江蘇省宿遷市泗洪縣2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

第13頁/共13頁江蘇省宿遷市泗洪縣2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則下列判斷正確的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由元素與集合關(guān)系的判斷，【詳解】對于A，令，得，則，故A錯誤，對于B，令，得，則，故B錯誤，對于C，令，得，則，故C錯誤，對于D，令，得，則，故D正確，故選：D2.下列表示正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空集的定義，結(jié)合集合與集合的關(guān)系及元素與集合的關(guān)系逐一判斷即可得解.【詳解】解：對于選項A，由空集的定義可得：空集是任意集合的子集，即，即A正確，對于選項B，，即B錯誤，對于選項C，，即C錯誤，對于選項D，，即D錯誤，故選：A.【點睛】本題考查了空集的定義，重點考查了集合與集合的關(guān)系及元素與集合的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.3.設(shè)，，則（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立方程組，解出x，y，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【詳解】聯(lián)立，解得，故.故選：C．4.下列四組函數(shù)中，與不相等的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】D【解析】【分析】利用相等函數(shù)的概念，通過定義域、值域，對應(yīng)關(guān)系等方面進(jìn)行判斷.【詳解】D項中，的定義域為解得或，的定義域為解得，定義域不相同故選：D5.命題p：n是3的倍數(shù)；q：n是6的倍數(shù)，p是q的（）條件．A.充分且不必要 B.必要且不充分C.充要 D.既不充分又不必要【答案】B【解析】【分析】由充分條件和必要條件的概念判斷，【詳解】若n是6的倍數(shù)，則n一定是3的倍數(shù)，反之，若n是3的倍數(shù)，則n不一定是6的倍數(shù)，例如9是3的倍數(shù)，但不是6的倍數(shù)，所以p是q的必要不充分條件．故選：B6.已知命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得“”為真命題，即，即時，，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【詳解】因為命題“”為假命題，所以“”真命題，所以，所以當(dāng)時，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，上式取得最小值，所以，故選：A.7.仰望星空，探索宇宙的奧秘一直是人類的夢想，在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述，兩顆星的星等與亮度滿足．若星體甲的星等是﹣26.7，星體乙的星等是﹣1.45，則星體甲與星體乙的亮度比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)星等和亮度滿足的方程，代入已知條件根據(jù)對數(shù)的計算法則即可求解．【詳解】設(shè)星體甲的星等是，星體乙的星等是，由題意可得，即，則，故選：A8.已知，則的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用換元法求得函數(shù)解析式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得值域．【詳解】令，則，，則，，又的對稱軸為，則，所以函數(shù)的值域為．故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷各選項即可.【詳解】由題意得，，所以兩邊同時除以得，即，A不正確；兩邊同時除以得，B不正確；兩邊同時乘得，C正確；由可得，兩邊同時除以得，D錯誤.故選：C10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式結(jié)合函數(shù)圖象直接判斷即可.【詳解】對A，為奇函數(shù)，排除；對B，為偶函數(shù)，在單減，排除；對C，為偶函數(shù)，在單增，符合題意；對D，為偶函數(shù)，由對勾函數(shù)圖象特點可知，函數(shù)不單調(diào)，排除.故選：C11.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是（）A.的值域為B.的定義域為C.D.任意一個非零有理數(shù)，對任意恒成立【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式和函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷可得選項.【詳解】因為函數(shù)，所以的值城為，故A不正確；因為函數(shù)，所以的定義城為，故B正確；因為，所以，故C正確；對于任意一個非零有理數(shù)，若x是有理數(shù)，則x+T是有理數(shù)；若x是無理數(shù)，則x+T是無理數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式，任取一個不為零的有理數(shù)T，都有對任意恒成立，故D正確，故選：BCD.12.已知，，，則的值可能是（）A. B.1 C. D.【答案】BCD【解析】【分析】,有則且,分和打開，然后用重要不等式求出其最值，從而得到答案.【詳解】由，得，則且.當(dāng)時,==.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.當(dāng)時,==.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.綜上，.故選：BCD.【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫出一個的二次函數(shù)的解析式_____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】設(shè)出二次函數(shù)的解析式，利用求得正確答案.【詳解】設(shè)，由得，不妨設(shè)，則，解得，所以.故答案為：（答案不唯一）14.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則＝_____．【答案】3【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義和已知區(qū)間上的解析式，計算可得所求值．【詳解】函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則.故答案為：315.已知，則_____．【答案】【解析】【分析】由已知可得，從而能求出其結(jié)果.【詳解】因為，所以，故答案為：.16.已知函數(shù)，對，有，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義及分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因為，對，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.求下列各式的值：（1）+；（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪性質(zhì)和運算法則求解．（2）利用對數(shù)的性質(zhì)和運算法則求解．【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.18.在①函數(shù)的定義域為集合B，②不等式的解集為B這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．問題：設(shè)全集，_____．（1）當(dāng)，求；（2）若“”是“”的充分條件，求的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合B，再利用集合間的基本運算求解．（2）若“”是“”充分條件，則，進(jìn)而列出不等式組，求出的取值范圍即可．【小問1詳解】解：若選①，則，解得，∴，當(dāng)時，，∴，∴；若選②，則，解得，下同選①；【小問2詳解】解：若“”是“”的充分條件，則，∴，解得，即的取值范圍為．19.已知正數(shù)滿足．（1）求的最小值；（2）求的最小值．【答案】（1）8（2）9【解析】【分析】（1）利用基本不等式化簡即可求解；（2）由已知可得，然后利用“1”代換以及基本不等式化簡即可求解．【小問1詳解】因為，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值為8.【小問2詳解】因為，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值為9．20.已知函數(shù)f(x)＝x|x+2|，且x∈R．（1）解關(guān)于x的不等式f(x)≥﹣1；（2）當(dāng)x∈[2，m]時，求f(x)的最小值．【答案】（1）{x|x≥﹣﹣1}（2）8【解析】【分析】（1）分類討論，化簡f(x)的解析式，求出不等式f(x)≥﹣1的解集．（2）先判斷m的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出它的最小值．【小問1詳解】∵函數(shù)f(x)＝x|x+2|，且x∈R，不等式f(x)≥﹣1，即x|x+2|≥﹣1．當(dāng)x≥﹣2時，不等式即x（x+2）≥﹣1，即（x+1）2≥0，恒成立．當(dāng)x＜﹣2時，不等式即﹣x（x+2）≥﹣1，即（x+1）2≤2，求得﹣﹣1≤x≤﹣1，∴﹣﹣1≤x＜﹣2．綜上可得，不等式的解集為{x|x≥﹣﹣1}．【小問2詳解】當(dāng)x∈[2，m]時，顯然，m＞2，函數(shù)f(x)＝x|x+2|＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，它的圖象的對稱軸為x＝﹣1，在區(qū)間[2，m]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝2時，函數(shù)取得最小值為f(2)＝8．21.我縣黃桃種植戶為了迎合大眾需求，提高銷售量，打算以裝盒售賣的方式銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若要提高銷售量，則黃桃的售價需要相應(yīng)的降低，已知黃桃的種植與包裝成本為24元/盒，且每萬盒黃桃的銷售價格g(x)（單位：元）與銷售量x（單位：萬盒）之間滿足關(guān)系式g(x)＝．（1）寫出利潤F(x)（單位：萬元）關(guān)于銷售量x（單位：萬盒）的關(guān)系式；（利潤＝銷售收入﹣成本）（2）當(dāng)銷售量為多少萬盒時，黃桃種植戶能夠獲得最大利潤？此時最大利潤是多少？【答案】（1）（2）銷售量為15萬盒時，該村的獲利最大，此時的最大利潤為136萬元【解析】【分析】（1）由題意列式求解，（2）由二次函數(shù)性質(zhì)與基本不等式求解，【小問1詳解】由題意得，【小問2詳解】當(dāng)時，由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時，由基本不等式得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，綜上，當(dāng)銷售量為15萬盒時，該村的獲利最大，此時的最大利潤為136萬元22.已知函數(shù)f(x)＝x﹣．（1）判斷并用定義法證明y＝f(x)在（0，+∞）上的單調(diào)性；（2）若?x∈[1，2]，使得x2+成立，求m的取值范圍．【答案】（1）y＝f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；證明見解析（2）[﹣1，5]【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義：作差、判斷符號、比較大小，即可得證；（2）令t＝f(x)，由（1）可得t＝f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，可得，令，當(dāng)時，g（t）單調(diào)遞減，當(dāng)時，g（t）單調(diào)遞增，求出最大值即可求解．【小問1詳解】y