第八章-量子多體問題方法及其應(yīng)用

第八章量子多體問題方法及其應(yīng)用二次量子化的基本概念，正則變換為主的多體理論方法?！?.1二次量子化方法“二次量子化”方法。在討論多體問題時，采用粒子的產(chǎn)生和湮滅算符的方法，8.1A二次量子化，玻色子和費(fèi)米子化。8.1B舉例一次量子化：算符的量子化(經(jīng)典的力學(xué)量到量子力學(xué)中的厄密算符)。例如電磁場的量子量子光學(xué)中的“二次量子化”方法?；?。8.1B舉例一個二能級原子與單模量子化廣場作用，耦合Hamiltonian為H=j中int一H=j中int一一、——A?p中drkmcJ中=w()exp"-%t:,w=W(r)exp(i、-_EteekheJggkhgJge式中，帶入Hamiltonian中，得^瓦-E)]jw*(r^瓦-E)]jw*(rgekhe'e-——A?Wkmc(r)PW(r)]gJdr(r)drge—=e，301A-mcjW*(r)pW(r)dreg式中，對于一個模式(k,a)，A(X,t)=Lc云(Ae“+…a+e—)則，①kk,ak,aH=e"0c、，——￡(a)Ie-，?t+，k-x+a+eimt-ikH=e"mcW''①kk&k,a此處采用長波近似，即eS*1o則有Hinte此處采用長波近似，即eS*1o則有Hinte，(?0-?)t+a+e，(?(r)pW(rI/rg又有，tr,p]=ih,1,p」=2ihpn「虬1ihm「￡/,=—pnp=—/,2m…mih2m0*e+M4(a).j甲k一個電子在原子中的Hamiltonian為H=+V(r)，m「止1m「止1mp=—r,ih2mih則(r)=—[r,H]o所以f(/*(r)pW(rid=~\^*(r)tr,H，(r)^r=i~Jw*(Mh,r，(r^)dr=i~(E-EIW*(r)rW(r)ir式中，d籍為“電偶極躍遷矩陣元”。H=iew"uei(w0-w)t+a+ei(?0+W)t)(a)?dint0]WVk,ak,akeg此時，相互作用的Hamiltonian描述的是：把原子放在一個體積為V的腔中，電子與腔存在的模式為(k,a)的量子化平面波電磁場發(fā)生相互作用，發(fā)生從基態(tài)到激發(fā)態(tài)的躍遷。Q,a)模式中含有的光子數(shù)為〃般，吸收過程的初態(tài)為|g,氣』，末態(tài)為|e,〃心-1)，即ak,a。"=，％,a「,aT，。在H.中第二項(xiàng)含有一個高頻振蕩因子e^(w0-》，對時間的平均后，通常被忽略，叫做“旋int轉(zhuǎn)波近似”。則有H.=iewy~~Qei(w0-w)t)(a).d當(dāng)考慮從激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時，|e；r|g；，可得H,=—iewu+e-i(w0-W)t)G).d當(dāng)兩種躍遷同時存在時，在長波近似和旋轉(zhuǎn)波近似下H=iew^——Cei(w0-w)t}(a).d-H=iew——Cei(w0-w)t}(a).d-iew+a+a+e-ik-f)----量子化;k,a(1)矢勢為AG)=,?——8(a)Ce，k-t’VVwkk,a(2)體系Hamiltonian為，

+V(X)一q二(一)一q一；(一)q2;(一)p2一A(x,t)?p一p-A(x,t)+A2(x,t)￡￡￡^+vG)2m+2mq—,—+2mq—,—、—q——/—q2—(—

-―A(x,t)?p-一p-A(x,t)—A2(x,t)cc+￡2+v(X)2m2m——=虬+V(x)-里A(x,t)?p2mmc(3)完備性關(guān)系，e「l,e+|g■■.g|=1。對Hmt進(jìn)行處理,即HintPhI)int|e；；eH■HintPhI)int|e；；eH■eH|intHint.C，td\^~ginte：,e\+^■■glH.tinte』g."I+g|HintI^CglHIgXgl(gHin")|gXgl物理要求,e\h.e)=0,(g|h.|g)=0。則Hint則Hinte\Hint^:g1+--.gH'■■intPauli算符。若記e；=f0:，則c三|e?(g=G0)f0「=f01Pauli算符。若記e；=f0:，則c三|e?(g=G0)f0「=f01]1k"+.k1Jk00J,1g1類似三|g.：；e|=(0所以He\Hintint=f01k0]0JHintle)c10在坐標(biāo)表象中考慮問題e\Hintintjw*(rXr\h.|rW(r)drA(r)(e\Hintintjw*(rXr\h.|rW(r)drA(r)(r)drmc(r)?(m3degmcA(r)eg(r)基于以上討論，我們可得(r)integegge(a)).d?v'Vk,ak,aeg:史(a)-degeg(r)integegge(a)).d?v'Vk,ak,aeg:史(a)-degk,ak,ac.U3(a)-d(a)gek,ak,ak,ak,a)?dbge+aegk,ak,aegk,akegk,ak,aegk,ak,aeg，業(yè)(a).d)feggeeg忽略公式中算符的腳標(biāo)，即相互作用Hamiltonian為int體系總Hamiltonian為int式中，H去掉零點(diǎn)能int旋轉(zhuǎn)波近似下扔掉上式中的最后兩項(xiàng)JCJC模型。力①a+a+fab+f*a+b項(xiàng)描述過程：消滅一個光子，原子發(fā)生g：一e：的躍遷。a+b項(xiàng)描述過程：產(chǎn)生一個光子，原子發(fā)生|e"|g；的躍遷。上式成立的條件為旋轉(zhuǎn)波近似將Hamiltonian作用到g,n+1"上，尋找不變子空間。過程如下，g,n+1；+力④a+a|g,n+1..：+fab|g,n+力-—④2o2Jg,n+—+i力。w'n+1|e,n上面出現(xiàn)了|。,n：，將H作用到|e,n；上，|e,n：+力①a+a\e,nJ+fab|e,n..：+f*a+be,n+.從上面的過程可知，|g,n+V,\e,n；?形成H的一個不變子空間。以|g,n+1；,|e,n..；為H的基矢，H可表示為，力n力④+—④20-i力Q\n+1i力。飛n+1i。％；n+1力+—④20(1-—(①-④)?cJ.-i。*n+、1/1、"-1S一I-i。Wn+1201=n+力o+力2i。Jn+1—(o-?)k2Ji。Jn+11Sk20Jk2Jk力④+力\0Ji力。tn+1--④20J-i。、'n+1=T。2(n+1)+旦4(-cos-isin0Akisin0cos00A一isin~ne,n『+cos~g,n一isincos-n--2'0Aicos-n-sin(-cos0kisin0icose,n?+sin-n-2'-isincos0(-cos0-isin0A+「，kisin0cos0I-?=(n+1%①+力v'。(n+1)+可證，|g,0：為H的本征態(tài)，g,°：+g,°：+2力④lg,0.=g,0：=1力5lg,0-:2設(shè)初態(tài)k（0）'=lg,n+i：，解末態(tài)^（t）：=?（1）不同基矢的轉(zhuǎn)換，|+:=220:..0_|=icosne,n.+sinn\220|+:=220:..0_|=icosne,n.+sinn\2200+cos一isine,nnn0++sincosn2nisinicos-：（2）態(tài)的演化HtcosHt+■+sinHtI-:.'=cossinntLiie*HtcosHt+■+sinHtI-:.'=cossinntLiie*ie*cosnsincosncossinsin（3）在態(tài)|e,n；上的兒率，,enenie*一iecosnsinie*2一2cossin=sin20sin(n+1)+1csin2021-cost\4Vie*一iecosnsinie*2一2cossin=sin20sin(n+1)+1csin2021-cost\4Vr。2(n+1)1—。2(n+1)+一47J。2(n+1)+51\4.22,+cosnsinien,一n2V20n2sin522(n+1)。2+上式中，當(dāng)共振時5ro=0，有P=sin2r。）—t，P=cos2r。）—tenV27gn+1V274V/0--Rabi振蕩初始時刻t=0，且光場處于真空態(tài)In=0；，隨時間演化體系處于e,0；的幾率為:52，。2+—說明此時體系發(fā)生的躍遷有光場零點(diǎn)能誘發(fā)。eIV(tX(em))=—igiiw00cosnsin~n\e,:52，。2+—說明此時體系發(fā)生的躍遷有光場零點(diǎn)能誘發(fā)。eIV(tX(em))=—igiiw00cosnsin~n\e,n'+200cosnsinn\n

2tEt00■-cosnsinn-cos~ne廣n-+sin~~ne力n、一Cglv(t))=0iEt1cos~ne廣n+++sin~~ne力、2—2cost0TeE+sin力n,—n：?,nI=encos2~ne廣n+++sin2~ne廣n-—IIcos2~ne廣n++sin2~~neiEt力n,—(5)原子處于e；的幾率----Pensin252。2+——4(4)光場處在n：的幾率，時間演化的密度算符為，pG)=VG).；：vG)。光場時間演化的約化密度矩陣為，p(t)=Trend[Probabilityamplitudemethod]:解含時Schrodinger方程，功一|v(t)：=Hlv(t)：假設(shè)V(t)=a(t)e,n."+b(t)g,n+1.；，初態(tài)小(0)=|e,n；。

§8.2二次量子化后的Hamiltonian用〃標(biāo)記粒子在體積V內(nèi)的狀態(tài)，則粒子在位形空間中的波函數(shù)為1■^expv-VTOC\o"1-5"\h\z這里|p/表示一個粒子處在p態(tài)。記真空態(tài)為甲(。))=〔0,0,...J=〔0J，|p/=b+〔0)，這種ii1ii'態(tài)的表示稱為“粒子數(shù)表象”。-—建立場算付，偵(r)=.—Zeikj'7b,k=-r。vVii力i上式中，b為動量為P的粒子的湮滅算符。.0k(r).0k(r)p=,0在粒子數(shù)表象中，玻色子對易關(guān)系，費(fèi)米子對易關(guān)系，i——Zeikj'nbb+0〉=。.(r)j區(qū)分玻色子和費(fèi)米子，需要考察對易關(guān)系。^b,b+L8,,°b,b+]=8。ij+ij二粒子態(tài)：|甲'；=證明場算符滿足，b(r)W+(")L8(r-r')，用到—=Z.T)jdk。二粒子態(tài)：|甲'；=p,p,=b+b+|o)，在位形空間中的波函數(shù)為幗,r)=上;0b+(r》+(r)p,p：=上^)(r為(r)±"B(r)]12v212ijv2i1j2i2j1式中，正負(fù)號對應(yīng)于玻色子與費(fèi)米子。一全同粒子交換，波函數(shù)的對稱和反對稱。［介紹全同粒子的概念，以二粒子為例，說明正負(fù)號的來歷，服從統(tǒng)計規(guī)律。］若動量是連續(xù)的，k=:，F(xiàn)ock態(tài)用|...,匕標(biāo)記，相應(yīng)的產(chǎn)生和湮滅算符滿足b(k),b+(k')］=83(k-k')?；谝陨?，N粒子波函數(shù)為(r2)M+r)見書p312。見書p312。玻色子情況：見書p312。見書p312。費(fèi)米子情況：8.2B自由Hamiltonian和相互作用Hamiltonian1、費(fèi)米子自由運(yùn)動時的動能算符。二次量子化后在粒子數(shù)表象中H=jd3rV+(r)|V(r)=E——k2b+b0〔2mJ2mii!'(P2」Ee"bvVi=jd3r十E廠叩b+j=jd3rLEe-ikj■rb+vVjj(力2k2]"2m)]I2mi,j=E土b+b2miii式中，E是對粒子一切可能的動量k.求和。i=Eb+b

ji

i,j=Eb+bjijI2m、/i(力2k2]1y-,云brEe「a”/vi----(詳細(xì)介紹推導(dǎo)過程…k-——jd3relki-re-lkj'rVsij通常上式可寫為H=Esb+b,s=0iiiii2、費(fèi)米子與玻色子的相互作用頂角。3、兩個費(fèi)米子之間的相互作用哈密頓算符空a。----(無相互作用情況下2m費(fèi)米子之間的相互作用唯象地用U(r)表示，r描述兩個費(fèi)米間的距離。二次量子化后，費(fèi)米子體系的相互作用哈密頓算符定義為，=1jdrdr^+(rV+(rU(r以r以r)2Hint式中V(r)^.——Zexppb。則Hint1jdrdrV+(rV+(rU(rV(rV(r)drdr.——Eexpp(ij1TEexp—q?rb(i——p'?rk力1Jb+p1e乙exp'v；Vq'(ii__q'-rk力b+U(r)qv'Vexp—p-rbdr1drexpz**ii_—p'?r_—q'?rk力1(r)定義參數(shù)，R=—(r+r),r=r-r則jdrdr=jdRdr--r1=R+r,r=R-r。222ri,iii)-—p?r-一q?r+一q?r+—p?rk力1力2力2力Jirr)irr)irr)irr)=-一p'?R+--一q?R——+—q?R--+一p?R+一力k2J力k2J力k2J力k2J另外，(p+q'-p'-q)?—2基于以上結(jié)果，可得intJdRdrEexp(p+q-p'-q，)?R+—(p+q'-p'-q)?—b+b+bbU力2Jp'q'qp(r)JdrE—JdR

VexpJdrE8p+q-p'-q'exp定義Q=int(p+q-p'-q，)?Rexpp-p'=q,-q動量守恒，ri—b+b+bbU(r)p'q'qp、r}q-p-q).—p'q'qpJdrU基于以上結(jié)果，可得intJdRdrEexp(p+q-p'-q，)?R+—(p+q'-p'-q)?—b+b+bbU力2Jp'q'qp(r)JdrE—JdR

VexpJdrE8p+q-p'-q'exp定義Q=int(p+q-p'-q，)?Rexpp-p'=q,-q動量守恒，ri—b+b+bbU(r)p'q'qp、r}q-p-q).—p'q'qpJdrU(r)exp則有drexp—Q?rU(r)Zb+b+bbp、q、qpp，q,Qp,q,Q§8.4液氦的超流理論8.4ABogoliubov的正則變換把4He原子看作是彼此間有微弱排斥力相互作用的全同玻色子，則體系的總Hamiltonian為h=E—a+a+h2mkkintkHintE8k,p,k',p'版一p'考慮原子間為短程力，最簡單的模型為U(r-r|)=g8(r-r)，1212Ip—p'HintgE8k+p,k+ppkkpk,p,k,p2V在低溫下，出現(xiàn)BEC，在零動量態(tài)凝聚的粒子數(shù)N。是一個大量，取a。?Jn。，則基態(tài)I。')為零動量粒子凝聚的“相干態(tài)”，滿足a。?)=耳g)。將上面的相互作用哈密頓量簡化，保留到n。的級別，int2V￡6k+p,k'+p'p'2VN20g+2VN￡6k,pk+p,0akap2VN￡6a+a+g0k,kkk2Vk,k‘N0￡6ka+akk,pg+—2V￡sak+'aJ0￡62Vp,pp,p+J0￡6k',p'2V0,k+pp—N2+2V0gN04V￡aa+4VIa+a+￡a+ak'k'gN

+04Va+akk+￡+土￡\a+a+￡a+a4Vk'k'ppkk、7P,k'P,k'kka+appk-kgN+0￡a+a+￡a+a+J￡a+a+一\+￡a+a+4Vppp'p'4Vp'-p'-k'k'7kp77kppp—N2+￡'偵2V02Va+-kkaa-kkkk式中求和不包括k=0的項(xiàng)，H=￡a+akk—N2V0￡4+a+-kk+a-kk)+—N22V0kkkk-k---這里，u,v為待定的頭系數(shù)。a+=ua++vakkkkkk-k對易關(guān)系a,a+]=1要求u2-v2=1。這種變換叫做“正則變換”。kkkka=ua-va+同時，kkkk-k代入Hamiltonian中，得a+=ua+-vakkkk-kH=E+H+H上式中，給出條件L+g上式中，給出條件L+gN}uv=冬(/2+v2)，、kV0)kk2Vkk加上條件u2-v2=1，可解得uk,vk的具體形式。在具體求解過程中，常取參數(shù)u=cosh9對角化當(dāng)+￡'IE-E式中，a,a+為描述準(zhǔn)粒子的產(chǎn)生和湮滅算符，Vk對角化式中，a,a+為描述準(zhǔn)粒子的產(chǎn)生和湮滅算符，當(dāng)相互作用不存在時，即g=0,則有;8k;8kgN+0+1-1,七-0，此時退回到對角化前的情況。［習(xí)題］:(8.1(8.1)模型的Hamiltonian為a—-i力XL2e2iat—a+2e-2iaJ2求解模型，即在Schrodinger表象中解波函數(shù)的時間演化或在Heisenberg表象中解算符的時間演化?，F(xiàn)在，我們在Heisenberg表象中討論問題。首先，在相互作用表象中，解Heisenberg方程，dtdadtda+=xa+,dt=xaa、r01、ra1解Heisenberg方程，dtdadtda+=xa+,dt=xaa、r01、ra1=xa+>1V10JVa+J矩陣dt的對應(yīng)于本征值土1本征態(tài)為：卞帛t1,^2；—^t-1。r0=S+r10、S,S=Lr111V10jV0-1JV2V-11J0J所以，ra11r101ra1S=xSa+0-1a+l_VJJVJVJra\ra即A=-^(+a+)B=-^(—a+a+)。dtrA1=xr101rA1VBJV0-1JVBJ7"a+則ddAndtxa,dB=XBna(t)=a(0)ex,b(t)=B(0)e-xtdt日(a(t)+a+(t))=即(a(0)+a+(0)>xt,a()+a+))=(a(0)+a+(0)>-xt,可得a(t)=a(0"Xt+e"')(ext—e—xt)+a+(0)再回到Heisenberg表象。A+=~i=^a+a+)B=-a+a+)<2v2+aa+-a+a-a+a+nA+B=L?aa+aa+-a+a+a+a+)AB+2AB+-A+aa+-a+a-a+a+H=-與力兒B+-A+B]2?對角化。練習(xí)題：8.7JosephsonEffect位相差是否可以成為一個明顯可以觀測的效應(yīng)。In1962BrianJosephson1,thena22{yearoldgraduatestudent,madearemarkablepredictionthattwosuperconductorsseparatedbyathininsulatingbarriershouldgiverisetoaspontaneous(zerovoltage)DCcurrent,□_=D。sin優(yōu)，whereCOisthedi?erenceinphaseacrossthejunction.Andthatifa-nite(DC)voltagewereapplied,anACcurrentwithfrequencyO=2OOO~would°ow.D。iscalledtheJosephsoncriticalcurrent.ThereisamyththatBrianJosephsondidhiscalculation(1962)andwontheNobelprize(1973)aspartofthesolutiontoahomeworkproblemofPhilAnderson's.ThetruthisthatAndersonwasalectureronsabbaticalatCambrigein1961-62,andhegaveaseriesoflecturesinwhichhementionedtheproblemoftunnelingbetweentwosuperconductors,whichJosephsonthenpromptlysolved.TheideawasopposedatfirstbyJohnBardeen,whofeltthatpairingcouldnotexistinthebarrierregion2.Thusmuchoftheearlydebatecenteredonthenatureofthetunnelingprocess,whereasinfacttodayweknowthattheJosephsoneffectoccursinavarietyofsituationswhenevertwosuperconductorsareseparatedbyaweaklink,whichcanbeaninsulatingregion,normalmetal,orshort,narrowconstriction.InJe.2009IreceivedanemailfromBrianJosephsoncorrectingthisversionofthehistory:Date:Wed,10Jun200909:43:54+0100From:BrianJosephson<bdj10@cam.ac.uk>To:pjh@Subject:theJosephsonmythDearPeter,WhilebrowsingIcameacrossyourmentionofthe'myth'thatIdiscoveredtheeffectbecauseofaproblemsetbyAnderson.Yourcorrectionisnotcompletelycorrecteither!ItwasPippard,mysupervisor,whodrewmyattentiontoGiaevar'stunnellingexpts.andhistheory,whichstartedmethinking(especiallyastohowonecouldgetawaywithoutusingcoherencefactors).AndersonontheotherhandtoldmeoftheCohen/Falicov/PhillpscalculationinvolvingasinglesuperconductorwhenitcameourinPRL,whichgavemetheideaofhowtodothetwo-sc.case.PreviouslyIhadgotthebrokensymmetryideawhichwascrucialfromanumberofpapersincludingAnderson'spseudospinmodel,andalsoexpoundedinhislecturecoursewhichIwentto.Bestregards,BrianJ.GivenHialivrIihat、twoweakly0011ph引(jM蝦“it海"not廣(jusiti-iiedhyniirroswpici]jct>ry)towritedowncoupledSchrrxlingerequations=虹劣住叭(6)卜疽=瓦叭+應(yīng)i(了)where疏'也=E漁土an(J耳=&=耳if1hesiipercuuductuisHi'ehkmtir<hIo?TobethedensityufpairsinSG肌=舛=■也=2.《岫+喻=>-+=TEi如—據(jù)迓"(8)2~7^一￡\/^枷-一沁七國"0一詢｝一(9)FigureI：]fwcLike1herca.1p^rtsanduseh\=—而ww<?guiNote]'veput\r=A=I.Thenthecurrentisjui>itj=Qft'm-IfwelakecheiniHginaiy])artsW(4||HVfandbysubtractingandcisixuniiiig??]d)炫(h'Jcoupk12identicalsii[w.'ra>iifliKtt]]Haifii^tjwegelwhereforthesceondequiditywcusedthe(Acttliatr-lnL[mtcntial(IjHiiclkubutweenthesupcrrotnliurorsxhiF怕tlj