高中三年級數(shù)學第二輪專題復(fù)習系列(8)-圓錐曲線

..高三數(shù)學第二輪專題復(fù)習系列<8>--圓錐曲線一、知識結(jié)構(gòu)1.方程的曲線在平面直角坐標系中,如果某曲線C<看作適合某種條件的點的集合或軌跡>上的點與一個二元方程f<x,y>=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：<1>曲線上的點的坐標都是這個方程的解；<2>以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.點與曲線的關(guān)系若曲線C的方程是f<x,y>=0,則點P0<x0,y0>在曲線C上f<x0,y0>=0；點P0<x0,y0>不在曲線C上f<x0,y0>≠0兩條曲線的交點若曲線C1,C2的方程分別為f1<x,y>=0,f2<x,y>=0,則f1<x0,y0>=0點P0<x0,y0>是C1,C2的交點f2<x0,y0>=0方程組有n個不同的實數(shù)解,兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解,曲線就沒有交點.2.圓圓的定義點集：｛M｜｜OM｜=r｝,其中定點O為圓心,定長r為半徑.圓的方程<1>標準方程圓心在c<a,b>,半徑為r的圓方程是<x-a>2+<y-b>2=r2圓心在坐標原點,半徑為r的圓方程是x2+y2=r2<2>一般方程當D2+E2-4F＞0時,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程,圓心為<-,-,半徑是.配方,將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為<x+>2+<y+>2=當D2+E2-4F=0時,方程表示一個點<-,->;當D2+E2-4F＜0時,方程不表示任何圖形.點與圓的位置關(guān)系已知圓心C<a,b>,半徑為r,點M的坐標為<x0,y0>,則｜MC｜＜r點M在圓C內(nèi),｜MC｜=r點M在圓C上,｜MC｜＞r點M在圓C內(nèi),其中｜MC｜=.<3>直線和圓的位置關(guān)系①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線與圓相交有兩個公共點直線與圓相切有一個公共點直線與圓相離沒有公共點②直線和圓的位置關(guān)系的判定<i>判別式法<ii>利用圓心C<a,b>到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關(guān)系來判定.3.橢圓、雙曲線和拋物線橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識見下表.曲曲線性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線軌跡條件點集：<{M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a＝點集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.點集{M｜｜MF｜=點M到直線l的距離}.圓形標準方程+=1<a＞b＞0>-=1<a＞0,b＞0>y2=2px<p＞0>頂點A1<-a,0>,A2<a,0>;B1<0,-b>,B2<0,b>A1<0,-a>,A2<0,a>O<0,0>軸對稱軸x=0,y=0長軸長：2a短軸長：2b對稱軸x=0,y=0實軸長：2a虛軸長：2b對稱軸y=焦點F1<-c,0>,F2<c,0>焦點在長軸上F1<-c,0>,F2<c,0>焦點在實軸上F<,0>焦點對稱軸上焦距｜F1F2｜=2c,c=｜F1F2｜=2c,c=準線x=±準線垂直于長軸,且在橢圓外.x=±準線垂直于實軸,且在兩頂點的內(nèi)側(cè).x=-準線與焦點位于頂點兩側(cè),且到頂點的距離相等.離心率e=,0＜e＜1e=,e＞1e=14.圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動點P<x,y>到一個定點F<c,0>的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e<e＞0>,則動點的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點F<c,0>稱為焦點,定直線l稱為準線,正常數(shù)e稱為離心率.當0＜e＜1時,軌跡為橢圓當e=1時,軌跡為拋物線當e＞1時,軌跡為雙曲線5.坐標變換坐標變換在解析幾何中,把坐標系的變換<如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向>叫做坐標變換.實施坐標變換時,點的位置,曲線的形狀、大小、位置都不改變,僅僅只改變點的坐標與曲線的方程.坐標軸的平移坐標軸的方向和長度單位不改變,只改變原點的位置,這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移,簡稱移軸.坐標軸的平移公式設(shè)平面內(nèi)任意一點M,它在原坐標系xOy中的坐標是9x,y>,在新坐標系x′O′y′中的坐標是<x′,y′>.設(shè)新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是<h,k>,則x=x′+hx′=x-h<1>或<2>y=y′+ky′=y-k公式<1>或<2>叫做平移<或移軸>公式.中心或頂點在<h,k>的圓錐曲線方程中心或頂點在<h,k>的圓錐曲線方程見下表.方程焦點焦線對稱軸橢圓+=1<±c+h,k>x=±+hx=hy=k+=1<h,±c+k>y=±+kx=hy=k雙曲線-=1<±c+h,k>=±+kx=hy=k-=1<h,±c+h>y=±+kx=hy=k拋物線<y-k>2=2p<x-h><+h,k>x=-+hy=k<y-k>2=-2p<x-h><-+h,k>x=+hy=k<x-h>2=2p<y-k><h,+k>y=-+kx=h<x-h>2=-2p<y-k><h,-+k>y=+kx=h二、知識點、能力點提示<一>曲線和方程,由已知條件列出曲線的方程,曲線的交點說明在求曲線方程之前必須建立坐標系,然后根據(jù)條件列出等式進行化簡.特別是在求出方程后要考慮化簡的過程是否是同解變形,是否滿足已知條件,只有這樣求出的曲線方程才能準確無誤.另外,要求會判斷曲線間有無交點,會求曲線的交點坐標.考綱中對圓錐曲線的要求：考試內(nèi)容：.橢圓及其標準方程.橢圓的簡單幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程；.雙曲線及其標準方程.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；.拋物線及其標準方程.拋物線的簡單幾何性質(zhì)；考試要求：.<1>掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì),理解橢圓的參數(shù)方程；.<2>掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；.<3>掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)；.<4>了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。四．對考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3題<1個選擇題,1個填空題,1個解答題>,共計22分左右,考查的知識點約為20個左右.其命題一般緊扣課本,突出重點,全面考查.選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)為主,難度在中等以下,一般較容易得分,解答題常作為數(shù)學高考中的壓軸題,綜合考查學生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力,重點考查圓錐曲線中的重要知識點,通過知識的重組與鏈接,使知識形成網(wǎng)絡(luò),著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,往往結(jié)合平面向量進行求解,在復(fù)習應(yīng)充分重視。求圓錐曲線的方程[復(fù)習要點]求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點,主要考查識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力,解決好這類問題,除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外,命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題,解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用"先定形,后定式,再定量"的步驟.定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.定式——根據(jù)"形"設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用,如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時,可設(shè)方程為mx2+ny2=1<m＞0,n＞0>.定量——由題設(shè)中的條件找到"式"中特定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程得到量的大小.[例題]雙曲線=1<b∈N>的兩個焦點F1、F2,P為雙曲線上一點,|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,則b2=_________.解：設(shè)F1<－c,0、F2<c,0>、P<x,y>,則|PF1|2+|PF2|2=2<|PO|2+|F1O|2>＜2<52+c2>,即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=<|PF1|－|PF2|>2+2|PF1|·|PF2|,依雙曲線定義,有|PF1|－|PF2|=4,依已知條件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.答案：1已知圓C1的方程為,橢圓C2的方程為,C2的離心率為,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由設(shè)橢圓方程為設(shè)又兩式相減,得又即將由得解得故所有橢圓方程過點<1,0>的直線l與中心在原點,焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點,直線y=x過線段AB的中點,同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱,試求直線l與橢圓C的方程.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A<x1,y1>,B<x2,y2>在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得,<x12－x22>+2<y12－y22>=0,設(shè)AB中點為<x0,y0>,則kAB=－,又<x0,y0>在直線y=x上,y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,設(shè)l的方程為y=－x+1.右焦點<b,0>關(guān)于l的對稱點設(shè)為<x′,y′>,由點<1,1－b>在橢圓上,得1+2<1－b>2=2b2,b2=.∴所求橢圓C的方程為=1,l的方程為y=－x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k<x－1>,將l的方程代入C的方程,得<1+2k2>x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k<x1－1>+k<x2－1>=k<x1+x2>－2k=－.直線l：y=x過AB的中點<>,則,解得k=0,或k=－1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F<c,0>關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身,不能在橢圓C上,所以k=0舍去,從而k=－1,直線l的方程為y=－<x－1>,即y=－x+1,以下同解法一.解法3：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸,否則AB中點在x軸上與直線中點矛盾。故可設(shè)直線,,,,,,,,,,,,,則,,,,所以所求的橢圓方程為：如圖,已知△P1OP2的面積為,P為線段P1P2的一個三等分點,求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程.解：以O(shè)為原點,∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系.設(shè)雙曲線方程為=1<a＞0,b＞0>由e2=,得.∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=－x點坐標為<>,又點P在雙曲線=1上,所以=1,即<x1+2x2>2－<x1－2x2>2=9a2,整理得8x1x2=9a2①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.過橢圓C：上一動點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB,A、B為切點,直線AB與x軸,y軸分別交于M、N兩點。<1>已知P點坐標為<x0,y0>并且x0y0≠0,試求直線AB方程；<2>若橢圓的短軸長為8,并且,求橢圓C的方程；<3>橢圓C上是否存在點P,由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在,請求出存在的條件；若不存在,請說明理由。解：<1>設(shè)A<x1,y1>,B<x2,y2>切線PA：,PB：∵P點在切線PA、PB上,∴∴直線AB的方程為<2>在直線AB方程中,令y=0,則M<,0>；令x=0,則N<0,>∴①∵2b=8∴b=4代入①得a2=25,b2=16∴橢圓C方程：〔注：不剔除xy≠0,可不扣分<3>假設(shè)存在點P<x0,y0>滿足PA⊥PB,連接OA、OB由|PA|=|PB|知,四邊形PAOB為正方形,|OP|=|OA|∴①又∵P點在橢圓C上∴②由①②知x∵a>b>0∴a2－b2>0<1>當a2－2b2>0,即a>b時,橢圓C上存在點,由P點向圓所引兩切線互相垂直；<2>當a2－2b2<0,即b<a<b時,橢圓C上不存在滿足條件的P點已知橢圓C的焦點是F1〔－,0、F2〔,0,點F1到相應(yīng)的準線的距離為,過F2點且傾斜角為銳角的直線l與橢圓C交于A、B兩點,使得|F2B|=3|F2A|.〔1求橢圓C的方程；〔2求直線l的方程.解：〔1依題意,橢圓中心為O〔0,0,點F1到相應(yīng)準線的距離為,a2=b2+c2=1+3=4∴所求橢圓方程為〔2設(shè)橢圓的右準線與l交于點P,作AM⊥,AN⊥,垂足分別為M、N.由橢圓第二定義,得同理|BF2|=e|BN|由Rt△PAM～Rt△PBN,得…9分的斜率.∴直線l的方程已知點B〔－1,0,C〔1,0,P是平面上一動點,且滿足〔1求點P的軌跡C對應(yīng)的方程；〔2已知點A〔m,2在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD和AE,且AD⊥AE,判斷：直線DE是否過定點？試證明你的結(jié)論.〔3已知點A〔m,2在曲線C上,過點A作曲線C的兩條弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2滿足k1·k2=2.求證：直線DE過定點,并求出這個定點.解：〔1設(shè)已知曲線,直線l過A〔a,0、B〔0,－b兩點,原點O到l的距離是〔Ⅰ求雙曲線的方程；〔Ⅱ過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點,若,求直線m的方程.解：〔Ⅰ依題意,由原點O到l的距離為,得又故所求雙曲線方程為〔Ⅱ顯然直線m不與x軸垂直,設(shè)m方程為y=kx－1,則點M、N坐標〔、〔是方程組的解消去y,得①依設(shè),由根與系數(shù)關(guān)系,知===∴=－23,k=±當k=±時,方程①有兩個不等的實數(shù)根故直線l方程為已知動點與雙曲線的兩個焦點、的距離之和為定值,且的最小值為．〔1求動點的軌跡方程；〔2若已知,、在動點的軌跡上且,求實數(shù)的取值范圍．解：〔1由已知可得：,∴∴所求的橢圓方程為.<2>方法一：由題知點D、M、N共線,設(shè)為直線m,當直線m的斜率存在時,設(shè)為k,則直線m的方程為y=kx+3代入前面的橢圓方程得<4+9k2>x2+54k+45=0①由判別式,得.再設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>,則一方面有,得另一方面有,②將代入②式并消去x2可得,由前面知,∴,解得.又當直線m的斜率不存在時,不難驗證：,所以為所求。方法二:同上得設(shè)點M<3cosα,2sinα>,N<3cosβ,2sinβ>則有由上式消去α并整理得,由于∴,解得為所求.方法三：設(shè)法求出橢圓上的點到點D的距離的最大值為5,最小值為1.進而推得的取值范圍為。[求圓錐曲線的方程練習]一、選擇題1．已知直線x+2y－3=0與圓x2+y2+x－6y+m=0相交于P、Q兩點,O為坐標原點,若OP⊥OQ,則m等于<>A.3 B.－3 C.1 D.－12．中心在原點,焦點在坐標為<0,±5>的橢圓被直線3x－y－2=0截得的弦的中點的橫坐標為,則橢圓方程為<>二、填空題3．直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P,若過點P且以雙曲線12x2－4y2=3的焦點作橢圓的焦點,那么具有最短長軸的橢圓方程為_________.4．已知圓過點P<4,－2>、Q<－1,3>兩點,且在y軸上截得的線段長為4,則該圓的方程為_________.三、解答題5．已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上,它的一個焦點為F,M是橢圓上的任意點,|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2,橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2,且|M1M2|=,試求橢圓的方程.6．某拋物線形拱橋跨度是20米,拱高4米,在建橋時每隔4米需用一支柱支撐,求其中最長的支柱的長.7．已知圓C1的方程為<x－2>2+<y－1>2=,橢圓C2的方程為=1<a＞b＞0>,C2的離心率為,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程.參考答案一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=3－2y,代入圓的方程x2+y2+x－6y+m=0,得<3－2y>2+y2+<3－2y>+m=0.整理得5y2－20y+12+m=0,設(shè)P<x1,y1>、Q<x2,y2>則y1y2=,y1+y2=4.又∵P、Q在直線x=3－2y上,∴x1x2=<3－2y1><3－2y2>=4y1y2－6<y1+y2>+9故y1y2+x1x2=5y1y2－6<y1+y2>+9=m－3=0,故m=3.答案：A2.解析：由題意,可設(shè)橢圓方程為：=1,且a2=50+b2,即方程為=1.將直線3x－y－2=0代入,整理成關(guān)于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求橢圓的焦點為F1<－1,0>,F2<1,0>,2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小,只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小,利用對稱性可解.答案：=14.解析：設(shè)所求圓的方程為<x－a>2+<y－b>2=r2則有由此可寫所求圓的方程.答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,則<a+c><a－c>=a2－c2=b2,∴b2=4,設(shè)橢圓方程為 ①設(shè)過M1和M2的直線方程為y=－x+m ②將②代入①得：<4+a2>x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③設(shè)M1<x1,y1>、M2<x2,y2>,M1M2的中點為<x0,y0>,則x0=<x1+x2>=,y0=－x0+m=.代入y=x,得,由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為：=1.6.解：以拱頂為原點,水平線為x軸,建立坐標系,如圖,由題意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B坐標分別為<－10,－4、<10,－4設(shè)拋物線方程為x2=－2py,將A點坐標代入,得100=－2p×<－4>,解得p=12.5,于是拋物線方程為x2=－25y.由題意知E點坐標為<2,－4>,E′點橫坐標也為2,將2代入得y=－0.16,從而|EE′|=<－0.16>－<－4>=3.84.故最長支柱長應(yīng)為3.84米.7.解：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A<x1,y1>、B<x2,y2>,則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減,得=0,即<x1+x2><x1－x2>+2<y1+y2><y1－y2>=0.化簡得=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0.有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=,得,解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.直線與圓錐曲線[復(fù)習要點]直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高,起到了拉開考生"檔次",有利于選拔的功能.1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題,實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題,此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題,常用"韋達定理法"設(shè)而不求計算弦長<即應(yīng)用弦長公式>；涉及弦長的中點問題,常用"差分法"設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍.已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,直線y=x+1與橢圓交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1<m＞0,n＞0>,P<x1,y1>,Q<x2,y2>由得<m+n>x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4<m+n><n－1>＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+<x1+x2>+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得m·n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.如圖所示,拋物線y2=4x的頂點為O,點A的坐標為<5,0>,傾斜角為的直線l與線段OA相交<不經(jīng)過點O或點A>且交拋物線于M、N兩點,求△AMN面積最大時直線l的方程,并求△AMN的最大面積.解：由題意,可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+<2m－4>x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N,∴方程①的判別式Δ=<2m－4>2－4m2=16<1－m>＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為<－5,0>設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>則x1+x2=4－2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4.點A到直線l的距離為d=.∴S△=2<5+m>,從而S△2=4<1－m><5+m>2=2<2－2m>·<5+m><5+m>≤2<>3=128.∴S△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號.故直線l的方程為y=x－1,△AMN的最大面積為8.已知雙曲線C：2x2－y2=2與點P<1,2>。<1>求過P<1,2>點的直線l的斜率取值范圍,使l與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點。<2>若Q<1,1>,試判斷以Q為中點的弦是否存在.解：<1>當直線l的斜率不存在時,l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y－2=k<x－1>,代入C的方程,并整理得<2－k2>x2+2<k2－2k>x－k2+4k－6=0………………<*><ⅰ>當2－k2=0,即k=±時,方程<*>有一個根,l與C有一個交點<ⅱ>當2－k2≠0,即k≠±時Δ=［2<k2－2k>］2－4<2－k2><－k2+4k－6>=16<3－2k>①當Δ=0,即3－2k=0,k=時,方程<*>有一個實根,l與C有一個交點.②當Δ＞0,即k＜,又k≠±,故當k＜－或－＜k＜或＜k＜時,方程<*>有兩不等實根,l與C有兩個交點.③當Δ＜0,即k＞時,方程<*>無解,l與C無交點.綜上知：當k=±,或k=,或k不存在時,l與C只有一個交點；當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時,l與C有兩個交點；當k＞時,l與C沒有交點.<2>假設(shè)以Q為中點的弦存在,設(shè)為AB,且A<x1,y1>,B<x2,y2>,則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2<x1－x2><x1+x2>=<y1－y2><y1+y2>又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2<x1－x2>=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點,所以假設(shè)不正確,即以Q為中點的弦不存在.如圖,已知某橢圓的焦點是F1<－4,0>、F2<4,0>,過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A<x1,y1>,C<x2,y2>滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.<1>求該弦橢圓的方程；<2>求弦AC中點的橫坐標；<3>設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.解：<1>由橢圓定義及條件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.故橢圓方程為=1.<2>由點B<4,yB>在橢圓上,得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為,根據(jù)橢圓定義,有|F2A|=<－x1>,|F2C|=<－x2>,由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列,得<－x1>+<－x2>=2×,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點為P<x0,y0>,則x0==4.<3>解法一：由A<x1,y1>,C<x2,y2>在橢圓上.①②得①②①－②得9<x12－x22>+25<y12－y22>=0,即9×=0<x1≠x2>將<k≠0>代入上式,得9×4+25y0<－>=0<k≠0>即k=y0<當k=0時也成立>.由點P<4,y0>在弦AC的垂直平分線上,得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.由點P<4,y0>在線段BB′<B′與B關(guān)于x軸對稱>的內(nèi)部,得－＜y0＜,所以－＜m＜.解法二：因為弦AC的中點為P<4,y0>,所以直線AC的方程為y－y0=－<x－4><k≠0> ③將③代入橢圓方程=1,得<9k2+25>x2－50<ky0+4>x+25<ky0+4>2－25×9k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0.<當k=0時也成立><以下同解法一>.已知雙曲線G的中心在原點,它的漸近線與圓相切．過點作斜率為的直線,使得和交于兩點,和軸交于點,并且點在線段上,又滿足．〔1求雙曲線的漸近線的方程；〔2求雙曲線的方程；〔3橢圓的中心在原點,它的短軸是的實軸．如果中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分,求橢圓的方程．解：〔1設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：,則由漸近線與圓相切可得：．所以,．雙曲線的漸近線的方程為：．〔2由〔1可設(shè)雙曲線的方程為：．把直線的方程代入雙曲線方程,整理得．則〔＊∵,共線且在線段上,∴,即：,整理得：將〔＊代入上式可解得：．所以,雙曲線的方程為．〔3由題可設(shè)橢圓的方程為：．下面我們來求出中垂直于的平行弦中點的軌跡．設(shè)弦的兩個端點分別為,的中點為,則．兩式作差得：由于,所以,,所以,垂直于的平行弦中點的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分．又由題,這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分,所以,．所以,,橢圓S的方程為：．點評：解決直線與圓錐曲線的問題時,把直線投影到坐標軸上〔也即化線段的關(guān)系為橫坐標〔或縱坐標之間的關(guān)系是常用的簡化問題的手段；有關(guān)弦中點的問題,常常用到"設(shè)而不求"的方法；判別式和韋達定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具．設(shè)拋物線過定點,且以直線為準線．〔1求拋物線頂點的軌跡的方程；〔2若直線與軌跡交于不同的兩點,且線段恰被直線平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為,試求的取值范圍．解：〔1設(shè)拋物線的頂點為,則其焦點為．由拋物線的定義可知：． 所以,． 所以,拋物線頂點的軌跡的方程為：． 〔2因為是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標,由MN所唯一確定．所以,要求的取值范圍,還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手．顯然,直線與坐標軸不可能平行,所以,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得： 由于與軌跡交于不同的兩點,所以,,即：．〔＊ 又線段恰被直線平分,所以,． 所以,． 代入〔＊可解得：．下面,只需找到與的關(guān)系,即可求出的取值范圍．由于為弦MN的垂直平分線,故可考慮弦MN的中點．在中,令,可解得：．將點代入,可得：．所以,．從以上解題過程來看,求的取值范圍,主要有兩個關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系,二是構(gòu)造一個有關(guān)參量的不等式．從這兩點出發(fā),我們可以得到下面的另一種解法：解法二．設(shè)弦MN的中點為,則由點為橢圓上的點,可知：．兩式相減得：BB＇ＭＮＰ又由于BB＇ＭＮＰ又點在弦MN的垂直平分線上,所以,．所以,．由點在線段BB’上〔B’、B為直線與橢圓的交點,如圖,所以,．也即：．所以,點評：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時,對于消元后的一元二次方程,必須討論二次項系數(shù)和判別式,有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便．涉及弦中點問題,利用韋達定理或運用平方差法時〔設(shè)而不求,必須以直線與圓錐曲線相交為前提,否則不宜用此法．從構(gòu)造不等式的角度來說,"將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0"與"弦MN的中點在橢圓內(nèi)"是等價的．設(shè)拋物線的焦點為F,經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．又M是其準線上一點．試證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．證明依題意直線MA、MB、MF的斜率顯然存在,并分別設(shè)為,,點A、B、M的坐標分別為A〔,,B〔,,M〔,m由"AB過點F〔,0"得：將上式代入拋物線中得：可知又依"及"可知因此而故即直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．已知=<x,0>,=<1,y><1>求點P<x,y>的軌跡C的方程；<2>若直線：y=kx+m<km≠0>與曲線C交于A、B兩端,D<0,－1>,且有|AD|=|BD|,試求m的取值范圍。解：〔1∵∴=0∴得∴P點的軌跡方程為〔2考慮方程組消去y,得<1－3k2>x2－6kmx－3m2－3=0<*>顯然1－3k2≠0△=〔6km2－4<－3m2－3>=12<m2+1>－3k2>0設(shè)x1,x2為方程*的兩根,則故AB中點M的坐標為<,>∴線段AB的垂直平分線方程為：將D<0,－1>坐標代入,化簡得：4m=3k2－1故m、k滿足,消去k2得：m2－4m>0解得：m<0或m>4又∵4m=3k2－1>－1∴m>－故m.[直線與圓錐曲線練習]一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點,則|AB|的最大值為<>A.2 B. C. D.2．拋物線y=ax2與直線y=kx+b<k≠0>交于A、B兩點,且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有<>A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點M<1,>、N<－4,－>,給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上,C、D兩點在拋物線y2=x上,則正方形ABCD的面積為_________.5．在拋物線y2=16x內(nèi),通過點<2,1>且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線y2=2px<p＞0>,過動點M<a,0>且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,且|AB|≤2p.<1>求a的取值范圍.<2>若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求△NAB面積的最大值.7．已知中心在原點,頂點A1、A2在x軸上,離心率e=的雙曲線過點P<6,6>.<1>求雙曲線方程.<2>動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N,問：是否存在直線l,使G平分線段MN,證明你的結(jié)論.8．已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點,且都以點A<,0>為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)于直線y=x對稱.<1>求雙曲線C的方程.<2>設(shè)直線l過點A,斜率為k,當0＜k＜1時,雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為,試求k的值及此時B點的坐標.直線與圓錐曲線參考答案一、1.解析：弦長|AB|=≤.答案：C2.解析：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入驗證即可.答案：B二、3.解析：點P在線段MN的垂直平分線上,判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.答案：②③④4.解析：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長,利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離,求出b的值,再代入求出|CD|的長.答案：18或505.解析：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點A、B,且A<x1,y1>,B<x2,y2>,代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得,<y1+y2<y1－y2>=16<x1－x2>.即kAB=8.故所求直線方程為y=8x－15.答案：8x－y－15=0三、6.解：<1>設(shè)直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得<x－a>2=2px,即x2－2<a+p>x+a2=0∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－.<2>設(shè)A<x1,y1>、B<x2,y2>,AB的中點C<x,y>,由<1>知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==p.∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－<x－a－p>,從而N點坐標為<a+2p,0點N到AB的距離為從而S△NAB=當a有最大值－時,S有最大值為p2.7.解：<1>如圖,設(shè)雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.<2>P、A1、A2的坐標依次為<6,6>、<3,0>、<－3,0,∴其重心G的坐標為<2,2假設(shè)存在直線l,使G<2,2>平分線段MN,設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>.則有,∴kl=∴l(xiāng)的方程為y=<x－2>+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直線l不存在.8.解：<1>設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.即漸近線為y=±x,又點A關(guān)于y=x對稱點的坐標為<0,>.∴a==b,所求雙曲線C的方程為x2－y2=2.<2>設(shè)直線l：y=k<x－><0＜k＜1,依題意B點在平行的直線l′上,且l與l′間的距離為.設(shè)直線l′：y=kx+m,應(yīng)有,化簡得m2+2km=2. ②把l′代入雙曲線方程得<k2－1>x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4<k2－1><m2－2>=0.可得m2+2k2=2 ③②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解設(shè)m=,k=,此時x=,y=.故B<2,>.直線與圓錐曲線[復(fù)習要點]直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高,起到了拉開考生"檔次",有利于選拔的功能.1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題,實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題,此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題,常用"韋達定理法"設(shè)而不求計算弦長<即應(yīng)用弦長公式>；涉及弦長的中點問題,常用"差分法"設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍.[例題]已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,直線y=x+1與橢圓交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1<m＞0,n＞0>,P<x1,y1>,Q<x2,y2>由得<m+n>x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4<m+n><n－1>＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+<x1+x2>+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得m·n=②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.如圖所示,拋物線y2=4x的頂點為O,點A的坐標為<5,0>,傾斜角為的直線l與線段OA相交<不經(jīng)過點O或點A>且交拋物線于M、N兩點,求△AMN面積最大時直線l的方程,并求△AMN的最大面積.解：由題意,可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+<2m－4>x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N,∴方程①的判別式Δ=<2m－4>2－4m2=16<1－m>＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為<－5,0>設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>則x1+x2=4－2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4.點A到直線l的距離為d=.∴S△=2<5+m>,從而S△2=4<1－m><5+m>2=2<2－2m>·<5+m><5+m>≤2<>3=128.∴S△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號.故直線l的方程為y=x－1,△AMN的最大面積為8.已知雙曲線C：2x2－y2=2與點P<1,2>。<1>求過P<1,2>點的直線l的斜率取值范圍,使l與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點。<2>若Q<1,1>,試判斷以Q為中點的弦是否存在.解：<1>當直線l的斜率不存在時,l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y－2=k<x－1>,代入C的方程,并整理得<2－k2>x2+2<k2－2k>x－k2+4k－6=0………………<*><ⅰ>當2－k2=0,即k=±時,方程<*>有一個根,l與C有一個交點<ⅱ>當2－k2≠0,即k≠±時Δ=［2<k2－2k>］2－4<2－k2><－k2+4k－6>=16<3－2k>①當Δ=0,即3－2k=0,k=時,方程<*>有一個實根,l與C有一個交點.②當Δ＞0,即k＜,又k≠±,故當k＜－或－＜k＜或＜k＜時,方程<*>有兩不等實根,l與C有兩個交點.③當Δ＜0,即k＞時,方程<*>無解,l與C無交點.綜上知：當k=±,或k=,或k不存在時,l與C只有一個交點；當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時,l與C有兩個交點；當k＞時,l與C沒有交點.<2>假設(shè)以Q為中點的弦存在,設(shè)為AB,且A<x1,y1>,B<x2,y2>,則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2<x1－x2><x1+x2>=<y1－y2><y1+y2>又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2<x1－x2>=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點,所以假設(shè)不正確,即以Q為中點的弦不存在.如圖,已知某橢圓的焦點是F1<－4,0>、F2<4,0>,過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A<x1,y1>,C<x2,y2>滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.<1>求該弦橢圓的方程；<2>求弦AC中點的橫坐標；<3>設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.解：<1>由橢圓定義及條件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.故橢圓方程為=1.<2>由點B<4,yB>在橢圓上,得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為,根據(jù)橢圓定義,有|F2A|=<－x1>,|F2C|=<－x2>,由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列,得<－x1>+<－x2>=2×,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點為P<x0,y0>,則x0==4.<3>解法一：由A<x1,y1>,C<x2,y2>在橢圓上.①②得①②①－②得9<x12－x22>+25<y12－y22>=0,即9×=0<x1≠x2>將<k≠0>代入上式,得9×4+25y0<－>=0<k≠0>即k=y0<當k=0時也成立>.由點P<4,y0>在弦AC的垂直平分線上,得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.由點P<4,y0>在線段BB′<B′與B關(guān)于x軸對稱>的內(nèi)部,得－＜y0＜,所以－＜m＜.解法二：因為弦AC的中點為P<4,y0>,所以直線AC的方程為y－y0=－<x－4><k≠0>③將③代入橢圓方程=1,得<9k2+25>x2－50<ky0+4>x+25<ky0+4>2－25×9k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0.<當k=0時也成立><以下同解法一>.已知雙曲線G的中心在原點,它的漸近線與圓相切．過點作斜率為的直線,使得和交于兩點,和軸交于點,并且點在線段上,又滿足．〔1求雙曲線的漸近線的方程；〔2求雙曲線的方程；〔3橢圓的中心在原點,它的短軸是的實軸．如果中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分,求橢圓的方程．解：〔1設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：,則由漸近線與圓相切可得：．所以,．雙曲線的漸近線的方程為：．〔2由〔1可設(shè)雙曲線的方程為：．把直線的方程代入雙曲線方程,整理得．則〔＊∵,共線且在線段上,∴,即：,整理得：將〔＊代入上式可解得：．所以,雙曲線的方程為．〔3由題可設(shè)橢圓的方程為：．下面我們來求出中垂直于的平行弦中點的軌跡．設(shè)弦的兩個端點分別為,的中點為,則．兩式作差得：由于,所以,,所以,垂直于的平行弦中點的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分．又由題,這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分,所以,．所以,,橢圓S的方程為：．點評：解決直線與圓錐曲線的問題時,把直線投影到坐標軸上〔也即化線段的關(guān)系為橫坐標〔或縱坐標之間的關(guān)系是常用的簡化問題的手段；有關(guān)弦中點的問題,常常用到"設(shè)而不求"的方法；判別式和韋達定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具．設(shè)拋物線過定點,且以直線為準線．〔1求拋物線頂點的軌跡的方程；〔2若直線與軌跡交于不同的兩點,且線段恰被直線平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為,試求的取值范圍．解：〔1設(shè)拋物線的頂點為,則其焦點為．由拋物線的定義可知：． 所以,． 所以,拋物線頂點的軌跡的方程為：． 〔2因為是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標,由MN所唯一確定．所以,要求的取值范圍,還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手．顯然,直線與坐標軸不可能平行,所以,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得： 由于與軌跡交于不同的兩點,所以,,即：．〔＊ 又線段恰被直線平分,所以,． 所以,． 代入〔＊可解得：．下面,只需找到與的關(guān)系,即可求出的取值范圍．由于為弦MN的垂直平分線,故可考慮弦MN的中點．在中,令,可解得：．將點代入,可得：．所以,．從以上解題過程來看,求的取值范圍,主要有兩個關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系,二是構(gòu)造一個有關(guān)參量的不等式．從這兩點出發(fā),我們可以得到下面的另一種解法：解法二．設(shè)弦MN的中點為,則由點為橢圓上的點,可知：．兩式相減得：BB＇ＭＮＰ又由于BB＇ＭＮＰ又點在弦MN的垂直平分線上,所以,．所以,．由點在線段BB’上〔B’、B為直線與橢圓的交點,如圖,所以,．也即：．所以,點評：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時,對于消元后的一元二次方程,必須討論二次項系數(shù)和判別式,有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便．涉及弦中點問題,利用韋達定理或運用平方差法時〔設(shè)而不求,必須以直線與圓錐曲線相交為前提,否則不宜用此法．從構(gòu)造不等式的角度來說,"將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0"與"弦MN的中點在橢圓內(nèi)"是等價的．設(shè)拋物線的焦點為F,經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．又M是其準線上一點．試證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．證明依題意直線MA、MB、MF的斜率顯然存在,并分別設(shè)為,,點A、B、M的坐標分別為A〔,,B〔,,M〔,m由"AB過點F〔,0"得：將上式代入拋物線中得：可知又依"及"可知因此而故即直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列．已知=<x,0>,=<1,y><1>求點P<x,y>的軌跡C的方程；<2>若直線：y=kx+m<km≠0>與曲線C交于A、B兩端,D<0,－1>,且有|AD|=|BD|,試求m的取值范圍。解：〔1∵∴=0∴得∴P點的軌跡方程為〔2考慮方程組消去y,得<1－3k2>x2－6kmx－3m2－3=0<*>顯然1－3k2≠0△=〔6km2－4<－3m2－3>=12<m2+1>－3k2>0設(shè)x1,x2為方程*的兩根,則故AB中點M的坐標為<,>∴線段AB的垂直平分線方程為：將D<0,－1>坐標代入,化簡得：4m=3k2－1故m、k滿足,消去k2得：m2－4m>0解得：m<0或m>4又∵4m=3k2－1>－1∴m>－故m.[直線與圓錐曲線練習]一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點,則|AB|的最大值為<>A.2B.C.D.2．拋物線y=ax2與直線y=kx+b<k≠0>交于A、B兩點,且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有<>A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點M<1,>、N<－4,－>,給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上,C、D兩點在拋物線y2=x上,則正方形ABCD的面積為_________.5．在拋物線y2=16x內(nèi),通過點<2,1>且在此點被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線y2=2px<p＞0>,過動點M<a,0>且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,且|AB|≤2p.<1>求a的取值范圍.<2>若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求△NAB面積的最大值.7．已知中心在原點,頂點A1、A2在x軸上,離心率e=的雙曲線過點P<6,6>.<1>求雙曲線方程.<2>動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N,問：是否存在直線l,使G平分線段MN,證明你的結(jié)論.8．已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點,且都以點A<,0>為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)于直線y=x對稱.<1>求雙曲線C的方程.<2>設(shè)直線l過點A,斜率為k,當0＜k＜1時,雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為,試求k的值及此時B點的坐標.直線與圓錐曲線參考答案一、1.解析：弦長|AB|=≤.答案：C2.解析：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入驗證即可.答案：B二、3.解析：點P在線段MN的垂直平分線上,判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.答案：②③④4.解析：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長,利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離,求出b的值,再代入求出|CD|的長.答案：18或505.解析：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點A、B,且A<x1,y1>,B<x2,y2>,代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得,<y1+y2<y1－y2>=16<x1－x2>.即kAB=8.故所求直線方程為y=8x－15.答案：8x－y－15=0三、6.解：<1>設(shè)直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得<x－a>2=2px,即x2－2<a+p>x+a2=0∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－.<2>設(shè)A<x1,y1>、B<x2,y2>,AB的中點C<x,y>,由<1>知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==p.∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－<x－a－p>,從而N點坐標為<a+2p,0點N到AB的距離為從而S△NAB=當a有最大值－時,S有最大值為p2.7.解：<1>如圖,設(shè)雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.<2>P、A1、A2的坐標依次為<6,6>、<3,0>、<－3,0,∴其重心G的坐標為<2,2假設(shè)存在直線l,使G<2,2>平分線段MN,設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>.則有,∴kl=∴l(xiāng)的方程為y=<x－2>+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直線l不存在.8.解：<1>設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.即漸近線為y=±x,又點A關(guān)于y=x對稱點的坐標為<0,>.∴a==b,所求雙曲線C的方程為x2－y2=2.<2>設(shè)直線l：y=k<x－><0＜k＜1,依題意B點在平行的直線l′上,且l與l′間的距離為.設(shè)直線l′：y=kx+m,應(yīng)有,化簡得m2+2km=2. ②把l′代入雙曲線方程得<k2－1>x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4<k2－1><m2－2>=0.可得m2+2k2=2 ③②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解設(shè)m=,k=,此時x=,y=.故B<2,>.直線與圓錐曲線[復(fù)習要點]直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高,起到了拉開考生"檔次",有利于選拔的功能.1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題,實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題,此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題,常用"韋達定理法"設(shè)而不求計算弦長<即應(yīng)用弦長公式>；涉及弦長的中點問題,常用"差分法"設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化.同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍.[例題]已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,直線y=x+1與橢圓交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1<m＞0,n＞0>,P<x1,y1>,Q<x2,y2>由得<m+n>x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4<m+n><n－1>＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+<x1+x2>+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得m·n=②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.如圖所示,拋物線y2=4x的頂點為O,點A的坐標為<5,0>,傾斜角為的直線l與線段OA相交<不經(jīng)過點O或點A>且交拋物線于M、N兩點,求△AMN面積最大時直線l的方程,并求△AMN的最大面積.解：由題意,可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+<2m－4>x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N,∴方程①的判別式Δ=<2m－4>2－4m2=16<1－m>＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為<－5,0>設(shè)M<x1,y1>,N<x2,y2>則x1+x2=4－2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4.點A到直線l的距離為d=.∴S△=2<5+m>,從而S△2=4<1－m><5+m>2=2<2－2m>·<5+m><5+m>≤2<>3=128.∴S△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號.故直線l的方程為y=x－1,△AMN的最大面積為8.已知雙曲線C：2x2－y2=2與點P<1,2>。<1>求過P<1,2>點的直線l的斜率取值范圍,使l與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點。<2>若Q<1,1>,試判斷以Q為中點的弦是否存在.解：<1>當直線l的斜率不存在時,l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y－2=k<x－1>,代入C的方程,并整理得<2－k2>x2+2<k2－2k>x－k2+4k－6=0………………<*><ⅰ>當2－k2=0,即k=±時,方程<*>有一個根,l與C有一個交點<ⅱ>當2－k2≠0,即k≠±時Δ=［2<k2－2k>］2－4<2－k2><－k2+4k－6>=16<3－2k>①當Δ=0,即3－2k=0,k=時,方程<*>有一個實根,l與C有一個交點.②當Δ＞0,即k＜,又k≠±,故當k＜－或－＜k＜或＜k＜時,方程<*>有兩不等實根,l與C有兩個交點.③當Δ＜0,即k＞時,方程<*>無解,l與C無交點.綜上知：當k=±,或k=,或k不存在時,l與C只有一個交點；當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時,l與C有兩個交點；當k＞時,l與C沒有交點.<2>假設(shè)以Q為中點的弦存在,設(shè)為AB,且A<x1,y1>,B<x2,y2>,則2x12－y12=2,2x22－y22=2兩式相減得：2<x1－x2><x1+x2>=<y1－y2><y1+y2>又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2<x1－x2>=y1－y1即kAB==2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點,所以假設(shè)不正確,即以Q為中點的弦不存在.如圖,已知某橢圓的焦點是F1<－4,0>、F2<4,0>,過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10,橢圓上不同的兩點A<x1,y1>,C<x2,y2>滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.<1>求該弦橢圓的方程；<2>求弦AC中點的橫坐標；<3>設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.解：<1>由橢圓定義及條件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.故橢圓方程為=1.<2>由點B<4,yB>在橢圓上,得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為,根據(jù)橢圓定義,有|F2A|=<－x1>,|F2C|=<－x2>,由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列,得<－x1>+<－x2>=2×,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點為P<x0,y0>,則x0==4.<3>解法一：由A<x1,y1>,C<x2,y2>在橢圓上.①②得①②①－②得9<x12－x22>+25<y12－y22>=0,即9×=0<x1≠x2>將<k≠0>代入上式,得9×4+25y0<－>=0<k≠0>即k=y0<當k=0時也成立>.由點P<4,y0>在弦AC的垂直平分線上,得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.由點P<4,y0>在線段BB′<B′與B關(guān)于x軸對稱>的內(nèi)部,得－＜y0＜,所以－＜m＜.解法二：因為弦AC的中點為P<4,y0>,所以直線AC的方程為y－y0=－<x－4><k≠0>③將③代入橢圓方程=1,得<9k2+25>x2－50<ky0+4>x+25<ky0+4>2－25×9k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0.<當k=0時也成立><以下同解法一>.已知雙曲線G的中心在原點,它的漸近線與圓相切．過點作斜率為的直線,使得和交于兩點,和軸交于點,并且點在線段上,又滿足．〔1求雙曲線的漸近線的方程；〔2求雙曲線的方程；〔3橢圓的中心在原點,它的短軸是的實軸．如果中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分,求橢圓的方程．解：〔1設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：,則由漸近線與圓相切可得：．所以,．雙曲線的漸近線的方程為：．〔2由〔1可設(shè)雙曲線的方程為：．把直線的方程代入雙曲線方程,整理得．則〔＊∵,共線且在線段上,∴,即：,整理得：將〔＊代入上式可解得：．所以,雙曲線的方程為．〔3由題可設(shè)橢圓的方程為：．下面我們來求出中垂直于的平行弦中點的軌跡．設(shè)弦的兩個端點分別為,的中點為,則．兩式作差得：由于,所以,,所以,垂直于的平行弦中點的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分．又由題,這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分,所以,．所以,,橢圓S的方程為：．點評：解決直線與圓錐曲線的問題時,把直線投影到坐標軸上〔也即化線段的關(guān)系為橫坐標〔或縱坐標之間的關(guān)系是常用的簡化問題的手段；有關(guān)弦中點的問題,常常用到"設(shè)而不求"的方法；判別式和韋達定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具．設(shè)拋物線過定點,且以直線為準線．〔1求拋物線頂點的軌跡的方程；〔2若直線與軌跡交于不同的兩點,且線段恰被直線平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為,試求的取值范圍．解：〔1設(shè)拋物線的頂點為,則其焦點為．由拋物線的定義可知：． 所以,． 所以,拋物線頂點的軌跡的方程為：． 〔2因為是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標,由MN所唯一確定．所以,要求的取值范圍,還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手．顯然,直線與坐標軸不可能平行,所以,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得： 由于與軌跡交于不同的兩點,所以,,即：．〔＊ 又線段恰被直線平分,所以,． 所以,． 代入〔＊可解得：．下面,只需找到與的關(guān)系,即可求出的取值范圍．由于為弦MN的垂直平分線,故可考慮弦MN的中點．在中,令,可解得：．將點代入,可得：．所以,．從以上解題過程來看,求的取值范圍,主要有兩個關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系,二是構(gòu)造一個有關(guān)參量的不等式．從這兩點出發(fā),我們可以得到下面的另一種解法：解法二．設(shè)弦MN的中點為,則由點為橢圓上的點,可知：．兩式相減得：BB＇ＭＮＰ又由于BB＇ＭＮＰ又點在弦MN的垂直平