1,1)T,那么t=k時(shí)，k=Ak0=Ak2,由于Ak必有特征值4k,對(duì)應(yīng)的特征向量仍是2=0.于是特別地，當(dāng)k=10時(shí)，可得10=(410,410)T.這說明：盡管工業(yè)開展水平可以到達(dá)相當(dāng)高的程度,得A的屬于1=1的一個(gè)特征向量2=(1但照此開展下去，環(huán)境的污染也將直接威脅人類的生存.如果基年(t=0)時(shí)的水平0=(1,7)T,那么不能直接應(yīng)用上述方法分析.然而，因?yàn)?,2線性無關(guān)，0=(1,7)T必可由向量組1,2唯一地線性表示.不難計(jì)算，這時(shí)0=-21+32

于是但照此開展下去，環(huán)境的污染也將直接威脅人類的生存.如果基年k=Ak0=Ak(-21+32)=(-2)1k1+32k2

特別地，當(dāng)k=10時(shí)，可得10=(-2+3410,4+3410)T.由上面的分析可以看出：盡管A的特征向量1=(1,-2)T沒有實(shí)際意義(因?yàn)?中含有負(fù)分量),但任一具有實(shí)際意義的向量0都可以表示為1,2

k=Ak0=Ak(-21+32)=的線性組合，從而在分析過程中，1

仍然具有重要作用.的線性組合，從而在分析過程中，1仍然具有重要作用.二、萊斯利〔Leslie〕種群模型萊斯利模型是研究動(dòng)物種群數(shù)量增長的重要模型.這一模型研究了種群中雌性動(dòng)物的年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律.在某動(dòng)物種群中，僅考慮雌性動(dòng)物的年齡和數(shù)量.設(shè)雌性動(dòng)物的最大生存年齡為L(單位：年或二、萊斯利〔Leslie〕種群模型萊斯利模型是研究動(dòng)物種群數(shù)其他時(shí)間單位).把[0,L]等分為幾個(gè)年齡組，每一年齡組的長度為L/n:設(shè)第i個(gè)年齡組的生育率為ai，存活率為bi(i=1,2,…,n).應(yīng)注意ai表示第i個(gè)年齡組的每一雌性動(dòng)物平均生育幼體個(gè)數(shù)；bi表示第i個(gè)年齡組中可存活到第i+1年齡組的雌性數(shù)與該年齡組總數(shù)之比.在不發(fā)生意外事件(災(zāi)害等)的條件下，ai,bi其他時(shí)間單位).把[0,L]等分為幾個(gè)年齡組，均為常數(shù)，且ai

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時(shí)各年齡組雌性動(dòng)物的數(shù)量xi(k)(i=1,2,…,n)，可得tk

時(shí)的年齡分布向量X(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))T,k=0,1,2,…隨著時(shí)間的變化，由于出生、死亡以及年齡的增長，該種群中每一年齡組的雌性動(dòng)物數(shù)量都將發(fā)生變化.實(shí)際上，在tk

時(shí)，種群中第一年齡組的雌如果以年齡組的間隔L/n作為時(shí)間單位，記并統(tǒng)計(jì)在tk性個(gè)數(shù)應(yīng)等于在tk-1和tk之間出生的所有雌性幼體的總和，即x1(k)

=a1x1(k-1)+a2x2(k-1)+…+anxn(k-1)(4.18)同時(shí)，在tk

時(shí)，第i+1年齡組(i=1,2,…,n–1)中雌性動(dòng)物的數(shù)量應(yīng)等于在tk-1時(shí)第i年齡組中雌性動(dòng)物數(shù)量xi(k-1)乘以存活率bi

，即xi+1(k)=bixi(k-1)i=1,2,…,n–1(4.19)綜合上述分析，由(4.18)和(4.19)可得到tk與tk-1時(shí)各年齡組中雌性動(dòng)物數(shù)量間的關(guān)系：性個(gè)數(shù)應(yīng)等于在tk-1和tk之間出生的所有雌性幼體的記矩陣記矩陣那么(4.20)可寫成X(k)=LX(k-1)k=1,2,…(4.21)其中L稱為萊斯利矩陣.由(4.21)可得：X(1)=LX(0),X(2)=LX(1)=L2X(0),….一般，有X(k)=LX(k-1)=LkX(0),k=1,2,…如果初始時(shí)年齡分布向量X(0)，那么可以推算任一時(shí)刻tk時(shí)，該種群中雌性的年齡分布向量，并以此對(duì)種群的總量進(jìn)行科學(xué)的分析.那么(4.20)可寫成X(k)=LX(k-1)例某種動(dòng)物雌性的最大生存年齡為15年，以5年為一間隔，把這一動(dòng)物種群分為3個(gè)年齡組[0,5),[5,10),[10,15).利用統(tǒng)計(jì)資料，初始時(shí)刻t=0時(shí)，3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物個(gè)數(shù)分別為500,1000,500那么初始年齡分布向量和萊斯利矩陣為例某種動(dòng)物雌性的最大生存年齡為15年，以5年為一間隔于是，于是，《線性代數(shù)》(第二版)智能教學(xué)系統(tǒng)-電子教案-第四章-特征值與特向量-第五節(jié)課件為了分析k

時(shí)，該動(dòng)物種群年齡分布向量的特點(diǎn).我們先求出矩陣L的特征值和特征向量:L的特征多項(xiàng)式為由此可得L的特征值為了分析k時(shí)，該動(dòng)物種群年齡分布向量的特點(diǎn).我們不難看出1是矩陣L唯一正特征值，且|1|>|2||1|>|3|，因此矩陣L可與對(duì)角矩陣相似.設(shè)矩陣L屬于特征值i

的特征向量為i(i=1,2,3).不難計(jì)算，L的屬于特征值的特征向量為記矩陣P=(1

,2

,3

),=diag(1,2,3)，那么P-1LP=