2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊綜合訓(xùn)練【含答案】

模塊綜合訓(xùn)練(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線3x-y-2021=0的傾斜角等于()A.π6 B.πC.π4 D.解析直線3x-y-2021=0化為y=3x-2021,則直線的斜率為3,所以直線的傾斜角等于π3.故選B答案B2.(2020天津,7)設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行,另一條漸近線與lA.=x24B.x2-y24=C.-yx242=D.x2-y2=1解析∵雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=±bax,y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為∴-b=-ba且-b·ba∴a=1,b=1.故選D.答案D3.若圓x2+y2-ax-2y+1=0關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱的圓的方程是x2+y2-4x+3=0,則a的值等于()A.0 B.2 C.1 D.±2解析圓x2+y2-ax-2y+1=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-a22+(y-1)2=a圓x2+y2-4x+3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=1,圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為1,連心線所在直線的斜率為1a中點(diǎn)坐標(biāo)為a+4由題意可得a24=1,答案B4.如圖,在棱長(zhǎng)均相等的四面體O-ABC中,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),CE=12ED,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則OE=(A.a16+16b+1B.a13+13b+C.a16+16b-1D.a16+16b+解析∵CE=12ED,∴=13∴OE=OC=16OA+16OB+2答案D5.若雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為A.2 B.3 C.2 D.2解析雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,圓心(2,0)到漸近線距離為d=22則點(diǎn)(2,0)到直線bx+ay=0的距離為d=|2b+a×0|a2+b2=2bc=3,答案A6.如圖,在幾何體ABC-A1B1C1中,△ABC為正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,若E是棱B1C1的中點(diǎn),且AB=AA1=CC1=2BB1,則異面直線A1E與AC1所成角的余弦值為()A.1313 B.2C.2613 D.解析以C為原點(diǎn),在平面ABC內(nèi)過(guò)C作BC的垂線為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=AA1=CC1=2BB1=2,則A1(3,1,2),A(3,1,0),C1(0,0,2),B1(0,2,1),E0,1,32,A設(shè)異面直線A1E與AC1所成角為θ,則cosθ=|A∴異面直線A1E與AC1所成角的余弦值為2613答案C7.已知拋物線C:y2=8x,圓F:(x-2)2+y2=4(點(diǎn)F為其圓心),直線l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下順次與上述兩曲線交于M1,M2,M3,M4四點(diǎn),則下列各式結(jié)果為定值的是()A.|M1M3|·|M2M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M2|·|M3M4| D.|FM1|·|M1M2|解析如圖,設(shè)M1,M2,M3,M4四點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4,由題意知y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)與圓F的圓心(2,0)相同,準(zhǔn)線l0:x=-2.由定義得|M1F|=x1+2.又|M1F|=|M1M2|+2,∴|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4.將y=k(x-2)代入拋物線方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,∴x1x4=4,∴|M1M2|·|M3M4|=4.故選C.答案C8.如圖,已知F1,F2是橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P是橢圓T上一點(diǎn),且不與x軸重合,過(guò)F2作∠F1PF2的外角的平分線的垂線,垂足為Q,則點(diǎn)QA.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線解析作F2Q與F1P的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,連接OQ(圖略).因?yàn)镻Q是∠F1PF2的外角的平分線,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q為線段F2M的中點(diǎn).又O為線段F1F2的中點(diǎn),由三角形的中位線定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以點(diǎn)Q在以原點(diǎn)為圓心,a答案B二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分.9.(2020山東,9)已知曲線C:mx2+ny2=1.()A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為nC.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±-mD.若m=0,n>0,則C是兩條直線解析∵mx2+ny2=1,∴x21m∵m>n>0,∴1n>1m>0,∴C是焦點(diǎn)在y∵m=n>0,∴x2+y2=1n,即C是圓∴r=nn,B錯(cuò)誤由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1,∵mn<0,1m與1n異號(hào),∴C是雙曲線,令mx2+ny2=0,可得y2=-當(dāng)m=0,n>0時(shí),有ny2=1,得y2=1n,即y=±nn,表示兩條直線,D正確,故選答案ACD10.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分別為棱C1D1,CC1的中點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.A,M,N,B四點(diǎn)共面B.平面ADM⊥平面CDD1C1C.直線BN與B1M所成的角為60°D.BN∥平面ADM解析對(duì)于A,由圖顯然AM、BN是異面直線,故A,M,N,B四點(diǎn)不共面,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由題意AD⊥平面CDD1C1,故平面ADM⊥平面CDD1C1,故B正確;對(duì)于C,取CD的中點(diǎn)O,連接BO,ON,可知B1M∥OB,三角形BON為等邊三角形,故C正確;對(duì)于D,BN∥平面AA1D1D,顯然BN與平面ADM不平行,故D錯(cuò)誤.答案BC11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出下列四個(gè)結(jié)論,其中正確的結(jié)論是()A.(A1A+A1B.A1C·(A1C.向量AD1與向量A1D.正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|AB·解析A中,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則(A1A+A1D1+A1B1)2=A1C2=3,3A1B12=3,故A正確;B中,A1B1-A1A=AB1,由AB1⊥A1C,答案AB12.若曲線C上存在點(diǎn)M,使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(-5,0),B(5,0)距離之差的絕對(duì)值為8,則稱曲線C為“好曲線”.以下曲線是“好曲線”的是()A.xy=5B.xBy=5B.xB2+y2=9C.=x225+y291解析由雙曲線定義可知:點(diǎn)M軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線.則a=4,c=5,∴b2=c2-a2=9,∴M的軌跡方程為x216-直線x+y=5過(guò)點(diǎn)(5,0),故直線與M的軌跡有交點(diǎn),是“好曲線”,A正確;x2+y2=9是以(0,0)為圓心,3為半徑的圓,與M的軌跡沒(méi)有交點(diǎn),不是“好曲線”,B錯(cuò)誤;x225+y29=1的右頂點(diǎn)為(5,0),故橢圓與M的軌跡有交點(diǎn),是把x2=16y代入雙曲線方程,可得y2-9y+9=0,此時(shí)Δ>0,故拋物線與M的軌跡有交點(diǎn),是“好曲線”,D正確.答案ACD三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知圓C:x2+y2-2x-1=0,以點(diǎn)12,1為中點(diǎn)的弦所在的直線l的方程是.

解析圓的方程可化為(x-1)2+y2=2,可知圓心為C(1,0).設(shè)A12,1,則以A為中點(diǎn)的弦所在的直線l即為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的直線.又知kAC=0-11-12=-2,所以kl=12,所以直線l的方程為y-1=12x-12,即2x-答案2x-4y+3=014.在四棱錐P-ABCD中,設(shè)向量AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),則頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離為.

解析設(shè)平面ABCD的法向量n=(x,y,z),則AB令x=3,則y=12,z=4,∴n=(3,12,4).∴點(diǎn)P到底面ABCD的距離d=|AP·n答案215.(2019全國(guó)Ⅲ,理15)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形,解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則S△MF1F2=12×|F1F2又S△MF1F2=1∴4y0=415,解得y0=15.又點(diǎn)M在橢圓C上,∴x02解得x0=3或x0=-3(舍去).∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,15).答案(3,15)16.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N,E,F分別是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中點(diǎn),則過(guò)EF且與MN平行的平面截正方體所得截面的面積為,CE和該截面所成角的正弦值為.

解析取A1D1的中點(diǎn)G,BC的中點(diǎn)P,CD的中點(diǎn)H,連接GM,GN,MN,PE,PH,PF,HF,∵M(jìn)G∥EF,NG∥EP,MG∩NG=G,EF∩EP=E,∴平面MNG∥平面PEFH,∴過(guò)EF且與MN平行的平面截正方體所得截面為PEFH,∵PE=2,EF=12+12=2,四邊形PEFH是矩形,∴過(guò)EF且與MN平行的平面截正方體所得截面以D1為原點(diǎn),D1A1為x軸,D1C1為y軸,D1D為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,E(1,2,0),F(0,1,0),H(0,1,2),C(0,2,2),EC=(-1,0,2),EF=(-1,-1,0),EH=(-1,-1,2),設(shè)平面PEFH的法向量n=(x,y,z),則n·EF=得n=(1,-1,0),設(shè)CE和該截面所成角為θ,則sinθ=|EC∴CE和該截面所成角的正弦值為1010答案22四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)一座拋物線拱橋在某時(shí)刻水面的寬度為52米,拱頂距離水面6.5米.(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,試求拱橋所在拋物線的方程;(2)若一竹排上有一個(gè)4米寬、6米高的大木箱,問(wèn)此木排能否安全通過(guò)此橋?解(1)由題意在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)拋物線方程為y=ax2(a<0).由條件得點(diǎn)(26,-6.5)在拋物線上,∴-6.5=262a,解得a=-1104,∴拋物線方程為y=-1104x2,即x2=-104(2)由(1)可得拋物線的方程為x2=-104y,當(dāng)x=2時(shí),解得y=-126∵6.5-6=0.5>126,∴木排可安全通過(guò)此橋18.(12分)如圖,已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切.過(guò)點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M,N兩點(diǎn),Q是MN的中點(diǎn),直線l與l1相交于點(diǎn)P.(1)求圓A的方程;(2)當(dāng)|MN|=219時(shí),求直線l的方程.解(1)由于圓A與直線l1:x+2y+7=0相切,∴R=|-1+4+7|5=∴圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),易知x=-2與題意相符,使|MN|=219.②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,連接AQ,則AQ⊥MN,∵|MN|=219,∴|AQ|=1,由|AQ|=|-k-2+2k|k∴直線l:3x-4y+6=0,故直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0.19.(12分)(2020山東,20)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.(1)證明因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC,AD不在平面PBC中,所以AD∥平面PBC,又因?yàn)锳D?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥AD.所以l⊥平面PDC.(2)解以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DP的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),則DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則DQ=(a,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,則n·DQ=0,n·DC=0,所以cos<n,PB>=n·設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=33×|a+1|1+a2=331+2aa2+120.(12分)已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到直線l:x-y-2=0的距離為32(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若以點(diǎn)C為圓心的圓在x軸上截得的弦長(zhǎng)均為4,求證:圓C恒過(guò)定點(diǎn).(1)解因?yàn)閤2=2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得-p解得p=2(負(fù)值舍去),所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=4y.(2)證明設(shè)圓心C的坐標(biāo)為x0,x0又圓C在x軸上截得的弦長(zhǎng)為4,所以r2=4+x0242,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-x0)2+y-化簡(jiǎn)得1-y2x02-2xx0+(x2對(duì)于任意的x0∈R,上述方程均成立,故有1-y2=0,-2x=0,21.(12分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E是線段CD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)三等分點(diǎn),F是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且DF=λDA(0≤λ≤1).如圖,將△BCE沿BE折起至△BEG,使得平面BEG⊥平面ABED.(1)當(dāng)λ=12時(shí),求證:EF⊥BG(2)是否存在λ,使得FG與平面DEG所成的角的正弦值為13?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)當(dāng)λ=12時(shí),F是AD的中點(diǎn)∴DF=12AD=1,DE=13CD=∵∠ADC=90°,∴∠DEF=45°.∵CE=23CD=2,BC=2,∠BCD=90°,∴∠BEC=45°.∴BE⊥EF又平面GBE⊥平面ABED,平面GBE∩平面ABED=BE,EF?平面ABED,∴EF⊥平面BEG.∵BG?平面BEG,∴EF⊥BG.(2)存在.以C為原點(diǎn),CD,CB的方向?yàn)閤軸,y則E(2,0,0),D(3,0,0),F(3,2λ,0).取BE的中點(diǎn)O,∵GE=BG=2,∴GO⊥BE,∴易證得OG⊥平面BCE,∵BE=22,∴OG=2,∴G(1,1,2).∴FG=(-2,1-2λ,2),EG=(-1,1,2),DG=(-2,1,2).設(shè)平面DEG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n令z=2,則n=(0,-2,2).設(shè)FG與平面