氣體分子熱運動速率課件

第三章氣體分子熱運動速率

和能量的統(tǒng)計分布3.1氣體分子的速率分布律3.2用分子射線實驗驗證麥克斯韋速度分布律3.3玻爾茲曼分布律

重力場中微粒按高度的分布3.4能量按自由度均分定理1/4/20231崎山苑工作室第三章氣體分子熱運動速率

和能量的統(tǒng)計分布3.1氣體分子3.1氣體分子的速率分布律統(tǒng)計規(guī)律性：分子運動論從物質微觀結構出發(fā)，研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質。其中個別分子的運動（在動力學支配下）是無規(guī)則的，存在著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。（例：理想氣體壓強）人們把這種支配大量粒子綜合性質和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性。氣體中個別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整體來看，在一定的條件下，氣體分子的速度分布也遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。為研究氣體分子速度分布的定量規(guī)律，有必要介紹分布函數(shù)的概念。1/4/20232崎山苑工作室3.1氣體分子的速率分布律統(tǒng)計規(guī)律性：氣體中個別分子例1：統(tǒng)計某城市中每個商店里職工的分布情況，可用下列方法。分布函數(shù)和平均值偶然事件：大量出現(xiàn)不可預測的事件。多次重復觀察同樣的事件，可獲得該偶然事件的分布，從而得到其統(tǒng)計規(guī)律。表示該城市中的商店總數(shù)表示該城市中有個職工的商店數(shù)，稱分布數(shù)。1/4/20233崎山苑工作室例1：統(tǒng)計某城市中每個商店里職工的分布情況，可用下列方法。分例:我們以人的身高為例，來引入分布函數(shù)的概念。設N為總人數(shù)，dN（h）為身高在h--h+dh間的人數(shù)。顯然令f（h）=dN（h）/Ndh，則我們把f（h）稱為歸一化分布函數(shù)。f（h）表征在單位高度內，身高為h的人數(shù)占總人數(shù)的比率。f(h)dh：高度在h與h+dh之間的概率1/4/20234崎山苑工作室例:我們以人的身高為例，來引入分布函數(shù)的概念。設NN個人的平均身高為hf（h）hh+dhof(h)為歸一化分布函數(shù)分布曲線高度在h與h+dh之間的人數(shù)：1/4/20235崎山苑工作室N個人的平均身高為hf（h）hh+dhof(h推廣至任一變量（物理量）x,由分布函數(shù)f(x)求平均值，有：對具有統(tǒng)計性的系統(tǒng)來講，總存在著確定的分布函數(shù)f（x），因此，寫出分布函數(shù)f（x）是研究一個系統(tǒng)的關鍵之處，具有普遍的意義。1/4/20236崎山苑工作室推廣至任一變量（物理量）x,由分布函數(shù)f(x)求平均值，有

速率分布函數(shù)一定量的氣體分子總數(shù)為NdNv表示速率分布在某區(qū)間v~v+dv內的分子數(shù)，dNv/N表示分布在此區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率（或百分比）。dNv/N是v的函數(shù)，在不同速率附近取相等的區(qū)間，此比率一般不相等。當速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大），dNv/N還應與區(qū)間大小成正比。1/4/20237崎山苑工作室速率分布函數(shù)dNv/N是v的函數(shù)，在不同速率附近取因此有物理意義：速率在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。f(v):速率分布函數(shù)歸一化條件(Normalizingcondition)或1/4/20238崎山苑工作室因此有物理意義：速率在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占

麥克斯韋速率分布律(Maxwellspeeddistributionlaw)（一定條件下，速率分布函數(shù)的具體形式）在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間v~v+dv的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速率分布函數(shù)1/4/20239崎山苑工作室麥克斯韋速率分布律(Maxwellspeeddistr麥克斯韋速率分布曲線1/4/202310崎山苑工作室麥克斯韋速率分布曲線12/29/202210崎山苑工作室麥克斯韋速率分布曲線面積面積速率在區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于區(qū)間內的幾率。速率在區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于區(qū)間內的幾率。1/4/202311崎山苑工作室麥克斯韋速率分布曲線面積面積速率在區(qū)間內的分子表示單位體積內分布在速率區(qū)間內的分子數(shù)。1/4/202312崎山苑工作室表示單位體積內分布在速率區(qū)間內的分子數(shù)。12表示分布在速率區(qū)間內的分子數(shù)。1/4/202313崎山苑工作室表示分布在速率區(qū)間內的分子數(shù)。12表示分布在單位體積內，速率區(qū)間內的分子數(shù)。1/4/202314崎山苑工作室表示分布在單位體積內，速率區(qū)間內的分子數(shù)。1表示速率在區(qū)間內的分子的平均速率。1/4/202315崎山苑工作室表示速率在區(qū)間內的分子的平均速率。12/29氣體的三種統(tǒng)計速率速率分布函數(shù)中的極大值對應的分子速率。極值條件(1)最可幾速率:溫度超高，vp越大；分子的質量越大，vp越小1/4/202316崎山苑工作室氣體的三種統(tǒng)計速率速率分布函數(shù)中的極大值對最可幾速率（mostprobablespeed）1/4/202317崎山苑工作室最可幾速率（mostprobablespeed）1對大量分子而言，在相同的速率間隔中，氣體分子的速率在vp附近的分子數(shù)最多。

對單個分子而言，速率在vp附近的幾率最大。最可幾速率“

vp”的意義是：1/4/202318崎山苑工作室對大量分子而言，在相同的速率間隔中，氣體分子的速率在vp附氣體分子速率的算術平均值。(2)平均速率：1/4/202319崎山苑工作室氣體分子速率的算術平均值。(2)平均速率：12/29/202平均速率(averagespeed)1/4/202320崎山苑工作室平均速率(averagespeed)12/29(3)方均根速率（root-mean-squarespeed）：氣體分子速率平方的平均值的平方根。1/4/202321崎山苑工作室(3)方均根速率（root-mean-squarespee方均根速率方均根速率1/4/202322崎山苑工作室方均根速率方均根速率12/29/202222三種速率均與,成反比，但三者有一個確定的比例關系;三種速率使用于不同的場合。討論速率分布時用最可幾速率；計算分子運動的平均距離時用平均速率；計算分子平均平動能時用方均根速率。三種速率比較1/4/202323崎山苑工作室三種速率均與,三種速率比較12/29/2022溫度越高，速率大的分子數(shù)越多同一氣體不同溫度下速率分布比較1/4/202324崎山苑工作室溫度越高，速率大的分子數(shù)越多同一氣體不同溫度下速率分布比較1同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質量越小，速率大的分子數(shù)越多。1/4/202325崎山苑工作室同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質量越小，速率大的分子數(shù)例題1試計算氣體分子熱運動速率的大小介于vp-vp/100和vp+vp/100之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分數(shù)。在此利用vp，引入W=v/vp，把麥克斯韋速率分布律改寫成如下簡單形式：解:按題意1/4/202326崎山苑工作室例題1試計算氣體分子熱運動速率的大小介于vp-vp/1把這些量值代入，即得現(xiàn)在1/4/202327崎山苑工作室把這些量值代入，即得現(xiàn)在12/29/202227崎山苑工作室例2.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為求：（1）速率分布曲線（2）由v0求常數(shù)C （3）粒子的平均速率解（1）速率分布曲線（見下圖）1/4/202328崎山苑工作室例2.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為求：（1）速率分布曲（2）常數(shù)C由歸一化條件求得（3）平均速率：1/4/202329崎山苑工作室（2）常數(shù)C由歸一化條件求得（3）平均速率：12/29/例3.由麥氏分布律導出理想氣體分子按平動動能的分布律,并找出最可幾動能是什么？一個分子的平均平動動能是什么？解：一個分子的平動動能：由麥氏分布律：這就是理想氣體分子按平動動能分布定律。21/4/202330崎山苑工作室例3.由麥氏分布律導出理想氣體分子按平動動能的分布律,并最可幾動能：分子的平均平動動能為：理論與實驗符合得很好。從理論上已經(jīng)得到過：1/4/202331崎山苑工作室最可幾動能：分子的平均平動動能為：理論與實驗符合得很好。在平衡態(tài)下，當氣體分子之間的相互作用可忽略時，速度分量vx在區(qū)間vx~vx+dvx，vy在區(qū)間vy~vy+dvy，vz在區(qū)間vz~vz+dvz內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速度分布律（Maxwellvelocitydistributionlaw）上面討論的是氣體分子按速率分布的規(guī)律，對分子速度的方向未作任何確定。下面進一步介紹氣體分子按速度分布的規(guī)律。dvx、dvy、dvz為速度空間的一個體積元麥克斯韋速度分布函數(shù)（Maxwellvelocitydistributionlaw）1/4/202332崎山苑工作室在平衡態(tài)下，當氣體分子之間的相互作用可忽略時，速度分量v＊速度空間(velocityspace)的概念表示分子的速度以其分量vx、vy、vz為軸可構成一直角坐標系，由此坐標系所確定的空間為速度空間。＊麥克斯韋速度分布律指明了分子代表點在速度空間體積元d=

dvxdvydvz中的分布情況。＊可由麥氏速度分布律推出麥氏速率分布律。1/4/202333崎山苑工作室＊速度空間(velocityspace)的概念12/29由圖（b）可得：1/4/202334崎山苑工作室由圖（b）可得：12/29/202234崎山苑工作室由麥克斯韋速度分布函數(shù)可推出速度的三個分量的分布函數(shù)。將分布函數(shù)先后對vy和vz積分，即可求出速度分量vx在區(qū)間vx~vx＋dvx內的分子數(shù)占總分子數(shù)N的比率：同理可得：1/4/202335崎山苑工作室由麥克斯韋速度分布函數(shù)可推出速度的三個分量的分布函數(shù)。將例題：用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)。解：如圖，設單位體積內的分子數(shù)為n，則單位體積內速度分量vx在vx~vx+d

vx之間的分子數(shù)為nf(vx)dvx。vxdtdA在dt內能與dA相碰的分子數(shù)為：nf(vx)dvx·vxdtdA所以，在單位時間內速度分量vx在vx~vx+d

vx之間能與單位面積器壁碰撞的分子數(shù)為：而對于vx<0的分子不會與dA相碰，所以vx的積分區(qū)間為0~1/4/202336崎山苑工作室例題：用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子每秒碰到單位面積上的分子數(shù)為：1/4/202337崎山苑工作室每秒碰到單位面積上的分子數(shù)為：12/29/202237崎山苑統(tǒng)計規(guī)律性與漲落（fluctuation）現(xiàn)象麥克斯韋分布律是一種統(tǒng)計規(guī)律。統(tǒng)計規(guī)律不僅對研究熱現(xiàn)象有重要意義，而且在其他自然現(xiàn)象中也是普遍存在的。如伽爾頓板（Galtonplate）實驗。※在一次實驗中小球落入哪個狹槽是偶然的；※但大量小球按槽的分布情況卻是確定的。（在中央的槽內小球分布得最多，在離中央越遠的槽內小球越少）。人們把這種支配大量粒子綜合性質和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性1/4/202338崎山苑工作室統(tǒng)計規(guī)律性與漲落（fluctuation）現(xiàn)象麥克斯韋分統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.（2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質變).（3）總是伴隨著漲落.統(tǒng)計規(guī)律與漲落現(xiàn)象是不可分割的，這正反映了必然性與偶然性之間相互依存的辯證關系。一切與熱現(xiàn)象有關的宏觀量（如P、T）的數(shù)值都是統(tǒng)計平均值。在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范圍內，觀測值都與統(tǒng)計平均值有偏差，這就是漲落現(xiàn)象。1/4/202339崎山苑工作室統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.（2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質變).（3）總是伴隨著漲落.統(tǒng)計規(guī)律與漲落現(xiàn)象是不可分割的，這正反映了必然性與偶然性之間相互依存的辯證關系。一切與熱現(xiàn)象有關的宏觀量（如P、T）的數(shù)值都是統(tǒng)計平均值。在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范圍內，觀測值都與統(tǒng)計平均值有偏差，這就是漲落現(xiàn)象。1/4/202340崎山苑工作室統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.3.2用分子射線實驗

驗證麥克斯韋速度分布律由于技術條件（如高真空技術、測量技術等）的限制，測定氣體分子速率分布的實驗，直到二十世紀二十年代才實現(xiàn)。實驗技術的不斷改善和提高，特別是分子射線實驗技術的迅速發(fā)展，使麥克斯韋速度分布律得到許多直接的實驗證明。1/4/202341崎山苑工作室3.2用分子射線實驗

驗證麥克斯韋速度分布律由于技術條件（分子射線(molecularray)下圖是產(chǎn)生分子射線實驗裝置示意圖。容器O中貯藏的氣體為平衡態(tài)的氣體。從O中逸出的氣體經(jīng)狹縫S1、S2后形成一窄束分子射線。在用分子射線驗證麥克斯韋速度分布律的實驗中，氣體一般用金屬（如銀、鈹、釷等）蒸氣。1/4/202342崎山苑工作室分子射線(molecularray)下圖是產(chǎn)生分子射線葛正權實驗我國物理學家葛正權于1934年測定鉍蒸氣分子的速率分布，其實驗裝置原理圖如下圖。D鉍分子由S3到達P’處所需的時間為：t=D/vR轉過的弧PP’長度為：s=D/2=Dt/2v=D2/2s----一定的s值與一定的v對應1/4/202343崎山苑工作室葛正權實驗我國物理學家葛正權于1934年測定鉍蒸氣分子的密勒和庫士實驗密勒和庫士在1956年用釷蒸氣的原子射線做實驗精確地驗證了麥克斯韋速率分布律，其實驗裝置原理圖如下圖所示：rRLl給定小孔充分小，改變，測D上的沉積厚度，就可測氣體速率分布OD蒸汽源檢測器l抽氣抽氣1/4/202344崎山苑工作室密勒和庫士實驗密勒和庫士在1956年用釷蒸氣的原子射線做OV相對粒子數(shù)粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所示1/4/202345崎山苑工作室OV相對粒子數(shù)粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所OV相對粒子數(shù)粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所示1/4/202346崎山苑工作室OV相對粒子數(shù)粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所3.3玻爾茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布1.玻爾茲曼分布律(Boltzmanndistributionlaw)在麥克斯韋速度分布率中，有一因子即考慮的是不受外力場的影響，只考慮分子在速度空間體積元dvxdvydvz中的分布情況。玻爾茲曼將其推廣到分子在保守力場（如重力場）中運動的情形。在這種情形下則必須考慮分子在力場中的勢能Ep。玻耳茲曼推廣：氣體分子速度在區(qū)間vx~vx+dvx

，

vy~vy+dvy，vz~vz+dvz

，位置在區(qū)間x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz分子數(shù)目為dNe-E/kTdvx

dvydvzdxdydz

1/4/202347崎山苑工作室3.3玻爾茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布1.玻爾茲玻爾茲曼分布律(Boltzmanndistributionlaw)（玻爾茲曼分子按能量分布定律）當系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標介于區(qū)間x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz內，同時速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz內的分子數(shù)為n0為在處，單位體積內具有各種速度的分子總數(shù)。1/4/202348崎山苑工作室玻爾茲曼分布律(Boltzmanndistribution求單位體積分子數(shù)n將玻爾茲曼分布率積分,有重力場中粒子按高度的分布（）滿足歸一化條件，結果為11/4/202349崎山苑工作室求單位體積分子數(shù)n重力場中粒子按高度的分布（當大氣溫度均勻時，分子數(shù)密度隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小。在同一高度1/4/202350崎山苑工作室當大氣溫度均勻時，分子數(shù)密度隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小。在同一等溫大氣壓強公式（高度計原理）利用：P=nkT假設：大氣為理想氣體，不同高度處溫度相等可得:P0=n0kT表示在z=0處的壓強等溫氣壓公式1/4/202351崎山苑工作室等溫大氣壓強公式（高度計原理）利用：P=nkT假設：大氣恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化根據(jù)壓強變化測高度，實際溫度也隨高度變化，測大氣溫度有一定的范圍，是近似測量。由上式可得高度h為：測定大氣壓強隨高度的減小，即可判斷上升的高度。1/4/202352崎山苑工作室恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化根據(jù)壓強變化恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化根據(jù)壓強變化測高度，實際溫度也隨高度變化，測大氣溫度有一定的范圍，是近似測量。由上式可得高度h為：測定大氣壓強隨高度的減小，即可判斷上升的高度。1/4/202353崎山苑工作室恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化根據(jù)壓強變化3.4能量按自由度均分定理自由度（degreeoffreedom）：某一物體的自由度，就是決定這一物體在空間的位置所需要的獨立坐標數(shù)。在直角坐標系中：（1）對質點：x，y，z共3個自由度，稱平動自由度t=3（2）對直桿但因故只需r=2個轉動自由度所以，直桿需要的自由度數(shù)為：確定桿上一個點，需（x，y，z）t=3個平動自由度，確定桿的方位，似乎還需（、、）3個轉動自由度1/4/202354崎山苑工作室3.4能量按自由度均分定理自由度（degreeoff（3）對剛體確定剛體一軸線5個自由度確定剛體繞軸轉動加一個自由度剛體的自由度數(shù)：分子的自由度（1）單原子分子：氦（He）、氖（Ne）i=3（2）雙原子分子：

H2、O2、CO…剛性非剛性（3）三原子分子：CO2、H2O...剛性非剛性振動自由度1/4/202355崎山苑工作室（3）對剛體確定剛體一軸線5個自由度確定剛體繞軸轉分子的自由度分子種類單原子分子雙原子分子多原子分子t平動r轉動s振動3003剛性3205非剛性3216剛性非剛性3306333n-63n自由度總結1/4/202356崎山苑工作室分子的自由度分子種類單原子分子雙原子分子多原子分子t平動r能量均分定理（theoremofequipartitionofenergy）椐理想氣體溫度公式，分子平均平動動能與溫度關系為分子在每一個自由度上具有相等的平均平動動能，其大小等于。即分子的平均平動動能3KT/2是均勻的分配于每一個自由度的。1/4/202357崎山苑工作室能量均分定理（theoremofequipartitio上述結論可推廣到振動和轉動，得到能均分定理：在溫度為T的平衡態(tài)下，物質（氣體、液體、固體）分子的每一個自由度都具有相等的平均動能，其大小等于。對于有t個平動自由度，s個振動自由度和r個轉動自由度的氣體分子，分子的平均總動能為上述三種運動動能之和：每個振動自由度上均分有的振動勢能1/4/202358崎山苑工作室上述結論可推廣到振動和轉動，得到能均分定理：在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個自由度的平均動能都相等，都等于。是統(tǒng)計規(guī)律，只適用于大量分子組成的系統(tǒng)。是氣體分子無規(guī)則碰撞的結果。經(jīng)典統(tǒng)計物理可給出嚴格證明。1/4/202359崎山苑工作室在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子每個自由度的平均動能都相等，都理想氣體的內能（internalenergy）內能：熱力學系統(tǒng)的全部微觀粒子具有能量總和，包括大量分子熱運動的動能、分子間的勢能、分子內原子內及核內的能量。這里特指前兩種，用E

表示。對于理想氣體，分子間無相互作用，內能只是分子各種形式的動能和振動勢能的總和。理想氣體內能決定于分子的自由度和氣體的溫度，內能僅是溫度的單值函數(shù)，與熱力學溫度成正比，與氣體的壓強、體積無關。1/4/202360崎山苑工作室理想氣體的內能（internalenergy）內能：熱力學單原子分子氣體雙原子分子剛性非剛性理想氣體的內能1/4/202361崎山苑工作室單原子分子氣體雙原子分子剛性理想氣體的內能12/29/202理想氣體的熱容量（heatcapacity）熱容量：溫度升高（或降低）1°C物體所吸收（或放出）的熱量，以c表示比熱，則熱容量為：C’＝Mc摩爾熱容量：1摩爾物質溫度升高（或降低）1°C所吸收（或放出）的熱量，以C表示：C＝c氣體在等容過程中吸收的熱量全部用來增加內能；而在等壓過程中則只有一部分用來增加內能，另一部分轉化為氣體膨脹時對外所作的功。因此，氣體升高一定的溫度，在等壓過程中要比等容過程中吸收更多的熱。

定壓熱容量比定容熱容量大。1/4/202362崎山苑工作室理想氣體的熱容量（heatcapacity）熱容量：溫度升Cv：定容摩爾熱容量(heatcapacityofconstantvolume)對1摩爾理想氣體有：定容摩爾熱容只與分子的自由度有關，與氣體的溫度無關。對單原子氣體分子：對雙原子氣體分子：1/4/202363崎山苑工作室Cv：定容摩爾熱容量(heatcapacityofco表3－2為幾種雙原子分子的Cv隨溫度變化的實驗數(shù)據(jù)1/4/202364崎山苑工作室表3－2為幾種雙原子分子的Cv隨溫度變化的實驗數(shù)據(jù)12/29經(jīng)典理論的缺陷將理論結果與實驗數(shù)據(jù)比較可知，對于單原子分子氣體，Cv的理論值與實驗值很好的符合；對雙原子分子，理論值與實驗值顯然不符。根據(jù)經(jīng)典理論，一切雙原子分子應該具有完全相同的Cv；氣體的Cv應與溫度無關。但實驗表明，一切雙原子分子氣體的Cv都隨溫度的升高而增大，并且它們的都Cv不相同。理論值與實驗值不符的根本原因在于，熱容量理論建筑在能均分定理之上，而這個定理是以經(jīng)典概念（能量的連續(xù)變化）為基礎的。原子、分子等微觀粒子的運動遵從量子規(guī)律，經(jīng)典觀念只有在一定的限度內才能適用。1/4/202365崎山苑工作室經(jīng)典理論的缺陷將理論結果與實驗數(shù)據(jù)比較可知，對于單原子分振動能對熱容量的影響根據(jù)量子理論，雙原子分子的振動能只能取一系列不連續(xù)的值，若把原子的振動近似地看作諧振動，則振動動能只能取下列數(shù)值：式中的正整數(shù)n叫做振動量子數(shù)，h為普朗克常數(shù)，為振動頻率。轉動能對熱容量的影響根據(jù)量子理論，分子的轉動能也只能取一些不連續(xù)的值：式中l(wèi)為轉動量子數(shù)，I為兩原子繞質心的轉動慣量1/4/202366崎山苑工作室振動能對熱容量的影響根據(jù)量子理論，雙原子分子的振動能只能振動能對熱容量的影響根據(jù)量子理論，雙原子分子的振動能只能取一系列不連續(xù)的值，若把原子的振動近似地看作諧振動，則振動動能只能取下列數(shù)值：式中的正整數(shù)n叫做振動量子數(shù)，h為普朗克常數(shù)，為振動頻率。轉動能對熱容量的影響根據(jù)量子理論，分子的轉動能也只能取一些不連續(xù)的值：式中l(wèi)為轉動量子數(shù)，I為兩原子繞質心的轉動慣量1/4/202367崎山苑工作室振動能對熱容量的影響根據(jù)量子理論，雙原子分子的振動能只能第三章氣體分子熱運動速率

和能量的統(tǒng)計分布3.1氣體分子的速率分布律3.2用分子射線實驗驗證麥克斯韋速度分布律3.3玻爾茲曼分布律

重力場中微粒按高度的分布3.4能量按自由度均分定理1/4/202368崎山苑工作室第三章氣體分子熱運動速率

和能量的統(tǒng)計分布3.1氣體分子3.1氣體分子的速率分布律統(tǒng)計規(guī)律性：分子運動論從物質微觀結構出發(fā)，研究大量分子組成的系統(tǒng)的熱性質。其中個別分子的運動（在動力學支配下）是無規(guī)則的，存在著極大的偶然性。但是，總體上卻存在著確定的規(guī)律性。（例：理想氣體壓強）人們把這種支配大量粒子綜合性質和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性。氣體中個別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整體來看，在一定的條件下，氣體分子的速度分布也遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。為研究氣體分子速度分布的定量規(guī)律，有必要介紹分布函數(shù)的概念。1/4/202369崎山苑工作室3.1氣體分子的速率分布律統(tǒng)計規(guī)律性：氣體中個別分子例1：統(tǒng)計某城市中每個商店里職工的分布情況，可用下列方法。分布函數(shù)和平均值偶然事件：大量出現(xiàn)不可預測的事件。多次重復觀察同樣的事件，可獲得該偶然事件的分布，從而得到其統(tǒng)計規(guī)律。表示該城市中的商店總數(shù)表示該城市中有個職工的商店數(shù)，稱分布數(shù)。1/4/202370崎山苑工作室例1：統(tǒng)計某城市中每個商店里職工的分布情況，可用下列方法。分例:我們以人的身高為例，來引入分布函數(shù)的概念。設N為總人數(shù)，dN（h）為身高在h--h+dh間的人數(shù)。顯然令f（h）=dN（h）/Ndh，則我們把f（h）稱為歸一化分布函數(shù)。f（h）表征在單位高度內，身高為h的人數(shù)占總人數(shù)的比率。f(h)dh：高度在h與h+dh之間的概率1/4/202371崎山苑工作室例:我們以人的身高為例，來引入分布函數(shù)的概念。設NN個人的平均身高為hf（h）hh+dhof(h)為歸一化分布函數(shù)分布曲線高度在h與h+dh之間的人數(shù)：1/4/202372崎山苑工作室N個人的平均身高為hf（h）hh+dhof(h推廣至任一變量（物理量）x,由分布函數(shù)f(x)求平均值，有：對具有統(tǒng)計性的系統(tǒng)來講，總存在著確定的分布函數(shù)f（x），因此，寫出分布函數(shù)f（x）是研究一個系統(tǒng)的關鍵之處，具有普遍的意義。1/4/202373崎山苑工作室推廣至任一變量（物理量）x,由分布函數(shù)f(x)求平均值，有

速率分布函數(shù)一定量的氣體分子總數(shù)為NdNv表示速率分布在某區(qū)間v~v+dv內的分子數(shù)，dNv/N表示分布在此區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率（或百分比）。dNv/N是v的函數(shù)，在不同速率附近取相等的區(qū)間，此比率一般不相等。當速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大），dNv/N還應與區(qū)間大小成正比。1/4/202374崎山苑工作室速率分布函數(shù)dNv/N是v的函數(shù)，在不同速率附近取因此有物理意義：速率在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。f(v):速率分布函數(shù)歸一化條件(Normalizingcondition)或1/4/202375崎山苑工作室因此有物理意義：速率在v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占

麥克斯韋速率分布律(Maxwellspeeddistributionlaw)（一定條件下，速率分布函數(shù)的具體形式）在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間v~v+dv的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速率分布函數(shù)1/4/202376崎山苑工作室麥克斯韋速率分布律(Maxwellspeeddistr麥克斯韋速率分布曲線1/4/202377崎山苑工作室麥克斯韋速率分布曲線12/29/202210崎山苑工作室麥克斯韋速率分布曲線面積面積速率在區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于區(qū)間內的幾率。速率在區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于區(qū)間內的幾率。1/4/202378崎山苑工作室麥克斯韋速率分布曲線面積面積速率在區(qū)間內的分子表示單位體積內分布在速率區(qū)間內的分子數(shù)。1/4/202379崎山苑工作室表示單位體積內分布在速率區(qū)間內的分子數(shù)。12表示分布在速率區(qū)間內的分子數(shù)。1/4/202380崎山苑工作室表示分布在速率區(qū)間內的分子數(shù)。12表示分布在單位體積內，速率區(qū)間內的分子數(shù)。1/4/202381崎山苑工作室表示分布在單位體積內，速率區(qū)間內的分子數(shù)。1表示速率在區(qū)間內的分子的平均速率。1/4/202382崎山苑工作室表示速率在區(qū)間內的分子的平均速率。12/29氣體的三種統(tǒng)計速率速率分布函數(shù)中的極大值對應的分子速率。極值條件(1)最可幾速率:溫度超高，vp越大；分子的質量越大，vp越小1/4/202383崎山苑工作室氣體的三種統(tǒng)計速率速率分布函數(shù)中的極大值對最可幾速率（mostprobablespeed）1/4/202384崎山苑工作室最可幾速率（mostprobablespeed）1對大量分子而言，在相同的速率間隔中，氣體分子的速率在vp附近的分子數(shù)最多。

對單個分子而言，速率在vp附近的幾率最大。最可幾速率“

vp”的意義是：1/4/202385崎山苑工作室對大量分子而言，在相同的速率間隔中，氣體分子的速率在vp附氣體分子速率的算術平均值。(2)平均速率：1/4/202386崎山苑工作室氣體分子速率的算術平均值。(2)平均速率：12/29/202平均速率(averagespeed)1/4/202387崎山苑工作室平均速率(averagespeed)12/29(3)方均根速率（root-mean-squarespeed）：氣體分子速率平方的平均值的平方根。1/4/202388崎山苑工作室(3)方均根速率（root-mean-squarespee方均根速率方均根速率1/4/202389崎山苑工作室方均根速率方均根速率12/29/202222三種速率均與,成反比，但三者有一個確定的比例關系;三種速率使用于不同的場合。討論速率分布時用最可幾速率；計算分子運動的平均距離時用平均速率；計算分子平均平動能時用方均根速率。三種速率比較1/4/202390崎山苑工作室三種速率均與,三種速率比較12/29/2022溫度越高，速率大的分子數(shù)越多同一氣體不同溫度下速率分布比較1/4/202391崎山苑工作室溫度越高，速率大的分子數(shù)越多同一氣體不同溫度下速率分布比較1同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質量越小，速率大的分子數(shù)越多。1/4/202392崎山苑工作室同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質量越小，速率大的分子數(shù)例題1試計算氣體分子熱運動速率的大小介于vp-vp/100和vp+vp/100之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分數(shù)。在此利用vp，引入W=v/vp，把麥克斯韋速率分布律改寫成如下簡單形式：解:按題意1/4/202393崎山苑工作室例題1試計算氣體分子熱運動速率的大小介于vp-vp/1把這些量值代入，即得現(xiàn)在1/4/202394崎山苑工作室把這些量值代入，即得現(xiàn)在12/29/202227崎山苑工作室例2.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為求：（1）速率分布曲線（2）由v0求常數(shù)C （3）粒子的平均速率解（1）速率分布曲線（見下圖）1/4/202395崎山苑工作室例2.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為求：（1）速率分布曲（2）常數(shù)C由歸一化條件求得（3）平均速率：1/4/202396崎山苑工作室（2）常數(shù)C由歸一化條件求得（3）平均速率：12/29/例3.由麥氏分布律導出理想氣體分子按平動動能的分布律,并找出最可幾動能是什么？一個分子的平均平動動能是什么？解：一個分子的平動動能：由麥氏分布律：這就是理想氣體分子按平動動能分布定律。21/4/202397崎山苑工作室例3.由麥氏分布律導出理想氣體分子按平動動能的分布律,并最可幾動能：分子的平均平動動能為：理論與實驗符合得很好。從理論上已經(jīng)得到過：1/4/202398崎山苑工作室最可幾動能：分子的平均平動動能為：理論與實驗符合得很好。在平衡態(tài)下，當氣體分子之間的相互作用可忽略時，速度分量vx在區(qū)間vx~vx+dvx，vy在區(qū)間vy~vy+dvy，vz在區(qū)間vz~vz+dvz內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速度分布律（Maxwellvelocitydistributionlaw）上面討論的是氣體分子按速率分布的規(guī)律，對分子速度的方向未作任何確定。下面進一步介紹氣體分子按速度分布的規(guī)律。dvx、dvy、dvz為速度空間的一個體積元麥克斯韋速度分布函數(shù)（Maxwellvelocitydistributionlaw）1/4/202399崎山苑工作室在平衡態(tài)下，當氣體分子之間的相互作用可忽略時，速度分量v＊速度空間(velocityspace)的概念表示分子的速度以其分量vx、vy、vz為軸可構成一直角坐標系，由此坐標系所確定的空間為速度空間。＊麥克斯韋速度分布律指明了分子代表點在速度空間體積元d=

dvxdvydvz中的分布情況。＊可由麥氏速度分布律推出麥氏速率分布律。1/4/2023100崎山苑工作室＊速度空間(velocityspace)的概念12/29由圖（b）可得：1/4/2023101崎山苑工作室由圖（b）可得：12/29/202234崎山苑工作室由麥克斯韋速度分布函數(shù)可推出速度的三個分量的分布函數(shù)。將分布函數(shù)先后對vy和vz積分，即可求出速度分量vx在區(qū)間vx~vx＋dvx內的分子數(shù)占總分子數(shù)N的比率：同理可得：1/4/2023102崎山苑工作室由麥克斯韋速度分布函數(shù)可推出速度的三個分量的分布函數(shù)。將例題：用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)。解：如圖，設單位體積內的分子數(shù)為n，則單位體積內速度分量vx在vx~vx+d

vx之間的分子數(shù)為nf(vx)dvx。vxdtdA在dt內能與dA相碰的分子數(shù)為：nf(vx)dvx·vxdtdA所以，在單位時間內速度分量vx在vx~vx+d

vx之間能與單位面積器壁碰撞的分子數(shù)為：而對于vx<0的分子不會與dA相碰，所以vx的積分區(qū)間為0~1/4/2023103崎山苑工作室例題：用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子每秒碰到單位面積上的分子數(shù)為：1/4/2023104崎山苑工作室每秒碰到單位面積上的分子數(shù)為：12/29/202237崎山苑統(tǒng)計規(guī)律性與漲落（fluctuation）現(xiàn)象麥克斯韋分布律是一種統(tǒng)計規(guī)律。統(tǒng)計規(guī)律不僅對研究熱現(xiàn)象有重要意義，而且在其他自然現(xiàn)象中也是普遍存在的。如伽爾頓板（Galtonplate）實驗?！谝淮螌嶒炛行∏蚵淙肽膫€狹槽是偶然的；※但大量小球按槽的分布情況卻是確定的。（在中央的槽內小球分布得最多，在離中央越遠的槽內小球越少）。人們把這種支配大量粒子綜合性質和集體行為的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性1/4/2023105崎山苑工作室統(tǒng)計規(guī)律性與漲落（fluctuation）現(xiàn)象麥克斯韋分統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.（2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質變).（3）總是伴隨著漲落.統(tǒng)計規(guī)律與漲落現(xiàn)象是不可分割的，這正反映了必然性與偶然性之間相互依存的辯證關系。一切與熱現(xiàn)象有關的宏觀量（如P、T）的數(shù)值都是統(tǒng)計平均值。在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范圍內，觀測值都與統(tǒng)計平均值有偏差，這就是漲落現(xiàn)象。1/4/2023106崎山苑工作室統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.（2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質變).（3）總是伴隨著漲落.統(tǒng)計規(guī)律與漲落現(xiàn)象是不可分割的，這正反映了必然性與偶然性之間相互依存的辯證關系。一切與熱現(xiàn)象有關的宏觀量（如P、T）的數(shù)值都是統(tǒng)計平均值。在任一給定瞬間或在系統(tǒng)中任一給定局部范圍內，觀測值都與統(tǒng)計平均值有偏差，這就是漲落現(xiàn)象。1/4/2023107崎山苑工作室統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.3.2用分子射線實驗

驗證麥克斯韋速度分布律由于技術條件（如高真空技術、測量技術等）的限制，測定氣體分子速率分布的實驗，直到二十世紀二十年代才實現(xiàn)。實驗技術的不斷改善和提高，特別是分子射線實驗技術的迅速發(fā)展，使麥克斯韋速度分布律得到許多直接的實驗證明。1/4/2023108崎山苑工作室3.2用分子射線實驗

驗證麥克斯韋速度分布律由于技術條件（分子射線(molecularray)下圖是產(chǎn)生分子射線實驗裝置示意圖。容器O中貯藏的氣體為平衡態(tài)的氣體。從O中逸出的氣體經(jīng)狹縫S1、S2后形成一窄束分子射線。在用分子射線驗證麥克斯韋速度分布律的實驗中，氣體一般用金屬（如銀、鈹、釷等）蒸氣。1/4/2023109崎山苑工作室分子射線(molecularray)下圖是產(chǎn)生分子射線葛正權實驗我國物理學家葛正權于1934年測定鉍蒸氣分子的速率分布，其實驗裝置原理圖如下圖。D鉍分子由S3到達P’處所需的時間為：t=D/vR轉過的弧PP’長度為：s=D/2=Dt/2v=D2/2s----一定的s值與一定的v對應1/4/2023110崎山苑工作室葛正權實驗我國物理學家葛正權于1934年測定鉍蒸氣分子的密勒和庫士實驗密勒和庫士在1956年用釷蒸氣的原子射線做實驗精確地驗證了麥克斯韋速率分布律，其實驗裝置原理圖如下圖所示：rRLl給定小孔充分小，改變，測D上的沉積厚度，就可測氣體速率分布OD蒸汽源檢測器l抽氣抽氣1/4/2023111崎山苑工作室密勒和庫士實驗密勒和庫士在1956年用釷蒸氣的原子射線做OV相對粒子數(shù)粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所示1/4/2023112崎山苑工作室OV相對粒子數(shù)粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所OV相對粒子數(shù)粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所示1/4/2023113崎山苑工作室OV相對粒子數(shù)粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所3.3玻爾茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布1.玻爾茲曼分布律(Boltzmanndistributionlaw)在麥克斯韋速度分布率中，有一因子即考慮的是不受外力場的影響，只考慮分子在速度空間體積元dvxdvydvz中的分布情況。玻爾茲曼將其推廣到分子在保守力場（如重力場）中運動的情形。在這種情形下則必須考慮分子在力場中的勢能Ep。玻耳茲曼推廣：氣體分子速度在區(qū)間vx~vx+dvx

，

vy~vy+dvy，vz~vz+dvz

，位置在區(qū)間x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz分子數(shù)目為dNe-E/kTdvx

dvydvzdxdydz

1/4/2023114崎山苑工作室3.3玻爾茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布1.玻爾茲玻爾茲曼分布律(Boltzmanndistributionlaw)（玻爾茲曼分子按能量分布定律）當系統(tǒng)在力場中處于平衡態(tài)時，其中坐標介于區(qū)間x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz內，同時速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz內的分子數(shù)為n0為在處，單位體積內具有各種速度的分子總數(shù)。1/4/2023115崎山苑工作室玻爾茲曼分布律(Boltzmanndistribution求單位體積分子數(shù)n將玻爾茲曼分布率積分,有重力場中粒子按高度的分布（）滿足歸一化條件，結果為11/4/2023116崎山苑工作室求單位體積分子數(shù)n重力場中粒子按高度的分布（當大氣溫度均勻時，分子數(shù)密度隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小。在同一高度1/4/2023117崎山苑工作室當大氣溫度均勻時，分子數(shù)密度隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小。在同一等溫大氣壓強公式（高度計原理）利用：P=nkT假設：大氣為理想氣體，不同高度處溫度相等可得:P0=n0kT表示在z=0處的壓強等溫氣壓公式1/4/2023118崎山苑工作室等溫大氣壓強公式（高度計原理）利用：P=nkT假設：大氣恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化根據(jù)壓強變化測高度，實際溫度也隨高度變化，測大氣溫度有一定的范圍，是近似測量。由上式可得高度h為：測定大氣壓強隨高度的減小，即可判斷上升的高度。1/4/2023119崎山苑工作室恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化根據(jù)壓強變化恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化根據(jù)壓強變化測高度，實際溫度也隨高度變化，測大氣溫度有一定的范圍，是近似測量。由上式可得高度h為：測定大氣壓強隨高度的減小，即可判斷上升的高度。1/4/2023120崎山苑工作室恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化根據(jù)壓強變化3.4能量按自由度均分定理自由度（degreeoffreedom）：某一物體的自由度，就是決定這一物體在空間的位置所需要的獨立坐標數(shù)。在直角坐標系中：（1）對質點：x，y，z共3個自由度，稱平動自由度t=3（2）對直桿但因故只需r=2個轉動自由度所以，直桿需要的自由度數(shù)為：確定桿上一個點，需（x，y，z）t=3個平動自由度，確定桿的方位，似乎還需（、、）3個轉動自由度1/4/2023121崎山苑工作室3.4能量按自由度均分定理自由度（degreeoff（3）對剛體確定剛體一軸線5個自由度確定剛體繞軸轉動加一個自由度剛體的自由度數(shù)：分子的自由度（1）單原子分子：氦（He）、氖（Ne）i=3（2）雙原子分子：

H2、O2、CO…剛性非剛性（3）三原子分子：CO2、H2O...剛性非剛性振動自由度1/4/2023122崎山苑工作室（3）對剛體確定剛體一軸線5個自由度確定剛體繞軸轉分子的自由度分子種類單原子分子雙原子分子多原子分子t平動r轉動s振動3003剛性3205非剛性3216剛性非剛性3306333n-63n自由度總結1/4/2023123崎山苑工作室分子的自由度分子種類單原子分子雙原子分子多原子分子