拋物線的簡單幾何性質(zhì)

PAGE12四川省南部中學(xué)高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修1-1/2-1第二章文理科實驗班導(dǎo)學(xué)案PAGEPAGE12 §2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（一）合作探究案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形；2、根據(jù)幾何條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；學(xué)習(xí)重點：拋物線的簡單幾何性質(zhì)一．復(fù)習(xí)舊知1.____________________________________________________________________叫做拋物線；_______________叫做拋物線的焦點，________________叫做拋物線的準(zhǔn)線；焦點在軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________________，其焦點坐標(biāo)為__________，準(zhǔn)線方程為________________，其中的幾何意義為________________.2.以為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________，準(zhǔn)線方程為________________；以為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________，準(zhǔn)線方程為________________；以為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________，準(zhǔn)線方程為________________；以為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________，準(zhǔn)線方程為_______________.3.完成下表：標(biāo)準(zhǔn)方程xxyOFxyOFxyOFxyOF圖象焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程p的幾何意義二．探究新知:拋物線的簡單幾何性質(zhì)1.范圍：，2.對稱軸：以代方程不變，所以這條拋物線關(guān)于軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。3．頂點：拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點.4.離心率：拋物線上的點M到焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，拋物線的離心率.同理可得其它三種拋物線簡單的幾何性質(zhì)。獨(dú)立完成拋物線的簡單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程xxyOFxyOFxyOFxyOF圖象范圍焦點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)離心率對稱軸焦半徑準(zhǔn)線方程p的幾何意義通徑特別提醒：預(yù)習(xí)時自主完成教材P72的練習(xí)1，2出題角度一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1（教材P69的思考）求頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過的標(biāo)準(zhǔn)方程。變式訓(xùn)練：（教材P73）A組作業(yè)第4題例2已知拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓的短軸所在的直線，拋物線的焦點到頂點的距離為5，求拋物線的方程。變式訓(xùn)練2：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦，稱為拋物線的通徑。求頂點在原點，以軸為對稱軸，且通徑的長為8的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的焦點坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程。例3.已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在軸的正半軸上，若拋物線上一動點P到、F兩點距離之和的最小值為4，求拋物線C的方程。變式訓(xùn)練3：拋物線的頂點在原點，以軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為的直線，被拋物線截得的弦長為8，試求拋物線的方程。課堂作業(yè)：1.拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A.B.C.D.2.一動圓的圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則動圓必過定點（）A.(4，0)B.（2，0）C.（0，2）D.(0，－2)3.已知F為拋物線的焦點，定點Q（2，1）點P在拋物線上，要使的值最小，點P的坐標(biāo)為（）A.(0，0)B.C.D.(2，2)4.已知拋物線型拱橋的頂點到水面2m時，水面寬為8m，當(dāng)水面升高1m后，水面寬為____________5.已知拋物線，過點作直線交拋物線于、兩點，給出下列結(jié)論：①；②的面積的最小值為；③，其中正確的結(jié)論是__________________.教材P73A組第5，6，8題，B組第1，2，3題做在作業(yè)本上金玉良言：世界上最殘忍的不是野獸，不是劊子手，而是時間；因為時間不等人，時間不留情§2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（二）出題角度二拋物線的焦點弦1．拋物線焦點弦的定義：過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點這兩點間的線段叫做拋物線的焦點弦。2．拋物線焦點弦的性質(zhì)：若拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），過拋物線的焦點F（eq\f(p,2)，0）的直線交拋物線與A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，則y1y2＝－p2；x1x2＝eq\f(p2,4)；|AB|＝x1＋x2＋p；|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)（其中θ為直線的傾斜角）；eq\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)＝\f(2,p)；過A、B兩點作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A/、B/，F(xiàn)拋物線的焦點，則∠A/FB/＝900；以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。你能證明嗎？例1（教材P69例4）斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長。變式訓(xùn)練：已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，且，求AB所在的直線方程。例2（教材P70例5）過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。出題角度三直線與拋物線的位置關(guān)系一、直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線相切：直線與拋物線有且只有一個公共點，但不平行于拋物線的對稱軸。即把x＝my＋n代入y2＝2px（p＞0）消去x得：y2－2pmy－2pn＝0①，當(dāng)方程①的判別式△＝0直線與拋物線相切；直線與拋物線相交：（1）直線與拋物線只有一個交點：直線與拋物線的對稱軸平行；（2）直線與拋物線有兩個不同的交點方程①的判別式△＞0；直線與拋物線相離方程①的判別式△＜0。例1.已知直線過點且與拋物線只有一個公共點，求直線的方程。變式訓(xùn)練1：已知拋物線的方程為，直線過定點P（-2，1），斜率為。為何值時，直線與拋物線只有一個公共點；兩個公共點；沒有公共點？中點弦問題例3已知拋物線。求以點M（4,1）為中點的弦所在直線的方程；求過焦點F的弦的中點的軌跡方程；求拋物線被直線截得的弦的中點的軌跡。變式訓(xùn)練：過點作拋物線的弦AB，恰被Q平分，求AB所在的直線方程。出題角度四與拋物線有關(guān)最值問題例：設(shè)F是拋物線的焦點，過點F且與拋物線G的對稱軸垂直的直線被拋物線G截得的線段長為4.（1）求拋物線G的方程；（2）設(shè)A,B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足延長分別交拋物線G于點C,D,求四邊形面積的最小值。變式訓(xùn)練：（1）已知點 P是拋物線上一點，點F為拋物線的焦點，求點P到點A（-1,1）的距離與點P到直線的距離之和的最小值；（2）求拋物線上一點，使它到直線的距離最短，并求此距離。出題角度五存在性問題例：已知拋物線過點A（1，-2）.(1)求拋物線C的方程,并求其標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點)的直線,使得直線與拋物線C有公共點,且直線OA與的距離等于?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.例1圖x例1圖xyABOMP例1：A、B是拋物線y2＝2px（p＞0）上的兩點，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點）求證：（1）A、B兩點的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別都是定值；（2）直線AB經(jīng)過一個定點；（3）求O在線段AB上的射影M的軌跡方程。變式訓(xùn)練：拋物線上有兩動點A,B及一個定點M,F為焦點，若成等差數(shù)列。（1）求證：線段的垂直平分線過定點Q；（2）若（為坐標(biāo)原點），求拋物線的方程。出題角度七綜合問題例1：已知點A(8,0),B,C兩點分別在軸上和軸上運(yùn)動,并且滿足.(1)求動點P的軌跡方程;(2)若過點A的直線與動點P的軌跡交于M,N兩點,,其中Q(-1,0),求直線的方程.例2:已知是非零實數(shù),拋物線的焦點F在直線上.(1)設(shè),求拋物線的方程;(2)設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足為,的重心分別為G,H,求證:對任意非零實數(shù),拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點在以線段GH為直徑的圓外.課后作業(yè)：1.已知直線過拋物線的焦點,且與的對稱軸垂直,與交于A,B兩點,為的準(zhǔn)線上一點,則的面積為()A.18B.24C.36D.482.已知拋物線的焦點為F,直線與交于A,B兩點,()ABCD3.設(shè)為拋物線上一點,F為拋物線的焦點,以F為圓心,為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交,則的取值范圍是()(0,2)B.C.D.4.定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線上移動，求AB中點到軸距離的最小值，并求此時AB中點M的坐標(biāo)。正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線上，求這個正三角形的邊長，并求該三角形外接圓的方程。已知拋物線的焦點為F，其準(zhǔn)線與軸交于點M，過點M作斜率為的直線，與拋物線交與A，B兩點，弦AB的中點為P，線段AB的垂直平分線與軸交于E（，0）。求的取值范圍。求證：。能否成為以