數理方程分離變量法

關于數理方程分離變量法第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日§2.1齊次發(fā)展方程的分離變量法一分離變量法簡介研究兩端固定的理想弦的自由振動，即定解問題

設代入上述波動方程和邊界條件得

方程、邊界條件均齊次用遍除第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日

兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實際上是同一個常數，把這個常數記作------

這可以分離為關于X的常微分方程和關于T的常微分方程，且邊界條件也同樣進行分離稱為固有值（本征值）問題第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日

特征根通解求方程的通解的步驟為：

(1)寫出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，

(3)根據特征根的情況按下表寫出所給微分方程的通解。二階常系數齊次線性微分方程第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日

1、在λ<0時，方程的解是

積分常數和由邊界條件確定

由此解出=0,=0，從而

2、λ=0

時方程的解是則仍然解出第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日

3、λ>0的情況

方程的解是

只有才能保證，方程有非零解

此時再看關于T的方程

于是或

稱為固有值，

稱為固有函數第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日

這個方程的解

分離變量的形式解

(n=1,2,3,…)

由疊加原理，一般解為：

現在要求出疊加系數和

滿足初始條件

第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日

方程左邊是傅里葉正弦級數,這就提示我們把右邊的展開為傅里葉正弦級數，然后比較傅里葉系數，得第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日，則可得原問題的解：

按上述公式計算出系數和注：該解稱為古典解，在求解中我們假設無窮級數是收斂的。

如上的方法稱為分離變量法，是齊次發(fā)展方程求解的一個有效方法。下面對該方法的步驟進行總結。

第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日分離變量流程圖固有值（特征值）問題第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日偏微分方程

第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日【解】桿上溫度滿足下列泛定方程和定解條件

試探解

代入方程和邊界條件得固有值問題

【例題1】研究細桿導熱問題,初始時刻桿的一端溫度為零度,另一端跟外界絕熱，桿上初始溫度為,試求無熱源時細桿上溫度的變化。和常微分方程分析：方程與邊界條件均為齊次，用分離變量法，根據分離變量法流程，分析如下第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日分離變量流程圖固有值（特征值）問題第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日經討論知，僅時有非零解，且只有由得由得于是得固有值和固有函數為由此得第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日下面求解得由疊加原理，得第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日確定系數,由初值條件知

于是如取，則第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日

從而下列問題

的解為圖形如下:(程序:my1)第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日(a)精確解圖(b)瀑布圖第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日§2.2穩(wěn)定場齊次問題的分離變量法1矩形區(qū)域上拉普拉斯方程

【例題1】散熱片的橫截面為矩形。它的一邊處于較高溫度，邊處于冷卻介質中而保持較低的溫度,其他兩邊，溫度保持為零，求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布.【解】先寫出定解問題定解問題

方程齊次這組邊界條件齊次用分離變量法第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日分離變量流程圖固有值（特征值）問題第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日設形式解為：

代入上述泛定方程,得到得到固有值問題和常微分方程得固有值：

第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日固有函數：

而于是有疊加得第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日為確定疊加系數，將代入非齊次邊界條件

將等式右邊展開為傅里葉正弦級數,并兩邊比較系數，得

第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日聯立求解得第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日故原問題的解為小結：對矩形域上拉普拉斯方程，只要一組邊界條件是齊次的，則可使用分離變量法求解。圖形如下：（程序：my2）第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日(a)精確解圖(b)瀑布圖第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日【例2】求解下列問題特點：邊界條件均非齊次

讓和分別滿足拉普拉斯方程,并各有一組齊次邊界條件，即則，而上面兩個定解問題分別用例1的方法求解。稱為定解問題的分拆。第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日

【例題3】帶電的云跟大地之間的靜電場近似是勻強的，水平架設的輸電線處在這個靜電場之中，導線看成圓柱型，求導線外電場的電勢。

【解】先將物理問題表為定解問題。取圓柱的軸為z軸，物理問題與Z軸無關。圓柱面在平面的剖口是圓柱外的空間中沒有電荷，故滿足拉普拉斯方程

（在柱外）

可以看出，邊界條件無法分離變量，只能另辟蹊徑。在極坐標下研究該問題，在極坐標下，上述問題可表示成2圓形區(qū)域問題第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日設分離變數形式的試探解為

代入拉普拉斯方程，得令此條件是根據電學原理加上的移項、整理后得：第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日分離為兩個常微分方程

（自然邊界條件，附加）得固有值和固有函數為和固有值問題解得第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日將本征值代入常微分方程，得到歐拉型常微分方程

作代換則，方程化為：

于是通解是

解得即第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日一個傅里葉級數等于零,意味著所有傅里葉系數為零,即：

由此得：

由條件得第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日主要部分是項,可見在表達式中不應出現高次冪，于是

最后得柱外的靜電勢為：由知結合前面系數關系，有習題6、8第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日

§2.3非齊次方程的求解

設該問題的解為：例1求解有界弦的受迫振動問題（Ⅰ）我們已經知道，對應齊次問題的固有函數系為又設因已知，所以

固有函數展開法（又稱傅立葉級數法）第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日代入非齊次方程和初始條件得：用Laplace變換求解得：∴

方法總結：將未知函數和非齊次項按照對應的齊次問題的固有函數展開，其展開系數為另一變量的未知函數，代入非齊次方程和初始條件確定該未知函數。第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日設：【解】對應齊次問題的固有函數系為代入泛定方程，得于是有例2求解有界弦的受迫振動問題（Ⅱ）第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日代入初始條件

于是：

第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日當時：

的解為

解釋第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日推導：對應齊次方程的通解為

設非齊次方程的特解為，解得

于是非齊次方程的通解為由定解條件得代入整理即得。第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日故原問題的解為解釋第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日

§2.4非齊次邊界條件問題

上一節(jié)研究了非齊次偏微分方程，齊次邊界條件的情況。現在討論非齊次邊界條件下的情況。【例1】長為、側面絕熱的均勻細桿，在的一端保持恒溫，另一端有熱流為的定常熱流進入。設桿的初始溫度分布是，求桿上的溫度變化.【解】物理問題的定解問題按照疊加原理，將的定解問題分解為兩部分之和，第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日滿足定解問題即解得滿足定解問題解釋為什么？第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日由分離變量法知，其解為由初值條件知故第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日與t無關，設v=v(x)小結：滿足定解問題即可邊界條件齊次化。第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日§2.5固有值問題

常微分方程的本征值問題是由齊次邊界條件決定的。

用分離變量法求解偏微分方程的定解問題時，會得到含有參數

些參數稱為固有值，其對應的方程解稱為固有函數。

的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。這類問題中的參數依據邊界條件只能取某些特定值才會使方程有非零解。這固有值及固有函數：一、第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日固有函數系：在區(qū)間上正交，即其固有值和固有函數分別為

二、第四十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日三、其固有值和固有函數分別為

固有函數系：在區(qū)間上正交，即第四