反函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)講義教案

師生互動(dòng)，善教樂學(xué)11/11班級：一對一所授年級+科目：高一數(shù)學(xué)授課教師：課次：第次學(xué)生：上課時(shí)間：教學(xué)目標(biāo)理解反函數(shù)的意義，會(huì)求函數(shù)的反函數(shù)；掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系，會(huì)利用反函數(shù)的性質(zhì)解決一些問題．教學(xué)重難點(diǎn)反函數(shù)的求法，反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系．反函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)教案【知識整理】一．函數(shù)的定義如果在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量和,并且對于在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對應(yīng)法則,都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么就是的函數(shù)，就叫做自變量，的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域，和的值對應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合A叫做函數(shù)的值域，記為：∈D.二．反函數(shù)定義一般地，函數(shù)(∈D),設(shè)它的值域?yàn)锳,我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中,的關(guān)系，用把表示出，得到,如果對于在A中的任何一個(gè)值，通過,在D中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，就表示是自變量，是自變量的函數(shù)，這樣的函數(shù)（∈A)叫做函數(shù)(∈D)的反函數(shù).記作：反函數(shù)中，為因變量，為自變量，為和習(xí)慣一致，將,互換得：(x∈A).注：并非所有的函數(shù)都有反函數(shù).反函數(shù)存在的條件：從定義域到值域上的一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù)；三．主要方法：1．求反函數(shù)的方法步驟：①求出原函數(shù)的值域，即求出反函數(shù)的定義域；②由反解出(把用表示出來)；③將,互換得：，并寫出反函數(shù)的定義域分段函數(shù)的反函數(shù)的求法：逐段求出每段的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域，再合成分段函數(shù).原函數(shù)與反函數(shù)的聯(lián)系反函數(shù)的定義域、值域上分別是原函數(shù)的值域、定義域，若與互為反函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?、值域?yàn)?，則，；函數(shù)反函數(shù)定義域DA值域AD4.互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系一般地，函數(shù)的圖像和它的反函數(shù)的圖像關(guān)于直線=對稱，其增減性相同.釋意：如果點(diǎn)(a,b)在函數(shù)的圖像上，那么點(diǎn)(b,a)必然在它的反函數(shù)的圖像上。換言之，如果函數(shù)的圖像上有點(diǎn)(a,b)，那么它的反函數(shù)的圖像上必然有點(diǎn)(b,a).1．求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）；（2）.解：（1）由得，∴，∴所求函數(shù)的反函數(shù)為．（2）當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，∴所求函數(shù)的反函數(shù)為．2．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，求的值．解：由得，∴，由題知：，，∴．3．若既在的圖象上，又在它反函數(shù)圖象上，求的值．解：∵既在的圖象上，又在它反函數(shù)圖象上，∴，∴，∴．4．設(shè)函數(shù)，又函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱，求的值．解法一：由得，∴，，∴與互為反函數(shù)，由，得．解法二：由得，∴，∴．5．已知函數(shù)（定義域?yàn)椤⒅涤驗(yàn)椋┯蟹春瘮?shù)，則方程有解，且的充要條件是滿足．6．已知，是上的奇函數(shù)．（1）求的值；（2）求的反函數(shù)；（3）對任意的解不等式．解：（1）由題知，得，此時(shí)，即為奇函數(shù)．（2）∵，得，∴．（3）∵，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，原不等式的解集，②當(dāng)時(shí)，原不等式的解集．7.已知函數(shù)的反函數(shù)，（１）若，求的取值范圍；（２）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值域.解：∵，∴．（１）∵即∴，∴解之得∴．（２）∵．令，顯然在[0，1]遞增，則有．∴，即的值域?yàn)椋?.已知函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，且存在反函數(shù)，求證：的反函數(shù)在它的定義域內(nèi)也是減函數(shù)（是的值域）．證明：∵在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，∴設(shè)，且，有．令，有，且．∵函數(shù)在上存在反函數(shù)，∴．由題意，，且，∴在定義域內(nèi)是減函數(shù)．9.已知函數(shù)（1）求的反函數(shù)；（2）判定在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（3）若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由y=（）2，得x=.又y=（1－）2，且x＞1，∴0＜y＜1∴f－1（x）=（0＜x＜1）.（2）設(shè)0＜x1＜x2＜1，則－＜0，1－＞0，1－＞0.∴f－1（x1）－f－1（x2）=＜0，即f－1（x1）＜f－1（x2）.∴f－1（x）在（0，1）上是增函數(shù).（3）由題設(shè)有（1－）＞a（a－）.∴1+＞a2－a，即（1+a）+1－a2＞0對x∈［，］恒成立.顯然a≠－1.令t=，∵x∈［，］，∴t∈［，］.則g（t）=（1+a）t+1－a2＞0對t∈［，］恒成立.由于g（t）=（1+a）t+1－a2是關(guān)于t的一次函數(shù)，∴g（）＞0且g（）＞0，即解得－1＜a＜．【反饋練習(xí)】1函數(shù)在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充要條件是（D）A、B、C、D、2函數(shù)的反函數(shù)是（A） A． B． C． D．3若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則的圖象為（B）xxxxxyyyyOOOOABCD4若函數(shù)的圖象經(jīng)過第三、四象限，且存在反函數(shù)，則函數(shù)的圖象經(jīng)過(B)第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（Ｄ）第一、四象限5設(shè)，函數(shù)的反函數(shù)和的反函數(shù)的圖象關(guān)于（B）軸對稱軸對稱軸對稱原點(diǎn)對稱6已知函數(shù)，則的反函數(shù)為(B)（A）（B）（C）（D）7設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（A）A、B、C、D、解:時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以。8設(shè)函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=的反函數(shù)，則f（4－x2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（C）A.［0，+∞）B.（－∞，0］C.［0，2） D.（－2，0］．解：f（4－x2）=－log2（4－x2）,x∈（－2，0］時(shí)，4－x2單調(diào)遞增；x∈［0，2）時(shí)，4－x2單調(diào)遞減.9已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（１，７），又其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（４，０），則的表達(dá)式為_____________.=10關(guān)于反函數(shù)有下列命題：①二次函數(shù)一定有反函數(shù)；②反比例函數(shù)一定有反函數(shù)；③若函數(shù)與其反函數(shù)有公共點(diǎn)，則該點(diǎn)一定在直線上；④單調(diào)函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上一定有反函數(shù)．以上命題，正確的命題的序號是____②④______.11已知函數(shù)的反函數(shù)就是它本身，那么___.-312若函數(shù)存在反函數(shù)，且方程、方程分別有唯一實(shí)根、，則=_________。（a為常數(shù)）13已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=3x－1，設(shè)f（x）的反函數(shù)是y=g（x），則g（－8）=______________解：當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，f（－x）=.又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x），即－f（x）=.∴f（x）=∴f（x）=∴f－1（x）=∴f－1（－8）=g（－8）=－log3（1+8）=－log332=－2.14求函數(shù)的反函數(shù)：.解：由得，∴，∴所求反函數(shù)為．15設(shè)函數(shù)，又函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱，求的值.解法一：由得，∴，，∴與互為反函數(shù)，由，得解法二：由得，∴，∴16求函數(shù)的值域．(掌握利用反函數(shù)法求函數(shù)值域)解：∵∴∴∴函數(shù)的值域?yàn)閧}17解：由故所求的反函數(shù)是1設(shè)，函數(shù)的反函數(shù)和的反函數(shù)的圖象關(guān)于()軸對稱軸對稱軸對稱原點(diǎn)對稱2已知函數(shù)，則的圖象只可能是（）3若函數(shù)的圖象上經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的反函數(shù)的圖象上必經(jīng)過點(diǎn)（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4已知函數(shù)有反函數(shù)，則方程（為常數(shù)）（B）Ａ．有且只有一個(gè)實(shí)根Ｂ．至多有一個(gè)實(shí)根Ｃ．至少有一個(gè)實(shí)根Ｄ．實(shí)根的個(gè)數(shù)無法確定5函數(shù)（）的反函數(shù)是（C ）A．（） B．（）C．（） D．（）6設(shè)函數(shù)，，則的定義域是（D）A． B． C． D．7若與的圖象關(guān)于直線對稱，且點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)的圖象上，則．8若函數(shù)有反函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．且.9設(shè)，則．10求函數(shù)的反函數(shù)．解：當(dāng)時(shí)，則反函數(shù)為（）；當(dāng)時(shí)，則反函數(shù)為（），原函數(shù)的反函數(shù)為:11求下列函數(shù)的值域；（1）；（2）．解：（1）先由可得，，故原函數(shù)的值域（2）先由可得，，故原函數(shù)的值域?yàn)檎f明：通過求反函數(shù)的定義域來求原函數(shù)值域的方法，往往適用于函數(shù)的解析式為一次分式的情況．12已知函數(shù)，且函數(shù)具有反函數(shù)，求常數(shù)的取值范圍．設(shè)是滿足上述條件的的最大值，當(dāng)時(shí)，求的反函數(shù)．解：二次函數(shù)對稱軸為，∵函數(shù)具有反函數(shù)，∴，解得常數(shù)的取值范圍為．∴．令，∴，∵，∴，，∴的反函數(shù)為．13若，且的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱為g(x)，求的值．解：令，得，∴，