高等數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件

3．1微分中值定理

3．2函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性3．3函數(shù)的極值與最值3．4函數(shù)圖形的描繪3．5洛必達(dá)法則3．6泰勒(Taylor)公式Ch3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1費(fèi)馬(Fermat)引理證2羅爾(Rolle)定理.

幾何解釋:證注：1.羅爾定理的三個(gè)條件，缺一不可.例如:不滿足條件(1)不滿足條件(2)不滿足條件(3)2.羅爾定理只是指出了點(diǎn)的存在性，但不能確定它的位置.例1解

例2證由零點(diǎn)定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾，得證.例3證3拉格朗日

(Lagrange)中值定理拉格朗日中值公式幾何解釋:證分析:弦AB方程為拉格朗日中值公式注意：拉格朗日中值公式精確地表達(dá)了函數(shù)在某一區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.作輔助函數(shù)拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：增量Dy的精確表達(dá)式例4證由上式得定理1證

例5證定理2證

4柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:作輔助函數(shù)證特別例6證結(jié)論可變形為例7證結(jié)論可變形為即小結(jié)羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.注：常見的函數(shù)構(gòu)造技巧

思考2、證明B

3．1微分中值定理

3．2函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性3．3函數(shù)的極值與最值

3．4函數(shù)圖形的描繪3．5洛必達(dá)法則3．6泰勒（Taylor)公式Ch3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.2函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調(diào)性二、曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調(diào)性定理1（函數(shù)單調(diào)性判別法）1.函數(shù)單調(diào)性的判別法證由拉格朗日中值定理,得注：1.把判別法中的閉區(qū)間換為其他類型的區(qū)間（包括無窮區(qū)間），則結(jié)論仍然成立.2.在定理中，某區(qū)間的連續(xù)函數(shù)y=f(x)，若在有限個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零或不存在，而在其余各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)保持固定的符號(hào)，則函數(shù)y=f(x)在該區(qū)間內(nèi)仍然是嚴(yán)格單調(diào)的.例1解注意：函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．幾何上看：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)是使f

(x)=0的點(diǎn).例2解例3解2.單調(diào)區(qū)間的求法問題：如例1和例3，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．定義：若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．討論函數(shù)的單調(diào)性可以按以下步驟進(jìn)行：1）確定函數(shù)

f(x)的定義域；2）求f

(x)，找出f

(x)=0和f

(x)不存在的點(diǎn)，以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，把定義域分成若干區(qū)間；3）在各個(gè)區(qū)間上判別f

(x)的符號(hào)，以此確定f(x)的單調(diào)性.例4解單調(diào)區(qū)間為例53.利用單調(diào)性證明不等式證例6證令例7證由零點(diǎn)定理二、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的下方圖形上任意弧段位于所張弦的上方1.曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義定義11.曲線凹凸與拐點(diǎn)的定義定義1拐點(diǎn)2.曲線凹凸的判定定理2（曲線凹凸性判別法）例8注意到,解1．區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為零或不存在,不影響該曲線的凹凸性.2．由拐點(diǎn)的定義及定理２,可得拐點(diǎn)的判別法如下:注：討論曲線的凹凸區(qū)間可以按以下步驟進(jìn)行：1）確定函數(shù)

f(x)的定義域；2）求f

(x)，找出f

(x)=0和f

(x)不存在的點(diǎn)，以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，把定義域分成若干區(qū)間；3）在各個(gè)區(qū)間上判別f

(x)的符號(hào)，以此確定曲線的凹凸區(qū)間.例9解凹凸凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)1)2)3)列表判別例10解1)2)凹凸凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)3)列表判別不存在小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn)

思考有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線證：備用題2.

證明時(shí),成立不等式證:

證明:當(dāng)時(shí)，有

3.證:

3.3函數(shù)的極值與最值一、函數(shù)的極值及其判別法二、最大值最小值問題一、函數(shù)的極值及其判別法定義1定義1函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).注意1：在端點(diǎn)處不考慮極值.注意2：函數(shù)的極大值與極小值概念是局部性的，極值是局部范圍內(nèi)的最大值或最小值.函數(shù)極值的判別法定義

極值存在的必要條件定理

(必要條件)注意1:例如,注意2:定理1(第一充分條件)（極值的一階導(dǎo)數(shù)判別法）

極值存在的充分條件_1不是極值點(diǎn)求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的步驟:例1解列表討論極大值極小值圖形如下定理2(第二充分條件)（極值的二階導(dǎo)數(shù)判別法）證例2解圖形如下注意：例3解例4解極小值極大值二、最大值、最小值問題步驟：1.求出f(x)的所有臨界點(diǎn);2.計(jì)算f(x)在所有臨界點(diǎn)以及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；3.比較函數(shù)值的大小，最大函數(shù)值就是最大值，最小函數(shù)值就是最小值。二、應(yīng)用舉例例5解計(jì)算比較得練習(xí)：求 在[-1,4]上的最值.解x=0處f

(x)不存在，x=2為f(x)的駐點(diǎn).比較得：最大值為f(0)=0，最小值為f(-1)=-6.證定理3點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例6

敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)實(shí)際問題求最值應(yīng)注意：(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停例7解如圖,解得內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值最值點(diǎn)應(yīng)在臨界點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)上找；應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性.2.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A試問

為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小.解:

由題意應(yīng)有又取得極大值為3.求出該極值,并指出它是極大試求解:4.

故所求最大值為

思考以下命題正確嗎？解答不正確．例在–1和1之間振蕩故命題不成立．

3．1微分中值定理

3．2函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性3．3函數(shù)的極值與最值

3．4函數(shù)圖形的描繪3．5洛必達(dá)法則3．6泰勒（Taylor)公式Ch3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.4函數(shù)圖形的描繪一、漸近線二、函數(shù)作圖步驟三、作圖舉例函數(shù)圖形的描繪需要綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察.最大值最小值極大值極小值拐點(diǎn)凹的凸的單增單減一、漸近線例如,雙曲線有漸近線無漸近線.但拋物線或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”1.鉛直漸近線例如有兩條鉛直漸近線:2.水平漸近線例如有兩條水平漸近線:3.斜漸近線斜漸近線若斜漸近線的求法:斜漸近線的求法：注意:例1解二、函數(shù)作圖步驟1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.

求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn);4.求漸近線;5.確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn);并考察其奇偶性及周例2解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.極大拐點(diǎn)

思考水平漸近線;鉛直漸近線;

小結(jié)1.曲線漸近線的求法斜漸近線——按作圖步驟2.函數(shù)圖形的描繪思考與練習(xí)

1.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:拐點(diǎn)為

,凸區(qū)間是

,2.

曲線的凹區(qū)間是

,提示:及漸近線

.

3．1微分中值定理

3．2函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性3．3函數(shù)的極值與最值

3．4函數(shù)圖形的描繪3．5洛必達(dá)法則3．6泰勒(Taylor)公式Ch3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.5洛必達(dá)法則例如,注意：這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.證定義輔助函數(shù)則有例1解例2解例3解練習(xí)：思考:

如何求(n為正整數(shù))?注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例4解如，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，等價(jià)無窮小代換，將非零因子計(jì)算出來等.例5解例6解例7解練習(xí)：說明:上題表明時(shí),后者比前者趨于更快.關(guān)鍵：將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.例8解練習(xí)：解例9解練習(xí)：通過將三種未定式轉(zhuǎn)化為0·∞型.解例10練習(xí)：例11解例12解解練習(xí)：注意：洛必達(dá)法則只適用于1.用洛必達(dá)法則過程中要及時(shí)化簡(jiǎn)，并靈活結(jié)合其他求極限方法.2.洛必達(dá)法則有時(shí)并不適用例13例14解極限不存在洛必達(dá)法則失效.例15解例16

求分析:

為用洛必達(dá)法則,必須改求法1

用洛必達(dá)法則但對(duì)本題用此法計(jì)算很繁!法2～原式小結(jié)洛必達(dá)法則練習(xí)原式分析:2.3.求4.求5.求6.求

3．1微分中值定理

3．2函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性3．3函數(shù)的極值與最值

3．4函數(shù)圖形的描繪3．5洛必達(dá)法則3．6泰勒(Taylor)公式Ch3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.6泰勒(Taylor)公式一、問題的提出二、泰勒中值定理三、簡(jiǎn)單應(yīng)用特點(diǎn):一、問題的提出以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?x

的一次多項(xiàng)式下面來解決這兩個(gè)問題：由洛必達(dá)法則及極限與無窮小的關(guān)系，知1）x

的二次多項(xiàng)式由此分析看出，隨著多項(xiàng)式函數(shù)的階數(shù)的提高，這一特殊類型的多項(xiàng)式與函數(shù)

f(x)的近似程度越來越好.問題:2）設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù),并設(shè)f(x)的近似多項(xiàng)式為：分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相