第十二次課線性方程組解結(jié)構(gòu)

4.6線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

一、線性方程組解的存在性定理

二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、線性方程組解的存在性定理

在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性方程組的求解問題，本章將在整理前面知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。(4-1)(矩陣形式)(向量形式)(原始形式)非齊次方程組解的存在性定理定理4.15,4.16對(duì)于非齊次方程組(4-1)推論4.6.1對(duì)于齊次方程組(1)A的列向量組線性無關(guān)(2)A的列向量組線性相關(guān)例1

設(shè)n(n≥2)階方陣A是可逆矩陣，證明無解。例2對(duì)于非齊次方程組(1)證明:如果AX=b有唯一解，則AX=0僅有零解；(2)如果AX=0僅有零解，則AX=b一定有唯一解嗎？二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大無關(guān)組(又稱為基礎(chǔ)解系)

如何求?齊次方程組(假設(shè)有無窮多解)(1)解集的特點(diǎn)?性質(zhì)1：若是(4-3)的解，解空間:的所有解向量的集合S，對(duì)加法和數(shù)乘都封閉，所以構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為這個(gè)齊次線性方程組的解空間。性質(zhì)2：注：如果(4-3)只有零解，解空間是零空間。如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。性質(zhì)而在解空間中，基的概念我們?cè)谶@里稱為基礎(chǔ)解系。首先回答問題(1)設(shè)是的解，滿足線性無關(guān)；的任一解都可以由線性是的一個(gè)基礎(chǔ)解系?；A(chǔ)解系表示,則稱下面我們用一個(gè)例子回答第(2)和第(3)個(gè)問題，同時(shí)也是定理4.2.1的例證。(取任意實(shí)數(shù))從而也是(4-3)的解。齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的證明（基礎(chǔ)解系求法）（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等變換，將其化為最簡(jiǎn)形由于分別令（2）得出，同時(shí)也可知方程組含有個(gè)自由未知量：于是得下證是方程組的基礎(chǔ)解系由上式可以看出，就是n-r個(gè)n-r維單位坐標(biāo)向量，它們是線性無關(guān)的也是線性無關(guān)的后n-r個(gè)分量，因而添加了r個(gè)分量的向量組最后n-r個(gè)分量即自由未知量相同，從而兩個(gè)解完全一樣．于是得通解所以，是方程組的基礎(chǔ)解系設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。定理4.6.2設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的任意個(gè)線性無關(guān)的解向量均可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。推論4.6.2例1．解線性方程組。x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000===++-+--+--

解：

2

1-2-2

1-1-4-3

1

2

2

1A=

0

1

2

4/3

0

0

0

0

1

0-2-5/3，對(duì)應(yīng)方程

(x3，x4為自由未知量)，x1x22x32x3(5/3)x4(4/3)x4==-+-令得基礎(chǔ)解系通解為x1x2x3x42-2105/3-4/301+c2=c1，(c1，c2是任意常數(shù))。例2

解線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換即方程組有無窮多解，

其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無關(guān)的解向量.所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為解：所以只有零解，基礎(chǔ)解系不存在。例2:求下列齊次方程組例4設(shè),是的兩個(gè)不同的解向量,k

取任意實(shí)數(shù),則Ax=0的通解是例3

求四元方程組的基礎(chǔ)解系。設(shè),證明證記則由說明都是的解因此移項(xiàng)重要結(jié)論推論3且線性無關(guān)，則_______是AX=O的基礎(chǔ)解系。(2),(3)則_______可為AX=O的基礎(chǔ)解系。(4)練習(xí)(1)(2)例5證明設(shè),首先證明利用這一結(jié)論證重要結(jié)論例6求一個(gè)齊次方程組,使它的基礎(chǔ)解系為記之為AB=O,這相當(dāng)于要解矩陣方程,習(xí)慣把未知的A放在右邊,轉(zhuǎn)置,只需解然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.

解得基礎(chǔ)解系設(shè)所求的齊次方程組為,則取即可.解

三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)以下總假設(shè)有解,而其對(duì)應(yīng)的齊次方程組（稱為導(dǎo)出組）的基礎(chǔ)解系為這里性質(zhì)(1)

設(shè)都是(1)的解,則是(2)的解.(2)

設(shè)是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設(shè)是(1)的一個(gè)解(固定),則對(duì)(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3)注：非齊次方程組的解集不是空間。定理4.18、推論4.12設(shè)是非齊次線性方程組的解，則解的全體其中即非齊次特解+導(dǎo)出組通解例7解在對(duì)應(yīng)的齊次方程中取得齊次方程組的基礎(chǔ)解系于是所有通解即得方程組的一個(gè)解例8設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知是它的三個(gè)解向量,且求該方程組的通解.解取,則它就是解,從而也是基礎(chǔ)解系.基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)=4–3=1故非齊次方程組的通解為例9假設(shè)是的三個(gè)解向量，r(A)=2,已知求的通解。問答練習(xí)：xo其中____總是它的解。

(1)線性方程組Axo總是有解的，

(2)若v1，v2

都是齊次線性方程組Axo的解，問x

k1v1+k2v2也是它的解嗎？

(3)如果v1，v2，

，vs

是齊次線性方程組Axo的一組線性無關(guān)解，這組解是基礎(chǔ)解系嗎？

(4)設(shè)v1，v2，，vs是齊次線性方程組Axo的一個(gè)基礎(chǔ)解系，c1，c2，，cs是任意常數(shù)，問

x

c1v1

c2v2

csvs

代表什么？

(5)如果n元齊次線性方程組Axo的一般解中有r個(gè)自由末知量，問基礎(chǔ)解系中含有多少個(gè)解向量？

(1)線性方程組Axo稱為線性方程組Axb

的________。問答練習(xí)：導(dǎo)出組

(2)線性方程組Axb的特解是它的一個(gè)確定的解

(3)線性方程組Axb

的不含任意常數(shù)的解是特解嗎？

(4)如果線性方程組Axb的特解為u，Axo的基礎(chǔ)解系為v1，v2，，vnr

，問如何構(gòu)造Axb的全部解？（Axb的全部解為x

u+c1v1

c2v2

cn1vnr。）（5）問：非齊次線性方程組的兩個(gè)解的和還是非齊次線性方程組的解嗎？1．設(shè)Ａ為n階方陣，若齊次線性方程組AX=0有非零解，則它的系數(shù)行列式（）．2．設(shè)Ａ和B分別表示線性方程組ＡＸ＝β的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，則方程組有解的充要條件是（）．3．設(shè)Ｘ１是ＡＸ＝β的解，Ｘ２是其對(duì)應(yīng)齊次方程ＡＸ＝０的解，則Ｘ１－Ｘ２是（）的解．一、填空題1、n元齊次線性方程組ＡＸ＝０存在非零解的充要條件是（）①Ａ的列線性無關(guān)；②Ａ的行線性無關(guān)；③Ａ的列線性相關(guān)；④Ａ的行線性相關(guān)．2．設(shè)ξ１，ξ２是ＡＸ＝０的解，η１，η

２是ＡＸ＝b的解，則（）①２ξ１＋η

1是ＡＸ＝０的解②η

１＋η

２為ＡＸ＝b的解③ξ１＋ξ２是ＡＸ＝０的解④ξ１—ξ２是ＡＸ＝b的解二、單選題的一組基礎(chǔ)解系由（）個(gè)解向量組成。

①２②１③３④０

x1－