2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程測評一【含答案】

第三章測評(一)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知橢圓M:x2+y24=λ經(jīng)過點(1,2),則M上一點到兩焦點的距離之和為(A.2 B.22 C.4 D.42解析由橢圓M:x2+y24=λ經(jīng)過點(1,2)可得λ即橢圓的方程為x22+y28=1,則a=22,由橢圓的定義可知M上一點到兩焦點的距離之和為2答案D2.(2020廣東茂名期末)已知點P(-2,4)在拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線上,則該拋物線的焦點坐標(biāo)是()A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)解析因為點P(-2,4)在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上,所以-p2=-2,得p=4,則該拋物線的焦點坐標(biāo)是(2,0)答案C3.已知雙曲線x29-y2m=1的一條漸近線的方程為y=2A.13 B.10 C.213 D.25解析由題意得m3=23則雙曲線的焦距為29+m=213答案C4.設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,則以F為圓心,且與l相切的圓的方程為()A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16 D.(x+2)2+y2=4解析根據(jù)題意,拋物線y2=4x,其焦點在x軸正半軸上且p=2,則其焦點F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,以F為圓心,且與l相切的圓的半徑r=2,則該圓的方程為(x-1)2+y2=4.答案A5.設(shè)P是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的點,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,雙曲線的離心率是43,且∠F1PF2=90°,△F1PFA.3+7 B.9+7 C.10 D.16解析由題意,不妨設(shè)點P是右支上的一點,|PF1|=m,|PF2|=n,則12mn=7,∴a+b=3+7.答案A6.已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點,F為C的焦點,若|FA|=2|FB|,則k等于()A.13 B.223 C.2解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+所以x1x2=4,①根據(jù)拋物線的定義得,|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2因為|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,②由①②得x2=1(x2=-2舍去),所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=22答案B7.我們把由半橢圓x2a2+y2b2=1(x≥0)與半橢圓y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如圖所示,其中點F0,F1,F2是相應(yīng)橢圓的焦點.若△F0A.72,1 B.3C.5,3 D.5,4解析|OF2|=b2|OF0|=c=3|OF2|=32∴b=1,∴a2=b2+c2=74得a=72,即a=72,b=答案A8.已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-y24=1有公共的焦點,C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點.若A.a2=B.aB1322=13C.b2=D.bD122=解析由題意,知a2-b2=5,因此橢圓方程為(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,聯(lián)立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,所以直線截橢圓的弦長d=5×2a4-解得a2=112,b2=1答案C二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.當(dāng)α∈π4,3π4時,方程x2sinα+y2cosα=A.兩條直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線解析當(dāng)α∈π4,3π4時,sinα∈2可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲線可以是橢圓(sinα>0,cosα>0),也可以是雙曲線(sinα>0,cosα<0),也可以是兩條直線(sinα=1,cosα=0).答案ACD10.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-5,0),F2(5,0),則能使雙曲線CA.離心率為54B.雙曲線過點5C.漸近線方程為3x±4y=0 D.實軸長為4解析雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-如果離心率為54,可得a=4,則b=3,所以雙曲線C的方程為x216-y2c=5,雙曲線過點5,94,可得25=a2+b2,25a2c=5,漸近線方程為3x±4y=0,可得a2+b2=25,ba=34,c=5,實軸長為4,可得a=2,b=21,雙曲線C的方程為x24-y221答案ABC11.已知斜率為3的直線l經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F,與拋物線C交于A,B兩點(點A在第一象限),與拋物線的準(zhǔn)線交于點D,若|AB|=8,則以下結(jié)論正確的是()A.=1|AF|+1|C.|BD|=2|BF|D.FD為AD的中點解析如圖,Fp2,0,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B分別向準(zhǔn)線作垂線,交點為A',B',直線l的斜率為3,則直線方程為聯(lián)立y2=2px,y=3x-p2,解得xA=3p2,xB=由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=8p3=8,得p=所以拋物線方程為y2=6x.則|AF|=xA+p2=2p=6,故B正確所以|BF|=2,1|AF|+1|BD|=|BF|cos60°=4,則|BD|=2|BF|,所以|AF|=|DF|=6,則F為AD的中點,故D正確.答案BCD12.如圖,已知橢圓C1:x24+y2=1,過拋物線C2:x2=4y焦點F的直線交拋物線于M,N兩點,連接NO,MO并延長分別交C1于A,B兩點,連接AB,△OMN與△OAB的面積分別記為S△OMN,S△OAB.則下列說法正確的是(A.若記直線NO,MO的斜率分別為k1,k2,則k1k2的大小是定值-1B.△OAB的面積S△OAB是定值1C.線段OA,OB長度的平方和|OA|2+|OB|2是定值4D.設(shè)λ=S△OMNS△OAB解析F(0,1),設(shè)直線MN的方程為y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2).聯(lián)立方程組y=kx+1,x2=4y,∴x1+x2=4k,x1x2=-4,∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,∴k1k2=y2x2·y1x設(shè)直線OA的方程為y=mx(m>0),則直線OB的方程為y=-14m聯(lián)立方程組y=mx,x24則A-2同理可得B21+∴A到OB的距離d=21+4又|OB|=41+∴S△OAB=12·|OB|·d=12·16m2又|OA|2=41+4m2+4m∴|OA|2+|OB|2=5+20m21+4m2=聯(lián)立方程組y=mx,x2=4y,可得x(x-4m)=0,∴|ON|=4mm2同理可得M-1∴M到直線OA的距離h=-1∴S△OMN=12·|ON|·h=2m1+14m2=2m+12m≥2,當(dāng)且僅當(dāng)2m=12∴λ=S△OMNS△OAB=S△OMN≥答案ABD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.拋物線y2=2px(p>0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1,則p=.

解析依題意,設(shè)拋物線的焦點為F,點Q的橫坐標(biāo)是x0(x0≥0),則|QF|=x0+p2的最小值是p2=1,則p=答案214.若等軸雙曲線C的左頂點A,右頂點B分別為橢圓x2a2+1+y2=1(a>0)的左、右焦點,點P是雙曲線上異于A,B的點,直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則k1k解析依題意,橢圓x2a2+1+y2=1(a>0)的左、右焦點分別為A(-a,0),所以以A,B分別為左、右頂點的等軸雙曲線C的方程為x2-y2=a2.設(shè)雙曲線上異于A,B的點P的坐標(biāo)為(x,y)(x≠±a),則直線PA,PB的斜率分別為k1=yx+a,k2所以k1k2=yx+a答案115.已知F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點,直線y=bax交橢圓于A,B兩點,若cos∠解析如圖,過點A作AM垂直x軸于點M,過點B作BN垂直x軸于點N,聯(lián)立y解得A22a,22b.∴|AM|=|BN|=22b,|MF|=c-22|NF|=c+22a∵cos∠AFB=13,∴tan∠AFB=22tan∠AFM=|AM||MF|則tan∠AFB=tan∠AFM+tan∠即2b2c-22a+2b2c+22a=2故e=ca答案216.如圖,過拋物線y2=4x的焦點F作直線,與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A,B,C三點,若FC=3FB,則直線AB的方程為,|AB|=.

解析拋物線的焦點坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)C(-1,m),B(x1,-2x1),A(x2,2x∵FC=3FB,∴(-2,m)=3(x1-1,-2x1)=(3x1-3,-6x1),則有3則C(-1,-23),則直線AB的斜率k=232=3,則直線AB的方程為y=3(x-1),即3x-y-將y=3(x-1)代入y2=4x得3x2-10x+3=0,得x1+x2=103,即|AB|=x1+x2+2=103+2=答案3x-y-3=016四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)設(shè)A,B分別是雙曲線x225-y220=1的兩漸近線上的動點,且|AB|=25,設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點P滿足解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),∵動點P滿足OP=OA+OB,∴x=x1+x2,y=y∵A,B分別是雙曲線x225-y∴令y1=255x1,y2=-25∴x=x1+x2=52(y1-y2),y=y1+y2=255(x1∴|AB|=52y2+化簡可得動點P的軌跡方程為x225+18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為23,左、右焦點分別為F1(1)求橢圓C的方程;(2)斜率大于0且過橢圓右焦點F2的直線l與橢圓C交于M,N兩點,若MF2=3F2N,解(1)由題意得c=3,焦點F1(-3,0),F2(3,0),2a=|PF1|+|PF2|=(3-則a=2,b=a2-故橢圓C的方程為x24+y2=(2)設(shè)直線l的方程為x=my+3(m>0),代入橢圓方程得(m2+4)y2+23my-1=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=-23mm2+4,y1y由MF2=3F2N,得y1=-3y由①②可得m=22故直線l的方程為2x-2y+23=0.19.(12分)(2020四川雅安期末)已知F1,F2分別是雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P(1)求雙曲線的漸近線方程;(2)當(dāng)∠F1PF2=60°時,△PF1F2的面積為483,求此雙曲線的方程.解(1)雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,則點F2(c,0)到漸近線的距離為|bc±0|b2+由題意知c+a=2b.又因為a2+b2=c2,解得b=43a故所求雙曲線的漸近線方程是4x±3y=0.(2)因為∠F1PF2=60°,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2.①又由雙曲線的定義得||PF1|-|PF2||=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,②①-②得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.根據(jù)三角形的面積公式得S=12|PF1|·|PF2|sin60°=34·4b2=3b2=48得b2=48.再由(1)得a2=916b2=故所求雙曲線方程是x227-20.(12分)(2020山東煙臺段考)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點A在拋物線上,且A的橫坐標(biāo)為4,|AF|=5.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)l為過點(4,0)的任意一條直線,若l交拋物線于A,B兩點,求證:以AB為直徑的圓必過坐標(biāo)原點.(1)解拋物線y2=2px(p>0)的焦點為Fp2,0,準(zhǔn)線為由拋物線的定義可得,|AF|=4+p2=解得p=2,即拋物線的方程為y2=4x.(2)證明設(shè)直線l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),將x=my+4代入拋物線方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2=y12即有x1x2+y1y2=0,則OA⊥OB,則以AB21.(12分)如圖所示,取同離心率的兩個橢圓成軸對稱內(nèi)外嵌套的一個標(biāo)志,為美觀考慮,要求圖中標(biāo)記的①②③三個區(qū)域面積彼此相等.已知:橢圓面積為圓周率與長半軸、短半軸長度之積,即橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓的離心率的值.(2)已知外橢圓長軸長為6,用直角角尺兩條直角邊內(nèi)邊緣與外橢圓相切,移動角尺繞外橢圓一周,得到由點M生成的軌跡將兩橢圓圍起來,整個標(biāo)志完成.請你建立合適的坐標(biāo)系,求出點M的軌跡方程.解(1)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)外橢圓的方程為x2a2+∵內(nèi)、外橢圓有相同的離心率,∴內(nèi)橢圓的方程為y2b2圖中標(biāo)記的①②③三個區(qū)域面積彼此相等,由對稱性可知πab=3πbb2a,即a2=3b2,則a2=3(a2-c2),∴e=(2)同(1)建立平面直角坐標(biāo)系,由于外橢圓長軸長為6,∴a=3,又e=63,∴c=6,b2=3則外橢圓方程為x29+當(dāng)兩切線不與坐標(biāo)軸垂直時,設(shè)點M(x0,y0),切線方程分別為y-y0=k1(x-x0),y-y0=k2(x-x0),切線統(tǒng)一記為y-y0=k(x-x0),代入橢圓方程得(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-9=0.∵直線y-y0=k(x-x0)與橢圓x29+y∴Δ=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)[3(y0-kx0)2-9]=0.化簡得(x0-9)k2-2x0y0k+y02-3=0,則方程的兩根為k1,k∵兩條切線互相垂直,∴k1k2=-1,即y02-3x02-9=-1,即當(dāng)兩切線與坐標(biāo)軸垂直時,四點(3,±3),(-3,±3)也滿足方程,∴軌跡方程為x2+y2=12.22.(12分)給定橢圓C:x2a2+