第十三章-(精編)-軸對稱知識點(diǎn)歸納并練習(xí)1

第十三章（精編）軸對稱《軸對稱、線段垂直平分線、、等腰三角形、等邊三角形》軸對稱圖形如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對稱軸．軸對稱有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)．兩個(gè)圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱．

圖形軸對稱的性質(zhì)如果兩個(gè)圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．畫一圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形的步驟：找到關(guān)鍵點(diǎn)，畫出關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，按照原圖順序依次連接各點(diǎn)。軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別軸對稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對稱．考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認(rèn)識1.下列幾何圖形中，eq\o\ac(○,1)線段eq\o\ac(○,2)角eq\o\ac(○,3)直角三角形eq\o\ac(○,4)半圓，其中一定是軸對稱圖形的有【】A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．圖中，軸對稱圖形的個(gè)數(shù)是【】A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)3．正n邊形有___________條對稱軸，圓有_____________條對稱軸線段的垂直平分線（1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）．（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合．考點(diǎn)二、線段垂直平分線的性質(zhì)4．如圖，△ABC中，∠A＝90°，BD為∠ABC平分線，DE⊥BC，E是BC的中點(diǎn)，求∠C的度數(shù)。5．如圖，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，連AP并延長交BC于D，求證：AD垂直平分BC6．如圖,DE是ABC中AC邊的垂直平分線，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，則EBC的周長為【】A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米7．如圖，∠BAC＝30°，P是∠BAC平分線上一點(diǎn)，PM∥AC，PD⊥AC，PD＝30,則AM＝軸對稱變換由一個(gè)平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換．成軸對稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到．軸對稱變換的性質(zhì)（1）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)．（3）連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分．作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)．（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對稱圖形．關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，－y）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（－x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（－x，－y）關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線y＝x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y＝－x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（－y，－x）關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x＝m對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2m－x，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線y＝n對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2n－y）；考點(diǎn)三、軸對稱變換及用坐標(biāo)表示軸對稱8．點(diǎn)A（-3，2）關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A（-3，-2）B（3，2）C（-3，2）D（2，-3）9．點(diǎn)P（a，b）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P＇（1，-6），則A、B的值分別為()A1，6

B-1，-6

C-1，6

D1，-610.點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P＇的坐標(biāo)為（4，-5）,那么點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)P"的坐標(biāo)為：A

(-4，5)B(4，-5)

C(-4，-5)D(-5，-4)11.平面內(nèi)點(diǎn)A(-1，2)和點(diǎn)B(-1，6)的對稱軸是(

)

A.x軸

B.y軸

C.直線y=4

D.直線x=-112.下列關(guān)于直線x=1對稱的點(diǎn)是()A點(diǎn)（0，-3）與點(diǎn)（-2，-3）

B點(diǎn)（2，3）與點(diǎn)（-2，3）

C點(diǎn)（2，3）與點(diǎn)（0，3）D點(diǎn)（2，3）與點(diǎn)（2，-3)13.已知A(-1，-2)和B(1，3），將點(diǎn)A向______平移_______個(gè)單位長度后得到的點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱．14.如下圖：若正方形ABCD關(guān)于x軸與y軸均成軸對稱圖形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），標(biāo)出點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別為：B(，)，C(，)，D(，)。15.若A（m-1，2n+3）與B（n-1，2m+1）關(guān)于y軸對稱，則m=,n=16.已知a＜0，那么點(diǎn)P（-a2-2，2-a）關(guān)于x軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)P'在第象限三、解答題17.已知點(diǎn)M（1-a，2a+2），若點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第三象限，求a的取值范圍？18.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2x+y-3，x-2y）。它關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（x+3，y-4），求點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。19.如圖，從△ABC到△A′B′C′是進(jìn)行的平移變換還是軸對稱變換，如果是軸對稱變換，找出對稱軸，如果是平移變換，是怎樣平移的？20.如圖，△ABC，求頂點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)并在坐標(biāo)系中畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△EDF。21.已知兩點(diǎn)A（–1，2）B（3，1）（1）P點(diǎn)在X軸上移動(dòng)。求PA+PB的最小值。（2）Q點(diǎn)在Y軸上移動(dòng)。求QA+QB的最小值。（3）并求出P.Q的坐標(biāo)。考點(diǎn)四、作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)．（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對稱圖形22．如圖，Rt△ABC，∠C＝90°,∠B＝30°,BC＝8，D為AB中點(diǎn)，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP,則AP＋DP的最小值是23．已知等邊△ABC，E在BC的延長線上，CF平分∠DCE，P為射線BC上一點(diǎn)，Q為CF上一點(diǎn)，連接AP、PQ.若AP＝PQ，求證∠APQ是多少度作點(diǎn)Q關(guān)于BE的對稱點(diǎn)R，交BE于點(diǎn)H，從而可得ΔQCH≌ΔRCH,

∠QCH=∠RCH=60度。A

,C,R在同一直線上。易證ΔPCQ≌ΔPCR,從而∠QPH=∠RPH,PR=PQ,

∠PQC=∠PRC.又由于AP=PQ,從而AP=PR,得到∠PRA=∠PAR∴∠BAP+∠PAC=∠PQC+∠QPC∴∠BAP=∠QPC即有：∠BAP+∠B=∠QPC+∠APQ即∠APQ=60o等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．特別的：（1）等腰三角形是軸對稱圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應(yīng)相等.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有兩邊上的角平分線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形．（3）有兩邊上的中線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形．（4）有兩邊上的高線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形．考點(diǎn)五、等腰三角形的特征和識別24．如圖，△ABC中，AB＝AC＝8，D在BC上，過D作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，則四邊形AFDE的周長為______。25．如圖，△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC與∠ACB，EF過D且EF∥BC，若AB＝7，BC＝8，AC＝6，則△AEF周長為【】A.15B.14C.1326．如圖,點(diǎn)B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB＝BC＝CD＝ED＝EF,∠A＝20o,則∠FEB＝________度．27．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則它的一個(gè)底角的度數(shù)是_______28．如圖：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F。試說明DE＝DF。29．如圖,E在△ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，BD＝CE.求證：△ABC是等腰三角形.30．已知：如圖，△ABC中，∠ACB的平分線交AB于E，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)G．試判斷△EFC的形狀，并說明你的理由．等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形．等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°等邊三角形的判定方法（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．考點(diǎn)六、等邊三角形的特征和識別31．下列推理中，錯(cuò)誤的是【】A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形32．如圖，等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。33．已知△ABC是等邊三角形，分別在AC、BC上取點(diǎn)E、F，且AE＝CF，BE、AF交于點(diǎn)D，則∠BDF＝_________度34．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點(diǎn)，且AD＝BE＝CF，則△DEF的形狀是【】A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形角平分線的性質(zhì)：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的判定：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.三角形的角平分線的性質(zhì)：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等．考點(diǎn)七、30°所對的直角邊是斜邊的一半35．如圖，是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，則DE等于【】A．1mB．2mC．3mD．4m36．一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知AO＝BO＝40cm，C0＝D0＝30cm，現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度∠AOB剛好為120°，求桌面到地面的距離是多少？甲甲37．如圖，AB＝AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC＝120o，BC＝6，則DE＋DF＝38．在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)．如果，求的長39．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于F.求證：CF＝2BF.作圖題專練AC··DOB1．如圖：已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PDAC··DOB2．已知：A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)M．（1）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得｜AM－BM｜最?。蛔鞣ǎ海?）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得｜AM－BM｜最大作法：（3）如圖，在l上求作一點(diǎn)M，使得AM＋BM最?。?）如果兩點(diǎn)位于直線異側(cè)，請你去解決上述問題變式練習(xí)1、如圖，已知直線MN與MN同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在MN上，且∠APM＝∠BPN2．如圖點(diǎn)A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點(diǎn)P，使得四邊形APBC的周長最??；3.如圖已知線段a，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）且PQ＝a，四邊形APQB的周長最?。?、已知：如圖點(diǎn)M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上求作一點(diǎn)P，在OB邊上求作一點(diǎn)Q，使得ΔPMQ的周長最?。?、已知：如圖3－14，點(diǎn)M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA邊的距離之和最?。?、一條河兩岸有A、B兩地，要設(shè)計(jì)一條道路，并在河上垂直于河岸架一座橋，用來連接A、B兩地，問路線怎樣走，橋應(yīng)架在什么地方，才能使從A到B所走的路線最短？軸對稱專題訓(xùn)練一、選擇題（每題3分，共24分）1、下列圖案中，不是軸對稱圖形的是（） A B CD2、（易錯(cuò)易混點(diǎn)）下列長度的三線段,能組成等腰三角形的是（）A.112B.225C.335D.3453.如圖，已知AC∥BD，OA=OC，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A.∠B=∠DB.∠A=∠BC.AD=BCD.OA=OB4．（易錯(cuò)易混點(diǎn)）下列說法正確的是()A．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合B．頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等C．等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍D．等腰三角形的兩個(gè)底角相等5、如圖，與關(guān)于直線l對稱，且，則∠B的度數(shù)為（ ）A．48° B．54° C．74° D．78°6、如圖所示，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，則∠AED′等于A.70°B.65°C.50° D.25°7、已知M（a,3）和N（4，b）關(guān)于y軸對稱，則的值為（）A.1B、－1C.D.8、如圖,∠BAC=110°若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則∠PAQ的度數(shù)是()A.20°B.40°C.50°D.60°二、填空題（每題3分，共24分）9．軸對稱是指____個(gè)圖形的位置關(guān)系;軸對稱圖形是指____個(gè)具有特殊形狀的圖形.10、有一條對稱軸的三角形是_______三角形,有三條對稱軸的三角形是______三角形.11.如圖，在ABC中，，BD是ABC的平分線，DE是BC的垂直平分線，則C=____.12、（易錯(cuò)易混點(diǎn)）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于___