函數(shù)恒成立與有解的典型例題

..2已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù),求實數(shù)的值；〔2判斷該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性<不要求寫證明過程>；〔3〔4設(shè)關(guān)于的函數(shù)F<x>=有零點,求實數(shù)b的取值范圍.設(shè)對所于有實數(shù)x,不等式xlog＋2xlog＋log>0恒成立,求a的取值范圍。〔87年全國理[分析]不等式中l(wèi)og、log、log三項有何聯(lián)系？進(jìn)行對數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn),再實施換元法。[解]設(shè)log＝t,則log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t,log＝2log＝－2t,代入后原不等式簡化為〔3－tx＋2tx－2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立,所以：,解得∴t<0即log<00<<1,解得0<a<1。4.已知二次函數(shù)〔?！?求證：當(dāng)時,函數(shù)的凹函數(shù)；〔2如果時,,試求a的取值范圍。5a若函數(shù)在上有意義,則實數(shù)的取值范圍是___▲___b若不等式對任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍是．c設(shè)函數(shù),若對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是．d若不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍是6,已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．<1>求的值；<2>討論函數(shù)的單調(diào)性；〔3若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍．方法一：由定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)得對一切恒成立即,整理得對任意恒成立,故,解得,又因為函數(shù)的定義域為,故。5分方法二：由題意可知此時,又由得,此時,經(jīng)檢驗滿足符合題意。<不檢驗扣1分>5分〔2由得恒成立,故函數(shù)在R上為增函數(shù)。10分<3>函數(shù)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)由得12分對一切恒成立所以15分注：若選擇用在R上為增函數(shù),此時要用定義給出證明。已知,且,若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是▲．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,〔其中是自然對數(shù)的底數(shù),． 〔1求的解析式; 〔2設(shè),,求證：當(dāng)時,恒成立； 〔3是否存在負(fù)數(shù),使得當(dāng)時,的最大值是？如果存在,求出實數(shù)的值；如果不存在,請說明理由．已知指數(shù)函數(shù)滿足：,定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)?！?求的解析式；〔2求m,n的值；〔3若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍。〔天津文16設(shè)函數(shù)．對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是．[答案]．[解析]解法1．顯然,由于函數(shù)對是增函數(shù),則當(dāng)時,不恒成立,因此．當(dāng)時,函數(shù)在是減函數(shù),因此當(dāng)時,取得最大值,于是恒成立等價于的最大值,即,解得．于是實數(shù)的取值范圍是．解法2．然,由于函數(shù)對是增函數(shù),則當(dāng)時,不成立,因此．,因為,,則,設(shè)函數(shù),則當(dāng)時為增函數(shù),于是時,取得最小值．解得．于是實數(shù)的取值范圍是．解法3．因為對任意,恒成立,所以對,不等式也成立,于是,即,解得．于是實數(shù)的取值范圍是．設(shè)函數(shù),若,則實數(shù)=________________________[答案]-162.〔天津文16設(shè)函數(shù)．對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是．[答案]．[解析]解法1．顯然,由于函數(shù)對是增函數(shù),則當(dāng)時,不恒成立,因此．當(dāng)時,函數(shù)在是減函數(shù),因此當(dāng)時,取得最大值,于是恒成立等價于的最大值,即,解得．于是實數(shù)的取值范圍是．解法2．然,由于函數(shù)對是增函數(shù),則當(dāng)時,不成立,因此．,因為,,則,設(shè)函數(shù),則當(dāng)時為增函數(shù),于是時,取得最小值．解得．于是實數(shù)的取值范圍是．解法3．因為對任意,恒成立,所以對,不等式也成立,于是,即,解得．于是實數(shù)的取值范圍是．63.〔天津理16設(shè)函數(shù)．對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是．[答案]．[解析]解法１．不等式化為,即,整理得,因為,所以,設(shè),．于是題目化為,對任意恒成立的問題．為此需求,的最大值．設(shè),則．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),因而在處取得最大值．,所以,整理得,即,所以,解得或,因此實數(shù)的取值范圍是．解法2．同解法1,題目化為,對任意恒成立的問題．為此需求,的最大值．設(shè),則．．因為函數(shù)在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,取得最小值．從而有最大值．所以,整理得,即,所以,解得或,因此實數(shù)的取值范圍是．解法3．不等式化為,即,整理得,令．由于,則其判別式,因此的最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點得到,所以為使對任意恒成立,必須使為最小值,即實數(shù)應(yīng)滿足解得,因此實數(shù)的取值范圍是．解法4．<針對填空題或選擇題>由題設(shè),因為對任意,恒成立,則對,不等式也成立,把代入上式得,即,因為,上式兩邊同乘以,并整理得,即,所以,解得或,因此實數(shù)的取值范圍是．12對一切實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是▲.2010天津設(shè)函數(shù),對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是.幾類不等式恒成立問題的解法XX省靈璧中學(xué)侯立剛中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第5期P321一次函數(shù)型例題08XX省文科〔20〔本小題滿分12分〔20．〔本小題滿分12分設(shè)函數(shù)為實數(shù)?！并褚阎瘮?shù)在處取得極值,求的值；〔Ⅱ已知不等式對任意都成立,求實數(shù)的取值范圍。解:<1>,由于函數(shù)在時取得極值,所以即<2>方法一由題設(shè)知：對任意都成立即對任意都成立設(shè),則對任意,為單調(diào)遞增函數(shù)所以對任意,恒成立的充分必要條件是即,,于是的取值范圍是方法二由題設(shè)知：對任意都成立即對任意都成立于是對任意都成立,即,于是的取值范圍是不等式對任意都成立,則的取值范圍為〔BA、B、C、D、例：若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈<0,1/2]成立,求a的最小值。設(shè)不等式2x－1>m<x－1>對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。[分析]此問題由于常見的思維定勢,易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而,若變換一個角度以m為變量,即關(guān)于m的一次不等式<x－1>m－<2x－1><0在[-2,2]上恒成立的問題。對此的研究,設(shè)f