一維隨機(jī)變量及其分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一節(jié)一維隨機(jī)變量

及其分布(3)五、連續(xù)型隨機(jī)變量六、典型的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布五、連續(xù)型隨機(jī)變量

定義對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函數(shù)

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,且稱p(x)

為密度函數(shù),或概率密度.注此定義中涉及三個名詞:連續(xù)型隨機(jī)變量,1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)p(x)(xR),

使得X

的分布函數(shù)

密度函數(shù),分布函數(shù).xyo設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,p(x)

為X的密度函數(shù),(1)(2)

(3)

(4)

F(x)為X的分布函數(shù),則2.密度函數(shù)的性質(zhì)(規(guī)范性)(非負(fù)性)前3個性質(zhì)顯然成立,下面只給出第4個性質(zhì)的證明證1o性質(zhì)4說明對于任意可能值c

,連續(xù)型隨機(jī)2o連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)A=A=3o注變量取c

的概率等于零.注：(6)對連續(xù)性隨機(jī)變量，

一定是連續(xù)的，但是未必連續(xù)，在

的連續(xù)點(diǎn)處，有

解例1六、典型的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布1.均勻分布（規(guī)則分布）Uniformdistribution

(1)定義概率密度函數(shù)圖形分布函數(shù)為:(2)均勻分布的性質(zhì)(3)均勻分布的意義背景：幾何概型

設(shè)隨機(jī)變量X在[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)

X的分布密度函數(shù)為設(shè)A表示“對X的觀測值大于3”,解即A={X>3}.例2對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3

的概率.因而有設(shè)Y表示對X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測中,觀測值大于則3的次數(shù),(1)定義2.正態(tài)分布(高斯分布)Normaldistribution

正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家

棣莫弗(De

Moivre)于1733年在推導(dǎo)二項分布的極限分布時首次發(fā)現(xiàn)提出.但由于德國數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)研究(誤差密度函數(shù)為正態(tài)分布)，故正態(tài)分布又叫高斯分布。高斯這項工作對后世的影響極大,這直接導(dǎo)致正態(tài)分布同時也被冠名為“高斯分布”.高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家，重要的貢獻(xiàn)不勝枚舉?，F(xiàn)今德國10馬克的鈔票上印有高斯頭像，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這傳達(dá)了一種觀點(diǎn)：在高斯的一切科學(xué)貢獻(xiàn)中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。正態(tài)分布的歷史

從1989年直到2001年年底，他的肖像和他所寫的正態(tài)分布曲線與一些在哥廷根突出的建筑物，一起被放入德國10馬克的鈔票中。背面：高斯發(fā)明的六分儀（用于航海、大地測量）正態(tài)分布之所以重要,原因很多,我們給出三個主要的原因:首先是正態(tài)分布在分析上較易處理。其次是正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形為鐘形曲線(bell-shapedcurve),再加上對稱性,使得很適合當(dāng)作不少總體的機(jī)率模式。當(dāng)然下面我們會看到鐘形且具對稱的分布也有不少,但通常不像正態(tài)分布,在分析上如此容易駕馭。第三個原因是由于在中心極限定理(CentralLimitTheorem),使得在不太強(qiáng)的條件下,正態(tài)分布可當(dāng)做不少大樣本的近似分布。

正態(tài)分布之所以重要,原因很多,三個主要原因:首先是正態(tài)分布在分析上較易處理。其次是正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形為鐘形曲線(bell-shapedcurve),再加上對稱性,使得很適合當(dāng)作不少總體的機(jī)率模式。當(dāng)然也有很多其它鐘形且具對稱的分布,但不像正態(tài)分布,在分析上如此容易駕馭。由于中心極限定理(CentralLimitTheorem),使得在不太強(qiáng)的條件下,正態(tài)分布可當(dāng)做不少大樣本的近似分布。正態(tài)分布的應(yīng)用

正態(tài)分布的應(yīng)用非常廣泛,例如測量誤差,隨機(jī)噪聲,學(xué)生成績,產(chǎn)品的尺寸等大量的隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布描述.(2)正態(tài)概率密度函數(shù)的特性xyOx=xyOx=x=正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特殊性質(zhì):1)2)可得3)解例3正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系:解

本例給出了當(dāng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布例4時,如果我們要計算關(guān)于它的概率問題,則可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計算.解例5相應(yīng)的分布函數(shù)為3.指數(shù)分布Exponentialdistribution

定義

指數(shù)分布也是常用分布之一,常用它來描述各種“壽命”問題,如電子元器件的壽命,生物的壽命.指數(shù)分布應(yīng)用廣泛，在日本的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和美國軍用標(biāo)準(zhǔn)中，半導(dǎo)體器件的抽驗方案都是采用指數(shù)分布。此外，指數(shù)分布還用來描述大型復(fù)雜系統(tǒng)（如計算機(jī)）的平均故障間隔時間MTBF的失效分布。設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為X的分布函數(shù)為解=1/2000的指數(shù)分布(單位:小時)(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000

小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

例6指數(shù)分布的重要性質(zhì):

“無記憶性”.正是由于指數(shù)分布具有缺乏“記憶”的特性．因而限制了它在機(jī)械可靠性研究中的應(yīng)用，所謂缺乏“記憶”,是指某種產(chǎn)品或零件經(jīng)過一段時間t0的工作后,仍然如同新的產(chǎn)品一樣,不影響以后的工作壽命值，或者說，經(jīng)過一段時間t0的工作之后，該產(chǎn)品的壽命分布與原來還未工作時的壽命分布相同，顯然，指數(shù)分布的這種特性，與機(jī)械零件的疲勞、磨損、腐蝕、蠕變等損傷過程的實(shí)際情況是完全矛盾的，它違背了產(chǎn)品損傷累積和老化這一過程。所以，指數(shù)分布不能作為機(jī)械零件功能參數(shù)的分布形式。內(nèi)容小結(jié)2.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布正態(tài)分布(高斯分布)指數(shù)分布再見解例1-1備用題例1-2設(shè)(2)若是X的密度函數(shù),求出X的分布函數(shù).解

綜上所述或設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為解例1-3例2-1有實(shí)根的概率.則有實(shí)根的概率為解例5-1某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制),服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?/p>

72分，96分以上占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在

60分至

84分之間的概率.解依題意，考生外語成績X查表，知查表，得例5-2解

例5-3公共汽車車門的高度是按成年男子與門楣碰頭的概率不大于0.01設(shè)計的,設(shè)成年男子身高(單解

所以,車門最低高度應(yīng)為184厘米.例5-4從甲地飛往乙地的航班,每天上午10:10起飛,飛行時間X服從均值是4h,標(biāo)準(zhǔn)差是20min的正態(tài)分布.(1)該機(jī)在下午2:30以后到達(dá)乙地的概率是多少?(2)該機(jī)在下午2:20以前到達(dá)乙地的概率是多少?(3)該機(jī)在下午1:50至2:30之間到達(dá)乙地的概率是多少?解

(1)所求概率為(2)所求概率為(3)所求概率為例6-1某儀器裝有3支獨(dú)立工作的同型號電子元件,其壽命(單位:h)都服從同一指數(shù)分布,密度函數(shù)為試求在儀器使用的最初200h內(nèi),至少有一個電子元解

改變連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度平p(x)在個