課件-量子力學(xué)講義

1上節(jié)課復(fù)習(xí)什么是量子力學(xué)黑體輻射：紫外災(zāi)難；h；普朗克公式光電效應(yīng)：光量子；光電子；波粒二象性Compton散射；Compton波長2普朗克（MaxPlanck1858～1947）,1918年諾貝爾物理學(xué)獎hPlanck常數(shù)h=6.626075510-34JsPlanck科學(xué)定律3Einstein晚年承認(rèn)，“整整50年有意識的思考仍沒有使我更接近‘光量子是什么’這個問題的答案?！?§1.3原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論

---原子光譜，原子結(jié)構(gòu)氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個線系，并得出氫原子譜線的經(jīng)驗公式是：這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發(fā)現(xiàn)了一系列線系，它們都可以用下面的經(jīng)驗公式表示：

5人們自然會提出如下三個問題：1. 原子線狀光譜產(chǎn)生的機(jī)制是什么？2. 光譜線的頻率為什么有這樣簡單的規(guī)律？3.光譜線公式中能用整數(shù)作參數(shù)來表示這一事實啟發(fā)我們思考：怎樣的發(fā)光機(jī)制才能認(rèn)為原子的狀態(tài)可以用包含整數(shù)值的量來描寫。6從前，希臘人有一種思想認(rèn)為：

自然之美要由整數(shù)來表示。例如：奏出動聽音樂的弦的長度應(yīng)具有波長的整數(shù)倍。這些問題，經(jīng)典物理學(xué)不能給于解釋。首先，經(jīng)典物理學(xué)不能建立一個穩(wěn)定的原子模型。根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)，電子環(huán)繞原子核運(yùn)動是加速運(yùn)動，因而不斷以輻射方式發(fā)射出能量，電子的能量變得越來越小，因此繞原子核運(yùn)動的電子，終究會因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現(xiàn)實世界表明，原子穩(wěn)定的存在著。除此之外，還有一些其它實驗現(xiàn)象在經(jīng)典理論看來是難以解釋的，如并合原則。7

總之，新的實驗現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，暴露了經(jīng)典理論的局限性，迫使人們?nèi)ふ倚碌奈锢砀拍睿⑿碌睦碚?，于是量子力學(xué)就在這場物理學(xué)的危機(jī)中誕生。8波爾（Bohr）的量子論P(yáng)lanck--Einstein

光量子概念必然會促進(jìn)物理學(xué)其他重大疑難問題的解決。1913年Bohr

把這種概念運(yùn)用到原子結(jié)構(gòu)問題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學(xué)所代替，但是它在歷史上對量子理論的發(fā)展曾起過重大的推動作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學(xué)中保留了下來（1）波爾假定（2）氫原子線光譜的解釋（3）量子化條件的推廣（4）波爾量子論的局限性9（1）波爾假定Bohr在他的量子論中提出了兩個極為重要的概念，可以認(rèn)為是對大量實驗事實的概括。1.原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。2.量子躍遷的概念.原子的穩(wěn)定狀態(tài)只可能是某些具有一定分立值能量E1,E2,......,En

的狀態(tài)。為了具體確定這些能量數(shù)值，Bohr提出了量子化條件：原子處于定態(tài)時不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個能級En

躍遷到另一個較低（高）的能級

Em，同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率為：而處于基態(tài)（能量最低態(tài)）的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在著10（2）氫原子線光譜的解釋根據(jù)這兩個概念，可以圓滿地解釋氫原子的線光譜。假設(shè)氫原子中的電子繞核作圓周運(yùn)動+Fcvre由量子化條件11電子的能量與氫原子線光譜的經(jīng)驗公式比較根據(jù)Bohr量子躍遷的概念得Rydberg常數(shù)與實驗完全一致12（3）量子化條件的推廣由理論力學(xué)知，若將角動量L

選為廣義動量，則θ為廣義坐標(biāo)。考慮積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr

量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。13（4）波爾量子論的局限性1.不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜；2.不能給出光譜的譜線強(qiáng)度（相對強(qiáng)度）；3.Bohr只能處理周期運(yùn)動，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題；4.從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容。多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。

波爾量子論首次打開了認(rèn)識原子結(jié)構(gòu)的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認(rèn)識

14玻爾—索末菲理論玻爾—索末菲理論的根本缺點在于：處理問題的方法并沒有跳出經(jīng)典理論的范疇，他們把電子看成經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點，即在每一瞬時有確定的位置，并沿一定的軌道運(yùn)動，從而將經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律用到了微觀粒子上。另一方面，又人為地引入一些量子化條件。所以，玻爾—索末菲理論是半經(jīng)典半量子的理論，或者說，它是經(jīng)典理論加上量子條件的混合物。直到1923年，德布羅意提出了微觀粒子波粒二象性的假設(shè)，繼而在1926年，薛定諤等人建立了描述微觀粒子運(yùn)動的一門學(xué)科——量子力學(xué)。這時，才使人們對微觀粒子的運(yùn)動規(guī)律有了更全面、深刻的認(rèn)識。盡管如此，玻爾—索末菲理論(稱前期量子論)在原子理論和量子力學(xué)的發(fā)展過程中起過很大的作用，其功績還是不可磨滅的。15§1.4微粒的波粒二象性（一）deBroglie關(guān)系（二）deBroglie波（三）駐波條件（四）deBroglie波的實驗驗證路易斯·德布羅意16LouisdeBroglie

LouisVictordeBroglie，1892.8.15-1987.3.19

著名法國物理學(xué)家。1910年取得歷史學(xué)學(xué)位。在哥哥影響下，他轉(zhuǎn)向物理學(xué)，1913年獲物理學(xué)學(xué)士學(xué)位。1923年，他把光的波粒二象性推廣至實物粒子，在此基礎(chǔ)上，1924年向巴黎大學(xué)提交了關(guān)于物質(zhì)波理論的博士論文，并獲得博士學(xué)位。但是物質(zhì)波理論的發(fā)表，并未引起物理界的注意，幸運(yùn)的是他的博士論文的抄本碰巧傳到愛因斯坦手中。愛因斯坦不僅支持了普朗克的量子論，而且把德布羅意推上了物理學(xué)舞臺。薛定諤就是接受了這種物質(zhì)波的思想后，建立起量子力學(xué)的。德布羅意是世界上第一個以博士論文獲得諾貝爾物理學(xué)獎（1929年）的學(xué)者。

17（一）deBroglie關(guān)系假定：與一定能量E和動量p

的實物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為：E=hνν=E/hP=h/λλ=h/p該關(guān)系稱為de.Broglie關(guān)系。根據(jù)Planck-Einstein光量子論，光具有波動粒子二重性，以及Bohr量子論，啟發(fā)了de.Broglie，他（1）仔細(xì)分析了光的微粒說與波動說的發(fā)展史；（2）注意到了幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似性，提出了實物粒子（靜質(zhì)量m不等于0的粒子）也具有波動性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動-粒子二重性，二方面必有類似的關(guān)系相聯(lián)系。18（二）deBroglie波因為自由粒子的能量

E和動量

p都是常量，所以由deBroglie關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學(xué)可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n

方向傳播的平面波可表為：寫成復(fù)數(shù)形式這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復(fù)數(shù)形式的波稱為deBroglie波deBroglie關(guān)系：ν=E/h

=2

ν=2E/h=E/

λ=h/pk=1/=2/λ=p/

19（三）駐波條件為了克服Bohr理論帶有人為性質(zhì)的缺陷，deBroglie

把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯(lián)系起來。例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運(yùn)動的電子相應(yīng)的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數(shù)倍于是角動量：deBroglie關(guān)系r代入20deBroglie波在1924年提出后，在1927-1928年由

Davisson和Germer

以及G.P.Thomson

的電子衍射實驗所證實。θ法拉第園筒入射電子注鎳單晶d21有益的啟示回顧德布羅意提出物質(zhì)波假設(shè)的過程，值得我們深思的是德布羅意從幾何光學(xué)和經(jīng)典力學(xué)的類比，又從愛因斯坦光的波粒二象性得到啟示，提出了一個如此大膽的假設(shè)。這說明利用類比的方法，了解事物的歷史發(fā)展過程，對于物理學(xué)研究的重要性。德布羅意早年對歷史研究的興趣也許還有某種潛移默化的影響，促進(jìn)了德布羅意物質(zhì)波假設(shè)的提出。德布羅意因提出了物質(zhì)波理論榮獲1929年度諾貝爾物理獎，成為第一個以學(xué)位論文獲得諾貝爾獎的人22第一章物理概念與定義

1、量子力學(xué)；2、黑體輻射；3、光電效應(yīng)；4、氫原子；5、光譜；6、熱平衡；7、能量密度；8、光電子；9、臨界頻率；10、光強(qiáng)；11、氫原子譜線線系：Lyman，Balmer，Paschen，Brackett，Pfund；12、光譜線的頻率；13、波爾（Bohr）的量子論；14、Compton散射；15、Planck假定；16、Planck輻射定律；17、光量子；18、相對論；19、光子動量；20、脫出功；21、X-射線；22、Planck常數(shù)；23、電子的Compton波長；24、量子化條件；25、波爾假定；26、頻率條件；27、Bohr半徑；28、角動量；29、Rydberg常數(shù)；30、氫原子線狀光譜；31、廣義動量；32、廣義坐標(biāo)；33、索末菲量子化條件；34、譜線強(qiáng)度；35、束縛態(tài)；36、散射；37、deBroglie波；38、deBroglie關(guān)系；39、駐波條件；40、電子衍射實驗23§1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋§2態(tài)疊加原理§3Schrodinger方程§4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律§5定態(tài)Schrodinger方程

第二章

波函數(shù)和Schrodinger方程24§1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（一）波函數(shù)（二）波函數(shù)的解釋（三）波函數(shù)的性質(zhì)253個問題？

描寫自由粒子的平面波如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運(yùn)動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)。稱為de

Broglie波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)26電子源感光屏（1）兩種錯誤的看法1.波由粒子組成如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。

電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。PPOQQO

事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\(yùn)動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。272.粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小≈1?

。

電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！?這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。28經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2．有確定的運(yùn)動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。1.入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;電子源感光屏QQOPP我們再看一下電子的衍射實驗2.入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.29創(chuàng)造條件、實驗求證電子“雙縫”干涉實驗相干物質(zhì)波30結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。

波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，Born提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。r點附近衍射花樣的強(qiáng)度正比于該點附近感光點的數(shù)目，正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目，正比于電子出現(xiàn)在

r

點附近的幾率。在電子衍射實驗中，照相底片上

31

據(jù)此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運(yùn)動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)Ψ(r)有時也稱為幾率幅。這就是首先由Born

提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。假設(shè)衍射波波幅用Ψ(r)

描述，與光學(xué)相似，衍射花紋的強(qiáng)度則用|Ψ(r)|2

描述，但意義與經(jīng)典波不同。|Ψ(r)|2

的意義是代表電子出現(xiàn)在r

點附近幾率的大小，確切的說，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在

r點處，體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強(qiáng)度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，32（三）波函數(shù)的性質(zhì)

在t時刻，r點，dτ=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)Ψ(r,t) 描寫的粒子的幾率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，其中，C是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：（1）幾率和幾率密度在t時刻r點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

稱為幾率密度。在體積V內(nèi)，t時刻找到粒子的幾率為：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ33（2） 平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：

C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,從而得常數(shù)

C之值為：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對值平方可積的函數(shù)。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞,

則C0,這是沒有意義的。注意：自由粒子波函數(shù)不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。34（3）歸一化波函數(shù)這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的C是常數(shù)。因為在t時刻，空間任意兩點r1和r2處找到粒子的相對幾率之比是：

由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于1，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強(qiáng)度的相對比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。35歸一化常數(shù)若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞

|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數(shù)），則有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為1的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數(shù)，那末，exp{i}ψ(r,t)

也是歸一化波函數(shù)（其中α是實數(shù)），與前者描述同一幾率波。也就是說，(A)-1/2Ψ(r,t)是歸一化的波函數(shù)，與Ψ(r,t)描寫同一幾率波，(A)-1/2

稱為歸一化因子。

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