矩陣在線性方程組中的應(yīng)用

PAGEPAGE18矩陣在線性方程組中的應(yīng)用摘要矩陣和線性方程組都是高等數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中利用矩陣解線性方程組的方法基本上是所知的固定幾種：利用矩陣初等變換、克拉默法則、高斯—若爾當(dāng)消去法。但是解一個(gè)線性方程組有時(shí)需要幾種方法配合使用，有時(shí)則需要選擇其中的最簡(jiǎn)單的方法。而對(duì)于一些特殊的線性方程組的解法很少有進(jìn)行歸類、講解。我們希望可以通過(guò)對(duì)本課題的研究，總結(jié)和歸納用特殊矩陣解幾類特殊線性方程組的解法。關(guān)鍵詞矩陣；線性方程組；齊次線性方程組；非齊次線性方程組MATRICESINTHEAPPLICATIONSOFTHESYSTEMOFLINEAREQUATIONSABSTRACTMatricesandsystemoflinearequationsareimportantcontentofadvancedmathematics.Weoftenuseseveralfixedmethodstosolvesystemoflinearequationsinadvancedmathematics，suchasMatrixtransformations;Cramer'sRuleandGauss-Jordaneliminationmethod.Butsometimes,weneedtochooseoneofthemostsimpleways,orweneedtouseseveralmethodstosolvesystemoflinearequations.Forsomespecialsolutionmethodofsystemoflinearequations,therearefewclassificationandexplanationindetail.Wehopethatwecanresearch,summarizesandinducessolutionmethodofsomespecialsystemoflinearequationswithspecialmatrices.KEYWORDSmatrices;systemoflinearequations;homogeneoussystemoflinearequations;nonhomogeneoussystemoflinearequations目錄TOC\o"1-3"\h\u7931中文摘要 I13565英文摘要 II27238目錄 III19855引言 173851.矩陣和線性方程組的概述 1317091.1矩陣的概念 147591.2線性方程組的概念 291631.3線性方程組解的情況 3240542.矩陣在線性方程組中的應(yīng)用 3236302.1克拉默法則 3143802.2高斯消元法 5183212.3非齊次線性方程組新解法的解題步驟 6310642.4直接通過(guò)矩陣變換及運(yùn)算求出方程組的解法 7105732.5利用追趕法解線性方程組 9230412.5.1LU分解 953382.5.2追趕法 1044512.6利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組 1263342.7用加邊矩陣求解非齊次線性方程組 14161883．結(jié)論 1715305參考文獻(xiàn) 1717661致謝 19引言矩陣的概念最早在19世紀(jì)由英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利提出。在數(shù)學(xué)史上，研究過(guò)矩陣論的著名數(shù)學(xué)家有許多。在文獻(xiàn)[1]中介紹了英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特于1852年對(duì)矩陣的合同發(fā)現(xiàn)著名的“慣性定理”。在文獻(xiàn)[2]中英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊發(fā)表了重要文章《矩陣論的研究報(bào)告》，對(duì)矩陣的基本理論進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述。當(dāng)然還有許多數(shù)學(xué)家對(duì)矩陣的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn)。隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，矩陣已經(jīng)在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的運(yùn)用，是一種非常常用的用具。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中作為解決線性方程的工具之一，前人對(duì)此已經(jīng)做了大量的的研究。1693年，微積分的發(fā)現(xiàn)者之一德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨建立了行列式論。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆其后又定下了克拉默法則（又稱克萊姆法則）。1800年，高斯和威廉·若爾當(dāng)建立了人們熟知的高斯—若爾當(dāng)消去法。線性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。在文獻(xiàn)[3]中了解到線性方程組在線性代數(shù)的教學(xué)中非常重要，行列式、矩陣、向量組的線性相關(guān)性、線性空間的基變換、坐標(biāo)變換等，都和線性方程組有著非常密切的聯(lián)系。矩陣和線性方程組都是高等數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，矩陣和線性方程組是相輔相成的，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中利用矩陣解線性方程組的方法基本上是所知的固定幾種。對(duì)于一些線性方程組的特殊解法很少有進(jìn)行歸類、講解。本文主要研究用特殊矩陣解一些線性方程組的方法，通過(guò)認(rèn)真閱讀本課題相關(guān)文獻(xiàn)，如陳祥云的《矩陣的初等變換及其應(yīng)用》，辛奎東的《關(guān)于線性方程組新解法的探索》，劉紅旭的《利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組》，楊可的《用加邊矩陣求解非齊次線性方程組的嘗試》等等，分析、總結(jié)和歸納用特殊矩陣解線性方程組的解法。1.矩陣和線性方程組的概述1.1矩陣的概念由個(gè)數(shù)，排成個(gè)橫行個(gè)豎列的數(shù)表，稱為行列矩陣或級(jí)矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣。數(shù)位矩陣的元素，矩陣常簡(jiǎn)單記為或或，或簡(jiǎn)記為，等。1.2線性方程組的概念線性方程組的一般形式如下：（1-1）其中表示個(gè)未知量，是方程組的個(gè)數(shù)，則表示方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng)。假如所有的常數(shù)項(xiàng)都等于0，即為（1-2）則方程組（1-2）稱為齊次線性方程組。否則稱為非其次線性方程組。線性方程組（1-1）的解是數(shù)域的一個(gè)有序數(shù)組，當(dāng)未知量分別用代入時(shí)，（1.1）中的每個(gè)方程都成立。這里將方程組（1-1）記為矩陣形式，。在此處把稱為這個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣，假如再將常數(shù)項(xiàng)添加進(jìn)去，讓它稱為矩陣的最后一列：稱其為此線性方程組的增廣矩陣，記為。1.3線性方程組解的情況在求解線性方程組時(shí)，首先需要討論線性方程組解的情況。它可能無(wú)解，可能存在唯一解或者可能存在無(wú)窮多組解。在這里，我們討論線性方程組解的情況，以及它的通解表示形式。對(duì)于一般情況下的線性方程組（1-1），將它的增廣矩陣化為行階梯矩陣。這個(gè)階梯形矩陣在適當(dāng)調(diào)動(dòng)前列的順序之后可能有兩種情形：或者其中。在前一種情況我們判定為原來(lái)方程組無(wú)解，而在后一種情形方程組有解。我們對(duì)后面一種情況進(jìn)行討論：a：若，則原方程組(1-1)有唯一解。b：若且，則原方程組(1-1)有無(wú)窮多組解。這無(wú)窮多組解可以用一般解來(lái)表示，其中自由變量有個(gè)，主變量有個(gè)。2.矩陣在線性方程組中的應(yīng)用2.1克拉默法則在這里簡(jiǎn)單介紹了利用克拉默法則解線性方程組?？死▌t：如果含有個(gè)方程的元線性方程組(2-1)的系數(shù)矩陣的行列式則方程組（2-2）有唯一解，并且其中是將系數(shù)行列式的第列元，換成常數(shù)項(xiàng)后的行列式。下面運(yùn)用克拉默法則解一個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程組。例2.1.1解線性方程組 解：而所以即原方程組的解為。例2.2.2當(dāng)下述方程組有非零解時(shí)，取何值時(shí)： 解：該齊次方程組有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)矩陣的行列式 所以由上可知，當(dāng)齊次方程組有非零解時(shí)，。2.2高斯消元法高斯消元法也是一種常用的解線性方程組的方法。對(duì)于含有個(gè)方程，個(gè)未知量的元線性方程組 首先用初等行變換先把上面方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣，然后寫(xiě)出該階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組，逐步回代，即可以求出方程組的解。因?yàn)樗鼈優(yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了上面方程組的解。這種方法被稱為高斯消元法。例2.2.1解方程組解：先寫(xiě)出增廣矩陣，再化成階梯形矩陣，即=根據(jù)最后一個(gè)增廣矩陣可以得出其表示的線性方程組為將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得將其代入第二個(gè)方程，解得再將，代入第一個(gè)方程組，解得因此，方程組的解為其中可以任意取值。2.3非齊次線性方程組新解法的解題步驟在文獻(xiàn)[7]中介紹了非齊次線性方程組新解法的解題步驟：（1）約化階梯形矩陣。（2）寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的方程組。（3）把上面每個(gè)方程中下標(biāo)最小的變量用其他變量表示，其它缺失的變量相應(yīng)的補(bǔ)齊。（4）寫(xiě)出方程組解的向量形式。例2.4.1解線性方程組解：（1）首先約化階梯形矩陣然后對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等變化，化為簡(jiǎn)化的階梯型矩陣則原方程有無(wú)窮多個(gè)解。寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的方程組。（3）把上述每個(gè)方程中下標(biāo)最小的變量用其它變量表示，其它缺失的變量補(bǔ)齊。（4）寫(xiě)出方程組的解。2.4直接通過(guò)矩陣變換及運(yùn)算求出方程組的解法下面介紹直接通過(guò)矩陣變換及運(yùn)算求出方程組的解法。首先對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等變換、零拓展矩陣和轉(zhuǎn)解運(yùn)算，再直接求出齊次方程組的基礎(chǔ)解系和非齊次方程組的特解，進(jìn)而求出非齊次方程組的通解。定義1[8]對(duì)于矩陣增加個(gè)維行向量而生成的新矩陣稱做的拓展矩陣；若增加行向量都是零向量，則生成的新矩陣稱為的零拓展矩陣，若增加的行向量組成一個(gè)單位方陣則生成的新矩陣稱為的單位拓展矩陣。定義2[8]在矩陣中，若，有，則稱為廣義上三角矩陣。定義3[8]設(shè)是廣義三角矩陣，在中，若，而，構(gòu)造成一個(gè)新矩陣，當(dāng)，有；當(dāng)，令，，則定義為歸零運(yùn)算（或稱轉(zhuǎn)解運(yùn)算），生成的矩陣稱為歸零矩陣（或轉(zhuǎn)解矩陣）。定理1[8]設(shè)實(shí)數(shù)域上非齊次線性方程組，，對(duì)進(jìn)行零拓展，使其成為，對(duì)進(jìn)行初等變換，使其成為對(duì)角線上的元素只取1和0的廣義上三角矩陣（若而時(shí)則進(jìn)行行行交換使得所在的行變?yōu)橹械牡谛校涣?，則矩陣中元素只取0或-1值；若當(dāng)說(shuō)對(duì)應(yīng)的第列為零向量，則所有說(shuō)對(duì)應(yīng)的第列向量就構(gòu)成方程的基礎(chǔ)解系，而第列向量則是方程組的特解。定理2[8]對(duì)于方程組（2-1）說(shuō)對(duì)應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行拓展和初等變換，得到滿足定理1的；當(dāng)時(shí)，而時(shí)，做轉(zhuǎn)解運(yùn)算生成轉(zhuǎn)解矩陣，使得當(dāng)時(shí)，有，則所對(duì)應(yīng)的列向量的全體即為方程組的基礎(chǔ)解系，矩陣中的第列向量乃是的特解，經(jīng)過(guò)若干次轉(zhuǎn)解運(yùn)算存在滿足定理1條件的轉(zhuǎn)解矩陣。例2.5.1求解方程組解：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行變換，因此由定理1知方程組的解為。2.5利用追趕法解線性方程組本小節(jié)的解法是先把線性方程組的系數(shù)矩陣分解成為下三角陣和上三角陣的乘積，然后運(yùn)用追趕法來(lái)求解線性方程組。為了把系數(shù)矩陣分解為一個(gè)下三角陣和一個(gè)上三角陣的乘積，則需要運(yùn)用LU分解法（也稱為三角形分解法）。2.5.1LU分解[9]令的前n-1個(gè)順序主子矩陣非奇異，那么就存在單位下三角陣，以及上三角陣，使得 并且這樣的分解是唯一的。令矩陣有LU分解，即將兩端的第一行元素進(jìn)行對(duì)比可以得出 將兩端的第一列元素進(jìn)行對(duì)比可以得出 將兩端的第二行其余元素進(jìn)行對(duì)比可以得出 將兩端的第二列其余元素進(jìn)行對(duì)比可以得出 則對(duì)于一般的用遞推關(guān)系得出 （2-2）即可求出和，從而實(shí)現(xiàn)的三角分解。這一過(guò)程就是矩陣的LU分解。2.5.2追趕法[9]線性方程組的系數(shù)矩陣，先通過(guò)公式(2-2)進(jìn)行LU分解，接著利用追趕法解出該線性方程組，是一個(gè)非常方便快捷的方法。追過(guò)程和趕過(guò)程是追趕法的關(guān)鍵所在。記 分解 對(duì)計(jì)算 追過(guò)程 對(duì)于計(jì)算 趕過(guò)程 對(duì)于計(jì)算 而對(duì)于線性方程組（1-1）中，可得該線性方程組的Jacobi迭代公式如下： 簡(jiǎn)記成： 下面我們通過(guò)具體的例子來(lái)了解用追趕法解線性方程組的解題過(guò)程。例2.5.1用追趕法解線性方程組 解：系數(shù)矩陣?yán)霉?2-3)對(duì)進(jìn)行LU分解，所以追過(guò)程：解即趕過(guò)程：解即即得線性方程組的解。2.6利用分塊矩陣求解非齊次線性方程組通過(guò)文獻(xiàn)[10]可以得知，假如是一個(gè)階非奇異陣，把進(jìn)行分塊，其中分別是和矩陣。如果是非奇異方陣，則一定可以找到一個(gè)上三角分塊，令，其中，并且是非奇異陣。根據(jù)上面的結(jié)論，得出用來(lái)求解個(gè)方程的非其次線性方程組是比較方便的?？梢砸酪韵逻^(guò)程求解：對(duì)于非齊次線性方程組（2-3）把（2-3）寫(xiě)成矩陣方程為 此處為系數(shù)矩陣。假如是非奇異陣，即，那么方程組（2-3）有唯一解。把階陣分塊：，并注意為非奇異階陣，同時(shí)把和進(jìn)行對(duì)應(yīng)的分塊，可以使，的行數(shù)等于的行數(shù)，的行數(shù)等于的行數(shù)。那么矩陣方程可以寫(xiě)成把上面式子的兩邊分別左乘上三角分塊矩陣，即可以得到（2-4）其中。把方程（2-4）分解成為下面兩個(gè)矩陣方程（2-5）根據(jù)初等變換的性質(zhì)我們可以知道（2-4）和（2-5）是同解方程。由于，所以存在，且，再把代入中，得到。據(jù)此，得出。例2.6.1解非齊次線性方程組解：將方程寫(xiě)成矩陣方程并進(jìn)行分塊，有。這里，，，。先求出的逆矩陣，計(jì)算，方程左乘，得到，解矩陣方程，解得，，故所以所求方程的解為。2.7用加邊矩陣求解非齊次線性方程組在文獻(xiàn)[11]中主要介紹利用加邊矩陣的初等變換，把非其次線性方程組解的判定和解的結(jié)構(gòu)融于一體，在方程組有解的基礎(chǔ)上，直接找出唯一解或者導(dǎo)出基礎(chǔ)解系和原方程的一個(gè)特解。個(gè)方程個(gè)未知數(shù)的非其次線性方程組的一般形式是： （2-6）其中至少有一個(gè)不為。方程組（2-6）的向量形式為 （2-7）式子中是維向量。（2-7）式子說(shuō)明假如有一組個(gè)數(shù)滿足那么維向量即為方程組（2-6）的一個(gè)解向量。令方程組（2-6）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，作的轉(zhuǎn)置矩陣，并將的每行順序記為，據(jù)此作出的加邊矩陣：矩陣中即為（2-7）中的。對(duì)矩陣用初等行變換求秩。這里對(duì)所在的行進(jìn)行初等變換時(shí)有如下限制：a:所在的行不與其他行交換；b:其余任意行不作加上或者減去所在行的倍數(shù)的初等變換；c:所在行可以作加上或者減去其余行的倍數(shù)的初等變換。即在整個(gè)變換過(guò)程中，所在的行一直保留在矩陣的最后一行。假設(shè)原方程（2-6）系數(shù)矩陣的秩。對(duì)于用初等變換求出秩，最后化出下列矩陣：說(shuō)明，說(shuō)明。根據(jù)線性方程組解的判定定理，中有解，中無(wú)解。我們可以根據(jù)式最后一行，得到根據(jù)（2-7）得出是方程組（2-6）的一個(gè)特解（或唯一解）。從最后一行上面部分可以找出方程組（2-6）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，在得出原方程組的一般解。例2.7.1求方程組的解。解：寫(xiě)出矩陣，并做初等變換：根據(jù)