數(shù)學(xué)分析-各?？佳性囶}及答案

2003南開大學(xué)年數(shù)學(xué)分析解：令u=x+y，v=x—y,z=x則；二、設(shè)數(shù)列非負(fù)單增且，證明解：因?yàn)閍n非負(fù)單增,故有由；據(jù)兩邊夾定理有極限成立。三、設(shè)試確定的取值范圍，使f(x）分別滿足：極限存在f(x)x=0連續(xù)f(x）x=0解:(1）因?yàn)?=極限存在則2+知(2)因?yàn)?0=f(0)所以要使f（x)在0連續(xù)則所以要使f（x)0可導(dǎo)則四、設(shè)f(x）在R連續(xù)，證明積分與積分路徑無關(guān)解；令則f（x)在R上連續(xù)故存在F（u）使dF(u)=f(u）du=所以積分與路徑無. (此題應(yīng)感謝小毒物提供思路五、 設(shè)f(x）[a，b］上可導(dǎo)，且，證明證：因f（x）在［a，b］可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理，存在即有六、設(shè)單減而且收斂于0。發(fā)散證明證明其中；1因?yàn)槎鴨螠p而且收斂于0據(jù)狄利克萊判別法知（2）因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散則又由上題知故有七、設(shè)證明(1）在一致收斂（2）在連續(xù)1）因收斂（可由狄利克萊判別法判出）故在=0上一致收斂；又在x>=1,t>=0且一致有界由阿貝爾判別法知一致收斂上連續(xù)知任意性得證八、令是［a，b］上定義的函數(shù)列，滿足(1）對(duì)任意是一個(gè)有界數(shù)列（2)對(duì)任意,存在一個(gè)求證存在一個(gè)子序列在[a,b]上一致收斂證：對(duì)任意，是一個(gè)有界數(shù)列故由致密性定理存在一收斂子列，設(shè)為，又令U=則U為[a,b]，不妨設(shè)為于是對(duì)〉0，有令則由條件（2）知對(duì)上述于是++由柯西準(zhǔn)則得證.2004年南開大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題答案1。2.,=3.即證明,即證設(shè)，，，,證完.4。===5。設(shè)P=，Q=，,積分與路徑無關(guān)，則6.，又當(dāng)時(shí),收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，原題得證7。由拉格朗日定理,，其中，原題得證8（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)命題成立，若當(dāng)時(shí)命題也成立，則當(dāng)時(shí)，,由歸納假設(shè)連續(xù)。（2）由單調(diào)遞減趨于，與都連續(xù)，由地尼定理，該收斂為一致收斂。9.(1）證明：取，代入式中得，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增有下界,從而存在右極限，則；，由題設(shè)可得，即從而，所以導(dǎo)函數(shù)遞增.（2）參考實(shí)變函數(shù)的有關(guān)教材.2005年南開大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題答案2.，其中由 求出3。0,.由泰勒公式，則，后者收斂，則原級(jí)數(shù)收斂。也一致收斂且連續(xù)，故連續(xù)可導(dǎo)7。反證:設(shè)存在有，不妨設(shè)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，知道存在一個(gè)鄰域當(dāng)時(shí)，則存在一個(gè)圓周與已知矛盾。8。當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的有,則在時(shí),不存在，矛盾。設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩邊對(duì)積分即可6。，,由在上有定義，則在上有界，則可以得到在上連續(xù)。，則,則則單調(diào)遞增有下界，存在右極限,存在,同理存在，由極限的保不等式性可得2003年中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究院數(shù)學(xué)分析試題答案1.（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，(2）當(dāng)時(shí)，=(3）當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，2.當(dāng)時(shí)，,從而連續(xù)；當(dāng)時(shí)，,存在；當(dāng)時(shí)，,3，,當(dāng)時(shí)，設(shè),，所以,當(dāng)時(shí)，設(shè),，所以，4。假設(shè)存在常數(shù)M,，積分矛盾作代換===7。橢球面的切向量為，切點(diǎn)為和8.當(dāng)時(shí)，相加：令，所以9由含參量積分的性質(zhì),2006年數(shù)學(xué)分析試題參考解答1求a，b使下列函數(shù)在x=0處可導(dǎo):解：由于函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，從而連續(xù)，由得到b=1;又由得到a=0。即得.2證明：用反證法。由知，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。,3解：從而 即得解。(利用余元公式、換元、函數(shù)更為簡(jiǎn)單)4證明：知,從而令有從而得證.5證明:6證明:,Cauchy—-—Schwarz17證明：8設(shè)曲線的周長(zhǎng)和所圍成的面積分別為L(zhǎng)和S，還令，則.證明:由對(duì)稱性知9解：=I，我們先來證明一個(gè)定理：2〈R回到題目，看數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，設(shè)=,|x|<1,由定理2即知==I.10解:這是星形線，充分考慮到對(duì)稱性（x=0,y=0，x=y，x=—y)，有北京大學(xué)20051設(shè)，試求和。解：當(dāng)然此上極限可以令。此下極限當(dāng)然可以令1. (1）證明：由存在.這顯然就是(2)設(shè)在開區(qū)間可微且一致連續(xù)，試問在是否一定有界（回答舉例說明）證明：否定回答。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)。所以顯然此而設(shè).（1)求的麥克勞林展開式。（2)求。解:這道題目要是直接展開是很麻煩的.先對(duì)原式做一下變形.有.又由于比較系數(shù)有：,接下來，若中，此時(shí)令有。:，綜合得：4的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在（）任何方向極限都存（）原點(diǎn)不連解： .顯然這個(gè)函數(shù)在的時(shí),有偏導(dǎo)數(shù)存在,而對(duì)于的時(shí)候，有，此式在原點(diǎn)也成立。對(duì)于任意方向極限，有。顯然沿任意方向趨于原點(diǎn)。此函數(shù)的方向極限都存在。最后,因?yàn)檠夭煌较蜈呄蛟c(diǎn)。不妨設(shè)有不同的極限。且其都不為0。所以該函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)。.其中是球面與平面的交線。解：首先，曲線是球面與平面的交線.因?yàn)槠矫孢^原點(diǎn),球面中心為原點(diǎn)。所以它們的交線是該球面上的極大圓。再由坐標(biāo)的對(duì)稱性.易知有。因此有===。設(shè)函數(shù)列滿足下列條件（1，在連續(xù)且有(2)點(diǎn)點(diǎn)收斂于上的連續(xù)函數(shù)證明：在上一致收斂于證法1：首先，因?yàn)閷?duì)任意。且有，所以,對(duì)于任意，有。又因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)。所以可以找到，當(dāng)時(shí)。有，以及同時(shí)成立.因此，當(dāng)，時(shí)，有。如此，令，所以有開區(qū)間族覆蓋了區(qū)間。而在閉區(qū)間上連續(xù)。由Heine-Borel定理，從開區(qū)間族中可以選出有限個(gè)，使.由的選法。可由相應(yīng)與，當(dāng)，且時(shí)，有。取，當(dāng)時(shí)，且，有成立。所以在上一致收斂于。證畢。證法2對(duì)于任意，有一，使得．又有界，由Bolzano-Weierstrass理，所以其必存在收斂子列收斂于中某值．因?yàn)閷?duì)任意。且有，所以，當(dāng)時(shí)，有．設(shè)某，由與連續(xù)性．存在一，當(dāng)時(shí)有同時(shí)成立．顯然，又因?yàn)椋源嬖谥?，．?dāng)時(shí)，成立．最后，當(dāng)時(shí)，有＜．這與假設(shè)矛盾．所以在上，是一致收斂于．證畢．大連理工大學(xué)2005試題數(shù)學(xué)分析試題解一、 計(jì)算題1、 求極解:2、求極限：解：3、證明區(qū)間（0，1）和（0,+）具有相同的勢(shì)。證明：構(gòu)造一一對(duì)應(yīng)y=arctanx.4、計(jì)算積分，其中D是x=0,y=1，y=x圍成的區(qū)域解：5、計(jì)算第二類曲線積分解:6、設(shè)a>0,b>0證明：二、 設(shè)f(x)為[a,b］上的有界可測(cè)函數(shù)，且證:f(x）在［a,b]上幾乎處處為證明：反證法,假設(shè)A=｛x|f（x）≠0}，那么mA〉0。三、 設(shè)函數(shù)在開區(qū)內(nèi)連續(xù)且有界是討論（0,+)內(nèi)的一致連續(xù)性討論：非一致連續(xù)，構(gòu)造函數(shù)：四、 設(shè),討論函數(shù)的連續(xù)性和可微性解:連續(xù)性：連續(xù)可微性：可微五、 設(shè)f(x)在（a，b）內(nèi)二次可微，求證證明:六、 f（x）在R上二次可,,證明：f(x)在R上恰有兩個(gè)零點(diǎn)。證明：七、 設(shè)函數(shù)f(x)和g（x)在［a，b］內(nèi)可積，證對(duì)[a，b]內(nèi)任意分證明：八、 求級(jí)數(shù)解：九、 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在和（1,+∞)的一致收斂討論：1） 0〈x<12） x>1十、 計(jì)算為圓錐曲面被平面z=0,z=2所截部分的外解:十一、設(shè)f(x）在,f（0)=0，f（1）<=1證明:十二、設(shè)f（x證明:十三、設(shè)，證明：當(dāng)下極限時(shí)，級(jí)數(shù)收斂當(dāng)上極限時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散（2）1）（2）蘇州大學(xué)2004年數(shù)學(xué)分析解答1.（20')2（20'）05蘇州大學(xué)20052005一(848分）1.解原式 3分5分8分2、求級(jí)數(shù)的和.解作,則2分作,則因此 5分于是，原式 8分3、求級(jí)數(shù)的和.解因，故 2分為了求,作， 4分則 5分6分因此，原式 8分4、求的值。解原式 4分8分5、求極限解因的周期為， 2分故當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，存在正整數(shù)和整數(shù)使得，這時(shí)當(dāng)時(shí)， 4分而當(dāng)為無理數(shù)時(shí)， 6分因此，原式 8分6、求極限解原式 4分8分二（14分）已知實(shí)數(shù)列收斂于，且，用定義證明也收斂于。證記，則，使得， 3因,故，使得, 8分令，則當(dāng)時(shí)，有14分三（20分)設(shè)和為二次可微函數(shù)，證明證， 5分，因此，左四（20分）設(shè)在上連續(xù),證明⑴⑵若,，且,則，，證記（1)令，則

15分右 20分因此，左右 10分（2（用反證法）若不然，則使得,由極限的保號(hào)性，存在開區(qū)間使得，且當(dāng)時(shí)，有，16分這與矛盾. 20分五（16分）若不定積分為有理式，則應(yīng)滿足什么條件？解因，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),不定積分為有理式。 16分六16分）若在上可微,證法1因在上可微,故，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而由拉格朗日中值定理知,使，即9分因, ，故由海涅歸結(jié)原則知，，從而.16分證法2 由知，使得當(dāng)時(shí)，2分,,,6分用數(shù)學(xué)歸納法，得到一個(gè)數(shù)列，在閉區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，,使得10分由知,數(shù)列單調(diào)增，由數(shù)列滿足和知 13由知 16分七（16分）設(shè),證明在上一致收斂.證法1,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),由對(duì)稱性知當(dāng)時(shí)，因,故對(duì)上述的，正整數(shù)使得當(dāng)時(shí),

6分14分綜上，當(dāng)時(shí)，，對(duì)中的一切成立,這表明在上一致收斂.16分證法2當(dāng)時(shí)3分Dini定理,要證在上一致收斂.即知極限函數(shù)一定連續(xù)。 7分而當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，,而當(dāng)時(shí)，10分于是，,有，n16分2003年一、 判斷下列命題是否正確（共5小題，每小題6分，共30分1）單調(diào)序列中有一子列收斂，則序列收斂。正確。不妨設(shè)收斂于a,利用單調(diào)性那么不難證明也收斂于a2)子列的子序列和收斂,則序列也收斂不正確。只要和收斂于不同的極限，A、B那么不收斂序列收斂，則序列收斂其逆命題也成立不正確。序列收斂=〉序列收斂，但反之命題不成立如收斂，則。不正確?？梢哉业饺R布尼茲級(jí)數(shù)函數(shù)序列,，滿足對(duì)任意的自然數(shù)p不正確。不妨設(shè)，,。顯然并非一致收斂.二、 計(jì)算題（每小題8分，共32分1)設(shè)（應(yīng)用Hospital法則）2）求極限:（應(yīng)用Taylor展開）3)4）計(jì)算曲面積分，S為球面的外側(cè)三、判斷級(jí)數(shù)與反常積分的斂散性（共4小題，每小題9分，共36分)1） 2）3） 4)四、 設(shè)a〉0，求曲線上的點(diǎn)到xy—平面的最大最小距解1：解2：(初等數(shù)學(xué)的不等式方法）當(dāng)z取到最值，即xy取到最五、 設(shè)0<c〈1,。證明收斂,并求其極限分析：只須滿足即可。證明:六、 設(shè)f（t）在R上連續(xù)證明證明:（考慮在（0,1)趨近于0）七、 證明含參量非正常積分:，對(duì)任意一致收斂，而在上不是一致收斂的證明：1)2）武漢大學(xué)2004年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題科目名稱:數(shù)學(xué)分析 科目代碼:369一、計(jì)算下列各題:1． 2.3. 4。5.6。二、設(shè),證明:存在，并求出極限證明:三、（另外，還可以用上下確界的方法做四、討論在點(diǎn)的連續(xù)性和可微性解:(1）連續(xù)性：（2)可微性,L的方向是：從x軸的正方向看過去為逆時(shí)針方向.解：六、計(jì)算曲面積分（h,R〉0）及三個(gè)坐標(biāo)面所圍的第一卦限部分的外側(cè).解：另外可以用Stokes公式做七、證明:解：八、證明積分解：另外可以用積分判別法的Dirichlet定理做武漢大學(xué)2005年一、設(shè)滿足:,，證明收斂。證明：(分析：壓縮映像原理）二、對(duì)任意δ〉0。證明級(jí)數(shù)在（1,1+δ）上不一致收斂.證明：（利用反證法，Cauchy收斂準(zhǔn)則和定義證明.）三、設(shè)解，（本題利用萊布尼茲求導(dǎo)法則：）四、判斷級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性和相對(duì)收斂性（1）（主要使用放縮法）(2）相對(duì)收斂性：(A-D判別法）五、計(jì)算,其中Γ為曲線，從z軸的正方向看過去，Γ（利用奇偶性做）六、設(shè)，且為連續(xù)函數(shù)，求證：（畫出函數(shù)圖像,）>0但是在0）收斂.證明:八、在底面半徑為a,高為h的正圓錐內(nèi)作長(zhǎng)方體，其一面與圓錐地面重合，對(duì)面四個(gè)頂點(diǎn)在錐面上，求長(zhǎng)方體的最大體積。解：九、(0,a)證明:1)； 2）證明:1）命題有問題，取a=1/2,f（x)=5x-8x2f(0)=0，f（1/2）=1/2f(x）在5/16取到最值，但是f(x）—ax只在x=0,x=9/16等于0，與命題1矛盾。2004年上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)分析一（14)設(shè)，證明Stolz,,二（14).證，,故在上不一致連續(xù)。三(14）設(shè)在上連續(xù)，且＝，證明,使＝證作（，則在上連續(xù)，因1若，則取，則＝，情形2若，則因，故由介值定理知，存在,使得,即＝.四（14）證明不等式＜＜,證，故在上嚴(yán)格單調(diào)減少，而,，因此，在上，有,即＜＜.五(14）設(shè)收斂，且在上一致連續(xù),證明=0.證因在上一致連續(xù),故,，使得當(dāng)且時(shí)，有，令，則由積分第一中值定理得，，使得。因收斂,故級(jí)數(shù)收斂，從而，即,也即，故對(duì)上述的,存在，使得當(dāng)時(shí)，.取，則當(dāng)時(shí)，因故存在惟一的，使得,易見，且,從而六（14）設(shè),,，證明級(jí)數(shù)收斂.解.,因，故只要證收斂即可.七(14）0證明在上一致收斂.八（12)設(shè)在上連續(xù)，證明＝。證（1)(令，則，故3不妨設(shè)，則，（4）,，當(dāng)且時(shí)，有,,有，當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，有(8）由和（7）九（12）>0，＝＋,證明＝1證（1）要證＝1即只要證,即證