定積分的換元法和分部積分法解析課件

第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法內(nèi)容提要一、定積分的換元法二、定積分分部積分法三、定積分的常用公式第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法內(nèi)容提要一、定積分的換元法1重點、難點：定積分的換元法和分部積分法教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)手段：多媒體課件和面授相結(jié)合教學(xué)課時：6課時重點、難點：定積分的換元法和分部積分法教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)2指導(dǎo)思想：由牛頓—萊布尼茲公式，求解只要利用不定積分，先求出的一個原函數(shù)，再求出即可。我們知道，某些不定積分的求解過程還是很復(fù)雜或煩繁瑣的，有必要找到一個簡單一些的計算方法，定積分的換元法和分部積分法，就是在不定積分的換元法和分部積分法的基礎(chǔ)上，簡化了的計算方法。指導(dǎo)思想：由牛頓—萊布尼茲公式，求解3定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，變換滿足：（1）（2）在區(qū)間上，單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有上式稱為定積分的換元公式一、定積分的換元法定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)4證明：在上連續(xù) 的原函數(shù)存在，設(shè)為則有由牛頓萊布尼茲公式又在上單調(diào)，故在上有定義，且所以也是的一個原函數(shù)由牛頓—萊布尼茲公式，有

因此證明：在5例1、計算解：設(shè)，則當(dāng)時，當(dāng)時；當(dāng)t從1變到2時，單調(diào)地從0變到3，于是由定積分的換元公式，得

例1、計算6由例1可見，不定積分的換元法與定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分的換元法在求得關(guān)于新變量t的積分后，必須代回原變量x，而定積分的換元法在積分變量由x換成t的同時，其積分限也由和相應(yīng)地換成和，在完成關(guān)于變量t的積分后，直接用t的上下限和代入計算定積分的值，而不必代回原變量。由例1可見，不定積分的換元法與定積分的換元法的區(qū)別在7例2、求解：設(shè)當(dāng)時，；時，于是例2、求8例3、設(shè)求解：設(shè)則當(dāng)時；當(dāng)時，于是

換元公式也可以反過來使用，即這時通常不寫出中間變量t，而寫作注意這里積分上下限不作變換，計算更為簡便。例3、設(shè)9例4求解可見，這種計算方法對應(yīng)于不定積分的第一換元法，即湊微分法。例4求10二、定積分的分部積分法設(shè)u(x)和v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分運算法則，有

移項得兩邊在區(qū)間[a,b]上積分，得因

或上述公式稱為定積分的分部積分公式。二、定積分的分部積分法11例5

求解可見，定積分的分部積分法，本質(zhì)上是先利用不定積分的分部積分法求出原函數(shù)，再用牛頓—萊布尼茲公式求得結(jié)果，這兩者的差別在于定積分經(jīng)分部積分后，積出部分就代入上、下限，即積出一步代一步，不必等到最后一起代。例5

求12例6

求定積分解例7求定積分解先換元，設(shè)則dx=2udu,當(dāng)u=0時，x=0,u=1時，x=1.于是，

例6

求定積分例13三、定積分的幾個常用公式1．

設(shè)f(x)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間[-a,a],上可積，則（1）

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，（2）當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，證由定積分的性質(zhì)3，有對積分則dx=-dt,當(dāng)x=-a時，t=a,當(dāng)x=0時t=0,于是從從而當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，f(-x)+f(x)=0,因此當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，f(-x)=f(x)，得三、定積分的幾個常用公式14例8

計算下列定積分（1）（2）解（1）因為f(x)=sin7x在上為奇函數(shù)，所以(2)在中，令f(x)=，因為

f(-x)=所以f(x)在上為奇函數(shù)，于是例8

計算下列定積分所以f(x)在152、設(shè)f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，且可積，則對任一實數(shù)a，有證由定積分性質(zhì)3，有對右邊第三個積分，x=t+T,并注意到f(t+T)=f(t),得于是

2、設(shè)f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，且可積，則對任一實數(shù)a16例9求解函數(shù)sin2x是以為周期的周期函數(shù)，故

例9求17第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法內(nèi)容提要一、定積分的換元法二、定積分分部積分法三、定積分的常用公式第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法內(nèi)容提要一、定積分的換元法18重點、難點：定積分的換元法和分部積分法教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)手段：多媒體課件和面授相結(jié)合教學(xué)課時：6課時重點、難點：定積分的換元法和分部積分法教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)19指導(dǎo)思想：由牛頓—萊布尼茲公式，求解只要利用不定積分，先求出的一個原函數(shù)，再求出即可。我們知道，某些不定積分的求解過程還是很復(fù)雜或煩繁瑣的，有必要找到一個簡單一些的計算方法，定積分的換元法和分部積分法，就是在不定積分的換元法和分部積分法的基礎(chǔ)上，簡化了的計算方法。指導(dǎo)思想：由牛頓—萊布尼茲公式，求解20定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，變換滿足：（1）（2）在區(qū)間上，單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有上式稱為定積分的換元公式一、定積分的換元法定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)21證明：在上連續(xù) 的原函數(shù)存在，設(shè)為則有由牛頓萊布尼茲公式又在上單調(diào)，故在上有定義，且所以也是的一個原函數(shù)由牛頓—萊布尼茲公式，有

因此證明：在22例1、計算解：設(shè)，則當(dāng)時，當(dāng)時；當(dāng)t從1變到2時，單調(diào)地從0變到3，于是由定積分的換元公式，得

例1、計算23由例1可見，不定積分的換元法與定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分的換元法在求得關(guān)于新變量t的積分后，必須代回原變量x，而定積分的換元法在積分變量由x換成t的同時，其積分限也由和相應(yīng)地換成和，在完成關(guān)于變量t的積分后，直接用t的上下限和代入計算定積分的值，而不必代回原變量。由例1可見，不定積分的換元法與定積分的換元法的區(qū)別在24例2、求解：設(shè)當(dāng)時，；時，于是例2、求25例3、設(shè)求解：設(shè)則當(dāng)時；當(dāng)時，于是

換元公式也可以反過來使用，即這時通常不寫出中間變量t，而寫作注意這里積分上下限不作變換，計算更為簡便。例3、設(shè)26例4求解可見，這種計算方法對應(yīng)于不定積分的第一換元法，即湊微分法。例4求27二、定積分的分部積分法設(shè)u(x)和v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分運算法則，有

移項得兩邊在區(qū)間[a,b]上積分，得因

或上述公式稱為定積分的分部積分公式。二、定積分的分部積分法28例5

求解可見，定積分的分部積分法，本質(zhì)上是先利用不定積分的分部積分法求出原函數(shù)，再用牛頓—萊布尼茲公式求得結(jié)果，這兩者的差別在于定積分經(jīng)分部積分后，積出部分就代入上、下限，即積出一步代一步，不必等到最后一起代。例5

求29例6

求定積分解例7求定積分解先換元，設(shè)則dx=2udu,當(dāng)u=0時，x=0,u=1時，x=1.于是，

例6

求定積分例30三、定積分的幾個常用公式1．

設(shè)f(x)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間[-a,a],上可積，則（1）

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，（2）當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，證由定積分的性質(zhì)3，有對積分