水文統(tǒng)計原理課件

第三章水文統(tǒng)計原理第三章水文統(tǒng)計原理第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法一、水文統(tǒng)計水文現(xiàn)象是自然現(xiàn)象的一種，在其發(fā)生和演變過程中，包含著必然性的一面，也包著偶然性的一面。

必然現(xiàn)象是在一定條件下，必然出現(xiàn)或不出現(xiàn)的現(xiàn)象。偶然現(xiàn)象是在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，也稱隨機現(xiàn)象。

水文現(xiàn)象具有：周期性、地區(qū)性、不重復性第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法一、水文統(tǒng)計第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法

隨機現(xiàn)象所遵循的規(guī)律稱為統(tǒng)計規(guī)律，研究統(tǒng)計規(guī)律的學科稱為概率論，而由隨機現(xiàn)象的一部分試驗資料去研究全體現(xiàn)象的數(shù)量特征和規(guī)律的學科稱為數(shù)理統(tǒng)計學。

一些水文現(xiàn)象具有一定的隨機性，用數(shù)理統(tǒng)計方法來分析研究這些現(xiàn)象稱為水文統(tǒng)計學。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法隨機現(xiàn)象所遵循的規(guī)第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計的基本任務

利用所獲得的水文、氣象資料，研究和分析隨機水文現(xiàn)象（如河川徑流）的統(tǒng)計變化規(guī)律，并以此為基礎，對其未來的長期變化作出概率意義下的定量預估，為水利工程的規(guī)劃、設計、施工和運行管理提供水文依據(jù)。譬如：某流域修建一個水庫，其規(guī)模取決于水庫運行期間(未來100年)的徑流和洪水的大小。但是，未來100年的徑流和洪水有多大？必須做出估計。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計的基本任務利第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容

根據(jù)已有的資料（樣本），進行頻率計算，推求指定頻率的水文特征值；

研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計關系，應用這種關系延長、插補水文特征值和作水文預報。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容

第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計對水文資料的要求：1.可靠性以實測水文數(shù)據(jù)為資料，一般可直接應用。2.一致性指同一系列水文資料屬于同一類型、同一條件下產(chǎn)生的。如：日平均流量和月平均流量。3.代表性水文統(tǒng)計分析是利用已知水文資料推求可能水文情勢，資料實測系列越長，代表性越好。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計對水文資料的要求：第二節(jié)幾率和頻率

二、事件與隨機變量

1.事件事件是指隨機試驗的結果。

必然事件：如果可以斷定某一事件在試驗中必然發(fā)生，稱此事件必然事件。

不可能事件：可以斷定試驗中不會發(fā)生的事件稱為不可能事件。

隨機事件：某種事件在試驗結果中可以發(fā)生也可以不發(fā)生，這樣的事件就稱為隨機事件。第二節(jié)幾率和頻率二、事件與隨機變量第二節(jié)幾率和頻率

二、事件與隨機變量2.隨機變量隨機事件的每次試驗結果可用一個變量X的數(shù)值來表示，稱為隨機變量。可分為離散型的和連續(xù)型的隨機變量兩類。水文現(xiàn)象中的隨機變量指水文特征值，如流量，降雨量、水位等。第二節(jié)幾率和頻率二、事件與隨機變量第二節(jié)幾率和頻率連續(xù)型隨機變量——在一定的區(qū)間內(nèi)取得任何值。

自記水位過程——Z(t)～t

自記雨量過程——P(t)～t離散型隨機變量——在一定的區(qū)間內(nèi)取得某些間斷值。年降雨量X={x1}，X={x2}，…，X={xn-1}，X={xn}年徑流量W={W1}，W={W2}，…，W={Wn-1}，W={Wn}第二節(jié)幾率和頻率連續(xù)型隨機變量——在一定的區(qū)間內(nèi)取得任何第二節(jié)幾率和頻率

三、總體、個體與樣本將隨機變量所能取值的全體稱為總體。總體中的一個單體稱作個體?？傮w是所有個體的集合。從總體中隨機抽取一部分個體稱為樣本。樣本所含個體的數(shù)目稱為樣本容量(大小)。水文變量的總體是指自古迄今以至未來的水文系列，現(xiàn)有的水文觀測系列可以當作總體的一個樣本。第二節(jié)幾率和頻率三、總體、個體與樣本第二節(jié)幾率和頻率

四、幾率與頻率

表示隨機事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值稱為該隨機事件的幾率（或概率）。在一系列重復的獨立試驗中，某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，稱為該事件的頻率。試驗次數(shù)較少時，頻率具有偶然性。試驗次數(shù)愈多，頻率愈接近幾率。第二節(jié)幾率和頻率四、幾率與頻率在一系列重復的獨立試驗中第二節(jié)幾率和頻率

四、幾率與頻率頻率與幾率不同：幾率是隨機事件在客觀上出現(xiàn)的可能程度。是事件固有的性質。頻率是利用有限的試驗結果推算得到的。試驗次數(shù)無限多時，頻率趨向于幾率。第二節(jié)幾率和頻率四、幾率與頻率第二節(jié)幾率和頻率

四、幾率與頻率

在試驗次數(shù)足夠大的情況下，事件的頻率和概率是十分接近的。第二節(jié)幾率和頻率四、幾率與頻率在試驗次第二節(jié)幾率和頻率

水文事件只能利用一定的樣本計算其頻率，作為經(jīng)驗幾率，推求事情的變化規(guī)律，預測未來可能出現(xiàn)的情況，滿足工程需要。年最大值法：就是從水文站歷年流量觀測資料中，每年選取一個洪水成因相同的最大洪峰流量，n年的觀測資料中，可以選出n個流量值，組成一個n項容量的隨機樣本。也稱為“年最大流量法”水文統(tǒng)計法：就是利用已有的實測水文資料（數(shù)據(jù)）組成有限的隨機變量系列，作為無限總體中的一個隨機樣本，以樣本的規(guī)律推斷總體的規(guī)律，來解決實際工程中的水文計算問題。第二節(jié)幾率和頻率第三節(jié)頻率分布

一、頻率密度和累積頻率每個變量都對應著一定的出現(xiàn)頻率，系列中的變量對應著的一定頻率分布規(guī)律，即為隨機變量的頻率分布。對于實測水文資料，一般以等區(qū)間分組，并按由大到小的遞減次序排列，然后進行統(tǒng)計計算。水文資料是連續(xù)隨機變量，可以在最大和最小值的區(qū)間取一切值。第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布

某水文站75年流量資料表第三節(jié)頻率分布某水文站75年流量資料表第三節(jié)頻率分布

一頻率密度和累積頻率以各組出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比表示各組所在區(qū)間流量值出現(xiàn)的可能程度（即頻率）；累積頻率是各組累積出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)的比值，表示等于和大于該組所在區(qū)間的流量值出現(xiàn)的可能程度，都以百分數(shù)計。第三節(jié)頻率分布一頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布

一頻率密度和累積頻率

以數(shù)據(jù)系列（流量或者雨量等）為橫坐標，頻率為縱坐標，可繪出變量與頻率關系的直方圖。第三節(jié)頻率分布一頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布

一、頻率密度和累積頻率頻率密度頻率密度函數(shù)區(qū)間（x1~x2）的頻率第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率頻率密度頻率密度第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率若以流量（x）為縱坐標，累計頻率為橫坐標，則可繪出流量與累計頻率關系的折線圖。如果資料無限增多，組距無限減小，累積頻率多邊圖即成為光滑的S形累積頻率曲線(均以虛線表示)。在水文計算中，一般采用累積頻率曲線來說明水文特征值的統(tǒng)計規(guī)律，通稱為頻率曲線或分布曲線。第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率若第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率

流量與累積頻率關系折線圖——分布曲線累積頻率分布函數(shù)可以由密度函數(shù)積分而得。即某變量X對應的密度曲線左側下圍面積P就是x所對應的累積頻率。第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率流量與累積頻率第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布第三節(jié)頻率分布第三節(jié)頻率分布

二、累積頻率與重現(xiàn)期

1.累積頻率

可理解為等量值和超量值累積出現(xiàn)的次數(shù)(m)與總觀測次數(shù)(n)之比值，以百分數(shù)或小數(shù)表示。

實際工程規(guī)劃和設計并不需要知道等于某一特征值的頻率，而需要知道大于或等于某一特征值的頻率，此即累積頻率。第三節(jié)頻率分布二、累積頻率與重現(xiàn)期第三節(jié)頻率分布二、累積頻率與重現(xiàn)期2.重現(xiàn)期

頻率比較抽象，為便于理解，常采用重現(xiàn)期。

所謂重現(xiàn)期是指在許多試驗中，某一事件重復出現(xiàn)的時間間隔的平均數(shù)。在水文中，重現(xiàn)期用字母T表示，一般以年為單位。

在橋涵水文計算中，重現(xiàn)期是頻率的倒數(shù)。第三節(jié)頻率分布二、累積頻率與重現(xiàn)期頻率比較抽象，為便于第三節(jié)頻率分布

當研究暴雨洪水問題時,P（X＞x）是暴雨洪水事件發(fā)生的頻率，其重現(xiàn)期為

例如，當暴雨或洪水頻率為1%時，重現(xiàn)期T＝100年，稱此暴雨為百年一遇的暴雨或洪水。第三節(jié)頻率分布當研究暴雨洪水問題時,P（X＞x）是第三節(jié)頻率分布

所謂百年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于這樣的暴雨或洪水在長時期內(nèi)平均100年發(fā)生一次，而不能認為每隔100年必然遇上一次。第三節(jié)頻率分布所謂百年一遇的暴雨或洪水，是指第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率

洪水頻率式中：P——洪水頻率（%）n——具有最大流量值的總年數(shù)m——n年中等于或大于洪水流量Qm的年份第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率洪水頻率式中：P——第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率

橋涵及其附屬工程尺寸取決于設計流量的大小。設計標準根據(jù)經(jīng)濟條件和工程的安全要求預先擬定，一般由國家統(tǒng)一制定。我國新規(guī)范《公路工程技術標準》中橋涵設計洪水頻率。第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率橋涵及其附屬工程尺寸第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率

第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率第三節(jié)頻率分布第三節(jié)頻率分布第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率

新規(guī)范關于設計洪水頻率的另外兩條：二級公路的特大橋以及三級、四級公路的大橋，在水勢猛急、河床易千沖刷的情況下，可提高一級設計洪水頻率驗算基礎沖刷深度。沿河縱向高架橋和橋頭引道的設計洪水頻率應符合本標準中路基設計洪水頻率的規(guī)定。第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率新規(guī)范關于設計洪水頻第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線

在水文計算中，一般采用累積頻率曲線(簡稱頻率曲線)來說明水文特征值的統(tǒng)計規(guī)律。也就是說，通過這條曲線來表達水文特征值與其對應的累積頻率的關系，以便確定某指定頻率P的水文特征值。第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線在水文計算中第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線水文統(tǒng)計法中的頻率曲線分為兩類：由實測資料繪制的累計頻率曲線稱為經(jīng)驗頻率曲線。具有一定數(shù)學形式的頻率曲線，通常被稱為“理論”頻率曲線。第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線水文統(tǒng)計法中的頻率曲線分為兩類：第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線一、經(jīng)驗頻率曲線的計算頻率計算公式：1）簡單公式

式中：p為頻率；m為系列按照遞減次序排列時，各隨機變量的順序號；n為隨機變量的總項數(shù)，即水文資料觀測的總年數(shù)。2）維泊爾公式（均值公式、數(shù)學期望公式）

如果用簡單頻率公式來計算經(jīng)驗頻率，存在不合理現(xiàn)象。當m＝n時，最末項的頻率為100%，樣本末項值為總體中的最小值，不符合事實。

第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線一、經(jīng)驗頻率曲線的計算式中：p為頻率第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線年份Qm序號QmP（％）1987120011600101988132021512201989151231320301990890412004019919785111050199211106978601993160078907019946308750801995750963090第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線年份Qm序號QmP（％）1987120第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線的繪制步驟：收集水文資料，組成隨機變量系列。將變量系列從大到小遞減順序排列。此時系列中變量的順序號m，不僅表示變量大小的先后順序，還表示等于和大于該變量的累積出現(xiàn)次數(shù)。按照維泊爾公式列表計算各變量對應的累積頻率。以變量為縱坐標、頻率為橫坐標，在經(jīng)驗頻率曲線上繪制經(jīng)驗頻率點。依據(jù)經(jīng)驗點群的變化趨勢，描繪成一條圓滑的曲線，即為所求的經(jīng)驗頻率曲線。第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線的繪制步驟：第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線等分格紙：縱橫坐標均勻劃分海森幾率格紙：將橫坐標按標準正態(tài)頻率曲線轉換成“中間較密，兩端稀疏”不均勻劃分，以P=50％對稱中心第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線等分格紙：縱橫坐標均勻劃分海森幾率格紙第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線的延長

問題：一般實測河流徑流量n<100年，最多推求百年一遇的洪峰量，若推求0.1%、0.01%頻率下的洪峰量，則需要將曲線外延。為了避免徒手順勢外延的主觀隨意性，一般可使用海森幾率格紙，使正態(tài)分布的頻率曲線在其上呈一條直線。使得手動延長的頻率曲線部分誤差比普通坐標紙相對減。第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線的延長問題：一般實測河流徑第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)隨機變量的頻率分布特征和頻率分布曲線，能夠用該系列的幾個數(shù)值特征值來確定，這些具體數(shù)值常稱為統(tǒng)計參數(shù)。水文統(tǒng)計中常用的統(tǒng)計參數(shù)有三個：均值X

、變差系數(shù)Cv、偏差系數(shù)Cs。概率分布曲線完整地刻畫了隨機變量的變化規(guī)律。但隨機變量特別是水文隨機變量，其概率分布的確定是十分困難的。實際上，我們有時僅需要知道它的一些數(shù)字特征即統(tǒng)計參數(shù)就足夠了。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)隨機變量的頻率分布特征和頻第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)

研究分布的數(shù)值特征（統(tǒng)計參數(shù)）的重要意義在于:需要用一些數(shù)值特征來表示一個已知的概率分布。對于一個未知分布，可以通過數(shù)值特征來估計它的分布。在水文計算中，通常只掌握樣本系列的統(tǒng)計參數(shù)來推求總體的規(guī)律。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)研究分布的數(shù)值特征（統(tǒng)計參數(shù)）的重第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)

對水文隨機變量，設有實測系列值：x1,x2,x3,…,xn，則1.均值2.均方差

意義：為系列值分布的中心，表示對象的平均情況，即總體水平的高低。

意義：表示分布函數(shù)的絕對離散程度。均方差越大，分布函數(shù)越分散，其值變化幅度越大；反之，亦然。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)對水文隨機變量，設有實測系列值：x1,x第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)均方差對頻率曲線的影響σ1

σ2

σ2

＞

σ1f（x）x第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)均方差對頻率曲線的影響σ1σ2σ2＞第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)3.變差系數(shù)

意義：表示分布函數(shù)的相對離散程度。Cv越大，分布函數(shù)越分散；反之，亦然。式中：為模比系數(shù)。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)3.變差系數(shù)意義：表示分布函數(shù)的相第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)例1.

計算均方差并比較它們的離散程度。

序列1：5，10，15

序列2：1，10，19例2.

計算變差系數(shù)（Cv）并比較它們的離散程度。序列1：5，10，15

序列2：995，1000，1005答案：1：σ1=4.08σ2=7.352：X1=10σ1=4.08Cv1=0.48

X2=1000σ2=4.08Cv2=0.0048

第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)例1.計算均方差并比較它們的離散程度。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)4.偏差系數(shù)

意義：表示分布函數(shù)的對稱程度。

Cs=0——分布函數(shù)對稱；隨機變量大于均值與小于均值出現(xiàn)機會相等

Cs>0——分布函數(shù)正偏；隨機變量大于均值比小于均值出現(xiàn)的機會小

Cs<0——分布函數(shù)負偏；隨機變量大于均值比小于均值出現(xiàn)的機會大第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)4.偏差系數(shù)意義：表示分布函數(shù)的對稱程第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)Cs對密度曲線的影響

第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)Cs對密度曲線的影響第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)參數(shù)變化對頻率曲線形狀的影響1、均值增大，曲線整體上移；2、Cv增大，曲線繞均值附近順時針轉動；3、CS增大，曲線兩頭上翹，中間下沉。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)參數(shù)變化對頻率曲線形狀的影響第六節(jié)理論頻率曲線問題：運用經(jīng)驗頻率曲線外延人為性太大，誤差大。解決辦法：理論頻率公式－用實測數(shù)據(jù)擬合理論頻率曲線，然后運用理論頻率公式外推。常用的有皮爾遜III型曲線。第六節(jié)理論頻率曲線問題：運用經(jīng)驗頻率曲線外延人為性太大，第六節(jié)理論頻率曲線一、曲線的數(shù)學方程式及其特點

皮爾遜Ⅲ型曲線（見圖）為一端有限一端無限的不對稱單峰曲線，概率密度函數(shù)

式中，參數(shù)α，β，a0，且有：第六節(jié)理論頻率曲線一、曲線的數(shù)學方程式及其特點皮爾第六節(jié)理論頻率曲線第六節(jié)理論頻率曲線第六節(jié)理論頻率曲線皮爾遜Ⅲ型分布的積分無解析解，實用中制表查用。已知x、CV、CS，由f(x)推求F(x)第六節(jié)理論頻率曲線皮爾遜Ⅲ型分布的積分無解析解，實用第六節(jié)理論頻率曲線二、皮爾遜Ⅲ型曲線的應用對皮爾遜密度方程式進行一定的積分，可以得到我們需要的頻率曲線縱坐標對應的XP的計算公式為：水文計算中，一般需要求出指定頻率P所相應的隨機變量取值Xp，也就是通過對密度曲線進行積分，求出等于及大于Xp的累積頻率P值。第六節(jié)理論頻率曲線二、皮爾遜Ⅲ型曲線的應用水文計算中，一第六節(jié)理論頻率曲線P(%)Cs【例】已知某地年平均雨量x＝1000mm、CV

＝0.5、CS＝1.0，求p＝1%的設計年雨量。由CS＝1.0，p＝1%

查得Ф＝3.02x1%

＝（ФCv＋1）x＝（3.02×0.5＋1）×1000＝2510（mm）第六節(jié)理論頻率曲線P(%)Cs【例】已知某地年平均雨量第六節(jié)理論頻率曲線皮爾遜Ⅲ型曲線推求理論頻率曲線的步驟：1）搜集年最大流量資料樣本，組成變量系列；2）將變量按從大到小順序排列；3）計算系列的三大統(tǒng)計參數(shù)：4）按照皮爾遜計算公式列表計算各指定頻率的流量；5）將列表計算結果中的頻率為橫坐標，流量為縱坐標，在海森幾率格紙上繪出各點，并按照點群變化趨勢連接成光滑曲線，即為所求的皮爾遜Ⅲ型理論頻率曲線；第六節(jié)理論頻率曲線皮爾遜Ⅲ型曲線推求理論頻率曲線的步驟：第六節(jié)理論頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線形狀的影響

為了避免配線時調(diào)整參數(shù)的盲目性，必須了解皮爾遜Ⅲ型分布的統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響。

固定皮爾遜Ⅲ型頻率曲線的兩個參數(shù)，改變第三個統(tǒng)計參數(shù)，可以使頻率曲線發(fā)生很大的變化。第六節(jié)理論頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線形狀的影響第六節(jié)理論頻率曲線1.均值x的影響當Cv、Cs相同時，均值大的曲線位于均值小的曲線之上；均值大的曲線較均值小的曲線陡。第六節(jié)理論頻率曲線1.均值x的影響第六節(jié)理論頻率曲線2.變差系數(shù)Cv的影響為消除均值影響，用模比系數(shù)K為縱坐標繪制頻率曲線。當Cv＝0時，K＝1，頻率曲線為一條水平線；且Cv越大，頻率曲線越陡。第六節(jié)理論頻率曲線2.變差系數(shù)Cv的影響第六節(jié)理論頻率曲線3.偏態(tài)系數(shù)Cs的影響正偏情況下，當Cv相同時，Cs越大，頻率曲線中部向左偏，上部越陡，下部變平緩。第六節(jié)理論頻率曲線3.偏態(tài)系數(shù)Cs的影響第六節(jié)理論頻率曲線

三、抽樣誤差用一個樣本的統(tǒng)計參數(shù)來估計總體的統(tǒng)計參數(shù)是存在誤差的，稱之為抽樣誤差。這種誤差是由于從總體中隨機抽取的樣本與總體有差異而引起的。樣本抽樣誤差的均方值稱為均方誤，是衡量抽樣誤差的大小的常用指標。第六節(jié)理論頻率曲線三、抽樣誤差第六節(jié)理論頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)的抽樣誤差第六節(jié)理論頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)的抽樣誤差第六節(jié)理論頻率曲線樣本參數(shù)的均方誤（相對誤差，%）

由表中可見，當n＝100時，CS的誤差在40～126%之間。水文資料一般都很短（n＜100），按公式算得的CS值，抽樣誤差太大。通常都采用適線法選定CS值。X

C

V

C

S

參數(shù)

n

Cv

100

50

25

10

100

50

25

10

100

50

25

10

0

．

1

1

1

2

3

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42

60

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134

第六節(jié)理論頻率曲線樣本參數(shù)的均方誤（相對誤差，%）由第三章水文統(tǒng)計原理第三章水文統(tǒng)計原理第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法一、水文統(tǒng)計水文現(xiàn)象是自然現(xiàn)象的一種，在其發(fā)生和演變過程中，包含著必然性的一面，也包著偶然性的一面。

必然現(xiàn)象是在一定條件下，必然出現(xiàn)或不出現(xiàn)的現(xiàn)象。偶然現(xiàn)象是在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，也稱隨機現(xiàn)象。

水文現(xiàn)象具有：周期性、地區(qū)性、不重復性第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法一、水文統(tǒng)計第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法

隨機現(xiàn)象所遵循的規(guī)律稱為統(tǒng)計規(guī)律，研究統(tǒng)計規(guī)律的學科稱為概率論，而由隨機現(xiàn)象的一部分試驗資料去研究全體現(xiàn)象的數(shù)量特征和規(guī)律的學科稱為數(shù)理統(tǒng)計學。

一些水文現(xiàn)象具有一定的隨機性，用數(shù)理統(tǒng)計方法來分析研究這些現(xiàn)象稱為水文統(tǒng)計學。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法隨機現(xiàn)象所遵循的規(guī)第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計的基本任務

利用所獲得的水文、氣象資料，研究和分析隨機水文現(xiàn)象（如河川徑流）的統(tǒng)計變化規(guī)律，并以此為基礎，對其未來的長期變化作出概率意義下的定量預估，為水利工程的規(guī)劃、設計、施工和運行管理提供水文依據(jù)。譬如：某流域修建一個水庫，其規(guī)模取決于水庫運行期間(未來100年)的徑流和洪水的大小。但是，未來100年的徑流和洪水有多大？必須做出估計。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計的基本任務利第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容

根據(jù)已有的資料（樣本），進行頻率計算，推求指定頻率的水文特征值；

研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計關系，應用這種關系延長、插補水文特征值和作水文預報。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容

第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計對水文資料的要求：1.可靠性以實測水文數(shù)據(jù)為資料，一般可直接應用。2.一致性指同一系列水文資料屬于同一類型、同一條件下產(chǎn)生的。如：日平均流量和月平均流量。3.代表性水文統(tǒng)計分析是利用已知水文資料推求可能水文情勢，資料實測系列越長，代表性越好。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法水文統(tǒng)計對水文資料的要求：第二節(jié)幾率和頻率

二、事件與隨機變量

1.事件事件是指隨機試驗的結果。

必然事件：如果可以斷定某一事件在試驗中必然發(fā)生，稱此事件必然事件。

不可能事件：可以斷定試驗中不會發(fā)生的事件稱為不可能事件。

隨機事件：某種事件在試驗結果中可以發(fā)生也可以不發(fā)生，這樣的事件就稱為隨機事件。第二節(jié)幾率和頻率二、事件與隨機變量第二節(jié)幾率和頻率

二、事件與隨機變量2.隨機變量隨機事件的每次試驗結果可用一個變量X的數(shù)值來表示，稱為隨機變量。可分為離散型的和連續(xù)型的隨機變量兩類。水文現(xiàn)象中的隨機變量指水文特征值，如流量，降雨量、水位等。第二節(jié)幾率和頻率二、事件與隨機變量第二節(jié)幾率和頻率連續(xù)型隨機變量——在一定的區(qū)間內(nèi)取得任何值。

自記水位過程——Z(t)～t

自記雨量過程——P(t)～t離散型隨機變量——在一定的區(qū)間內(nèi)取得某些間斷值。年降雨量X={x1}，X={x2}，…，X={xn-1}，X={xn}年徑流量W={W1}，W={W2}，…，W={Wn-1}，W={Wn}第二節(jié)幾率和頻率連續(xù)型隨機變量——在一定的區(qū)間內(nèi)取得任何第二節(jié)幾率和頻率

三、總體、個體與樣本將隨機變量所能取值的全體稱為總體?？傮w中的一個單體稱作個體?？傮w是所有個體的集合。從總體中隨機抽取一部分個體稱為樣本。樣本所含個體的數(shù)目稱為樣本容量(大小)。水文變量的總體是指自古迄今以至未來的水文系列，現(xiàn)有的水文觀測系列可以當作總體的一個樣本。第二節(jié)幾率和頻率三、總體、個體與樣本第二節(jié)幾率和頻率

四、幾率與頻率

表示隨機事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值稱為該隨機事件的幾率（或概率）。在一系列重復的獨立試驗中，某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，稱為該事件的頻率。試驗次數(shù)較少時，頻率具有偶然性。試驗次數(shù)愈多，頻率愈接近幾率。第二節(jié)幾率和頻率四、幾率與頻率在一系列重復的獨立試驗中第二節(jié)幾率和頻率

四、幾率與頻率頻率與幾率不同：幾率是隨機事件在客觀上出現(xiàn)的可能程度。是事件固有的性質。頻率是利用有限的試驗結果推算得到的。試驗次數(shù)無限多時，頻率趨向于幾率。第二節(jié)幾率和頻率四、幾率與頻率第二節(jié)幾率和頻率

四、幾率與頻率

在試驗次數(shù)足夠大的情況下，事件的頻率和概率是十分接近的。第二節(jié)幾率和頻率四、幾率與頻率在試驗次第二節(jié)幾率和頻率

水文事件只能利用一定的樣本計算其頻率，作為經(jīng)驗幾率，推求事情的變化規(guī)律，預測未來可能出現(xiàn)的情況，滿足工程需要。年最大值法：就是從水文站歷年流量觀測資料中，每年選取一個洪水成因相同的最大洪峰流量，n年的觀測資料中，可以選出n個流量值，組成一個n項容量的隨機樣本。也稱為“年最大流量法”水文統(tǒng)計法：就是利用已有的實測水文資料（數(shù)據(jù)）組成有限的隨機變量系列，作為無限總體中的一個隨機樣本，以樣本的規(guī)律推斷總體的規(guī)律，來解決實際工程中的水文計算問題。第二節(jié)幾率和頻率第三節(jié)頻率分布

一、頻率密度和累積頻率每個變量都對應著一定的出現(xiàn)頻率，系列中的變量對應著的一定頻率分布規(guī)律，即為隨機變量的頻率分布。對于實測水文資料，一般以等區(qū)間分組，并按由大到小的遞減次序排列，然后進行統(tǒng)計計算。水文資料是連續(xù)隨機變量，可以在最大和最小值的區(qū)間取一切值。第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布

某水文站75年流量資料表第三節(jié)頻率分布某水文站75年流量資料表第三節(jié)頻率分布

一頻率密度和累積頻率以各組出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比表示各組所在區(qū)間流量值出現(xiàn)的可能程度（即頻率）；累積頻率是各組累積出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)的比值，表示等于和大于該組所在區(qū)間的流量值出現(xiàn)的可能程度，都以百分數(shù)計。第三節(jié)頻率分布一頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布

一頻率密度和累積頻率

以數(shù)據(jù)系列（流量或者雨量等）為橫坐標，頻率為縱坐標，可繪出變量與頻率關系的直方圖。第三節(jié)頻率分布一頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布

一、頻率密度和累積頻率頻率密度頻率密度函數(shù)區(qū)間（x1~x2）的頻率第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率頻率密度頻率密度第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率若以流量（x）為縱坐標，累計頻率為橫坐標，則可繪出流量與累計頻率關系的折線圖。如果資料無限增多，組距無限減小，累積頻率多邊圖即成為光滑的S形累積頻率曲線(均以虛線表示)。在水文計算中，一般采用累積頻率曲線來說明水文特征值的統(tǒng)計規(guī)律，通稱為頻率曲線或分布曲線。第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率若第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率

流量與累積頻率關系折線圖——分布曲線累積頻率分布函數(shù)可以由密度函數(shù)積分而得。即某變量X對應的密度曲線左側下圍面積P就是x所對應的累積頻率。第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率流量與累積頻率第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布一、頻率密度和累積頻率第三節(jié)頻率分布第三節(jié)頻率分布第三節(jié)頻率分布

二、累積頻率與重現(xiàn)期

1.累積頻率

可理解為等量值和超量值累積出現(xiàn)的次數(shù)(m)與總觀測次數(shù)(n)之比值，以百分數(shù)或小數(shù)表示。

實際工程規(guī)劃和設計并不需要知道等于某一特征值的頻率，而需要知道大于或等于某一特征值的頻率，此即累積頻率。第三節(jié)頻率分布二、累積頻率與重現(xiàn)期第三節(jié)頻率分布二、累積頻率與重現(xiàn)期2.重現(xiàn)期

頻率比較抽象，為便于理解，常采用重現(xiàn)期。

所謂重現(xiàn)期是指在許多試驗中，某一事件重復出現(xiàn)的時間間隔的平均數(shù)。在水文中，重現(xiàn)期用字母T表示，一般以年為單位。

在橋涵水文計算中，重現(xiàn)期是頻率的倒數(shù)。第三節(jié)頻率分布二、累積頻率與重現(xiàn)期頻率比較抽象，為便于第三節(jié)頻率分布

當研究暴雨洪水問題時,P（X＞x）是暴雨洪水事件發(fā)生的頻率，其重現(xiàn)期為

例如，當暴雨或洪水頻率為1%時，重現(xiàn)期T＝100年，稱此暴雨為百年一遇的暴雨或洪水。第三節(jié)頻率分布當研究暴雨洪水問題時,P（X＞x）是第三節(jié)頻率分布

所謂百年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于這樣的暴雨或洪水在長時期內(nèi)平均100年發(fā)生一次，而不能認為每隔100年必然遇上一次。第三節(jié)頻率分布所謂百年一遇的暴雨或洪水，是指第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率

洪水頻率式中：P——洪水頻率（%）n——具有最大流量值的總年數(shù)m——n年中等于或大于洪水流量Qm的年份第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率洪水頻率式中：P——第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率

橋涵及其附屬工程尺寸取決于設計流量的大小。設計標準根據(jù)經(jīng)濟條件和工程的安全要求預先擬定，一般由國家統(tǒng)一制定。我國新規(guī)范《公路工程技術標準》中橋涵設計洪水頻率。第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率橋涵及其附屬工程尺寸第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率

第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率第三節(jié)頻率分布第三節(jié)頻率分布第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率

新規(guī)范關于設計洪水頻率的另外兩條：二級公路的特大橋以及三級、四級公路的大橋，在水勢猛急、河床易千沖刷的情況下，可提高一級設計洪水頻率驗算基礎沖刷深度。沿河縱向高架橋和橋頭引道的設計洪水頻率應符合本標準中路基設計洪水頻率的規(guī)定。第三節(jié)頻率分布三、設計洪水頻率新規(guī)范關于設計洪水頻第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線

在水文計算中，一般采用累積頻率曲線(簡稱頻率曲線)來說明水文特征值的統(tǒng)計規(guī)律。也就是說，通過這條曲線來表達水文特征值與其對應的累積頻率的關系，以便確定某指定頻率P的水文特征值。第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線在水文計算中第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線水文統(tǒng)計法中的頻率曲線分為兩類：由實測資料繪制的累計頻率曲線稱為經(jīng)驗頻率曲線。具有一定數(shù)學形式的頻率曲線，通常被稱為“理論”頻率曲線。第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線水文統(tǒng)計法中的頻率曲線分為兩類：第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線一、經(jīng)驗頻率曲線的計算頻率計算公式：1）簡單公式

式中：p為頻率；m為系列按照遞減次序排列時，各隨機變量的順序號；n為隨機變量的總項數(shù)，即水文資料觀測的總年數(shù)。2）維泊爾公式（均值公式、數(shù)學期望公式）

如果用簡單頻率公式來計算經(jīng)驗頻率，存在不合理現(xiàn)象。當m＝n時，最末項的頻率為100%，樣本末項值為總體中的最小值，不符合事實。

第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線一、經(jīng)驗頻率曲線的計算式中：p為頻率第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線年份Qm序號QmP（％）1987120011600101988132021512201989151231320301990890412004019919785111050199211106978601993160078907019946308750801995750963090第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線年份Qm序號QmP（％）1987120第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線的繪制步驟：收集水文資料，組成隨機變量系列。將變量系列從大到小遞減順序排列。此時系列中變量的順序號m，不僅表示變量大小的先后順序，還表示等于和大于該變量的累積出現(xiàn)次數(shù)。按照維泊爾公式列表計算各變量對應的累積頻率。以變量為縱坐標、頻率為橫坐標，在經(jīng)驗頻率曲線上繪制經(jīng)驗頻率點。依據(jù)經(jīng)驗點群的變化趨勢，描繪成一條圓滑的曲線，即為所求的經(jīng)驗頻率曲線。第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線的繪制步驟：第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線等分格紙：縱橫坐標均勻劃分海森幾率格紙：將橫坐標按標準正態(tài)頻率曲線轉換成“中間較密，兩端稀疏”不均勻劃分，以P=50％對稱中心第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線等分格紙：縱橫坐標均勻劃分海森幾率格紙第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線的延長

問題：一般實測河流徑流量n<100年，最多推求百年一遇的洪峰量，若推求0.1%、0.01%頻率下的洪峰量，則需要將曲線外延。為了避免徒手順勢外延的主觀隨意性，一般可使用海森幾率格紙，使正態(tài)分布的頻率曲線在其上呈一條直線。使得手動延長的頻率曲線部分誤差比普通坐標紙相對減。第四節(jié)經(jīng)驗頻率曲線經(jīng)驗頻率曲線的延長問題：一般實測河流徑第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)隨機變量的頻率分布特征和頻率分布曲線，能夠用該系列的幾個數(shù)值特征值來確定，這些具體數(shù)值常稱為統(tǒng)計參數(shù)。水文統(tǒng)計中常用的統(tǒng)計參數(shù)有三個：均值X

、變差系數(shù)Cv、偏差系數(shù)Cs。概率分布曲線完整地刻畫了隨機變量的變化規(guī)律。但隨機變量特別是水文隨機變量，其概率分布的確定是十分困難的。實際上，我們有時僅需要知道它的一些數(shù)字特征即統(tǒng)計參數(shù)就足夠了。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)隨機變量的頻率分布特征和頻第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)

研究分布的數(shù)值特征（統(tǒng)計參數(shù)）的重要意義在于:需要用一些數(shù)值特征來表示一個已知的概率分布。對于一個未知分布，可以通過數(shù)值特征來估計它的分布。在水文計算中，通常只掌握樣本系列的統(tǒng)計參數(shù)來推求總體的規(guī)律。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)研究分布的數(shù)值特征（統(tǒng)計參數(shù)）的重第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)

對水文隨機變量，設有實測系列值：x1,x2,x3,…,xn，則1.均值2.均方差

意義：為系列值分布的中心，表示對象的平均情況，即總體水平的高低。

意義：表示分布函數(shù)的絕對離散程度。均方差越大，分布函數(shù)越分散，其值變化幅度越大；反之，亦然。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)對水文隨機變量，設有實測系列值：x1,x第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)均方差對頻率曲線的影響σ1

σ2

σ2

＞

σ1f（x）x第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)均方差對頻率曲線的影響σ1σ2σ2＞第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)3.變差系數(shù)

意義：表示分布函數(shù)的相對離散程度。Cv越大，分布函數(shù)越分散；反之，亦然。式中：為模比系數(shù)。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)3.變差系數(shù)意義：表示分布函數(shù)的相第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)例1.

計算均方差并比較它們的離散程度。

序列1：5，10，15

序列2：1，10，19例2.

計算變差系數(shù)（Cv）并比較它們的離散程度。序列1：5，10，15

序列2：995，1000，1005答案：1：σ1=4.08σ2=7.352：X1=10σ1=4.08Cv1=0.48

X2=1000σ2=4.08Cv2=0.0048

第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)例1.計算均方差并比較它們的離散程度。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)4.偏差系數(shù)

意義：表示分布函數(shù)的對稱程度。

Cs=0——分布函數(shù)對稱；隨機變量大于均值與小于均值出現(xiàn)機會相等

Cs>0——分布函數(shù)正偏；隨機變量大于均值比小于均值出現(xiàn)的機會小

Cs<0——分布函數(shù)負偏；隨機變量大于均值比小于均值出現(xiàn)的機會大第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)4.偏差系數(shù)意義：表示分布函數(shù)的對稱程第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)Cs對密度曲線的影響

第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)Cs對密度曲線的影響第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)參數(shù)變化對頻率曲線形狀的影響1、均值增大，曲線整體上移；2、Cv增大，曲線繞均值附近順時針轉動；3、CS增大，曲線兩頭上翹，中間下沉。第五節(jié)統(tǒng)計參數(shù)參數(shù)變化對頻率曲線形狀的影響第六節(jié)理論頻率曲線問題：運用經(jīng)驗頻率曲線外延人為性太大，誤差大。解決辦法：理論頻率公式－用實測數(shù)據(jù)擬合理論頻率曲線，然后運用理論頻率公式外推。常用的有皮爾遜III型曲線。第六節(jié)理論頻率曲線問題：運用經(jīng)驗頻率曲線外延人為性太大，第六節(jié)理論頻率曲線一、曲線的數(shù)學方程式及其特點

皮爾遜Ⅲ型曲線（見圖）為一端有限一端無限的不對稱單峰曲線，概率密度函數(shù)

式中，參數(shù)α，β，a0，且有：第六節(jié)理論頻率曲線一、曲線的數(shù)學方程式及其特點皮爾第六節(jié)理論頻率曲線第六節(jié)理論頻率曲線第六節(jié)理論頻率曲線皮爾遜Ⅲ型分布的積分無解析解，實用中制表查用。已知x、CV、CS，由f(x)推求F(x)第六節(jié)理論頻率曲線皮爾遜Ⅲ型分布的積分無解析解，實用第六節(jié)理論頻率曲線二、皮爾遜Ⅲ型曲線的應用對皮爾遜密度方程式進行一定的積分，可以得到我們需要的頻率曲線縱坐標對應的XP的計算公式為：水文計算中，一般需要求出指定頻率P所相應的隨機變量取值Xp，也就是通過對密度曲線進行積分，求出等于及大于Xp的累積頻率P值。第六節(jié)理論頻率曲線二、皮爾遜Ⅲ型曲線的應用水文計算中，一第六節(jié)理論頻率曲線P(%)Cs【例】已知某地年平均雨量x＝1000mm、CV

＝0.5、CS＝1.0，求p＝1%的設計年雨量。由CS＝1.0