常微分方程第一二章考試卷

常微分方程第一章、第二章測驗試卷(1)班級 姓名 學號 得一、填空1稱為一階線性方程它有積分因其通解。2時方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當方程或稱全微分方程。3、 稱為伯努利方程，它有積分因子 。4稱為齊次方程。dy

a1 0、方程

dx a2xb2yc2

，當a1 b2

時，通過 可化為齊次方程，a2

=0，令u=-b2 ，化為變量分離方程。6、 稱為黎卡提方程，若它有一個特解y(x)則經(jīng)過變 可化為伯努利方程ydxxdy7、ydx+xdy= ,ydxxdy8、 = ,x2

= y2ydxxdyxy = ydxxdy ydxxdy9、x2 y2= , x2 y2= 二、求下列方程的通解121、(x2y-2x)dx+(y +3x3)dy=022、yex2exy2)dxex2xy)dy03、ylnxx)dxyxlnxx)dy0、(x3

2y)dx(x05、yxydy0、dy、

xy12( )dx xy127y'x

yx2y28 drrtgcos2d9x2p23x2y3p2p6y30三、證明題1、在微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dyR(x,y)(xdyydx)0QR都是關于xy的齊次方程，且P和Q的次數(shù)相同。試證：通過變量變換y=xv，此方程可化為伯努利方程。2M(x,y)+N(x,y)dy=0有形如u(x+y)件。參考答案—、 1 、

dyP(x)yQ(x)dx

eP(x)dxyeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxcMN

dxP(x)Q(x) n、

、dy y 、1u 1

(n1)

Pdx

dy y4、 ynXx5、Yydy

dx xua2xb2y6

P(x)y2Q(x)yR(x) yyzxyx y xy7、d(xy) d

8、dy

x dln xx xxx9、darctg y

d ln2 二、1、

解、設Mx22x,N

y2

13x3因為Myx2Nx，故知所給的方程是重微分型。Mdx

13x3

1yx2，Mdx x3y 3故可得通解1 3

2

y2

1 3

1 3 c3x

x

3x

3xx3y3x2y3

2、Myex2exy2Nex2xyMyex2yNx故知方程是全微分型。又因Mdxyex2ex

xy2,y

Mdxex2xy2 yex2exxy

cex2xy(ex2xy)dyc即yex2exxy2c3、解、因為MylnxxNyxlnxx,MylnxNy,故所給方程是全微分型。又因1lnxdxxlnxx1

dxxlnxxxMdxy(xlnxx)

x2,

Mdxxlnxx2 故可得通解為

y(x

xx)

x2y2c2 2x2

y22xy(lnx1)c4、解、因為Mx32yNxMyNx1而1(MyNx) 1 只含x,故積分因子為N x11u(x)

ex1dxeln(xx1方程兩邊同乘以u(x)即得全微分方程(x1)(x32y)dx(x1)2dy0(x1)(x32y)dx(x4x32xy2y)dyx55

x44

x22xy,(x1)(x32y)dxx22xy x55

x x2y2xy(x1)2(x22x)dyc44420(x1)2y4x55x4c5、解、等式兩邊同除以x(y-1)，則方程可化為dx y dy0x y1積分上式，即得

lnxln(y1)c因此，方程的通解為yeycx顯然y=1也是原方程的解。解：若設uxy，則因du1dy故有dx dxdu1(u2, )du2dx6、dx u)

u211積分此式，得uln(u22xc即(xy)2cexy17uy3便有2u'3u2x

3x2,即uu3x26x66因這是線性微分方程，得66uexdx(6

3x2exdxdxc)

1(3 2 6dxc)x x 1(3x6

x9c),y39

x3c3 x68、解：所給定微分方程是線性微分方程，其通解為retgd(cos2etgddc)cos(cosdc)sin(sinc)2由初始條r 1 1(1c)c2 2242 2242rcos(sin

22rsin2

cos29、(x2p2p3y3)022由x2

p2得dy

dx0x2因而y2x

c即xy2cx0由p3y3

dyy3

3dx0因而 12y2

3xc,16x

y2cy20于是，所求的通解為(xy2cx)(6x三、

y2cy201、解：設P、Q為m次的齊次函數(shù)，R為n次齊次函數(shù)y y又設yxv,則P(x,y)P(xx )xm)x xxmv),Q(x,y)xmv),R(x,y)xnv)dyxdvvdx,xdyydxx(xdvvdx)xvdxx2dv因此，所給微分方程變?yōu)閤mv)dxxmv)(xdvvdx)xnv)x2dv0即dx v) xdv v)v) xn m 2而這是伯努利方程。v)v)2、解：一般函數(shù)u(x,y)是積分因子的充要條件是M N

yu

現(xiàn)若u(x+y)=u(z)是積分因子，則dudu,dudu,dz