3-1-向量組的線性關(guān)系匯總課件

第三章向量空間初步§3.1向量組的線性關(guān)系§3.2向量組的秩§3.3向量空間§3.4歐氏空間第三章向量空間初步§3.1向量組的線性關(guān)系§3.2一、n維向量及其線性運(yùn)算二、向量組的線性組合三、向量組的線性相關(guān)性§3.1向量組的線性關(guān)系一、n維向量及其線性運(yùn)算二、向量組的線性組合三、向量組一、n維向量及其線性運(yùn)算n維向量空間Rn

Rn

中任一元素稱為一個(gè)n維向量.

稱ai為向量a=(a1,,an)的第i個(gè)坐標(biāo)[分量].以ai(i=1,,n)為第i個(gè)坐標(biāo)的向量可寫成列形式

坐標(biāo)全為零的向量稱為零向量,記為0.

坐標(biāo)完全一樣的兩向量a,b稱為相等向量,記為a=b.一、n維向量及其線性運(yùn)算n維向量空間RnRn中任向量的加法運(yùn)算設(shè)向量a=(a1,,an),b=(b1,,bn),定義稱a+

b為a與b的和.向量的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)定稱ka為數(shù)k與向量a的乘積.

稱(-1)a為向量a的負(fù)向量,記為-a.設(shè)向量a=(a1,,an),k為實(shí)數(shù),定義

向量的加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量的加法運(yùn)算設(shè)向量a=(a1,例2設(shè)x1,,xn-r為方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,二、向量組的線性組合

Ax=0的任一解向量x,

若干同維向量的集合,稱向量組.

向量組的一部分稱部分組.例1設(shè)稱e1,e2,,en為n維單位坐標(biāo)向量組.任一向量a(a1,a2,,an)可唯一地表示為

則對(duì)存在一組數(shù)k1,,kn-r

,使>>>例2設(shè)x1,,xn-r為方程組Ax=線性組合

給定向量組a1,,am,對(duì)任一數(shù)組k1,,km,稱向量為向量組a1,,am的一個(gè)線性組合,稱k1,,km為這個(gè)線性組合的[表示]系數(shù).并稱b可由a1,,am線性表示.例3設(shè)矩陣A

=(a1,,am),則方程組Ax=

b有一組解

xi

=

ki(i=1,,m),也即

線性方程組Ax=

b有解的充分必要條件是:向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示.約定:非特別交待時(shí),向量都采用列形式.線性組合給定向量組a1,,a例4判斷向量與是否為向量組的線性組合.若是,寫出表示式.解同時(shí)解方程組和的解為因此無解,因此b2不可由a1,a2線性表示.例4判斷向量與是否為向量組的線性組合.若是,寫三、向量組的線性相關(guān)性

線性方程組Ax=

b有解的充分必要條件是:向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示.

若線性方程組Ax=

b有無窮多解,則向量b可用矩陣

A的列向量組的無窮多個(gè)線性組合來線性表示.設(shè)向量b有兩個(gè)線性表示式和則b的兩個(gè)表示式不同,也即存在一組不全為零的數(shù)使成立此時(shí),稱向量組a1,,am

線性相關(guān).三、向量組的線性相關(guān)性線性方程組Ax=b有解的充那么稱a1,,am

線性相關(guān).k1,,km

,使線性相關(guān)性

設(shè)有向量組a1,,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)基本性質(zhì)

(1)若向量b可由向量組a1,,am線性表示,

當(dāng)a1,,am線性相關(guān)時(shí),表示式不唯一;

當(dāng)a1,,am線性無關(guān)時(shí),表示式唯一.(2)若部分組線性相關(guān),則整個(gè)向量組也線性相關(guān).(3)若向量組線性無關(guān),則任一部分組也線性無關(guān).則向量組b,a1,,am

線性相關(guān).否則,稱a1,,am

線性無關(guān).那么稱a1,,am線性相關(guān).k1,,

a1,,am線性無關(guān),也即向量方程只有零解.定理1

m元方程組Ax=0只有零解的充要條件是R(A)=

m.線性相關(guān)性

那么稱a1,,am

線性相關(guān).k1,,km

,使設(shè)有向量組a1,,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)否則,稱a1,,am

線性無關(guān).設(shè)矩陣A

(a1,,am),的充分必要條件是R(A)=

m.

則向量組

a1,,am線性無關(guān)a1,,am線性無關(guān),也即向量方程只有零解.設(shè)矩陣A

(a1,,am),定理1的充分必要條件是R(A)=

m.

線性相關(guān)性

方陣A的列向量組線性相關(guān)的充要條件是|A|=0.

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系線性無關(guān).>>>則向量組

a1,,am線性無關(guān)那么稱a1,,am

線性相關(guān).k1,,km

,使設(shè)有向量組a1,,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)否則,稱a1,,am

線性無關(guān).

a1,,am線性無關(guān),也即向量方程只有零解.設(shè)矩陣A(a1,,am),解1

例5討論向量組

的線性相關(guān)性.設(shè)方陣化A為行階梯形:當(dāng)a-1,4時(shí),R(A)=3,a1,a2,a3

線性無關(guān);當(dāng)a=-1或a

=4時(shí),R(A)=2,a1,a2,a3

線性相關(guān).解1例5討論向量組的線性相關(guān)性.設(shè)方陣化A為行當(dāng)a=-1或a

=4時(shí),|A|0,

,a1,a2,a3

線性相關(guān).解1

例5討論向量組

的線性相關(guān)性.設(shè)方陣則當(dāng)a1,4時(shí),|A|0,a1,a2,a3

線性無關(guān);當(dāng)a=-1或a=4時(shí),|A|0,證1

將b1,b2,b3的表示式代入,并整理得因a1,a2,a3線性無關(guān),故有由于此方程組的系數(shù)行列式故方程組只有零解x1

x2

x30,設(shè)存在一組數(shù)x1,x2,x3,使所以b1,b2,b3線性無關(guān).例6設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān),試證向量組b1,b2,b3也線性無關(guān).證1將b1,b2,b3的表示式代入,并整理得因把已知條件合寫成記作B=AK.因|K|=-1,所以K可逆,于是R(B)=R(A).因A的列向量組線性無關(guān),所以R(A)=3,從而R(B)=3.因此B的3個(gè)列向量線性無關(guān),也即b1,b2,b3線性無關(guān).例6設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān),試證向量組b1,b2,b3也線性無關(guān).證2

把已知條件合寫成記作B=AK.因|K|=-1則向量b可由a1,,ar線性表示.

設(shè)向量組a1,,ar線性無關(guān),

定理2證明故存在一組不全為0的數(shù)假設(shè)k=0,則k1,,kr不全為0,且有這與a1,,ar線性無關(guān)矛盾.因此k0,于是若a1,,ar,b線性相關(guān),

因a1,,ar,b線性相關(guān),k1,,kr

,使定理2*設(shè)向量組a1,,ar

線性無關(guān),若向量b不可由向量組a1,,ar線性表示,則a1,,ar,b線性無關(guān).則向量b可由a1,,ar線性表示.例7設(shè)向量組a1,a2,a3線性相關(guān),向量組a2,a3,a4線性無關(guān),證明(1)a1能由a2,a3線性表示;(2)a4不能由a1,a2,a3線性表示.證明

(1)因a2,a3,a4線性無關(guān),故部分組a2,a3線性無關(guān),而a1,a2,a3線性相關(guān),因此a1能由a2,a3線性表示.(2)用反證法.假設(shè)a4能由a1,a2,a3線性表示,能由a2,a3線性表示,從而a4也能由a2,a3線性表示,a2,a3,a4線性相關(guān),這與a2,a3,a4線性無關(guān)矛盾.由(1)

知a1定理2所以則向量b可由a1,,ar線性表示.

設(shè)向量組a1,,ar線性無關(guān),

若a1,,ar,b線性相關(guān),例7設(shè)向量組a1,a2,a3線性相關(guān),向量組作業(yè)

習(xí)題3-1作業(yè)齊次通解結(jié)構(gòu)定理

設(shè)x1,,xn-r

(r=

R(A))為n元方程組Ax=0的解,且滿足條件

R(x1,,xn-r)=n-r,則Ax=0的通解為(k1,,kn-r

為任意數(shù))

稱x1,,xn-r為方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.齊次通解結(jié)構(gòu)定理設(shè)x1,,xn第三章向量空間初步§3.1向量組的線性關(guān)系§3.2向量組的秩§3.3向量空間§3.4歐氏空間第三章向量空間初步§3.1向量組的線性關(guān)系§3.2一、n維向量及其線性運(yùn)算二、向量組的線性組合三、向量組的線性相關(guān)性§3.1向量組的線性關(guān)系一、n維向量及其線性運(yùn)算二、向量組的線性組合三、向量組一、n維向量及其線性運(yùn)算n維向量空間Rn

Rn

中任一元素稱為一個(gè)n維向量.

稱ai為向量a=(a1,,an)的第i個(gè)坐標(biāo)[分量].以ai(i=1,,n)為第i個(gè)坐標(biāo)的向量可寫成列形式

坐標(biāo)全為零的向量稱為零向量,記為0.

坐標(biāo)完全一樣的兩向量a,b稱為相等向量,記為a=b.一、n維向量及其線性運(yùn)算n維向量空間RnRn中任向量的加法運(yùn)算設(shè)向量a=(a1,,an),b=(b1,,bn),定義稱a+

b為a與b的和.向量的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)定稱ka為數(shù)k與向量a的乘積.

稱(-1)a為向量a的負(fù)向量,記為-a.設(shè)向量a=(a1,,an),k為實(shí)數(shù),定義

向量的加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量的加法運(yùn)算設(shè)向量a=(a1,例2設(shè)x1,,xn-r為方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,二、向量組的線性組合

Ax=0的任一解向量x,

若干同維向量的集合,稱向量組.

向量組的一部分稱部分組.例1設(shè)稱e1,e2,,en為n維單位坐標(biāo)向量組.任一向量a(a1,a2,,an)可唯一地表示為

則對(duì)存在一組數(shù)k1,,kn-r

,使>>>例2設(shè)x1,,xn-r為方程組Ax=線性組合

給定向量組a1,,am,對(duì)任一數(shù)組k1,,km,稱向量為向量組a1,,am的一個(gè)線性組合,稱k1,,km為這個(gè)線性組合的[表示]系數(shù).并稱b可由a1,,am線性表示.例3設(shè)矩陣A

=(a1,,am),則方程組Ax=

b有一組解

xi

=

ki(i=1,,m),也即

線性方程組Ax=

b有解的充分必要條件是:向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示.約定:非特別交待時(shí),向量都采用列形式.線性組合給定向量組a1,,a例4判斷向量與是否為向量組的線性組合.若是,寫出表示式.解同時(shí)解方程組和的解為因此無解,因此b2不可由a1,a2線性表示.例4判斷向量與是否為向量組的線性組合.若是,寫三、向量組的線性相關(guān)性

線性方程組Ax=

b有解的充分必要條件是:向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示.

若線性方程組Ax=

b有無窮多解,則向量b可用矩陣

A的列向量組的無窮多個(gè)線性組合來線性表示.設(shè)向量b有兩個(gè)線性表示式和則b的兩個(gè)表示式不同,也即存在一組不全為零的數(shù)使成立此時(shí),稱向量組a1,,am

線性相關(guān).三、向量組的線性相關(guān)性線性方程組Ax=b有解的充那么稱a1,,am

線性相關(guān).k1,,km

,使線性相關(guān)性

設(shè)有向量組a1,,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)基本性質(zhì)

(1)若向量b可由向量組a1,,am線性表示,

當(dāng)a1,,am線性相關(guān)時(shí),表示式不唯一;

當(dāng)a1,,am線性無關(guān)時(shí),表示式唯一.(2)若部分組線性相關(guān),則整個(gè)向量組也線性相關(guān).(3)若向量組線性無關(guān),則任一部分組也線性無關(guān).則向量組b,a1,,am

線性相關(guān).否則,稱a1,,am

線性無關(guān).那么稱a1,,am線性相關(guān).k1,,

a1,,am線性無關(guān),也即向量方程只有零解.定理1

m元方程組Ax=0只有零解的充要條件是R(A)=

m.線性相關(guān)性

那么稱a1,,am

線性相關(guān).k1,,km

,使設(shè)有向量組a1,,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)否則,稱a1,,am

線性無關(guān).設(shè)矩陣A

(a1,,am),的充分必要條件是R(A)=

m.

則向量組

a1,,am線性無關(guān)a1,,am線性無關(guān),也即向量方程只有零解.設(shè)矩陣A

(a1,,am),定理1的充分必要條件是R(A)=

m.

線性相關(guān)性

方陣A的列向量組線性相關(guān)的充要條件是|A|=0.

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系線性無關(guān).>>>則向量組

a1,,am線性無關(guān)那么稱a1,,am

線性相關(guān).k1,,km

,使設(shè)有向量組a1,,am

,如果存在一組不全為零的數(shù)否則,稱a1,,am

線性無關(guān).

a1,,am線性無關(guān),也即向量方程只有零解.設(shè)矩陣A(a1,,am),解1

例5討論向量組

的線性相關(guān)性.設(shè)方陣化A為行階梯形:當(dāng)a-1,4時(shí),R(A)=3,a1,a2,a3

線性無關(guān);當(dāng)a=-1或a

=4時(shí),R(A)=2,a1,a2,a3

線性相關(guān).解1例5討論向量組的線性相關(guān)性.設(shè)方陣化A為行當(dāng)a=-1或a

=4時(shí),|A|0,

,a1,a2,a3

線性相關(guān).解1

例5討論向量組

的線性相關(guān)性.設(shè)方陣則當(dāng)a1,4時(shí),|A|0,a1,a2,a3

線性無關(guān);當(dāng)a=-1或a=4時(shí),|A|0,證1

將b1,b2,b3的表示式代入,并整理得因a1,a2,a3線性無關(guān),故有由于此方程組的系數(shù)行列式故方程組只有零解x1

x2

x30,設(shè)存在一組數(shù)x1,x2,x3,使所以b1,b2,b3線性無關(guān).例6設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān),試證向量組b1,b2,b3也線性無關(guān).證1將b1,b2,b3的表示式代入,并整理得因把已知條件合寫成記作B=AK.因|K|=-1,所以K可逆,于是R(B)=R(A).因A的列向量組線性無關(guān),所以R(A)=3,從而R(B)=3.因此B的3個(gè)列向量線性無關(guān),也即b1,b2,b3線性無關(guān).例6設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān),試證向量組b1,b2,b3也線性無關(guān).證2

把已知條件合寫成記作B=AK.因|K|=-1則向量b可由a1,,ar線性表示.

設(shè)向量組a1,,ar線性無關(guān),

定理2證明故存在一組不全為0的數(shù)假設(shè)k=0,則k1,,kr不全為0,且有這與a1,,ar線性無關(guān)矛盾.因此k0,于是若a1,,ar,b線性相關(guān),

因a1,,ar