2017-2018學(xué)年同步備課套餐之高一物理人教版必修2講義：第五章曲線運(yùn)動5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精5向心加速度［學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解向心加速度的概念。2.知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系式。3。能夠運(yùn)用向心加速度公式求解有關(guān)問題.一、向心加速度的方向1.定義：任何做勻速圓周運(yùn)動的物體的加速度都指向圓心，這個加速度叫做向心加速度.2。向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度的作用只改變速度的方向，對速度的大小無影響.二、向心加速度的大小1。向心加速度公式(1)基本公式an＝eq\f(v2,r）＝ω2r。(2）拓展公式an＝eq\f（4π2,T2)·r＝ωv。2。向心加速度的公式既適用于勻速圓周運(yùn)動，也適用于非勻速圓周運(yùn)動.[即學(xué)即用]1。判斷下列說法的正誤.（1）勻速圓周運(yùn)動的加速度的方向始終不變.（×)（2)勻速圓周運(yùn)動是勻變速運(yùn)動。（×)（3)勻速圓周運(yùn)動的加速度的大小不變。（√）（4）根據(jù)a＝eq\f(v2，r）知加速度a與半徑r成反比.（×）（5）根據(jù)a＝ω2r知加速度a與半徑r成正比.（×）2。在長0.2m的細(xì)繩的一端系一小球,繩的另一端固定在水平桌面上，使小球以0。6m/s的速度在桌面上做勻速圓周運(yùn)動，則小球運(yùn)動的角速度為________,向心加速度為________.答案3rad/s1。8m/s2解析角速度ω＝eq\f(v,r）＝eq\f(0。6，0。2）rad/s＝3rad/s小球運(yùn)動的向心加速度an＝eq\f(v2，r)＝eq\f(0。62，0.2）m/s2＝1.8m/s2.一、向心加速度及其方向［導(dǎo)學(xué)探究］如圖1甲所示，表示地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(近似的)；如圖乙所示，表示光滑桌面上一個小球由于細(xì)線的牽引,繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動.圖1(1)在勻速圓周運(yùn)動過程中,地球、小球的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？（2)地球受到的力沿什么方向？小球受到幾個力的作用，合力沿什么方向？（3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運(yùn)動是一種什么性質(zhì)的運(yùn)動呢?答案（1)地球和小球的速度方向不斷發(fā)生變化，所以運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化。運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化的原因是因為受到力的作用。（2）地球受到太陽的引力作用，方向沿半徑指向圓心.小球受到重力、支持力、線的拉力作用，合力等于線的拉力，方向沿半徑指向圓心.（3）物體的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是時刻沿半徑指向圓心，即加速度方向是變化的.勻速圓周運(yùn)動是一種變加速曲線運(yùn)動.［知識深化］對向心加速度及方向的理解1.向心加速度的方向：總指向圓心，方向時刻改變。2。向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直,故向心加速度的作用只改變速度的方向，對速度的大小無影響.3。圓周運(yùn)動的性質(zhì)：不論向心加速度an的大小是否變化,其方向時刻改變,所以圓周運(yùn)動的加速度時刻發(fā)生變化,圓周運(yùn)動是變加速曲線運(yùn)動。例1下列關(guān)于向心加速度的說法中正確的是(）A.向心加速度表示做圓周運(yùn)動的物體速率改變的快慢B.向心加速度描述線速度方向變化的快慢C。在勻速圓周運(yùn)動中，向心加速度是恒定的D.勻速圓周運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動答案B解析勻速圓周運(yùn)動中速率不變，向心加速度只改變速度的方向，A錯,B正確；向心加速度的大小不變，方向時刻變化，故C、D錯誤。二、向心加速度的大小[導(dǎo)學(xué)探究］（1）勻速圓周運(yùn)動的速度方向不斷發(fā)生變化，如圖2所示，經(jīng)過Δt時間,線速度由vA變?yōu)関B，圓周的半徑為r.圖2試根據(jù)加速度的定義式推導(dǎo)向心加速度大小的公式.(2)結(jié)合v＝ωr推導(dǎo)可得向心加速度與角速度關(guān)系的表達(dá)式為：an＝________.（3）有人說：根據(jù)an＝eq\f（v2，r)可知，向心加速度與半徑成反比，根據(jù)an＝ω2r可知,向心加速度與半徑成正比，這是矛盾的.你認(rèn)為呢？答案(1)如圖，由于A點(diǎn)的速度vA方向垂直于半徑r，B點(diǎn)的速度vB方向垂直于另一條半徑r,所以∠AOB＝∠CBD，故等腰△AOB和△CBD相似,根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得：eq\f(r,vA）＝eq\f(AB，Δv），由于時間t很短，故弦長AB近似等于弧長，而弧長＝vA·Δt，所以eq\f（r,vA)＝eq\f(vA·Δt，Δv），根據(jù)an＝eq\f（Δv，Δt)得an＝eq\f(v\o\al（A，2)，r)。（2）由v＝ωr，代入an＝eq\f(v\o\al（A,2)，r）可得an＝ω2r。(3）不矛盾.說向心加速度與半徑成反比是在線速度一定的情況下；說向心加速度與半徑成正比是在角速度一定的情況下,所以二者并不矛盾。［知識深化]1。向心加速度的幾種表達(dá)式：an＝eq\f（v2，r）＝ω2r＝eq\f（4π2，T2）r＝ωv。2。向心加速度與半徑的關(guān)系（如圖3所示）圖33。向心加速度公式也適用于非勻速圓周運(yùn)動（1）物體做非勻速圓周運(yùn)動時，加速度不是指向圓心,但它可以分解為沿切線方向的分量和指向圓心方向的分量，其中指向圓心方向的分量就是向心加速度，此時向心加速度仍滿足：an＝eq\f（v2，r）＝ω2r.(2)無論是勻速圓周運(yùn)動還是變速圓周運(yùn)動，向心加速度都指向圓心.例2如圖4所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，A、B為球體上兩點(diǎn),下列幾種說法中正確的是(）圖4A。A、B兩點(diǎn)具有相同的角速度B。A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度C.A、B兩點(diǎn)的向心加速度的方向都指向球心D。A、B兩點(diǎn)的向心加速度之比為eq\f（2,1)答案A解析A、B為球體上兩點(diǎn)，因此,A、B兩點(diǎn)的角速度與球體繞軸O1O2旋轉(zhuǎn)的角速度相同，A對；如圖所示，A以P為圓心做圓周運(yùn)動,B以Q為圓心做圓周運(yùn)動，因此，A、B兩點(diǎn)的向心加速度方向分別指向P、Q,C錯；設(shè)球的半徑為R,則A運(yùn)動的半徑rA＝Rsin60°,B運(yùn)動的半徑rB＝Rsin30°，eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωrA，ωrB)＝eq\f(sin60°，sin30°)＝eq\r(3)，B錯；eq\f（aA，aB)＝eq\f（ω2rA，ω2rB）＝eq\r(3），D錯。故選A。例3如圖5所示,O1為皮帶傳動的主動輪的軸心，主動輪半徑為r1，O2從動輪的軸心，從動輪半徑為r2，r3為固定在從動輪上的小輪半徑。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分別是三個輪邊緣上的點(diǎn)，則點(diǎn)A、B、C的向心加速度之比是（假設(shè)皮帶不打滑）(）圖5A。1∶2∶3 B。2∶4∶3C.8∶4∶3 D。3∶6∶2答案C解析因為皮帶不打滑，A點(diǎn)與B點(diǎn)的線速度大小相同，都等于皮帶運(yùn)動的速率.根據(jù)向心加速度公式an＝eq\f(v2，r），可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C是固定在同一個輪上的兩點(diǎn)，所以它們的角速度相同.根據(jù)向心加速度公式an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3,故選C。討論圓周運(yùn)動的向心加速度與線速度、角速度、半徑的關(guān)系，可以分為兩類問題:(1）皮帶傳動問題，兩輪邊緣線速度大小相等,常選擇公式an＝eq\f(v2,r)。（2)同軸轉(zhuǎn)動問題，各點(diǎn)角速度相等，常選擇公式an＝ω2r。針對訓(xùn)練如圖6所示，壓路機(jī)大輪的半徑R是小輪半徑r的2倍.壓路機(jī)勻速行駛時，大輪邊緣上A點(diǎn)的向心加速度是12cm/s2，那么小輪邊緣上B點(diǎn)的向心加速度是多少？大輪上距軸心距離為eq\f(R,3)的C點(diǎn)的向心加速度大小是多少？圖6答案aB＝0.24m/s2aC＝0。04m/s2解析大輪邊緣上A點(diǎn)的線速度大小與小輪邊緣上B點(diǎn)的線速度大小相等.由aA＝eq\f(v2，R)和aB＝eq\f(v2,r）得aB＝eq\f(R，r）aA＝24cm/s2＝0。24m/s2；C點(diǎn)和A點(diǎn)同在大輪上，角速度相同，由aA＝ω2R和aC＝ω2·eq\f（R,3)得aC＝eq\f(aA，3）＝4cm/s2＝0。04m/s2。1.(向心加速度的概念)(多選)關(guān)于向心加速度，以下說法中正確的是(）A。向心加速度的方向始終與速度方向垂直B.向心加速度的方向保持不變C.物體做圓周運(yùn)動時的加速度方向始終指向圓心D.物體做勻速圓周運(yùn)動時的加速度方向始終指向圓心答案AD解析向心加速度的方向沿半徑指向圓心，速度方向沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與速度方向垂直，且方向在不斷改變。物體做勻速圓周運(yùn)動時，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心；非勻速圓周運(yùn)動的加速度不是始終指向圓心，故選A、D.2。(向心加速度公式)關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動,下列說法中正確的是（）A.由an＝eq\f（v2,r）可知，an與r成反比B。由an＝ω2r可知，an與r成正比C。由v＝ωr可知，ω與r成反比D.由ω＝2πf可知,ω與f成正比答案D解析質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度與質(zhì)點(diǎn)的線速度、角速度、半徑有關(guān).但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能給出。當(dāng)線速度一定時,向心加速度與半徑成反比；當(dāng)角速度一定時，向心加速度與半徑成正比，對線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進(jìn)行討論，正確答案為D。3.(傳動裝置中的向心加速度)如圖7所示，兩輪壓緊，通過摩擦傳動（不打滑），已知大輪半徑是小輪半徑的2倍，E為大輪半徑的中點(diǎn)，C、D分別是大輪和小輪邊緣上的一點(diǎn),則E、C、D三點(diǎn)向心加速度大小關(guān)系正確的是()圖7A.anC＝anD＝2anE B。anC＝2anD＝2anEC。anC＝eq\f（anD，2)＝2anE D。anC＝eq\f(anD,2)＝anE答案C解析同軸轉(zhuǎn)動,C、E兩點(diǎn)的角速度相等，由an＝ω2r，有eq\f(anC，anE)＝2,即anC＝2anE；兩輪邊緣點(diǎn)的線速度大小相等，由an＝eq\f(v2,r）,有eq\f(anC，anD)＝eq\f(1,2），即anC＝eq\f（1,2）anD,故選C.4.(向心加速度的計算）滑板運(yùn)動是深受青少年喜愛的運(yùn)動，如圖8所示,某滑板運(yùn)動員恰好從B點(diǎn)進(jìn)入半徑為2.0m的eq\f(1,4)圓弧軌道，該圓弧軌道在C點(diǎn)與水平光滑軌道相接，運(yùn)動員滑到C點(diǎn)時的速度大小為10m/s.求他到達(dá)C點(diǎn)前、后瞬間的加速度(不計各種阻力）。圖8答案50m/s2，方向豎直向上0解析運(yùn)動員到達(dá)C點(diǎn)前的瞬間做圓周運(yùn)動，加速度大小a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(102,2)m/s2＝50m/s2,方向在該位置指向圓心,即豎直向上.運(yùn)動員到達(dá)C點(diǎn)后的瞬間做勻速直線運(yùn)動,加速度為0。課時作業(yè)一、選擇題(1～5為單項選擇題，6～10為多項選擇題）1.關(guān)于向心加速度，下列說法正確的是()A。由an＝eq\f（v2,r)知，勻速圓周運(yùn)動的向心加速度恒定B。勻速圓周運(yùn)動不屬于勻速運(yùn)動C。向心加速度越大，物體速率變化越快D。做圓周運(yùn)動的物體，加速度時刻指向圓心答案B解析向心加速度是矢量，且方向始終指向圓心,因此向心加速度不是恒定的，所以A錯；勻速運(yùn)動是勻速直線運(yùn)動的簡稱，勻速圓周運(yùn)動其實是勻速率圓周運(yùn)動，存在向心加速度，B正確；向心加速度不改變速率，C錯；只有勻速圓周運(yùn)動的加速度才時刻指向圓心,D錯.2.如圖1所示是A、B兩物體做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度隨半徑變化的圖象，其中A為雙曲線的一個分支,由圖可知（)圖1A。A物體運(yùn)動的線速度大小不變B。A物體運(yùn)動的角速度大小不變C.B物體運(yùn)動的角速度大小是變化的D.B物體運(yùn)動的線速度大小不變答案A解析根據(jù)an＝eq\f(v2,r）知，當(dāng)線速度v大小為定值時，an與r成反比，其圖象為雙曲線的一支；根據(jù)an＝rω2知，當(dāng)角速度ω大小為定值時，an與r成正比，其圖象為過原點(diǎn)的傾斜直線，所以A正確。3.甲、乙兩個物體都做勻速圓周運(yùn)動,轉(zhuǎn)動半徑之比為9∶4,轉(zhuǎn)動的周期之比為3∶4,則它們的向心加速度之比為（)A.1∶4 B。4∶1C。4∶9 D.9∶4答案B解析ω＝eq\f(2π,T)，根據(jù)題意eq\f（r1,r2)＝eq\f(9,4)，eq\f（T1,T2）＝eq\f（3,4),由an＝eq\f(4π2，T2)r得：eq\f（a1,a2）＝eq\f（r1,r2）·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2，T1）))2＝eq\f（9，4）×eq\f(42,32）＝4，B選項正確.4。如圖2所示，A、B是兩個摩擦傳動輪（不打滑），兩輪半徑大小關(guān)系為RA＝2RB，則兩輪邊緣上的（)圖2A。角速度之比ωA∶ωB＝2∶1B.周期之比TA∶TB＝1∶2C.轉(zhuǎn)速之比nA∶nB＝1∶2D。向心加速度之比aA∶aB＝2∶1答案C解析兩輪邊緣的線速度相等，由ω＝eq\f(v，r)知，ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A錯.由T＝eq\f(2π,ω）知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，B錯.由ω＝2πn知,nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2,C對.由an＝eq\f(v2,r）知,aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，D錯.5。如圖3所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過程中,如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么木塊（)圖3A。加速度為零B。加速度恒定C。加速度大小不變,方向時刻改變,但不一定指向圓心D。加速度大小不變，方向時刻指向圓心答案D解析由題意知,木塊做勻速圓周運(yùn)動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤.6。一小球被細(xì)繩拴著,在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動,向心加速度為a，那么（）A.角速度ω＝eq\r(\f（a，R)）B.時間t內(nèi)通過的路程s＝teq\r（aR)C。周期T＝eq\r（\f（R，a)）D。時間t內(nèi)可能發(fā)生的最大位移為2R答案ABD解析由a＝ω2R，得ω＝eq\r(\f(a,R)),A正確；由a＝eq\f（v2,R）,得線速度v＝eq\r(aR），所以時間t內(nèi)通過的路程s＝teq\r（aR)，B正確；由a＝ω2R＝eq\f(4π2，T2)R，得T＝2πeq\r(\f(R,a))，C錯誤；對于做圓周運(yùn)動的物體而言，位移大小即圓周上兩點(diǎn)間的距離，最大值為2R，D正確.7。如圖4所示,一個球繞中心軸線OO′以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動,θ＝30°，則()圖4A。a、b兩點(diǎn)的線速度相同B。a、b兩點(diǎn)的角速度相同C.a、b兩點(diǎn)的線速度之比va∶vb＝2∶eq\r(3)D。a、b兩點(diǎn)的向心加速度之比aa∶ab＝eq\r（3）∶2答案BD解析球繞中心軸線轉(zhuǎn)動，球上各點(diǎn)應(yīng)具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B對.因為a、b兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動的半徑不同,rb＞ra，根據(jù)v＝ωr知vb＞va，A錯，若θ＝30°,設(shè)球半徑為R,則rb＝R，ra＝Rcos30°＝eq\f(\r（3)，2）R，故eq\f(va,vb)＝eq\f（ωara,ωbrb）＝eq\f(\r（3),2），C錯。又根據(jù)an＝ω2r知eq\f（aa,ab)＝eq\f（ω\o\al（a,2）ra,ω\o\al(b,2)rb）＝eq\f(\r（3）,2），D對。8。如圖5所示，皮帶傳動裝置中，右邊兩輪連在一起共軸轉(zhuǎn)動，圖中三輪半徑分別為r1＝3r,r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點(diǎn)為三個輪邊緣上的點(diǎn)，皮帶不打滑.向心加速度分別為a1、a2、a3，則下列比例關(guān)系正確的是(）圖5A.eq\f（a1,a2)＝eq\f（3,2) B。eq\f（a1,a2）＝eq\f（2,3)C。eq\f（a2，a3）＝eq\f（2，1） D.eq\f（a2,a3)＝eq\f(1,2)答案BD解析由于皮帶不打滑，v1＝v2,an＝eq\f(v2,r)，故eq\f(a1，a2）＝eq\f（r2,r1)＝eq\f(2,3），A錯，B對.由于右邊兩輪共軸轉(zhuǎn)動,ω2＝ω3,an＝rω2，eq\f（a2,a3）＝eq\f(r2ω2,r3ω2)＝eq\f（1,2），C錯，D對。9。如圖6所示，一小物塊以大小為an＝4m/s2的向心加速度做勻速圓周運(yùn)動，半徑R＝1m，則下列說法正確的是（)圖6A。小物塊運(yùn)動的角速度為2rad/sB.小物塊做圓周運(yùn)動的周期為πsC.小物塊在t＝eq\f（π，4）s內(nèi)通過的位移大小為eq\f（π,20)mD。小物塊在πs內(nèi)通過的路程為零答案AB解析因為an＝ω2R,所以小物塊運(yùn)動的角速度為ω＝eq\r（\f（an,R）)＝2rad/s，周期T＝eq\f（2π,ω）＝πs，選項A、B正確；小物塊在eq\f(π，4)s內(nèi)轉(zhuǎn)過eq\f(π，2），通過的位移大小為eq\r（2)m，在πs內(nèi)轉(zhuǎn)過一周，通過的路程為2πm，選項C、D錯誤.10.一小球質(zhì)量為m，用長為L的懸繩（不可伸長，質(zhì)量不計）固定于O點(diǎn),在O點(diǎn)正下方eq\f(L,2)處釘有一顆光滑釘子。如圖7所示，將懸線沿水平方向拉直無初速度釋放后，當(dāng)懸線碰到釘子后的瞬間，則(）圖7A.小球的角速度突然增大B。小球的線速度突然減小到零C.小球的向心加速度突然增大D.小球的向心加速度不變答案AC解析由于懸線與釘子接觸時小球在水平方向上不受力，故小球的線速度不能發(fā)生突變，由于做圓周運(yùn)動的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?由v＝ωr知,角速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，A正確,B錯誤；由an＝eq\f(v2，r)知，小球的向心加速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，C正確，D錯誤.二、非選擇題11。飛機(jī)由俯沖轉(zhuǎn)