2022長(zhǎng)沙中考試卷

2022年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共12小題，每題3分，共36分）1．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）下列各數(shù)中，比小的數(shù)是A． B． C．0 D．12．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）根據(jù)《長(zhǎng)沙市電網(wǎng)供電能力提升三年行動(dòng)計(jì)劃》，明確到2022年，長(zhǎng)沙電網(wǎng)建設(shè)改造投資規(guī)模達(dá)，確保安全供用電需求．?dāng)?shù)科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．3．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）下列計(jì)算正確的是A． B． C． D．4．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）下列事件中，是必然事件的是A．購買一張彩票，中獎(jiǎng) B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心 C．經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈 D．任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是5．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）如圖，平行線，被直線所截，，則的度數(shù)是A． B． C． D．6．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是A． B． C． D．7．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）在慶祝新中國(guó)成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學(xué)的成績(jī)各不相同，按照成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽．如果小明知道了自己的比賽成績(jī)，要判斷能否進(jìn)入決賽，小明需要知道這11名同學(xué)成績(jī)的A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差8．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）一個(gè)扇形的半徑為6，圓心角為，則該扇形的面積是A． B． C． D．9．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）如圖，中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是A． B． C． D．10．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔的小島出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，這時(shí)輪船與小島的距離是A． B． C． D．11．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)、繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長(zhǎng)多少尺？可設(shè)木頭長(zhǎng)為尺，繩子長(zhǎng)為尺，則所列方程組正確的是A． B． C． D．12．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．10二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）分解因式：．15．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）不等式組的解集是．16．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）在一個(gè)不透明的袋子中有若干個(gè)小球，這些球除顏色外無其他差別，從袋中隨機(jī)摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗(yàn)，然后把它重新放回袋中并搖勻，不斷重復(fù)上述過程．以下是利用計(jì)算機(jī)模擬的摸球試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表：摸球?qū)嶒?yàn)次數(shù)100100050001000050000100000“摸出黑球”的次數(shù)36387202240091997040008“摸出黑球”的頻率（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根據(jù)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，估計(jì)“摸出黑球”的概率是．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）17．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的，兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外選一點(diǎn)，連接，，分別取，的中點(diǎn)，，測(cè)得，則的長(zhǎng)是．18．（3分）（2022?長(zhǎng)沙）如圖，函數(shù)為常數(shù)，的圖象與過原點(diǎn)的的直線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，連接分別交軸，軸于點(diǎn)，．現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①與的面積相等；②若于點(diǎn)，則；③若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，為等邊三角形，則；④若，則．其中正確的結(jié)論的序號(hào)是．（只填序號(hào)）三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題6分，第23、24題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟）19．（6分）（2022?長(zhǎng)沙）計(jì)算：．20．（6分）（2022?長(zhǎng)沙）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．（8分）（2022?長(zhǎng)沙）某學(xué)校開展了主題為“垃圾分類，綠色生活新時(shí)尚”的宣傳活動(dòng)．為了解學(xué)生對(duì)垃圾分類知識(shí)的掌握情況，該校環(huán)保社團(tuán)成員在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，將他們的得分按優(yōu)秀、良好、合格、待合格四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖．等級(jí)頻數(shù)頻率優(yōu)秀21良好合格6待合格3（1）本次調(diào)查隨機(jī)抽取了名學(xué)生；表中，；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若全校有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校掌握垃圾分類知識(shí)達(dá)到“優(yōu)秀”和“良好”等級(jí)的學(xué)生共有多少人．22．（8分）（2022?長(zhǎng)沙）如圖，正方形，點(diǎn)，分別在，上，且，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．23．（9分）（2022?長(zhǎng)沙）近日，長(zhǎng)沙市教育局出臺(tái)《長(zhǎng)沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實(shí)施意見》，鼓勵(lì)教師與志愿輔導(dǎo)，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次．（1）如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率；（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬人次？24．（9分）（2022?長(zhǎng)沙）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個(gè)角分別相等，四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”．①四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；命題）②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；命題）③兩個(gè)大小不同的正方形相似．命題）（2）如圖1，在四邊形和四邊形中，，，．求證：四邊形與四邊形相似．（3）如圖2，四邊形中，，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，．記四邊形的面積為，四邊形的面積為，若四邊形與四邊形相似，求的值．25．（10分）（2022?長(zhǎng)沙）已知拋物線，為常數(shù)）．（1）若拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求，的值；（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的取值范圍；（3）在（1）的條件下，存在正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恰好，求，的值．26．（10分）（2022?長(zhǎng)沙）如圖，拋物線為常數(shù)，與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，連接并延長(zhǎng)與過，，三點(diǎn)的相交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作的切線交軸于點(diǎn)．①如圖1，求證：；②如圖2，連接，，，當(dāng)，時(shí)，求的值．

2022年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共12小題，每題3分，共36分）1．（3分）下列各數(shù)中，比小的數(shù)是A． B． C．0 D．1【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．【解答】解：，所以比小的數(shù)是，故選：．2．（3分）根據(jù)《長(zhǎng)沙市電網(wǎng)供電能力提升三年行動(dòng)計(jì)劃》，明確到2022年，長(zhǎng)沙電網(wǎng)建設(shè)改造投資規(guī)模達(dá)，確保安全供用電需求．?dāng)?shù)科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．【解答】解：數(shù)科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：．3．（3分）下列計(jì)算正確的是A． B． C． D．【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則、同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方法則以及完全平方公式解答即可．【解答】解：、與不是同類項(xiàng)，故不能合并，故選項(xiàng)不合題意；、，故選項(xiàng)符合題意；、，故選項(xiàng)不符合題意；、，故選項(xiàng)不合題意．故選：．4．（3分）下列事件中，是必然事件的是A．購買一張彩票，中獎(jiǎng) B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心 C．經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈 D．任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是【分析】先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．【解答】解：．購買一張彩票中獎(jiǎng)，屬于隨機(jī)事件，不合題意；．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心，屬于隨機(jī)事件，不合題意；．經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈，屬于隨機(jī)事件，不合題意；．任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是，屬于必然事件，符合題意；故選：．5．（3分）如圖，平行線，被直線所截，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】直接利用鄰補(bǔ)角的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案．【解答】解：，，，．故選：．6．（3分）某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是A． B． C． D．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖判斷即可．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為圓錐．故選：．7．（3分）在慶祝新中國(guó)成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學(xué)的成績(jī)各不相同，按照成績(jī)?nèi)∏?名進(jìn)入決賽．如果小明知道了自己的比賽成績(jī)，要判斷能否進(jìn)入決賽，小明需要知道這11名同學(xué)成績(jī)的A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差【分析】由于比賽取前5名參加決賽，共有11名選手參加，根據(jù)中位數(shù)的意義分析即可．【解答】解：11個(gè)不同的成績(jī)按從小到大排序后，中位數(shù)及中位數(shù)之后的共有5個(gè)數(shù)，故只要知道自己的成績(jī)和中位數(shù)就可以知道是否進(jìn)入決賽了．故選：．8．（3分）一個(gè)扇形的半徑為6，圓心角為，則該扇形的面積是A． B． C． D．【分析】根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：，故選：．9．（3分）如圖，中，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得，由中垂線性質(zhì)知，即，從而得出答案．【解答】解：在中，，，，由作圖可知為的中垂線，，，，故選：．10．（3分）如圖，一艘輪船從位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔的小島出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，這時(shí)輪船與小島的距離是A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作，則在中易得的長(zhǎng)，再在直角中求出，相加可得的長(zhǎng)．【解答】解：過作于點(diǎn)，，，（海里）．在中，，（海里）．在中，，（海里），．答：此時(shí)輪船所在的處與燈塔的距離是海里．故選：．11．（3分）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長(zhǎng)、繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長(zhǎng)多少尺？可設(shè)木頭長(zhǎng)為尺，繩子長(zhǎng)為尺，則所列方程組正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，，故選：．12．（3分）如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．10【分析】如圖，作于，于．由，設(shè)，，利用勾股定理構(gòu)建方程求出，再證明，推出，由垂線段最短即可解決問題．【解答】解：如圖，作于，于．，，，設(shè)，，則有：，，或（舍棄），，，，，（等腰三角形兩腰上的高相等），，，，，，，的最小值為．故選：．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．（3分）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】直接利用二次根式有意義的條件進(jìn)而得出答案．【解答】解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故答案為：．14．（3分）分解因式：．【分析】先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．【解答】解：．故答案為：．15．（3分）不等式組的解集是．【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找，確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為：，故答案為：．16．（3分）在一個(gè)不透明的袋子中有若干個(gè)小球，這些球除顏色外無其他差別，從袋中隨機(jī)摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗(yàn)，然后把它重新放回袋中并搖勻，不斷重復(fù)上述過程．以下是利用計(jì)算機(jī)模擬的摸球試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表：摸球?qū)嶒?yàn)次數(shù)100100050001000050000100000“摸出黑球”的次數(shù)36387202240091997040008“摸出黑球”的頻率（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根據(jù)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，估計(jì)“摸出黑球”的概率是0.4．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【分析】大量重復(fù)試驗(yàn)下摸球的頻率可以估計(jì)摸球的概率，據(jù)此求解；【解答】觀察表格發(fā)現(xiàn)隨著摸球次數(shù)的增多頻率逐漸穩(wěn)定在0.4附近，故摸到白球的頻率估計(jì)值為0.4；故答案為：0.4．17．（3分）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的，兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外選一點(diǎn)，連接，，分別取，的中點(diǎn)，，測(cè)得，則的長(zhǎng)是100．【分析】先判斷出是的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，問題得解．【解答】解：點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，米．故答案為：100．18．（3分）如圖，函數(shù)為常數(shù)，的圖象與過原點(diǎn)的的直線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，連接分別交軸，軸于點(diǎn)，．現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①與的面積相等；②若于點(diǎn)，則；③若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，為等邊三角形，則；④若，則．其中正確的結(jié)論的序號(hào)是①③④．（只填序號(hào)）【分析】①設(shè)點(diǎn)，，構(gòu)建一次函數(shù)求出，坐標(biāo)，利用三角形的面積公式計(jì)算即可判斷．②不一定是等邊三角形，故結(jié)論不一定成立．③設(shè)，由為等邊三角形，推出，可得，推出，根據(jù)，構(gòu)建方程求出即可判斷．④如圖，作交于．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【解答】解：①設(shè)點(diǎn)，，則直線的解析式為，，，，，，與的面積相等，故①正確；反比例函數(shù)與正比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是的中點(diǎn)，，，，，，，，不一定等于，不一定是，不一定是．故②錯(cuò)誤，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，可以假設(shè)，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，故③正確，如圖，作交于．，，，，，，，，，故④正確．故答案為①③④．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題6分，第23、24題每小題6分，第25、26題每小題6分，共66分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟）19．（6分）計(jì)算：．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義、二次根式的除法法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義和特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：原式．20．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．21．（8分）某學(xué)校開展了主題為“垃圾分類，綠色生活新時(shí)尚”的宣傳活動(dòng)．為了解學(xué)生對(duì)垃圾分類知識(shí)的掌握情況，該校環(huán)保社團(tuán)成員在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，將他們的得分按優(yōu)秀、良好、合格、待合格四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖．等級(jí)頻數(shù)頻率優(yōu)秀21良好合格6待合格3（1）本次調(diào)查隨機(jī)抽取了50名學(xué)生；表中，；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若全校有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校掌握垃圾分類知識(shí)達(dá)到“優(yōu)秀”和“良好”等級(jí)的學(xué)生共有多少人．【分析】（1）用優(yōu)秀的人數(shù)除以優(yōu)秀的人數(shù)所占的百分比即可得到總?cè)藬?shù)；（2）根據(jù)題意補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可得到結(jié)果；（3）全校2000名乘以“優(yōu)秀”和“良好”等級(jí)的學(xué)生數(shù)所占的百分比即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）本次調(diào)查隨機(jī)抽取了名學(xué)生，，，故答案為：50，20，12；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；（3）人，答：該校掌握垃圾分類知識(shí)達(dá)到“優(yōu)秀”和“良好”等級(jí)的學(xué)生共有1640人．22．（8分）如圖，正方形，點(diǎn)，分別在，上，且，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，得出，由證明，即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，得出，因此，由勾股定理得出，在中，由三角形面積即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，在和中，，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，，在中，，．23．（9分）近日，長(zhǎng)沙市教育局出臺(tái)《長(zhǎng)沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實(shí)施意見》，鼓勵(lì)教師與志愿輔導(dǎo)，某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次．（1）如果第二批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率；（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬人次？【分析】（1）設(shè)增長(zhǎng)率為，根據(jù)“第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次”可列方程求解；（2）用增長(zhǎng)率），計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）設(shè)增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，得，解得（舍去），．答：增長(zhǎng)率為．（2）（萬人）．答：第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到2.662萬人次．24．（9分）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個(gè)角分別相等，四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形叫做相似四邊形．相似四邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”．①四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；假命題）②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；命題）③兩個(gè)大小不同的正方形相似．命題）（2）如圖1，在四邊形和四邊形中，，，．求證：四邊形與四邊形相似．（3）如圖2，四邊形中，，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，．記四邊形的面積為，四邊形的面積為，若四邊形與四邊形相似，求的值．【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的定義即可判斷．（2）根據(jù)相似多邊形的定義證明四邊成比例，四個(gè)角相等即可．（3）四邊形與四邊形相似，證明相似比是1即可解決問題，即證明即可．【解答】（1）解：①四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等．②三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例．③兩個(gè)大小