2015第二學(xué)期微積分第一次月考試卷參考答案

2014-2015學(xué)年第二學(xué)期《微積分B》第一次月考試學(xué)

專

班 —二三四五六—二三四五六七八九十一、選擇題（210分）2x2y (x,y)函數(shù)f(x,y)x2y 在（0，0）

(x,y)(A)連 (B)有極限但不連(C)極限不存 (D)無(wú)定

答 zf(xy)在點(diǎn)x0y0 答 2u2u設(shè)uarctanxx

y

(x2y2)2

(x2y2)2(C) (x2y2)2x2y2

答 曲線zx2y2在點(diǎn)(1,2,3

x12x32

y21y1

z8z8

x12x1

y2y21

zz8答（C zx(x0y0)0zyx0y0)0是函數(shù)zz(xy在點(diǎn)x0y0處取得極大值二、填空題（210分x

（D 設(shè)uxyzy，則du(1,2,3)

dx dy ln2d 曲面

在點(diǎn)(2,1,0y2z1 z2x22y23xyaxbyc在點(diǎn)(2,3處取得極小值－3a,b,c之積abc30f(xyz)z2在4x22y2z21條件下的極大值是azx1)2y在點(diǎn)（0，1）0,10a（10分z

2fxu具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，而uxy，求x2zxzxx

fxyf 2 y

（4分（10分（10分zz(xyxyzexyzzzxyzdxxzdyxydzexyz(dxdydxyexyzdzexyzyzdxexyzxzdy(6分zexyz xyex

(8分zexyz xyex

(10分（10分函數(shù)zz(xy由方程ezdz

f(xyyzf ezdz(dxdyfdydz (8 dz

f1dx(f1f2)dyezf

(10分2（10分設(shè)u

f(r，其中r

x2yx2yu x y又當(dāng)r1時(shí)，f(1) f(1)1，求f(r)u

f

r1f

ff

r2r2

由u0，得rf(r)f(r) （7分rf(r)rf(r)f(11，得C11f(r) rx2yfx2y分

f(rlnrC2，由f(1)0，得C2ln

（10分z(xy)

x2x4y

x4y2

f(x,0)f(0,0)

x4y2

f(0,y)f(0,0)

（3分z

(0,0)dx

dydy

(x)2 （5分 (x)2

lim

2(x)2(x)2

(y)

取xy，上式=x0(x)4z(x,y在點(diǎn)（0，0）

2

2 （10分）八（2 函數(shù)uz43xzx2y2在點(diǎn)（1，1，1） u(3z2x)cos2ycos(4z33x) cos2cos

(4分 g

l0coscoscos

gl0

gcos 其中g(shù)與l0 當(dāng)cos1，即l0與g同向時(shí) =

6取最大值。(10分（10分在橢圓拋物面zx22y2上求一點(diǎn)，使曲面在該點(diǎn)處的切平面垂直于直線2xyy3z0曲面上點(diǎn)(x,yzn 3nS2x4y 3

x

,y4

,z 點(diǎn)

34 8x 3

y

z 2

10（10分求函ulnx2lny3lnz在條x2y2z26R2x0y0z0下的極大值，從而證明對(duì)任意正數(shù)a,b,c成立ab2c3

(abc)6R0令Llnx2lny3lnzx2y2z26R2 2

12xx2由Lyy2y F32z

，得駐點(diǎn)

5Lx2y2z26R2且

3Rln63R6由于當(dāng)點(diǎn)(xyzx2y2z26R2趨于邊界時(shí)，函數(shù)u趨于，故最大值在內(nèi)部取得，因此函數(shù)u在條下的極大值為

3Rln63R6 8由lnx2lny3lnzln63R6x2