高二數(shù)學(xué)必修五導(dǎo)學(xué)案

PAGEPAGE70第一章解三角形§1.1正弦定理和余弦定理1．1.1正弦定理(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．熟記正弦定理的內(nèi)容；2．能夠初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形．【知識(shí)梳理】1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2).2．在Rt△ABC中，C＝eq\f(π,2)，則eq\f(a,c)＝sin_A，eq\f(b,c)＝sin_B.3．一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．4．正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，這個(gè)比值是三角形外接圓的直徑2R.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．在△ABC中，下列等式中總能成立的是 ()A．a(chǎn)sinA＝bsinB B．bsinC＝csinAC．a(chǎn)bsinC＝bcsinB D．a(chǎn)sinC＝csinA2．在△ABC中，若A＝30°，B＝60°，b＝eq\r(3)，則a等于 ()A．3 B．1 C．2 D.eq\f(1,2)3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，則△ABC為 ()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形4．在△ABC中，若eq\r(3)a＝2bsinA，則B為 ()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π D.eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則角A的大小為 ()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝3∶4∶5，則eq\f(2sinA－sinB,sinC)＝________.7．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，則a＝______.8．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.【能力提升】9．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,4)，a＝10，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)，＋∞)) B．(10，＋∞)C．(0,10) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(40,3)))10．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，BC＝1，則AB＝________.11．在△ABC中，已知a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．12．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，求證：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，求角C的大?。靖呖兼溄印?.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則求角A的大小2．在銳角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，求eq\f(a,b)的取值范圍．【反思感悟】1．利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角．(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和兩角．2．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其它兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無(wú)解，可能一解或兩解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時(shí)的各種情況.A為銳角a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥b無(wú)解一解(直角)兩解(一銳角，一鈍角)一解(銳角)A為直角或鈍角a≤ba>b無(wú)解一解(銳角)1.1.1正弦定理(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．熟記正弦定理的有關(guān)變形公式；2．能夠運(yùn)用正弦定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理與證明．【知識(shí)梳理】1．正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R的常見(jiàn)變形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(2)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R；(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).2．三角形面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．在△ABC中，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC是 ()A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形2．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，則B等于 ()A．45°或135° B．60°C．45° D．135°3．下列判斷中正確的是 ()A．當(dāng)a＝4，b＝5，A＝30°時(shí)，三角形有一解B．當(dāng)a＝5，b＝4，A＝60°時(shí)，三角形有兩解C．當(dāng)a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°時(shí)，三角形有一解D．當(dāng)a＝eq\f(3,2)eq\r(2)，b＝eq\r(6)，A＝60°時(shí)，三角形有一解4．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，則△ABC的面積S△ABC等于 ()A.eq\r(3)＋1B.eq\r(3)－1C.eq\r(3)＋2D.eq\r(3)－25．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，且B＝30°，則△ABC的面積等于 ()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4) C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)6．若△ABC的面積為eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，則邊AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．7．在△ABC中，已知2eq\r(3)asinB＝3b，且cosB＝cosC，試判斷△ABC的形狀．8．在△ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面積S.【能力提升】9．△ABC的三個(gè)內(nèi)角ABC所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)等于 A．2eq\r(3) B．2eq\r(2) C.eq\r(3) D.eq\r(2)10．在△ABC中，若eq\f(a,cos\f(A,2))＝eq\f(b,cos\f(B,2))＝eq\f(c,cos\f(C,2))，則△ABC的形狀是________．11．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝______，c＝______.12．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且c＝10，又知eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，求a、b及△ABC內(nèi)切圓的半徑．13．已知△ABC的面積為1，tanB＝eq\f(1,2)，tanC＝－2，求△ABC的各邊長(zhǎng)以及△ABC外接圓的面積．【高考鏈接】1.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶62.在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(eq\r(3)＋1)∶2，則最大角為()A．45°B．60°C．75°D．90°3.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝1，則c＝________.【反思感悟】1．在△ABC中，有以下結(jié)論：(1)A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；(3)eq\f(A＋B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)；(4)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)，taneq\f(A＋B,2)＝eq\f(1,tan\f(C,2)).2．借助正弦定理可以進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明．1．1.2余弦定理(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．熟記余弦定理及其推論；2．能夠初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形．【知識(shí)梳理】1．余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.2．余弦定理的推論cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，則C＝90°；(2)若c2＝a2＋b2－ab，則C＝60°；(3)若c2＝a2＋b2＋eq\r(2)ab，則C＝135°.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，若滿足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則∠C的大小為()A．60° B．90° C．120° D．150°2．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，則這個(gè)三角形的最小外角為 ()A．30° B．60° C．90° D．120°3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cosB等于 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)4．若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，則ab的值為 ()A.eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3) C．1 D.eq\f(2,3)5．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，則A＝________.6．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，則A＝________.7．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長(zhǎng)；(3)求△ABC的面積．8．設(shè)eq\r(2)a＋1，a，a－1為鈍角三角形的三邊，求a的取值范圍．【能力提升】9．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是 ()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π)) C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))10．如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形的形狀是 ()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．由增加的長(zhǎng)度確定11．如圖，CD＝16，AC＝5，∠BDC＝30°，∠BCA＝120°，則AB＝________.12．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求三邊長(zhǎng)．13．△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)若c－b＝1，求a的值．【高考鏈接】1.在△ABC中，已知a＝2，則bcosC＋ccosB等于()A．1B.eq\r(2)C．2D．42.在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊)，則△ABC的形狀為()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，AB＝2，AC＝eq\r(6)，BC＝1＋eq\r(3)，AD為邊BC上的高，則AD的長(zhǎng)是________．4．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷三角形的形狀．5.△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝eq\f(3,4).(1)求eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)的值；（2）設(shè)·=，求a+c的值.【反思感悟】1．利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形．(2)已知三邊求三角形的任意一角．2．余弦定理與勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2余弦定理(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．熟練掌握正弦定理、余弦定理；2．會(huì)用正、余弦定理解三角形的有關(guān)問(wèn)題．【知識(shí)梳理】1．正弦定理及其變形(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(4)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.2．余弦定理及其推論(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.(2)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為銳角．3．在△ABC中，邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C，則有：(1)A＋B＋C＝π，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，則B等于 ()A．60° B．45°或135°C．120° D．30°2．若三條線段的長(zhǎng)分別為5,6,7，則用這三條線段 ()A．能組成直角三角形B．能組成銳角三角形C．能組成鈍角三角形D．不能組成三角形3．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，則cosC的值為 ()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3) C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)4．在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，A＝30°，則角C等于 ()A．30° B．120° C．60° D．150°5．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝2bcosC，則三角形是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，則角B的值為_(kāi)_______．7．已知△ABC的內(nèi)角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．8．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.【能力提升】9．在鈍角△ABC中，a＝1，b＝2，則最大邊c的取值范圍是 ()A．1＜c＜3 B．2＜c＜3C.eq\r(5)＜c＜3 D．2eq\r(2)＜c＜310．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝________.11．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求邊BC的長(zhǎng)；(2)記AB的中點(diǎn)為D，求中線CD的長(zhǎng)．12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)．【高考鏈接】1.在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則△ABC外接圓的面積是________．2.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊的長(zhǎng)，cosB=，且·＝－21.(1)求△ABC的面積；(2)若a＝7，求角C.【反思感悟】1．解斜三角形的常見(jiàn)類型及解法在三角形的6個(gè)元素中要已知三個(gè)(至少有一邊)才能求解，常見(jiàn)類型及其解法見(jiàn)下表：已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時(shí)只有一解．兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對(duì)的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解時(shí)只有一解．三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有一解時(shí)只有一解.兩邊和其中一邊的對(duì)角如(a，b，A)余弦定理正弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無(wú)解.2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．§1.2應(yīng)用舉例(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解數(shù)學(xué)建模的思想；2．利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離的問(wèn)題．【知識(shí)梳理】1．基線的定義：在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線．一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．2．方位角：指從正北方向線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角．如上圖中的A點(diǎn)的方位角為α.3．計(jì)算不可直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離是正弦定理和余弦定理的重要應(yīng)用之一．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm2．海上有A、B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是 ()A．10eq\r(3)nmile B.eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile3．如圖，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取A、B兩點(diǎn)，從A、B兩點(diǎn)分別測(cè)得望樹(shù)尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點(diǎn)之間的距離為60m，則樹(shù)的高度為 ()A．(30＋30eq\r(3))mB．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))m4．如圖，一貨輪航行到M處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15°的方向上，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后到達(dá)N處，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為 ()A．20(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/小時(shí)B．20(eq\r(6)－eq\r(2))海里/小時(shí)C．20(eq\r(6)＋eq\r(3))海里/小時(shí)D．20(eq\r(6)－eq\r(3))海里/小時(shí)5.甲船在島B的正南A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是()A.eq\f(150,7)分鐘B.eq\f(15,7)小時(shí)C．21.5分鐘D．2.15分鐘6．如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，則塔高AB為_(kāi)_______．7．要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn)A、B之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之間的距離．【能力提升】8．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為 ()A．0.5小時(shí) B．1小時(shí) C．1.5小時(shí) D．2小時(shí)9．太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測(cè)得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1km后，又測(cè)得小島在南偏西75°的方向上，則小島到公路的距離是________km.10．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連成30°角，求兩條船之間的距離．【高考鏈接】1.如圖，為測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)的距離，在河的這邊測(cè)出CD的長(zhǎng)為eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B兩點(diǎn)間的距離。2如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120°方向上，求(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．【反思感悟】解三角形應(yīng)用問(wèn)題的基本思路是：實(shí)際問(wèn)題eq\o(――→,\s\up7(畫(huà)圖))數(shù)學(xué)問(wèn)題eq\o(――→,\s\up7(解三角形))數(shù)學(xué)問(wèn)題的解eq\o(――→,\s\up7(檢驗(yàn)))實(shí)際問(wèn)題的解．測(cè)量距離問(wèn)題：這類問(wèn)題的情境一般屬于“測(cè)量有障礙物相隔的兩點(diǎn)間的距離”．在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，測(cè)量工具要有較高的精確度．§1.2應(yīng)用舉例(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)高度的問(wèn)題．2．利用正、余弦定理及三角形面積公式解決三角形中的幾何度量問(wèn)題．【知識(shí)梳理】1．仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平線下方時(shí)叫俯角．(如圖所示)2．已知△ABC的兩邊a、b及其夾角C，則△ABC的面積為eq\f(1,2)absinC.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關(guān)系為()A．α>βB．α＝βC．α<βD．α＋β＝90°2．設(shè)甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是()A．20eq\r(3)m，eq\f(40,3)eq\r(3)mB．10eq\r(3)m,20eq\r(3)mC．10(eq\r(3)－eq\r(2))m,20eq\r(3)mD.eq\f(15,2)eq\r(3)m，eq\f(20,3)eq\r(3)m3．從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向一只船俯角為45°，則此時(shí)兩船間的距離為()A．2h米B.eq\r(2)h米C.eq\r(3)h米D．2eq\r(2)h米4．在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ，對(duì)著山峰在平行地面上前進(jìn)600m后測(cè)仰角為原來(lái)的2倍，繼續(xù)在平行地面上前進(jìn)200eq\r(3)m后，測(cè)得山峰的仰角為原來(lái)的4倍，則該山峰的高度是()A．200mB．300mC．400mD．100eq\r(3)m5．平行四邊形中，AC＝eq\r(65)，BD＝eq\r(17)，周長(zhǎng)為18，則平行四邊形面積是()A．16B．17.5C．18D．18.53【能力提升】甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，則甲船應(yīng)取方向__________才能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了________海里。．7．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面積為10eq\r(3)，則其周長(zhǎng)為_(kāi)_______．8．已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，一腰長(zhǎng)為12，則它的內(nèi)切圓面積為_(kāi)_______．9．某艦艇在A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°，距離為10nmile的C處，此時(shí)得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時(shí)9nmile的速度向一小島靠近，艦艇時(shí)速21nmile，則艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是______小時(shí)．10．如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為α，在塔底C處測(cè)得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD.11．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積．【高考鏈接】如下圖（左）所示，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝80m，于B處測(cè)得水深BE＝200m，于C處測(cè)得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．【反思感悟】1．測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題．由于底部不可到達(dá)，這類問(wèn)題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．2．測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角．第一章章末檢測(cè)一、選擇題1．已知銳角△ABC的面積為3eq\r(3)，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為 ()A．75° B．60° C．45° D．30°2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于 ()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(2,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)3．根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中正確的是 ()A．a(chǎn)＝8，b＝16，A＝30°，有兩解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a(chǎn)＝5，c＝2，A＝90°，無(wú)解 D．a(chǎn)＝30，b＝25，A＝150°，有一解4．在△ABC中，已知a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于 ()A．2eq\r(5) B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5) D．以上都不對(duì)5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B等于 ()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C．－1 D．16．已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊．若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，則sinC等于 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(6),6) D．17．已知△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且A＝75°，則b等于 ()A．2 B.eq\r(6)－eq\r(2) C．4－2eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)8．在△ABC中,三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a＝3，b＝4，c＝6，則bccosA＋cacosB＋abcosC的值為 ()A．61 B.eq\f(61,2) C.eq\f(61,4) D．1229．在△ABC中，cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)(a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為()A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若C＝120°，c＝eq\r(2)a，則()A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定11．一船向正北方向航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半個(gè)小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是 ()A．15海里/時(shí) B．5海里/時(shí)C．10海里/時(shí) D．20海里/時(shí)12．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為 ()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)二、填空題13．在△ABC中，eq\f(2a,sinA)－eq\f(b,sinB)－eq\f(c,sinC)＝________.14．如圖，在山腰測(cè)得山頂仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1000米至S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為_(kāi)_______米．15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若其面積S＝eq\f(1,4)(b2＋c2－a2)，則A＝______.16．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，則eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝______.三、解答題17．設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a＝2bsinA.(1)求角B的大?。?2)若a＝3eq\r(3)，c＝5，求b.18．如圖所示，我艇在A處發(fā)現(xiàn)一走私船在方位角45°且距離為12海里的B處正以每小時(shí)10海里的速度向方位角105°的方向逃竄,我艇立即以14海里/小時(shí)的速度追擊,求我艇追上走私船所需要的時(shí)間.已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；(2)若m⊥p，邊長(zhǎng)c＝2，角C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面積．20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知eq\f(cosA－2cosC,cosB)＝eq\f(2c－a,b).(1)求eq\f(sinC,sinA)的值；(2)若cosB＝eq\f(1,4)，△ABC的周長(zhǎng)為5，求b的長(zhǎng)．21．如圖所示，甲船以每小時(shí)30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10eq\r(2)海里．問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？22．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求角B的大??；(2)若b＝eq\r(13)，a＋c＝4，求△ABC的面積．?dāng)?shù)列§2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解數(shù)列及其有關(guān)概念；2．理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng)；3．對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前n項(xiàng)用觀察法寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式．【知識(shí)梳理】1．?dāng)?shù)列：，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫做)，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，…，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，…，an，…，簡(jiǎn)記為3．的數(shù)列稱有窮數(shù)列，的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列．4．如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的公式．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、選擇題1．?dāng)?shù)列2,3,4,5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝nB．a(chǎn)n＝n＋1C．a(chǎn)n＝n＋2D．a(chǎn)n＝2n2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1＋－1n＋1,2)，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()A．1,0,1,0B．0,1,0,1C.eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，0D．2,0,2,03．若數(shù)列的前4項(xiàng)為1,0,1,0，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不可能是()A．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)[1＋(－1)n－1]B．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)[1－cos(n·180°)]C．a(chǎn)n＝sin2(n·90°)D．a(chǎn)n＝(n－1)(n－2)＋eq\f(1,2)[1＋(－1)n－1]4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n－50，則－8是該數(shù)列的()A．第5項(xiàng)B．第6項(xiàng)C．第7項(xiàng)D．非任何一項(xiàng)5．?dāng)?shù)列1,3,6,10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A．a(chǎn)n＝n2－n＋1B．a(chǎn)n＝eq\f(nn－1,2)C．a(chǎn)n＝eq\f(nn＋1,2)D．a(chǎn)n＝n2＋16．設(shè)an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么an＋1－an等于()A.eq\f(1,2n＋1)B.eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)D.eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)二、填空題7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1n為正奇數(shù),4n－1n為正偶數(shù))).則它的前4項(xiàng)依次為_(kāi)___________．8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,nn＋2)(n∈N*)，那么eq\f(1,120)是這個(gè)數(shù)列的第______項(xiàng)．9．用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個(gè)數(shù)n之間的關(guān)系式可以是______________．【能力提升】三、解答題10．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)－1,7，－13,19，…，(2)9,99,999,9999，…(3)2,22,222,2222，…，(4)0.8,0.88,0.888，…(5)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64)，…11．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1)))；(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)eq\f(98,101)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))內(nèi)有、無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒(méi)有，說(shuō)明理由．【高考鏈接】（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來(lái)研究數(shù)，例如：他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289B.1024C.1225D.1378【反思感悟】1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)：確定性：一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的．（2）可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)．(3)有序性：一個(gè)數(shù)列與這些數(shù)的排列次序有關(guān)，不同順序就是不同數(shù)列。2．并非所有的數(shù)列都能寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式．例如，π的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1,3.14,3.141，…，它沒(méi)有通項(xiàng)公式．3．如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式．例如：數(shù)列－1，1，－1，1，－1，1，……的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝(－1)n，也可以寫(xiě)成an＝(－1)n＋2．§2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；2．會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)；3．了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系，能用函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列．【知識(shí)梳理】1．如果數(shù)列{an}的第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)已知，并且數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的公式．2．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列．3．一般地，一個(gè)數(shù)列{an}，如果從起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞增數(shù)列．如果從起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞減數(shù)列．如果數(shù)列{an}的各項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列叫做常數(shù)列．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、選擇題1．?dāng)?shù)列1,3,6,10,15，…的遞推公式是()A．a(chǎn)n＋1＝an＋n，n∈N*B．a(chǎn)n＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．a(chǎn)n＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．a(chǎn)n＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥22．已知an＋1－an－3＝0，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)項(xiàng)D．不能確定3．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，則此數(shù)列第4項(xiàng)是()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,8)4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對(duì)所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，則：a3＋a5等于()A.eq\f(25,9)B.eq\f(25,16)C.eq\f(61,16)D.eq\f(31,15)5．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤an<\f(1,2)))，,2an－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤an<1)).))若a1＝eq\f(6,7)，則a2010的值為()A.eq\f(6,7)B.eq\f(5,7)C.eq\f(3,7)D.eq\f(1,7)6．已知an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))，則這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是()A．a(chǎn)1，a30B．a(chǎn)1，a9C．a(chǎn)10，a9D．a(chǎn)10，a30二、填空題7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，則an＝________.8．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，則使an>100的n的最小值是________．9．若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋2,n)(n∈N*)，則當(dāng)n≥2時(shí)，an＝________.10．已知數(shù)列{an}滿足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，則實(shí)數(shù)λ的最小值是________．【能力提升】三、解答題11．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)．(1)求證：an＋3＝an；(2)求a2011.(2)證明an＋3＝1－eq\f(1,an＋2)＝1－eq\f(1,1－\f(1,an＋1))12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，n∈N*，求{an}的通項(xiàng)公式?！靖呖兼溄印吭O(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求{an}的通項(xiàng)公式．【反思感悟】1.函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別：一方面，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要善于利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法來(lái)解題，即用共性來(lái)解決特殊問(wèn)題．另一方面，還要注意數(shù)列的特殊性(離散型)，由于它的定義域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的圖象是一系列孤立的點(diǎn)，而不像我們前面所研究過(guò)的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的曲線，因此在解決問(wèn)題時(shí)，要充分利用這一特殊性，如研究單調(diào)性時(shí)，由數(shù)列的圖象可知，只要這些點(diǎn)每個(gè)比它前面相鄰的一個(gè)高(即an>an－1)，則圖象呈上升趨勢(shì)，即數(shù)列遞增，即{an}遞增?an＋1>an對(duì)任意的n(n∈N*)都成立．類似地，有{an}遞減?an＋1<an對(duì)任意的n(n∈N*)都成立．2.求通項(xiàng)的方法：觀察法、累加法、累乘法等§2.2等差數(shù)列(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【知識(shí)梳理】1．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的，公差通常用字母d表示．2．若三個(gè)數(shù)a，A，b構(gòu)成等差數(shù)列，則A叫做a與b的，并且A＝3．若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)4．等差數(shù)列{an}中，若公差d>0，則數(shù)列{an}為數(shù)列；若公差d<0，則數(shù)列{an}為數(shù)列．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差d為()A．2B．3C．－2D．－32．△ABC中，三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°3．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，則a101的值為()A．49B．50C．51D．524．一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a，x，b,2x，則eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)5．設(shè){an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是()A．1B．2C．4D．66．等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是()A．a(chǎn)n＝2n－2(n∈N*)B．a(chǎn)n＝2n＋4(n∈N*)C．a(chǎn)n＝－2n＋12(n∈N*)D．a(chǎn)n＝－2n＋10(n∈N*)二、填空題7．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a、b的等差中項(xiàng)是。8．一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)為：a,2a－1,3－a.則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．9．若m≠n，兩個(gè)等差數(shù)列m、a1、a2、n與m、b1、b2、b3、n的公差為d1和d2，則eq\f(d1,d2)的值為_(kāi)_______．10．首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是________．【能力提升】三、解答題11．已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這四個(gè)數(shù)．12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n≥2)，令bn＝eq\f(1,an－2).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【高考鏈接】已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,5)，且當(dāng)n>1，n∈N*時(shí)，有eq\f(an－1,an)＝eq\f(2an－1＋1,1－2an)，設(shè)bn＝eq\f(1,an)，n∈N*.(1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．(2)試問(wèn)a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【反思感悟】1．判斷一個(gè)數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，關(guān)鍵是看an＋1－an是否是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．2．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首項(xiàng)a1和公差d，就可以求出通項(xiàng)公式，反過(guò)來(lái)，在a1、d、n、an四個(gè)量中，只要知道其中任意三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量．3．三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.§2.2等差數(shù)列(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．熟練運(yùn)用等差數(shù)列的常用性質(zhì)．【知識(shí)梳理】1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，當(dāng)d＝0時(shí)，an是關(guān)于n的常函數(shù)；當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；點(diǎn)(n，an)分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點(diǎn)．2．已知在公差為d的等差數(shù)列{an}中的第m項(xiàng)am和第n項(xiàng)an(m≠n)，則eq\f(am－an,m－n)＝3．對(duì)于任意的正整數(shù)m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.則在等差數(shù)列{an}中，am＋an與ap＋aq之間的關(guān)系為.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－eq\f(1,2)a8的值為()A．4B．6C．8D．102．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)的值為()A.eq\r(3)B．±eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)3．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m為()A．12B．8C．6D．44．如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．355．設(shè)公差為－2的等差數(shù)列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于()A．－182B．－78C．－148D．－826．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，則ap＋q為()A．p＋qB．0C．－(p＋q)D.eq\f(p＋q,2)二、填空題7．若{an}是等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，則a75＝________.8．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20＝________.9．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且a4＝6，a6＝4，則a10＝______.10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|＝________.【能力提升】三、解答題11．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式．12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n≥2)，令bn＝eq\f(1,an－2).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【高考鏈接】在3與27之間插入7個(gè)數(shù)，使這9個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入這7個(gè)數(shù)中的第4個(gè)數(shù)值為()A．18B．9C．12D．15【反思感悟】1．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m≠n時(shí)，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個(gè)公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2．等差數(shù)列{an}中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．3．等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則，am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.§2.2等差數(shù)列(二)鞏固訓(xùn)練1一、選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8的值等于 ()A．45 B．75 C．180 D．3002．設(shè){an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是 ()A．1 B．2 C．4 D．63．等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 ()A．a(chǎn)n＝2n－2(n∈N*) B．a(chǎn)n＝2n＋4(n∈N*)C．a(chǎn)n＝－2n＋12(n∈N*) D．a(chǎn)n＝－2n＋10(n∈N*)4．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．1或25．設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13等于()A．120 B．105 C．90 D．756．一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1＝1，末項(xiàng)an＝41(n≥3)且公差為整數(shù)，那么項(xiàng)數(shù)n的取值個(gè)數(shù)是 ()A．6 B．7 C．8 D．不確定二、填空題7．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3＝________.8．等差數(shù)列{an}中，公差為eq\f(1,2)，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，則a2＋a4＋a6＋…＋a100＝______三、解答題9．已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這四個(gè)數(shù)．10．在等差數(shù)列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．13．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,5)，且當(dāng)n>1，n∈N*時(shí)，有eq\f(an－1,an)＝eq\f(2an－1＋1,1－2an)，設(shè)bn＝eq\f(1,an)，n∈N*.(1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．(2)試問(wèn)a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．§2.2等差數(shù)列(二)鞏固訓(xùn)練2【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)．2．掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn之間的關(guān)系．【知識(shí)梳理】1．把a(bǔ)1＋a2＋…＋an叫數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以記作S16；a1+a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．特別注意：n≥2的意思。2．若{an}是等差數(shù)列，則Sn可以用首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an表示為Sn＝eq\f(na1＋an,2)；若首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn可以表示為Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d.3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，且公差為eq\f(d,2).(2)Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列．(3)設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，則eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).（你會(huì)證明嗎?）【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、選擇題1．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2＝3，a6＝11，則S7等于()A．13B．35C．49D．632．等差數(shù)列{an}中，S10＝4S5，則eq\f(a1,d)等于()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(1,4)D．43．已知等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an<0，則S10為()A．－9B．－11C．－13D．－154．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36.則a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．275．在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A．765B．665C．763D．663一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，則該數(shù)列的公差是()A．3B．－3C．－2D．－1已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，則使得eq\f(an,bn)為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A．2B．3C．4D．5二、填空題8．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________.9．兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，則eq\f(a5,b5)的值是____．10．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n的值為_(kāi)_______．11．等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m的值是________．【能力提升】三、解答題12．在等差數(shù)列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.13．設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項(xiàng)和，求Tn.【高考鏈接】（寧夏海南卷文）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，,則（A）38（B）20（C）10（D）9【反思感悟】1．等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個(gè)量，通常已知其中三個(gè)量，可求另外兩個(gè)量．（知三求二）2.在求等差數(shù)列的和時(shí)，一般地，若已知首項(xiàng)a1及末項(xiàng)an，用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)較好，若已知首項(xiàng)a1及公差d，用公式Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d.較好．3．等差數(shù)列的性質(zhì)比較多，學(xué)習(xí)時(shí)，不必死記硬背，可以在結(jié)合推導(dǎo)過(guò)程中加強(qiáng)記憶，并在解題中熟練靈活地應(yīng)用．§2.4等比數(shù)列(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解等比數(shù)列的定義，能夠利用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列．2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．3．掌握等比中項(xiàng)的定義，能夠應(yīng)用等比中項(xiàng)的定義解決有關(guān)問(wèn)題．【知識(shí)梳理】1．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.3．等比中項(xiàng)的定義：如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，且G＝±eq\r(ab).【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為()A．16B．27C．36D．812．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()A．64B．81C．128D．2433．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a9＋a10,a7＋a8)等于()A．1＋eq\r(2)B．1－eq\r(2)C．3＋2eq\r(2)D．3－2eq\r(2)4．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－95．一個(gè)數(shù)分別加上20,50,100后得到的三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其公比為()A.eq\f(5,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(1,2)6．若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差數(shù)列，則eq\f(a3＋a5,a4＋a6)等于()A.eq\f(\r(5)－1,2)B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\f(1,2)D．不確定二、填空題7．已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.8．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.9．首項(xiàng)為3的等比數(shù)列的第n項(xiàng)是48，第2n－3項(xiàng)是192，則n＝________.10．一個(gè)直角三角形的三邊成等比數(shù)列，則較小銳角的正弦值是________．【能力提升】三、解答題11．已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求{an}的通項(xiàng)公式．12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝eq\f(1,3)(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．【高考鏈接】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式．【反思感悟】1．等比數(shù)列的判斷或證明．2．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1.共涉及an，a1，q，n四個(gè)量．已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè)．§2.4等比數(shù)列(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．進(jìn)一步鞏固等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式．2．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能用性質(zhì)靈活解決問(wèn)題．【知識(shí)梳理】1．一般地，如果m，n，k，l為正整數(shù)，且m＋n＝k＋l，則有am·an＝ak·al，特別地，當(dāng)m＋n＝2k時(shí)，am·an＝aeq\o\al(2,k).2．在等比數(shù)列{an}中，每隔k項(xiàng)(k∈N*)取出一項(xiàng)，按原來(lái)的順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列．3．如果{an}，{bn}均為等比數(shù)列，且公比分別為q1，q2，那么數(shù)列{eq\f(1,an)}，{an·bn}，{eq\f(bn,an)}，{|an|}仍是等比數(shù)列，且公比分別為eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|