2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8講解三角形考點(diǎn)講義【含答案】

解三角形一、知識(shí)點(diǎn)1、正弦定理：。(其中為的外接圓的半徑)正弦定理的變形公式：①，，；②，，；③；④；2、三角形面積定理：；；(其中為的內(nèi)切圓的半徑)3、余弦定理：；；；4、射影定理：，，5、設(shè)、、是的角、、的對(duì)邊，則：①若，則；②若，則；③若，則。6、三角形解的個(gè)數(shù)的討論為銳角為鈍角或直角或兩解一解無(wú)解一解無(wú)解7、解三角形處理三角形問(wèn)題，必須結(jié)合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四類基本可解型，特別要多角度(幾何作圖，三角函數(shù)定義，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“邊邊角”型問(wèn)題可能有兩解、一解、無(wú)解的三種情況，根據(jù)已知條件判斷解的情況，并能正確求解。(1)三角形中的邊角關(guān)系①三角形內(nèi)角和等于；②三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；③三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角；(2)利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形已知條件應(yīng)用定理一般方法解的情況一邊和兩角正弦定理由求第三角，由正弦定理求其它兩邊一解兩邊和夾角余弦定理或正弦定理由余弦定理求第三邊，由正弦定理求較小邊對(duì)應(yīng)的較小角，由求第三角一解三邊余弦定理由余弦定理求兩角，由求第三角一解兩邊和其中一邊的對(duì)角正弦定理或余弦定理①由正弦定理求另一邊的對(duì)角，由求第三角，利用正弦定理求第三邊②由余弦定理列關(guān)于第三邊的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解求，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素兩解一解或無(wú)解(3)利用正、余弦定理判斷三角形的形狀常用方法是：①化邊為角；②化角為邊.8、三角形中的三角變換(1)角的變換在中，，則；；；，；(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。面積公式：，其中為三角形內(nèi)切圓半徑，為周長(zhǎng)之半；(3)在中，熟記并會(huì)證明：①、、成等差數(shù)列的充分必要條件是；②是正三角形的充分必要條件是、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列。9、解答三角高考題的策略：(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例。另外，利用正弦定理解三角形時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”定理及幾何作圖來(lái)幫助理解。二、例題分析1、三角形形狀和解的個(gè)數(shù)的判斷例1-1．在中，若，，，則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)為()。A、B、C、D、不確定C解法一：∵，∴，，∴符合條件的有兩個(gè)，故選B。解法二：∵，作出圖形，如圖所示，可知滿足條件的三角形有個(gè)，故選C。例1-2．若，則的形狀為()。A、等邊三角形B、等腰直角三角形C、有一個(gè)角為的直角三角形D、頂角為的等腰三角形B∵，又，兩式相除得，∴，故，為等腰直角三角形，故選B。例1-3．已知的內(nèi)角、、成等差數(shù)列，且、、所對(duì)的邊分別為、、，則下列命題中正確的有。(把所有正確的命題序號(hào)都填上)①；②若、、成等比數(shù)列，則為等邊三角形；③若，則為銳角三角形；④若，則；⑤若，則為鈍角三角形。①②④①∵內(nèi)角、、成等差數(shù)列，∴，①對(duì)，②，則，又、、成等比數(shù)列，則，則，又，則為等邊三角形，②對(duì)，③∵，∴，滿足，為直角三角形，③錯(cuò)，④∵，則，化簡(jiǎn)得，又，∴，此時(shí)，∴，，，∴成立，④對(duì)，⑤，∵，∴，∴，又在中、不能同為鈍角，∴、同為銳角，∴是銳角三角形，⑤錯(cuò)，填①②④。2、正弦定理的應(yīng)用例2-1．設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則的形狀為()。A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不確定B，則，，故選B。例2-2．在中，，，，()。A、B、C、D、C∵，∴，又，則，故選C。例2-3．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則角的大小為?；?，又在中，則，則，∴或。3、余弦定理的應(yīng)用例3-1．在中，，，，則()。A、B、C、D、C，則，故選C。例3-2．設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若、、成等比數(shù)列，且，則()。A、B、C、D、C∵中且、、成等比數(shù)列，則有，又，∴，由余弦定理得，故選C。例3-3．已知在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若的面積為，且，則()。A、B、C、D、A∵，即，∴，又，∴，即，則，∴，故選A。4、解三角形實(shí)際應(yīng)用例4-1．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度，一艘客船從碼頭出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭。已知，水流速度為，若客船從碼頭駛到碼頭所用的最短時(shí)間為，則客船在靜水中的速度大小為()。A、B、C、D、B設(shè)與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為，由題意得，則，由余弦定理得，，故選B。例4-2．如圖，港口在港口正東的海里處，小島在港口的北偏東的方向上，且在港口的北偏西的方向上。一艘科學(xué)考察船從港口出發(fā)，沿北偏東的方向以海里/小時(shí)的速度駛離港口。一艘給養(yǎng)快艇從港口沿方向以海里/小時(shí)的速度駛向小島，在島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后以相同的速度送往科學(xué)考察船。已知兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給物資裝船時(shí)間為小時(shí)。給養(yǎng)快艇駛離港口后，能和科學(xué)考察船相遇的最少時(shí)間為。小時(shí)設(shè)快艇駛離港口后，最少要經(jīng)過(guò)小時(shí)，在上的點(diǎn)處與考察船相遇，如圖，連接，則快艇沿線段、航行，

在中，，，∴，又，∴，，故快艇從港口到小島需要小時(shí)，在中，，，，由余弦定理知：，解得或，∵，∴，故快艇駛離港口后，最少要經(jīng)過(guò)小時(shí)才能和考察船相遇。例4-3．某同學(xué)騎電動(dòng)車以的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)處測(cè)得電視塔在電動(dòng)車的北偏東方向上，后到點(diǎn)處，測(cè)得電視塔在電動(dòng)車的北偏東方向上，則點(diǎn)與電視塔的距離是。，在中，，，，∴，∴。5、解三角形大題例5-1．在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，且。(1)求的大小；(2)若，，求的面積。(1)在中，，由已知得，∴，∴，∴，又，∴；(2)由余弦定理得：，又，，∴，，∴。例5-2．如圖，中，，，點(diǎn)在線段上，且，。(1)求的長(zhǎng)；(2)求的面積。(1)∵，∴，在中，設(shè)，，