《正多邊形和圓》的教學(xué)設(shè)計

《正多邊形和圓》的教學(xué)設(shè)計毛溝中學(xué)楊波【教學(xué)目標】1．知識與技能：了解正多邊形和圓的關(guān)系，了解正多邊形半徑和邊長，邊心距，中心，中心角等概念。會應(yīng)用正多邊形的有關(guān)知識解決圓中的計算問題。會用圓規(guī)、量角器和直尺來畫圓內(nèi)接正多邊形。2．過程與方法：結(jié)合生活中的正多邊形形狀的圖案，發(fā)現(xiàn)正多邊形和圓的關(guān)系，然后學(xué)會用圓的有關(guān)知識，解決正多邊形的問題。3．情感態(tài)度：學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、探究等數(shù)學(xué)活動，感受到數(shù)學(xué)來源于生活、又服務(wù)于生活，體現(xiàn)事物之間是相互聯(lián)系，相互作用的。【教學(xué)重點】正多邊形與圓的相關(guān)概念及其之間的運算。【教學(xué)難點】探索正多邊形和圓的關(guān)系，正多邊形半徑，中心角、弦心距，邊長之間的關(guān)系。【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入，初步認識。觀察這些美麗的圖案，都是在日常生活中，我們經(jīng)常能看到的利用正多邊形得到的物體。（1）你能從圖案中找出多邊形嗎？（2）你知道正多邊形和圓有什么關(guān)系嗎？怎樣就能作出一個正多邊形來？教學(xué)說明：學(xué)生通過觀察美麗的圖案，欣賞生活中正多邊形形狀的物體。讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，并從中感受到數(shù)學(xué)美。問題（2）的提出是為了創(chuàng)設(shè)一個問題情境，激起學(xué)生主動將所學(xué)圓的知識與正多邊形聯(lián)系起來，激發(fā)學(xué)生積極探索、研究的熱情，并有意將注意力集中在正多邊形和圓的關(guān)系上。二、思考探究，獲取新知。1．正多邊形和圓的關(guān)系。問題1將一個圓分成5等份，依次連接各分點得到一個五邊形，這五邊形一定是正五邊形嗎？如果是，請你證明這個結(jié)論。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫圖，并寫出已知和求證。已知：如圖，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分點。依次連接ABCDE形成五邊形。問：五邊形ABCDE是正五邊形嗎？答案：五邊形ABCDE是正五邊形。教學(xué)說明：教師引導(dǎo)學(xué)生從正多邊形的定義入手證明，即證明多邊形各邊都相等，各角都相等；引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，教師帶領(lǐng)學(xué)生完成證明過程。問題2如果將圓n等分，依次連接各分點得到一個n邊形，這個n邊形一定是正n邊形嗎？答案：這個n邊形一定是正n邊形。教學(xué)說明：在這個問題中，教師重點關(guān)注學(xué)生是否會仿照證明圓內(nèi)接正五邊形的方法證明圓內(nèi)接正n邊形。從問題1到問題2是將結(jié)論由特殊推廣到一般，這符合學(xué)生的認知規(guī)律，并教導(dǎo)學(xué)生一種研究問題的方法，由特殊到一般。問題3各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形嗎？如果是，說明理由；如果不是，舉出反例。答案：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形。因為：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形的各角也相等。各角相等的圓內(nèi)接多邊形不是正多邊形。如：矩形。2．正多邊形的有關(guān)概念。綜合圖形，給出正多邊形的中心，半徑，中心角，邊心距等概念。正n邊形：中心角為：360°n；內(nèi)角的度數(shù)為：180°（n-2）n3．正多邊形和圓有關(guān)的計算問題。例1（課本例題）有一個亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）。分析：根據(jù)題意作圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。4．畫正多邊形。畫正多邊形，通常是通過等分圓周的方法來畫的。等分圓周有兩種方式：（1）用量角器等分圓周。方法一：由于在同圓或等圓中相等的圓心角所對弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓。方法二：先用量角器畫一個等于的圓心角，這個圓心角所對的弧就是圓的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的幾等分點。教學(xué)說明：這兩種方法可以任意等分圓，但不可避免地存在誤差。（2）用尺規(guī)等分圓。正方形的作法：如圖（1）在⊙O中，尺規(guī)作兩條垂直的直徑，把⊙O四等分，從而作出正方形ABCD，再逐次平分各邊所對弧，則可作正八邊形、正十六邊形等邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六邊形的作法：方法一：如圖（2）任意作一條直徑AB，再分別以A，B為圓心，以⊙O的半徑為半徑作弧，與⊙O交于C、D和E、F，則A，C，E，B，F(xiàn)，D為⊙O的六等分點，順次連接各等分點，得到正六邊形ACEBFD。方法二：如圖（3）由于正六邊形的半徑等于邊長。所以在圓上依次截取等于半徑的弦，就將圓六等分，順次連接各等分點即可得到正六邊形。三、運用新知，深化理解。1．如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，對角線AC與BD相交于點P，則∠APB的度數(shù)為。2．邊長為的正方形的內(nèi)切圓與外接圓所組成的圓環(huán)的面積為。3．如果一個正六邊形的面積與一個正三角形的面積相等，求正六邊形與正三角形的內(nèi)切圓的半徑之比。4．如圖，點M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，……正n邊形的邊AB，BC上的點，且BM＝CN，連接OM、ON。（1）求圖1中的∠MON的度數(shù)；（2）在圖2中，∠MON的度數(shù)為，在圖3中，∠MON的度數(shù)為；（3）試探索∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n之間的關(guān)系。（直接寫出答案）教學(xué)說明題1，2可由