2018-2019版數(shù)學(xué)高二同步系列課堂講義北師大版選修4-4試題：第一章 坐標(biāo)系1.1.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章DIYIZHANG坐標(biāo)系§1平面直角坐標(biāo)系1.1平面直角坐標(biāo)系與曲線方程課后篇鞏固探究A組1.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B,C的坐標(biāo)分別為（-1,2），（3，0)，(5,1)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（)A。(9,-1） B.（-3，1）C。（1，3） D。（2,2）解析：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)。則-1+5=3+x故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3）。答案:C2.已知△ABC中，A（4,-3），B(5,-2）,重心G(2,-1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A。(—3,2) B。(3，—2）C。(2,—3) D.(—2,3)解析：設(shè)點(diǎn)C（x，y)，線段AB的中點(diǎn)D92依題意得GC=2DG,即（x—2,y+1）=22-得x-2=故C(—3，2）為所求。答案:A3。方程(x2-4)2+(y2—4)2=0表示的圖形是（)A。兩條直線 B.四條直線C.兩個(gè)點(diǎn) D。四個(gè)點(diǎn)解析：由方程得x2-4=0,y答案：D4。將圓x2+y2-2x-4y+1=0平分的直線是（)A.x+y-1=0 B.x+y+3=0C.x—y+1=0 D.x-y+3=0解析：因?yàn)椋▁-1）2+（y-2)2=4，所以圓心是(1，2）,將圓心坐標(biāo)代入各選項(xiàng)驗(yàn)證知選C。答案：C5.平面上有三個(gè)點(diǎn)A(—2,y),B0,y2,C(x,y）,若AB⊥BC,則動(dòng)點(diǎn)解析：AB=0,y2—(-2，y）=2,-y2,BC=(x,y)-∴2,-y2·x,y2=0∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y2=8x。答案:y2=8x6。在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0）.若OA·BA=｜OB｜（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為解析:設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),則OA=（x，y），BA=（x—2，y),|OB|=22+0=代入已知條件得x（x-2）+y2=2，即（x-1）2+y2=3,它表示一個(gè)圓。答案：圓7.已知真命題:若點(diǎn)A為☉O內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)B為☉O上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交直線OB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)O，A為焦點(diǎn),OB長為長軸長的橢圓。類比此命題,寫出另一個(gè)真命題：若點(diǎn)A為☉O外一定點(diǎn)，點(diǎn)B為☉O上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交直線OB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是。

解析：如圖，連接AP,因?yàn)镻是線段AB的垂直平分線上一點(diǎn)，所以|PA|=|PB|。因此||PA｜—|PO|｜=｜|PB｜-|PO｜|=|OB｜=R=定值,其中R為☉O的半徑.由于點(diǎn)A在圓外,故｜｜PA｜—|PO||=|OB｜=R<｜OA｜,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè),A為焦點(diǎn),OB為實(shí)軸長的雙曲線.答案：以點(diǎn)O,A為焦點(diǎn),OB為實(shí)軸長的雙曲線8。關(guān)于x的一元二次方程x2—ax+b=0的兩根為sinθ,cosθ，求點(diǎn)P(a，b）的軌跡方程其中|θ解由已知可得a令①2-2×②得a2=2b+1?！遖=sinθ+cosθ=2sinθ+π4,｜θ｜∴0≤a≤2.由sinθ·cosθ=12sin2θ,知|b|≤1∴點(diǎn)P（a,b)的軌跡方程是a2=2b+1(0≤a≤2)。9.導(dǎo)學(xué)號73144002已知定點(diǎn)F（0,1）和直線l1:y=-1,過定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓的圓心為點(diǎn)C。(1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;（2）過點(diǎn)F的直線l2交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡于P,Q兩點(diǎn)，交直線l1于點(diǎn)R,求RP·RQ解（1)由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離，則點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線。故動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x2=4y。（2）由題意知,直線l2的方程可設(shè)為y=kx+1（k≠0）,與拋物線方程x2=4y聯(lián)立消去y，得x2—4kx-4=0.設(shè)P(x1，y1),Q（x2，y2），則x1+x2=4k，x1x2=-4。又易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為-2則RP=x1+2kx2+2k+(kx=（1+k2）x1x2+2k+2k（x1+x2）+=—4(1+k2）+4k2k+2=4k2+1∵k2+1k2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k2=1∴RP·RQ≥4×2+8=即RP·RQ的最小值為B組1.△ABC的頂點(diǎn)A（-5,0），B(5，0），△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是()A.x29-y216=1C.x29-y216=1(x>3) D。x解析:如圖,|AD｜=|AE｜=8,｜BF|=｜BE｜=2，|CD｜=｜CF|,所以｜CA|—｜CB|=|AD|-｜BF｜=8—2=6.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以點(diǎn)A,B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，方程為x29-y216=答案:C2。已知橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2,點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若點(diǎn)M是線段F1P的中點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(）A。圓 B。橢圓C.雙曲線的一支 D。拋物線解析:如圖，設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b則|PF1｜+|PF2|=2a,連接MO，由三角形的中位線可得,|F1M|+｜MO|=a(a〉｜F1O｜）,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F1,O為焦點(diǎn)的橢圓。故選B。答案：B3。設(shè)圓(x+1）2+y2=25的圓心為C，點(diǎn)A(1，0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)。線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程為(）A.4x221-4y225C.4x225-4y221解析:∵點(diǎn)M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，∴|AM｜=｜MQ｜,∴|MC｜+｜MA|=｜MC｜+|MQ｜=｜CQ|=5>｜CA｜=2,故點(diǎn)M的軌跡為橢圓?！郺=52,c=1,則b2=a2—c2=21∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4x225答案：D4.已知兩條直線l1為2x—3y+2=0，l2為3x—2y+3=0，有一動(dòng)圓(圓心和半徑都動(dòng)）與l1，l2都相交，且l1,l2被圓截得的弦長分別是定值26和24,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.

解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心為M(x,y），半徑為r,點(diǎn)M到直線l1，l2的距離分別為d1和d2。由弦心距、半徑、半弦長間的關(guān)系得，2消去r得動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何關(guān)系為d22-即(3x-化簡得(x+1)2-y2=65，此即為所求的動(dòng)圓圓心的軌跡方程.答案：(x+1)2-y2=655.已知雙曲線x22-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P（x1，y1）,Q(x1,-y1（1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程;（2)若過點(diǎn)H（0，h）（h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn),且l1⊥l2，求h的值。解(1)由題設(shè)知｜x1｜〉2，A1(-2，0)，A2（2,0）,則直線A1P的方程為y=y1x1+2(直線A2Q的方程為y=-y1x1-2（聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x=2x1，y=即x1=2x，y1=2yx則x≠0,｜x|<2。而點(diǎn)P（x1，y1）在雙曲線x22-y2=1上,得x1將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22+y2=1，x≠0且x≠±（2)設(shè)過點(diǎn)H（0,h)的直線為y=kx+h(h〉1）,聯(lián)立x22+y2=1與y=kx+h(h>得(1+2k2）x2+4khx+2h2—2=0.令Δ=16k2h2—4(1+2k2)(2h2—2)=0，得h2—1—2k2=0，解得k1=h2-12，k由于l1⊥l2，則k1k2=-h2-12=—1，過點(diǎn)A1,A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點(diǎn)H（0，h)，且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H，由h2×-h2=—1此時(shí)，l1，l2的方程分別為y=x+2與y=-x+2，它們與軌跡E分別僅有一個(gè)交點(diǎn)-2所以，符合條件的h的值為3或6。學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)。設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向)的軌跡方程為x2100+y225=1，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、M0,647為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為D(8,0)。觀測點(diǎn)A(4,（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程。(2）試問：當(dāng)航天器在x軸上方時(shí),觀測點(diǎn)A,B測得離航天器的距離分別為多少時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解（1)由題意，可設(shè)曲線方程為y=ax2+647，將點(diǎn)D（8，0)的坐標(biāo)代入，得0=a·64+647,解得a=—故所求曲線方程為y=-17x2+64(2）設(shè)變軌點(diǎn)為C（x，y).根據(jù)題意可知x消去x得4y2-7y—36=0，解得y=4或y=-94（舍去于是x=6或x=—6(舍去),故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,4).應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算,得|AC|=25，｜BC|=4。故當(dāng)觀測點(diǎn)A,B測得離航天器的距離分別為25，4時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令。7.導(dǎo)學(xué)號73144003設(shè)橢圓方程為x2+y24=1,過點(diǎn)M（0,1）的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP=12(OA+OB)，點(diǎn)（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）｜NP｜的最大值和最小值。解(1）直線l過定點(diǎn)M（0，1)，設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1。設(shè)A（x1,y1），B(x2，y2），由題意知,A,B的坐標(biāo)滿足方程組y消去y得(4+k2）x2+2kx-3=0。則Δ=4k2+12（4+k2）〉0,x1+x2=—2k4+k2,x1x由OP=12(OA+OB設(shè)P(x,y），則x消去k得4x2+y2-y=0.當(dāng)斜率k不存