人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值課件

2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值熟悉人壽保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型；熟悉人壽保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量及人壽保險(xiǎn)精算現(xiàn)值；掌握各種壽險(xiǎn)產(chǎn)品躉繳凈保費(fèi)及人壽保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法；了解躉繳凈保費(fèi)的實(shí)際意義及遞推公式；熟悉利用換算函數(shù)計(jì)算人壽保險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1第二章人壽2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值2人身保險(xiǎn)是以人的壽命和身體為保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)。人壽保險(xiǎn)是人身保險(xiǎn)的一種。人壽保險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁的是被保險(xiǎn)人的生存或者死亡的風(fēng)險(xiǎn)。它起源于古代的互助團(tuán)體，其原理是通過集合具有同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的大量被保險(xiǎn)人，通過在這些被保險(xiǎn)人之間進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分散——即由所有的被保險(xiǎn)人共同出資給遭遇風(fēng)險(xiǎn)的少數(shù)被保險(xiǎn)人——來達(dá)到降低突發(fā)風(fēng)險(xiǎn)事故對(duì)遭遇風(fēng)險(xiǎn)事故的個(gè)體造成的財(cái)務(wù)沖擊。本章的目的就是討論各種人壽保險(xiǎn)的模型和方法。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值2人身保險(xiǎn)是以2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值3§2.1連續(xù)型保險(xiǎn)所謂連續(xù)型保險(xiǎn)，指的是在保險(xiǎn)事故出現(xiàn)后立即支付保險(xiǎn)利益的保險(xiǎn)，因?yàn)槿藟郾ｋU(xiǎn)一般以被保險(xiǎn)人的死亡為保險(xiǎn)事故，所以有時(shí)又叫做在死亡即刻支付的保險(xiǎn)。在保險(xiǎn)事故出現(xiàn)后，保險(xiǎn)公司向被保險(xiǎn)人（或其收益人）支付的保險(xiǎn)金為保險(xiǎn)利益，保險(xiǎn)利益一般為從保險(xiǎn)開始（保單生效）后到保險(xiǎn)事故出現(xiàn)之間的時(shí)間長度的函數(shù)，根據(jù)上一章的記號(hào)，用t來記時(shí)間變量，相應(yīng)的保險(xiǎn)利益記為bt。一般情況下，統(tǒng)稱bt為保額函數(shù)。相應(yīng)地，用vt記貼現(xiàn)函數(shù)，即將bt貼現(xiàn)到保險(xiǎn)開始時(shí)的函數(shù)。通常假設(shè)貼現(xiàn)因子中的利率為常數(shù)。對(duì)于一份新發(fā)行的保單，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)事故發(fā)生的時(shí)間由隨機(jī)變量T(x)來描述，而保險(xiǎn)利益的支付時(shí)間及其價(jià)值均與T(x)有關(guān)，所以，可以定義相應(yīng)的現(xiàn)值隨機(jī)變量如下：Z=bTvT

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值3§2.12023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值4等額保險(xiǎn)所謂等額保險(xiǎn)，是指保險(xiǎn)利益的金額在保險(xiǎn)開始時(shí)就已經(jīng)固定，只是支付的時(shí)間不確定而已，支付時(shí)間與保險(xiǎn)事故發(fā)生的時(shí)間有關(guān)。定期死亡保險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)生存和兩全保險(xiǎn)延期保險(xiǎn)定期死亡保險(xiǎn)：考慮n年期定期死亡保險(xiǎn)，這種保險(xiǎn)只有被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)開始后n年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司才對(duì)被保險(xiǎn)人進(jìn)行支付。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值4等額保險(xiǎn)所謂2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值5等額保險(xiǎn)本節(jié)討論的壽險(xiǎn)模型,其保險(xiǎn)金是在被保險(xiǎn)人的未來壽命T=T(x)時(shí)給付,即在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付。在壽險(xiǎn)實(shí)務(wù)中幾乎所有保險(xiǎn)都是如此。這就是所謂的連續(xù)型的人壽保險(xiǎn)模型死亡保險(xiǎn):假設(shè)被保險(xiǎn)人在投保(或簽單)時(shí)的年齡為x歲,保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人未來壽命T=T(x)時(shí)的給付金額為bt,而vt

是在時(shí)刻t時(shí)給付1個(gè)單位金額在簽單時(shí)的利息貼現(xiàn)系數(shù),ZT

是給付金額在簽單時(shí)的現(xiàn)值。則現(xiàn)值隨機(jī)變量2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值5等額保險(xiǎn)本節(jié)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值6死亡保險(xiǎn)對(duì)于(x)投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1單位的n年期定期壽險(xiǎn),其有關(guān)函數(shù)是稱現(xiàn)值函數(shù)隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望為保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值，也是躉繳純保費(fèi)額于是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值6死亡保險(xiǎn)對(duì)于2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值7則連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量ZT

的方差是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值7則連續(xù)型的保2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值82022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值82023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值9例，設(shè)(x)的未來壽命T=T(x)的密度函數(shù)是解:依題意,則有2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值9例，設(shè)(x)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值102022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值102023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值11保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量ZT

的方差,對(duì)于考慮經(jīng)營該險(xiǎn)種業(yè)務(wù)的財(cái)務(wù)穩(wěn)定性具有重要的指導(dǎo)意義。[例]設(shè)有100個(gè)相互獨(dú)立的年齡都是x歲的被保險(xiǎn)人均投保保險(xiǎn)金額為10元的連續(xù)型終身壽險(xiǎn),死力為=0.04,保險(xiǎn)金將從按利力=0.06計(jì)息的投資基金中支付。試計(jì)算該項(xiàng)基金在最初(t=0)時(shí),其數(shù)額至少有多大,才能保證從該項(xiàng)基金中足以支付每個(gè)被保險(xiǎn)人死亡保險(xiǎn)金的概率近似為95%。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值11保險(xiǎn)金給付2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值12解:設(shè)Zj

表示第j個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡給付在投保時(shí)的現(xiàn)值隨機(jī)變量,則2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值12解:設(shè)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值13設(shè)該項(xiàng)基金在最初時(shí)的數(shù)額至少是h元,依題意,則

即該項(xiàng)基金在最初時(shí)的數(shù)額至少要有449.35元,比所收取的建繳純保費(fèi)建立的初始基金400(=100×4)元多出49.35元,即超過歪繳純保費(fèi)基金的12.34%。這說明,最初基金需有風(fēng)險(xiǎn)附加費(fèi)(即安全附加費(fèi))的存在,即該基金超過保費(fèi)總額的那部分(49.35元)是安全附加基金。

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值13設(shè)該項(xiàng)基金2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值14兩全保險(xiǎn)與延期壽險(xiǎn)對(duì)于(x)投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年期兩全保險(xiǎn),其給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值14兩全保險(xiǎn)與2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值15延期壽險(xiǎn)對(duì)于(x)投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期h年的終身壽險(xiǎn),其給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量是

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值15延期壽險(xiǎn)對(duì)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值16表示連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期h年的n年期定期壽險(xiǎn)和延期h年的n年期兩全保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)分別為2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值16表示連續(xù)型2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值17例考察保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期5年的終身壽險(xiǎn),設(shè)年齡為x歲的被保險(xiǎn)人,其死力為常值μ=0.04,利力=0.10,Z表示給付現(xiàn)值隨機(jī)變量。試求:期望值E(Z);(2)方差Var(Z);(3)中位數(shù)解:依題意可知,未來壽命T=T(x)的密度函數(shù)是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值17例考察保險(xiǎn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值182022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值182023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值19變額保險(xiǎn)對(duì)于連續(xù)型的非均衡給付保險(xiǎn),本文僅討論遞增非均衡給付和遞減非均衡給付中的兩種特殊情形:1.按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞增的終身壽險(xiǎn);2.按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞減的終身壽險(xiǎn)。1.按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞增的終身壽險(xiǎn)按算術(shù)數(shù)列{n}續(xù)年遞增的連續(xù)型的終身壽險(xiǎn),可分為三種情況,其一是按年遞增的終身壽險(xiǎn),其二是按年遞增且每年遞增m次的終身壽險(xiǎn),其三是按年連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)。

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值19變額保險(xiǎn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值20(1)按年遞增的終身壽險(xiǎn):其保險(xiǎn)利益為:如被保險(xiǎn)人在第一保單年度內(nèi)死亡,則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金1元;在第二個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金2元;在第三個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金3元,依次類推

該終身壽險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值20(1)按2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值21(2)按年度遞增且每年遞增m次的終身壽險(xiǎn).它是將每一個(gè)保單年度分為均等的m個(gè)時(shí)間段,其保險(xiǎn)利益是:如被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年的第一個(gè)1/m年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金1/m元,在第一個(gè)保單年的第二個(gè)1/m年(即1/m到2/m年之間）內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金2/m，…，第一個(gè)保單年的第m個(gè)1/m年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金1(即m/m)元;在第二個(gè)保單年的第一個(gè)1/m年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金(1+1/m)元,在第二個(gè)保單年的第二個(gè)1/m年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金(1+2/m)元,依次類推

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值21(2)按2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值22該終身壽險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值22該終身壽險(xiǎn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值23(3)按年連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)。按年連續(xù)遞增的即期終身壽險(xiǎn)其保險(xiǎn)利益是:如被保險(xiǎn)人在時(shí)刻t(t>O)時(shí)死亡,則給付死亡保險(xiǎn)金t元

該終身壽險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值23(3)按2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值24上式表明:按年連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)保單等價(jià)于由一系列的延期的保險(xiǎn)金額為1元的連續(xù)型終身壽險(xiǎn)保單所組成

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值24上式表明2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值252.按年遞減的n年定期壽險(xiǎn)。按年遞減的n年定期壽險(xiǎn),其保險(xiǎn)利益是:如被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金n元,在第二個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金(n-1)元,依次類推,在第n個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金1元。該保險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值252.按年2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值262022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值262023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值272022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值272023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值282022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值282023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值292022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值292023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值30微分方程（換算函數(shù)表示式）本節(jié)引人連續(xù)的換算函數(shù)來表示連續(xù)型各壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值考慮(x)的終身壽險(xiǎn)，我們有2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值30微分方程（2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值312022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值312023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值32死亡均勻分布假設(shè)下的壽險(xiǎn)模型

討論在死亡均勻分布假設(shè)下，連續(xù)型壽險(xiǎn)模型的躉繳純保費(fèi)與相對(duì)應(yīng)的離散型壽險(xiǎn)模型之間的關(guān)系。以連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的終身壽險(xiǎn)為例,在死亡均勻分布的假設(shè)條件下,討論

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值32死亡均勻分2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值33第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值（躉繳純保費(fèi)）第二節(jié)離散型人壽保險(xiǎn)模型概念：是指以離散型未來壽命為基礎(chǔ)，保險(xiǎn)金是在被保險(xiǎn)人所處的保單年度末支付而建立的各種人壽保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型。若被保險(xiǎn)人在投保(或簽單)時(shí)的年齡為Z歲,其未來壽命整年數(shù)為K(x),則其概率分布律為2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值33第二章人壽2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值34離散型人壽保險(xiǎn)模型假設(shè)保險(xiǎn)金額在K(x)+1處給付,給付數(shù)額為bk+l

元,記K+1

為在K(x)+1處給付1個(gè)單位保險(xiǎn)金在簽單時(shí)的利息貼現(xiàn)系數(shù),Z為給付保險(xiǎn)金額在簽單時(shí)的現(xiàn)值。則

Z=bk+l·K+1(K=0,1,2,…)因此,在離散型人壽保險(xiǎn)模型下,現(xiàn)值隨機(jī)變量Z的期望值E(Z)的一般表達(dá)式是對(duì)于人壽保險(xiǎn),現(xiàn)值隨機(jī)變量Z的期望值E(Z)稱為躉繳純保費(fèi)。躉繳意味著一次性繳付而不是按其他方式分期繳付。

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值34離散型人壽2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值35等額保險(xiǎn)等額保險(xiǎn)指保險(xiǎn)利益固定的保險(xiǎn)，支付時(shí)間不確定，可以分為n年定期死亡保險(xiǎn)險(xiǎn)、終身壽險(xiǎn)、兩全保險(xiǎn)、延期保險(xiǎn)等。設(shè)年齡為x歲的人,投?；蚝灱s保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn),則給付現(xiàn)值函數(shù)是用換算符號(hào)，可以得在人壽保險(xiǎn)中,純保費(fèi)通常稱為自然純保費(fèi)2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值35等額保險(xiǎn)等2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值36另外，有從而得到定期保險(xiǎn)的一個(gè)遞推公式：一份n年期定期保險(xiǎn)，可以拆成兩份保險(xiǎn)之和，它們分別是，一年期的定期保險(xiǎn)和在一年后的n-1年期定期保險(xiǎn)，因?yàn)橐荒旰蟮膎-1年期定期保險(xiǎn)只有在被保險(xiǎn)人生存的情況下才有意義，所以，其價(jià)值為一年后的在現(xiàn)在的精算現(xiàn)值上述遞推關(guān)系式，也可以得到一種由生命表直接計(jì)算定期保險(xiǎn)的方法，即：n年期定期保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值可以寫成一系列的一年期保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值之和2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值36另外，有從2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值37上式第一個(gè)等號(hào)的左邊可以看成是保險(xiǎn)人在賣出lx份保險(xiǎn)后收集到的全部保費(fèi)在時(shí)刻1（即賣出保險(xiǎn)1年后）的積累值，因?yàn)樵?時(shí)還有l(wèi)x+1個(gè)被保險(xiǎn)人生存，所以保險(xiǎn)公司應(yīng)該有l(wèi)x+1份n-1年期的保險(xiǎn)的負(fù)債，同時(shí)，因?yàn)樵诘谝荒晁劳鰀x人，保險(xiǎn)公司在時(shí)刻1時(shí)需要向每個(gè)在第一年內(nèi)死亡的人（或其受益人）支付1元保險(xiǎn)利益，根據(jù)收支（含負(fù)債）相等的原則，第一個(gè)等號(hào)成立。第二個(gè)等號(hào)是因?yàn)閘x+1=lx-dx，等號(hào)右邊的含義是：所有在x歲購買了n年期定期保險(xiǎn)的lx個(gè)人，在1年后都應(yīng)該有一份n-1年期的保險(xiǎn)，同時(shí)對(duì)那些在這年內(nèi)死亡的被保險(xiǎn)人來說，他們還得到另外一筆金額為的支付2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值37上式第一個(gè)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值38用x+1替代上式中的x，同時(shí)用n-1替代上式中的n，有這表明：保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值其實(shí)就是保險(xiǎn)期限內(nèi)各年度預(yù)期的年度花費(fèi)的現(xiàn)值2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值38用x+1替2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值39例2-9假設(shè)i=4%，利用示例生命表（2000-2003非養(yǎng)老保險(xiǎn)生命表CL1），計(jì)算20歲被保險(xiǎn)人的1000單位保險(xiǎn)利益的三年期定期死亡保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值39例2-92023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值402022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值402023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值412．終身壽險(xiǎn)注意到，如果令式(2-18)中

n→∞，那么n年期定期保險(xiǎn)就變成了終身壽險(xiǎn)，所以，終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為上式的意義非常明顯：左邊可看成是在保單發(fā)行時(shí)，所有的被保險(xiǎn)人(x)聚集的資金（相當(dāng)于保險(xiǎn)公司為發(fā)行全部保單而建立的保險(xiǎn)基金），右邊則是預(yù)期的全部死亡賠付在保單發(fā)行時(shí)的現(xiàn)值。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值412．終身壽2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值422022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值422023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值432022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值432023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值442022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值442023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值452022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值452023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值46計(jì)算結(jié)果表明：基金預(yù)期金額與實(shí)際金額相差-7115.78元，也就是說，實(shí)際結(jié)果比預(yù)期的理想。造成實(shí)際結(jié)果比預(yù)期理想的原因是在第一年的實(shí)際投資收益率是5%，超過預(yù)期！另外，從死亡人數(shù)方面看，實(shí)際的死亡情況比預(yù)期的還要好，因?yàn)楦髂陮?shí)際出現(xiàn)的死亡人數(shù)都比預(yù)期的要少。由此也可以看出，利率假設(shè)在壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)中的重要性2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值46計(jì)算結(jié)果表2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值47

例設(shè)現(xiàn)有100個(gè)年齡為30歲的人組成一個(gè)互助會(huì),并建立一筆基金,該項(xiàng)基金專門用于在他們每個(gè)成員死亡時(shí)給付其指定受益人1000元(給付時(shí)間是在死亡的基金年度末)。經(jīng)商定:這筆基金總額是按1990年-1993年中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)混合表)和預(yù)定年利率6%來計(jì)算躉繳純保費(fèi)的,試問每個(gè)成員需要繳納多少資金。若這個(gè)基金實(shí)際運(yùn)作的結(jié)果是：在第二年與第五年分別有1人死亡，第一年的收益率是6%,第二年和第三年的收益率是6.5%,第四年與第五年的收益率是7%。試分析在第五年度末該基金按計(jì)劃之初決定的期望值與實(shí)際基金之間的差異。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值47例設(shè)現(xiàn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值48例題解：每個(gè)成員需要繳納的資金(也稱會(huì)費(fèi))是

P=1000A30=86.63(元)則100個(gè)成員所建立的基金總額是

S=100p=100×86.63=8663(元)

在第五年度末該項(xiàng)基金按計(jì)劃之初決定的期望值是用FK

表示第k個(gè)基金年度末的基金值,則實(shí)際運(yùn)作的結(jié)果是

F0=S=8663(元)，F(xiàn)5=10004.86×(1+7%)-1000=970520(元)

兩者之間的差額是11061.69-9705.20=1356.49(元)這一結(jié)果反映了五年間的投資與死亡的經(jīng)驗(yàn),一方面反映了實(shí)際投資收益超過了預(yù)期利率6%的年收益,而另一方面也反映了實(shí)際死亡人數(shù)2大大高于預(yù)期死亡人數(shù)0.44880

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值48例題解：每2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值49兩全保險(xiǎn)N年兩全保險(xiǎn)是由n年生存保險(xiǎn)和n年定期壽險(xiǎn)組成的，假設(shè)（x）簽約保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年兩全保險(xiǎn)，則其有關(guān)函數(shù)是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值49兩全保險(xiǎn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值50例2-13

已知某(35)的壽命服從deMoivre律，ω=100，i=0.05，Z為對(duì)其發(fā)行的20年定期兩全壽險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量，計(jì)算Z的期望和方差。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值50例2-132023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值512022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值512023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值52延期壽險(xiǎn)概念：人壽保險(xiǎn)模型,是壽險(xiǎn)保單一經(jīng)簽訂,保險(xiǎn)保障即生效的保險(xiǎn),也可稱為即期壽險(xiǎn)。而本節(jié)我們考慮的情況為延期壽險(xiǎn),它意味著在保單簽發(fā)后的若干年后才提供保障。函數(shù)：假設(shè)(x)投保離散型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期h年的n年定期壽險(xiǎn),則其有關(guān)函數(shù)是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值52延期壽險(xiǎn)概2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值53延期壽險(xiǎn)例證明2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值53延期壽險(xiǎn)例2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值542022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值542023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值55例2-14假設(shè)利率i=4%，利用示例生命表，求：2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值55例2-142023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值56我們討論了各種年度離散保險(xiǎn)，類似地，我們還可以討論在死亡所在的1/m年度末支付的保險(xiǎn)。這種支付模式可能更有實(shí)際意義，因?yàn)樵谌藟郾ｋU(xiǎn)實(shí)務(wù)中，保險(xiǎn)利益的支付并沒有必要等到年末，而是在保險(xiǎn)事故發(fā)生后比較短的時(shí)間內(nèi)支付，因此，在死亡的1/m年度末支付的保險(xiǎn)可能更與實(shí)際情況接近。這種保險(xiǎn)的討論與上述討論完全類似，我們以終身壽險(xiǎn)為例進(jìn)行討論。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值56我們討論了2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值572022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值572023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值58變額保險(xiǎn)（非均衡給付保險(xiǎn)）考慮保險(xiǎn)金額的給付隨著被保險(xiǎn)人未來壽命的變化而改變,這類人壽保險(xiǎn)稱為變額保險(xiǎn).我們主要討論保險(xiǎn)金額按算術(shù)數(shù)列{n}遞增和遞減的情形.

遞增的n年定期壽險(xiǎn),即假設(shè)(x)投保離散型的按算術(shù)數(shù)列遞增的n年期定期壽險(xiǎn).

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值58變額保險(xiǎn)（2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值59遞增的n年定期壽險(xiǎn)若保險(xiǎn)人在第k+1個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則給付(k+1)元的保險(xiǎn)金(k=0,1,2,…n-1).

則相應(yīng)的有關(guān)函數(shù)是bk+1=k+l,(k=0,1,2,…,n-1)vk+1=(k=0,1,2,…,n-1)Z=bk+1vk+1=(k+1)(k=0,1,2,…,n-1)

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值59遞增的n2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值60對(duì)(x)投保離散型的按算術(shù)數(shù)列{n}遞增的終身壽險(xiǎn)，則精算現(xiàn)值(相當(dāng)于上式中n)是從上式可看出,按算術(shù)數(shù)列遞增的終身壽險(xiǎn),實(shí)際上是由一系列延期定額終身壽險(xiǎn)所構(gòu)成的。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值60對(duì)(x)投2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值61遞減的n年定期壽險(xiǎn)對(duì)于按算術(shù)數(shù)列遞減的離散型n年定期壽險(xiǎn),即若被保險(xiǎn)人在第k個(gè)保單年度內(nèi)死亡,給付(n-k)元的保險(xiǎn)金(k=0,1,2…,n一1),則其相應(yīng)的有關(guān)函數(shù)是bk+1=k+l,(k=0,1,2,…,n-1)vk+1=(k=0,1,2,…,n-1)Z=bk+1vk+1=2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值61遞減的n2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值62所以,該種保單的精算現(xiàn)值是這種遞減的n年定期壽險(xiǎn)是由一組定期壽險(xiǎn)或延期k年的一年期定期壽險(xiǎn)組合而成的。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值62所以,2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值63[例]設(shè)年齡30歲的人投保離散型遞減的20年定期壽險(xiǎn),保險(xiǎn)利益是:被保險(xiǎn)人在第一保單年內(nèi)死亡,給付保險(xiǎn)金5000元;在第二保單年內(nèi)死亡,給付4900元;在第三保單年內(nèi)死亡,給付4800元,依次類推,直到在第20保單年內(nèi)死亡,給付3100元。試求該保單的躉繳純保費(fèi)(預(yù)定年利率i=6%)解：依題意,所求的躉繳純保費(fèi)是

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值63[例]2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值642022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值642023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值652022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值652023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值66§2.4換算函數(shù)由上述討論可以看出，對(duì)于各種保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值——也即躉繳凈保費(fèi)——的計(jì)算，我們可以在確定利率下，編制如附表的終身壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值表，然后可以得到各種離散型人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值實(shí)務(wù)中，還有一種常用的計(jì)算人壽保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)的方法。這種方法與上述方法類似，只不過不是事先編制終身壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)表，而是編制一種所謂的換算函數(shù)右邊求和項(xiàng)中，每一項(xiàng)都是經(jīng)過的時(shí)間長度和到達(dá)年齡的函數(shù)，當(dāng)利率為常數(shù)時(shí)，我們可以在(2-24)兩邊同時(shí)乘以，這樣，右邊的各項(xiàng)均可以表示為到達(dá)年齡的函數(shù)，即2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值66§2.4第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值課件2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值68第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值熟悉人壽保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型；熟悉人壽保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量及人壽保險(xiǎn)精算現(xiàn)值；掌握各種壽險(xiǎn)產(chǎn)品躉繳凈保費(fèi)及人壽保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量方差的計(jì)算方法；了解躉繳凈保費(fèi)的實(shí)際意義及遞推公式；熟悉利用換算函數(shù)計(jì)算人壽保險(xiǎn)的躉繳凈保費(fèi)。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1第二章人壽2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值69人身保險(xiǎn)是以人的壽命和身體為保險(xiǎn)標(biāo)的的保險(xiǎn)。人壽保險(xiǎn)是人身保險(xiǎn)的一種。人壽保險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁的是被保險(xiǎn)人的生存或者死亡的風(fēng)險(xiǎn)。它起源于古代的互助團(tuán)體，其原理是通過集合具有同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的大量被保險(xiǎn)人，通過在這些被保險(xiǎn)人之間進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分散——即由所有的被保險(xiǎn)人共同出資給遭遇風(fēng)險(xiǎn)的少數(shù)被保險(xiǎn)人——來達(dá)到降低突發(fā)風(fēng)險(xiǎn)事故對(duì)遭遇風(fēng)險(xiǎn)事故的個(gè)體造成的財(cái)務(wù)沖擊。本章的目的就是討論各種人壽保險(xiǎn)的模型和方法。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值2人身保險(xiǎn)是以2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值70§2.1連續(xù)型保險(xiǎn)所謂連續(xù)型保險(xiǎn)，指的是在保險(xiǎn)事故出現(xiàn)后立即支付保險(xiǎn)利益的保險(xiǎn)，因?yàn)槿藟郾ｋU(xiǎn)一般以被保險(xiǎn)人的死亡為保險(xiǎn)事故，所以有時(shí)又叫做在死亡即刻支付的保險(xiǎn)。在保險(xiǎn)事故出現(xiàn)后，保險(xiǎn)公司向被保險(xiǎn)人（或其收益人）支付的保險(xiǎn)金為保險(xiǎn)利益，保險(xiǎn)利益一般為從保險(xiǎn)開始（保單生效）后到保險(xiǎn)事故出現(xiàn)之間的時(shí)間長度的函數(shù)，根據(jù)上一章的記號(hào)，用t來記時(shí)間變量，相應(yīng)的保險(xiǎn)利益記為bt。一般情況下，統(tǒng)稱bt為保額函數(shù)。相應(yīng)地，用vt記貼現(xiàn)函數(shù)，即將bt貼現(xiàn)到保險(xiǎn)開始時(shí)的函數(shù)。通常假設(shè)貼現(xiàn)因子中的利率為常數(shù)。對(duì)于一份新發(fā)行的保單，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)事故發(fā)生的時(shí)間由隨機(jī)變量T(x)來描述，而保險(xiǎn)利益的支付時(shí)間及其價(jià)值均與T(x)有關(guān)，所以，可以定義相應(yīng)的現(xiàn)值隨機(jī)變量如下：Z=bTvT

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值3§2.12023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值71等額保險(xiǎn)所謂等額保險(xiǎn)，是指保險(xiǎn)利益的金額在保險(xiǎn)開始時(shí)就已經(jīng)固定，只是支付的時(shí)間不確定而已，支付時(shí)間與保險(xiǎn)事故發(fā)生的時(shí)間有關(guān)。定期死亡保險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)生存和兩全保險(xiǎn)延期保險(xiǎn)定期死亡保險(xiǎn)：考慮n年期定期死亡保險(xiǎn)，這種保險(xiǎn)只有被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)開始后n年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司才對(duì)被保險(xiǎn)人進(jìn)行支付。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值4等額保險(xiǎn)所謂2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值72等額保險(xiǎn)本節(jié)討論的壽險(xiǎn)模型,其保險(xiǎn)金是在被保險(xiǎn)人的未來壽命T=T(x)時(shí)給付,即在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)立即給付。在壽險(xiǎn)實(shí)務(wù)中幾乎所有保險(xiǎn)都是如此。這就是所謂的連續(xù)型的人壽保險(xiǎn)模型死亡保險(xiǎn):假設(shè)被保險(xiǎn)人在投保(或簽單)時(shí)的年齡為x歲,保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人未來壽命T=T(x)時(shí)的給付金額為bt,而vt

是在時(shí)刻t時(shí)給付1個(gè)單位金額在簽單時(shí)的利息貼現(xiàn)系數(shù),ZT

是給付金額在簽單時(shí)的現(xiàn)值。則現(xiàn)值隨機(jī)變量2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值5等額保險(xiǎn)本節(jié)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值73死亡保險(xiǎn)對(duì)于(x)投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1單位的n年期定期壽險(xiǎn),其有關(guān)函數(shù)是稱現(xiàn)值函數(shù)隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望為保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值，也是躉繳純保費(fèi)額于是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值6死亡保險(xiǎn)對(duì)于2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值74則連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量ZT

的方差是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值7則連續(xù)型的保2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值752022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值82023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值76例，設(shè)(x)的未來壽命T=T(x)的密度函數(shù)是解:依題意,則有2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值9例，設(shè)(x)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值772022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值102023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值78保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量ZT

的方差,對(duì)于考慮經(jīng)營該險(xiǎn)種業(yè)務(wù)的財(cái)務(wù)穩(wěn)定性具有重要的指導(dǎo)意義。[例]設(shè)有100個(gè)相互獨(dú)立的年齡都是x歲的被保險(xiǎn)人均投保保險(xiǎn)金額為10元的連續(xù)型終身壽險(xiǎn),死力為=0.04,保險(xiǎn)金將從按利力=0.06計(jì)息的投資基金中支付。試計(jì)算該項(xiàng)基金在最初(t=0)時(shí),其數(shù)額至少有多大,才能保證從該項(xiàng)基金中足以支付每個(gè)被保險(xiǎn)人死亡保險(xiǎn)金的概率近似為95%。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值11保險(xiǎn)金給付2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值79解:設(shè)Zj

表示第j個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡給付在投保時(shí)的現(xiàn)值隨機(jī)變量,則2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值12解:設(shè)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值80設(shè)該項(xiàng)基金在最初時(shí)的數(shù)額至少是h元,依題意,則

即該項(xiàng)基金在最初時(shí)的數(shù)額至少要有449.35元,比所收取的建繳純保費(fèi)建立的初始基金400(=100×4)元多出49.35元,即超過歪繳純保費(fèi)基金的12.34%。這說明,最初基金需有風(fēng)險(xiǎn)附加費(fèi)(即安全附加費(fèi))的存在,即該基金超過保費(fèi)總額的那部分(49.35元)是安全附加基金。

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值13設(shè)該項(xiàng)基金2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值81兩全保險(xiǎn)與延期壽險(xiǎn)對(duì)于(x)投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年期兩全保險(xiǎn),其給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值14兩全保險(xiǎn)與2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值82延期壽險(xiǎn)對(duì)于(x)投保連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期h年的終身壽險(xiǎn),其給付現(xiàn)值的隨機(jī)變量是

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值15延期壽險(xiǎn)對(duì)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值83表示連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期h年的n年期定期壽險(xiǎn)和延期h年的n年期兩全保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)分別為2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值16表示連續(xù)型2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值84例考察保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期5年的終身壽險(xiǎn),設(shè)年齡為x歲的被保險(xiǎn)人,其死力為常值μ=0.04,利力=0.10,Z表示給付現(xiàn)值隨機(jī)變量。試求:期望值E(Z);(2)方差Var(Z);(3)中位數(shù)解:依題意可知,未來壽命T=T(x)的密度函數(shù)是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值17例考察保險(xiǎn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值852022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值182023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值86變額保險(xiǎn)對(duì)于連續(xù)型的非均衡給付保險(xiǎn),本文僅討論遞增非均衡給付和遞減非均衡給付中的兩種特殊情形:1.按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞增的終身壽險(xiǎn);2.按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞減的終身壽險(xiǎn)。1.按算術(shù)數(shù)列續(xù)年遞增的終身壽險(xiǎn)按算術(shù)數(shù)列{n}續(xù)年遞增的連續(xù)型的終身壽險(xiǎn),可分為三種情況,其一是按年遞增的終身壽險(xiǎn),其二是按年遞增且每年遞增m次的終身壽險(xiǎn),其三是按年連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)。

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值19變額保險(xiǎn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值87(1)按年遞增的終身壽險(xiǎn):其保險(xiǎn)利益為:如被保險(xiǎn)人在第一保單年度內(nèi)死亡,則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金1元;在第二個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金2元;在第三個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則在死亡時(shí)立即給付保險(xiǎn)金3元,依次類推

該終身壽險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值20(1)按2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值88(2)按年度遞增且每年遞增m次的終身壽險(xiǎn).它是將每一個(gè)保單年度分為均等的m個(gè)時(shí)間段,其保險(xiǎn)利益是:如被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年的第一個(gè)1/m年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金1/m元,在第一個(gè)保單年的第二個(gè)1/m年(即1/m到2/m年之間）內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金2/m，…，第一個(gè)保單年的第m個(gè)1/m年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金1(即m/m)元;在第二個(gè)保單年的第一個(gè)1/m年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金(1+1/m)元,在第二個(gè)保單年的第二個(gè)1/m年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金(1+2/m)元,依次類推

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值21(2)按2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值89該終身壽險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值22該終身壽險(xiǎn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值90(3)按年連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)。按年連續(xù)遞增的即期終身壽險(xiǎn)其保險(xiǎn)利益是:如被保險(xiǎn)人在時(shí)刻t(t>O)時(shí)死亡,則給付死亡保險(xiǎn)金t元

該終身壽險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值23(3)按2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值91上式表明:按年連續(xù)遞增的終身壽險(xiǎn)保單等價(jià)于由一系列的延期的保險(xiǎn)金額為1元的連續(xù)型終身壽險(xiǎn)保單所組成

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值24上式表明2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值922.按年遞減的n年定期壽險(xiǎn)。按年遞減的n年定期壽險(xiǎn),其保險(xiǎn)利益是:如被保險(xiǎn)人在第一個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金n元,在第二個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金(n-1)元,依次類推,在第n個(gè)保單年內(nèi)死亡,則立即給付保險(xiǎn)金1元。該保險(xiǎn)的有關(guān)函數(shù)是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值252.按年2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值932022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值262023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值942022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值272023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值952022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值282023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值962022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值292023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值97微分方程（換算函數(shù)表示式）本節(jié)引人連續(xù)的換算函數(shù)來表示連續(xù)型各壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值考慮(x)的終身壽險(xiǎn)，我們有2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值30微分方程（2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值982022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值312023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值99死亡均勻分布假設(shè)下的壽險(xiǎn)模型

討論在死亡均勻分布假設(shè)下，連續(xù)型壽險(xiǎn)模型的躉繳純保費(fèi)與相對(duì)應(yīng)的離散型壽險(xiǎn)模型之間的關(guān)系。以連續(xù)型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的終身壽險(xiǎn)為例,在死亡均勻分布的假設(shè)條件下,討論

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值32死亡均勻分2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值100第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值（躉繳純保費(fèi)）第二節(jié)離散型人壽保險(xiǎn)模型概念：是指以離散型未來壽命為基礎(chǔ)，保險(xiǎn)金是在被保險(xiǎn)人所處的保單年度末支付而建立的各種人壽保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型。若被保險(xiǎn)人在投保(或簽單)時(shí)的年齡為Z歲,其未來壽命整年數(shù)為K(x),則其概率分布律為2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值33第二章人壽2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值101離散型人壽保險(xiǎn)模型假設(shè)保險(xiǎn)金額在K(x)+1處給付,給付數(shù)額為bk+l

元,記K+1

為在K(x)+1處給付1個(gè)單位保險(xiǎn)金在簽單時(shí)的利息貼現(xiàn)系數(shù),Z為給付保險(xiǎn)金額在簽單時(shí)的現(xiàn)值。則

Z=bk+l·K+1(K=0,1,2,…)因此,在離散型人壽保險(xiǎn)模型下,現(xiàn)值隨機(jī)變量Z的期望值E(Z)的一般表達(dá)式是對(duì)于人壽保險(xiǎn),現(xiàn)值隨機(jī)變量Z的期望值E(Z)稱為躉繳純保費(fèi)。躉繳意味著一次性繳付而不是按其他方式分期繳付。

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值34離散型人壽2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值102等額保險(xiǎn)等額保險(xiǎn)指保險(xiǎn)利益固定的保險(xiǎn)，支付時(shí)間不確定，可以分為n年定期死亡保險(xiǎn)險(xiǎn)、終身壽險(xiǎn)、兩全保險(xiǎn)、延期保險(xiǎn)等。設(shè)年齡為x歲的人,投?；蚝灱s保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn),則給付現(xiàn)值函數(shù)是用換算符號(hào)，可以得在人壽保險(xiǎn)中,純保費(fèi)通常稱為自然純保費(fèi)2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值35等額保險(xiǎn)等2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值103另外，有從而得到定期保險(xiǎn)的一個(gè)遞推公式：一份n年期定期保險(xiǎn)，可以拆成兩份保險(xiǎn)之和，它們分別是，一年期的定期保險(xiǎn)和在一年后的n-1年期定期保險(xiǎn)，因?yàn)橐荒旰蟮膎-1年期定期保險(xiǎn)只有在被保險(xiǎn)人生存的情況下才有意義，所以，其價(jià)值為一年后的在現(xiàn)在的精算現(xiàn)值上述遞推關(guān)系式，也可以得到一種由生命表直接計(jì)算定期保險(xiǎn)的方法，即：n年期定期保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值可以寫成一系列的一年期保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值之和2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值36另外，有從2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值104上式第一個(gè)等號(hào)的左邊可以看成是保險(xiǎn)人在賣出lx份保險(xiǎn)后收集到的全部保費(fèi)在時(shí)刻1（即賣出保險(xiǎn)1年后）的積累值，因?yàn)樵?時(shí)還有l(wèi)x+1個(gè)被保險(xiǎn)人生存，所以保險(xiǎn)公司應(yīng)該有l(wèi)x+1份n-1年期的保險(xiǎn)的負(fù)債，同時(shí)，因?yàn)樵诘谝荒晁劳鰀x人，保險(xiǎn)公司在時(shí)刻1時(shí)需要向每個(gè)在第一年內(nèi)死亡的人（或其受益人）支付1元保險(xiǎn)利益，根據(jù)收支（含負(fù)債）相等的原則，第一個(gè)等號(hào)成立。第二個(gè)等號(hào)是因?yàn)閘x+1=lx-dx，等號(hào)右邊的含義是：所有在x歲購買了n年期定期保險(xiǎn)的lx個(gè)人，在1年后都應(yīng)該有一份n-1年期的保險(xiǎn)，同時(shí)對(duì)那些在這年內(nèi)死亡的被保險(xiǎn)人來說，他們還得到另外一筆金額為的支付2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值37上式第一個(gè)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值105用x+1替代上式中的x，同時(shí)用n-1替代上式中的n，有這表明：保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值其實(shí)就是保險(xiǎn)期限內(nèi)各年度預(yù)期的年度花費(fèi)的現(xiàn)值2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值38用x+1替2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值106例2-9假設(shè)i=4%，利用示例生命表（2000-2003非養(yǎng)老保險(xiǎn)生命表CL1），計(jì)算20歲被保險(xiǎn)人的1000單位保險(xiǎn)利益的三年期定期死亡保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值39例2-92023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1072022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值402023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1082．終身壽險(xiǎn)注意到，如果令式(2-18)中

n→∞，那么n年期定期保險(xiǎn)就變成了終身壽險(xiǎn)，所以，終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值為上式的意義非常明顯：左邊可看成是在保單發(fā)行時(shí)，所有的被保險(xiǎn)人(x)聚集的資金（相當(dāng)于保險(xiǎn)公司為發(fā)行全部保單而建立的保險(xiǎn)基金），右邊則是預(yù)期的全部死亡賠付在保單發(fā)行時(shí)的現(xiàn)值。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值412．終身壽2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1092022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值422023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1102022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值432023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1112022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值442023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1122022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值452023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值113計(jì)算結(jié)果表明：基金預(yù)期金額與實(shí)際金額相差-7115.78元，也就是說，實(shí)際結(jié)果比預(yù)期的理想。造成實(shí)際結(jié)果比預(yù)期理想的原因是在第一年的實(shí)際投資收益率是5%，超過預(yù)期！另外，從死亡人數(shù)方面看，實(shí)際的死亡情況比預(yù)期的還要好，因?yàn)楦髂陮?shí)際出現(xiàn)的死亡人數(shù)都比預(yù)期的要少。由此也可以看出，利率假設(shè)在壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)中的重要性2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值46計(jì)算結(jié)果表2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值114

例設(shè)現(xiàn)有100個(gè)年齡為30歲的人組成一個(gè)互助會(huì),并建立一筆基金,該項(xiàng)基金專門用于在他們每個(gè)成員死亡時(shí)給付其指定受益人1000元(給付時(shí)間是在死亡的基金年度末)。經(jīng)商定:這筆基金總額是按1990年-1993年中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)混合表)和預(yù)定年利率6%來計(jì)算躉繳純保費(fèi)的,試問每個(gè)成員需要繳納多少資金。若這個(gè)基金實(shí)際運(yùn)作的結(jié)果是：在第二年與第五年分別有1人死亡，第一年的收益率是6%,第二年和第三年的收益率是6.5%,第四年與第五年的收益率是7%。試分析在第五年度末該基金按計(jì)劃之初決定的期望值與實(shí)際基金之間的差異。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值47例設(shè)現(xiàn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值115例題解：每個(gè)成員需要繳納的資金(也稱會(huì)費(fèi))是

P=1000A30=86.63(元)則100個(gè)成員所建立的基金總額是

S=100p=100×86.63=8663(元)

在第五年度末該項(xiàng)基金按計(jì)劃之初決定的期望值是用FK

表示第k個(gè)基金年度末的基金值,則實(shí)際運(yùn)作的結(jié)果是

F0=S=8663(元)，F(xiàn)5=10004.86×(1+7%)-1000=970520(元)

兩者之間的差額是11061.69-9705.20=1356.49(元)這一結(jié)果反映了五年間的投資與死亡的經(jīng)驗(yàn),一方面反映了實(shí)際投資收益超過了預(yù)期利率6%的年收益,而另一方面也反映了實(shí)際死亡人數(shù)2大大高于預(yù)期死亡人數(shù)0.44880

2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值48例題解：每2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值116兩全保險(xiǎn)N年兩全保險(xiǎn)是由n年生存保險(xiǎn)和n年定期壽險(xiǎn)組成的，假設(shè)（x）簽約保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的n年兩全保險(xiǎn)，則其有關(guān)函數(shù)是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值49兩全保險(xiǎn)2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值117例2-13

已知某(35)的壽命服從deMoivre律，ω=100，i=0.05，Z為對(duì)其發(fā)行的20年定期兩全壽險(xiǎn)的現(xiàn)值隨機(jī)變量，計(jì)算Z的期望和方差。2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值50例2-132023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值1182022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值512023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值119延期壽險(xiǎn)概念：人壽保險(xiǎn)模型,是壽險(xiǎn)保單一經(jīng)簽訂,保險(xiǎn)保障即生效的保險(xiǎn),也可稱為即期壽險(xiǎn)。而本節(jié)我們考慮的情況為延期壽險(xiǎn),它意味著在保單簽發(fā)后的若干年后才提供保障。函數(shù)：假設(shè)(x)投保離散型的保險(xiǎn)金額為1個(gè)單位的延期h年的n年定期壽險(xiǎn),則其有關(guān)函數(shù)是2022/12/12第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值52延期壽險(xiǎn)概2023/1/2第二章人壽保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值120延期壽險(xiǎn)