分類討論思想專題講師版

教授長教授長高三秋季數(shù)學講“分類討論思想專題（浙江學生 授課日期知識知識知識梳理1.概念型a的定義為a0、a0、a類給出的．如等比例的前n項和的公式，分q0q1兩種情況．這種分類討論題型可以時分a0a0、和a02.性質(zhì)型3.含參型知識梳理..與導數(shù)結(jié)合型知識梳理6.其他例題精【題目】已知fxgx的圖像關(guān)于原點對稱fxx22x求函數(shù)gx的解析式；gxfxx1若hxgxfx1在1,1上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍（2）gxfxxx12x2x10x12x2x101x1原不等式的解集為112（3）hxx221x

2當1時，二次函數(shù)的對稱軸方程x 1①當1時， 1，解得1②當1時 1，解得

綜上#知識梳理sin cos tansincostan【題目】函數(shù)ysincostan

cotcotcot

,#知識梳理【題目】設(shè)afxx2xa1xR討論fx的奇偶性 （2）求fx的最小值【答（1）當a0時，fx是偶函數(shù)；當a0時，fx既不是奇函數(shù)，也不是 1 A：當xa時，fxx a 2 當a1時，f faa21；當a1時，f f13

21

B：當xa時，函數(shù)fxx a 2 當a1時，f f13a 2 a

1f

faa2 綜上所述，當a1時，f 3a；當a1時，f 3a 1當 a1

1f

faa2 當a0fx是偶函數(shù)；當a0fx 1 A：當xa時，fxx a 2 當a1時，f faa21；當a1時，f f13

1

B：當xa時，函數(shù)fxx a 2 當a1時，f f13a 2 a

1f

faa2綜上所述，當a1時，f 3a；當a1時，f 3a 1當 a1

fxminfaa21 1#知識梳理【題目】設(shè)0x1a0且a1loga1xloga1x【答案】0x101x1,1xlog0logloga1xloga1xloga1xloga1xloga1x20lologa1xloga1xloga1xloga1xloga1x2由（1（2）loga1xloga1情況進行討論．本題要求對對數(shù)函數(shù)的??=log????單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當a>1時#知識梳理2【答案】當a1是，原函數(shù)在1,2上單調(diào)遞增 f f2a2,f f1 a2aa，解得a0（舍去a 0a 時，原函數(shù)在1, 上單調(diào)遞減 f f1a,f f2 aa2a，解得a0（舍去a #知識梳理【題目】設(shè)a0，在復數(shù)集Cz22zazz

z22

zRz22

a

1ay

當 為純虛數(shù)時，1a0a1

，解得：z11a或11ax2解法二設(shè)zxyi，代入得x2y2 2xyix2x2x2y2x2x0時，y22yay11a，所以z11aiz11a或11ai進行討論求解．本題用標準解法（zxyi再代入原式得到一個方程組，再解方程組#知識梳理【題目】設(shè)x，x是方程2x23axa2a0aR的兩根，求x （用a的解 當方程有實根時（xx22xx2（xx22xx2x 119a2a2aa242a2a0，即a1或a當a1或a-8時，x1x2 2當0a1

x2 1a22a 0，即81a22ax12a2x1x22x1x12a2 a1或a2211a22a xx 22a2

0a8a#知識梳理yxa有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a0，那么該函數(shù)在0,a 數(shù)，在

a,上是如果函數(shù)yx (x0)在0,4上是減函數(shù)，在4,上是增函數(shù)，求b的值x設(shè)常數(shù)c1,4f(xxc(1x2)x當ng(xxn

c(c0)x

（常數(shù)a＞0）x＝(x21)n(1x)n（n是正整數(shù)）在區(qū)間1，2]上的最大值和最小值（ x c；當2【解析】解(1)由已知 =4,∵c∈[1,4],∴ccx=cf(x)=x+2cx

c,2c1≤c≤2f(x)f(2)=2+；2 x設(shè)0<x<x,g(x)－g(x)=xncxnc(xnxn)(1 x

n 12nc<x1<x2g(x2)>g(x1g(x2nc0<x1<x22ncg(x2)>g(x1g(x)在當n,g(x)

當ng(x)（3）(3)aa

當n是奇數(shù)時,y=

在(02na]上是減函數(shù),在2na,+∞)上是增函數(shù)在(－∞,2na]上是增函數(shù),在[2na,0)上是減函數(shù)當n是偶數(shù)時,y=

在(02na]上是減函數(shù),在2na,+∞)上是增函數(shù)aa在(－∞,2na]上是減函數(shù),在[2na,0)上是增函數(shù)0

(x

1)n+( x

x=Cn 2n)Cnx1

x2n3)Cn x2n3r)Cn xnF(x)2

12

x=2時F(x)取得最大值2

4#知識梳理fxm1x22m1x1x0 當m1fx當且僅當判別式4m12m10x 由m12m10，得m22mmm0時，解得m0或m3，此時公共點為1,m0時，解得m0m1（舍綜上所述，所求m10，相應(yīng)公共點為10或1,0 #知識梳理【題目】mcos22msin2m20對任意實數(shù)【答案】設(shè)ycos22msin2m2sinm2m22m1．若y0，對為任意實數(shù)都成立， 1sin1，22（1）若1m1則當sinm時，ymaxm22m10 m22

若m1，則當sin1

2綜上所述，m 2,#知識梳理【題目】已ysinxacosxaa0，ymin1，求a的值 2sinx 4 t 2 t2

， y at，2

t2

若0a2，ymin

1，a 3舍去 若a 2, a22a11，a 21或a 21舍去

2綜上所述，∴a1 2#知識梳理【試題來源】2011年高考數(shù)學文（卷f(xa2xb3x，其中常數(shù)ab滿足ab0 若ab0f(xab0f(x1f(xx【答案】⑴當a0,b0時，函數(shù)f(xR上是增函數(shù)；當a0,b0(f(xR上是減函數(shù)；⑵當a0,b0時，3x(

xlog1

(a)(a0,b0時，3x(

(aa0,b0x1x2Rx1x2f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2∵2x12x2,a0a(2x12x2)0，3x13x2,b0b(3x13x2)0∴f(x1f(x20f(xR上是增函數(shù)。當a0,b0f(xR上是減函數(shù)。 f(x1)f(x)a2x2b3x(a0,b0時，3x( (a0,b0時，3x(

a)a)#知識梳理的距離分別是7和1．若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點 ac1解得a4,c3b2a2c2acx y 得

OPOMOP

2(0)

P在橢圓C上9x216(x2y2

2整理得(1629)x2162y2112x4,①3時．化簡得9y2112

44 ②4時，方程變形 1121，其中x4,162 16當0

4

足4x44#知識梳理討論當k值在， x2y2 【答案】解設(shè)動點M的坐標為x,y于是得x xk0y0x軸；當1k0x軸上的橢圓；k1表示圓心在原點，半徑為a的圓；k1表示焦點在y軸上的橢圓．

即

，#知識梳理f(a)，f(a)2a2a

(a≥1時(a1時束條件x≥0下的最小值問題，而引起對參數(shù)a的取值討論。由于y2＝2x限定x≥0，所以分以下情況討論：a－1<0x＝0取最小值，即|MA}2min＝a2；2a2a

(a≥1時。(a1時得到d＝f(a)的函數(shù)表達式。#知識梳理【試題來源】浙江省寧波市鄞州中學2012學年高三第六次月考數(shù)學（理）【題目】已知函數(shù) 求函數(shù)的極大值和極小 【答案】(1) (或).(2)，【解析】解:(Ⅰ),由題意 即得 ,由得 (或).(Ⅱ)由(*)式得,即.當時,;當時,當時,在和內(nèi)是減函數(shù),在內(nèi)是增函數(shù),, ,解得當時,在和內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù),恒成立.綜上可知,所求的取值范圍為#知識梳理【試題來源】浙江省杭州市2013屆高三第二次教學質(zhì)檢檢測數(shù)學（理）試 時,有,求b的最大值【答案】(I)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)∵,,∴,則,[來 ∴,設(shè)切點 ),則 ,解得 或當時,,切線方程為當時,,切線方程為(Ⅱ)①當,時,在[0,1]上遞增,∴② ,得在 (i) ,即 (ii)若時 由得,,即:, 又,∴ ,得當時,,滿足綜上所述:的最大值#知識梳理【試題來源】 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試(浙江理設(shè)函數(shù)．若在區(qū)間上．，求的取值范圍 是否存在，對任意給定的非零實數(shù)，存在惟一的非零實數(shù)（，使得成立？若存在，求的值；若不存（I），因 在區(qū) 上所以 ，令 ，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，于 ， ，而當時 上有兩個相等的實根，故舍去，所 時有；[來源§ 時有，因為當 的情形，記A，B=（?。┊敃r，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且 ，（ⅱ）當時，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此 （?。áⅲ? 時A=B，則，即使得成立，因為在上單調(diào)遞增，所以 滿足題意．#知識梳理【試題來源】浙江省紹興市2013屆高三教學質(zhì)量調(diào)測數(shù)學（理）試 .(Ⅱ) 的右側(cè),函數(shù)的圖象是否存在點, 【解析】解:(Ⅰ)由已知得(令得, 或 或.所 在 得 所 ,所,,則,在,所 , (或 在直 ① 時,,此時② 時 ,此時, 的取值范圍為 的取值范圍為#知識梳理【試題來源】浙江省杭州高中2013屆高三第六次月考數(shù)學（理）試【題目】函數(shù)定義在區(qū)間[a,b]上，設(shè)“”表示函數(shù)在集合D的最小值，“”表示函數(shù)在集合D上的最大值．現(xiàn)，，為區(qū)間上的“第k類壓縮函數(shù)(1)若函 ，(2) ，函數(shù)是上的“第3類壓縮函數(shù)”，求m的取值范圍【答案】 ； 第5頁（共5頁【解析】解：(1)由 所以 的最大值為 ，(2)由于，故 而 ， ，．設(shè)對正整數(shù)k有對恒成立，當x=0時，均成立；當時，恒成立而,故 恒成立，而； ；所以， 所以，．#知識梳理【題目】設(shè)數(shù)列{a}為遞增數(shù)列，且a0，fxsin1xa，xa （ 為正整數(shù)．若對于任意的b0，1)，fnxb，總有兩個不同的根試寫出yf1x，并求出a2 （2）求an1an，并求出{an}的通項公式（3）設(shè)Saa 1n1a，求S 【答案】（1）f1xsinxa1sinxx0，a2，又sinxb,b0,1，總有兩個不同的實根，a2，且f1xsinxx0,．（2）1°當0

ny

x為增函數(shù)，不合題意2°當n an時，b0,sin 時，fxb有唯一解，不

n 2

（3）當n2k Sna1a2 a2k1a2k3 2k1k 4n2k1Saa k22k12kkk1n2 2k 2k Snn2

#知識梳理【題目】設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前項和lgSnlg lg lgSnclgSn2是否存在常數(shù)c0，使 lgn1c成立？并證明結(jié)論2【答案】設(shè){an}的公比q，則a10，q（1）當q1時，Sna從而S S2nan2an12a2a20nq1

1a1qn11

n

S S

a21qn1qn21 1

a21qn1

a2qn1n1

1

1 由上可得S S2，所以lgSS2lgS lgSnlgSn22n n n1，即2lgSnclgSn2

lgSn1

lgSn1 2 ScS cS q1Snna1S c c2nacn2acn1ac2a2 a11qn

q1Sn

1

，則

c2a1qn

c

11

c

11

caqnac11 1 1 a a1q0a1c1q0即c 1 而SncSn 1 1 1 1

lgSnclgSn2 lg

c成立等比數(shù)列前項和的公式時，由于公式的要求，分q1和q1兩種情況．#知識梳理A3，6B3，6．OAOB3當直線l的斜率存在時，設(shè)直線lykx3，其中k0

得ky22y6k0y1y2又x1y2x1y2 2 2OAOBxxyy1yy2yy31 1 1 1逆命題是：設(shè)直線ly22xA、B兩點，如果OAOB3，那么該直線過點T3，0．該命題是假命題．例如：取拋物線A2，2，B1，1，此時OAOB3AB的方程為2 y2x13y22x上的點Ax

#知識梳理【題目】到空間不共面的 個點距離相等的平面的個數(shù)是 面一種有??3種，另外一類有??2 #知識梳理，n∈N*，設(shè) （1） ∴（2）∵∴從 若q＞1，則 0＜q＜1，則，故當時，與（*）綜上可得q=1，an=a1，∵ 又 可 ，從而∴#知識梳理f(xx3ax2b(a,bR)f(x若bca（ca與無關(guān)的常數(shù)f(x有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(,3)(1,33,c的值。 #知識梳理f(x)是定義在區(qū)間(1,f'(x)。如果存在實數(shù)a和函h(x，其中h(xx(1,都有h(x>0f'(x)h(x)(x2ax1，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)。設(shè)函數(shù)f(x)lnxb2(x1)，其中bx(i)f(xP(b(ii)f(xmx1(1m)x2(1m)x1mx2，且11，若|g()g(|<|g(x1g(x2|，求m的取值范圍。【答案】(1)(i)見解析(ii)b2f(x(1,上遞增；當b2f(x(1,bb24)

f(x在bb24上遞增(2)2（1）(i)f'(x)1x

b2(x

(x2bxx(x∵x1時，h(x) x(x

f(xP(b2

b (ii)（方法一）設(shè)(x)xbx1(x )1 ，(x)與f'(x)的符號相同 當1 0,2b2時，(x)0，f'(x)0，故此時f(x)在區(qū)間(1,)上遞增4當b2x1f'(x)0f(x在區(qū)間(1,b當b2時，(x)圖像開口向上，對稱軸x 1，而(0)2x1，總有(x)0f'(x)0f(x在區(qū)間(1,（方法二）當b2x1(xx2bx1x22x1x1)2f'(x)0f(x在區(qū)間(1,bb2時，(x)圖像開口向上，對稱軸x

1，方程(x)

0的兩根為：bb2bb2bb2,bb2bb2bb2bb2

x1,bb24)(x)0，f'(x)0f(x)(1bb24 f(x在區(qū)間bb242綜上所述，當b2f(x在區(qū)間(1,當b2f(x

(1,bb24)

f(x在bb242(2)（方法一）g'(xh(x)(x22x1)h(x)(xh(xx1,都有h(xx1,g(x0g(x在(1,上遞增。又x1x2(2m1)(x1x2。1當m ,m1時，，且x1(m1)x1(1m)x2,x2(1m)x1(m1)x22綜合以上討論，得：所求m的取值范圍是（01（方法二）g(xg'(xh(x)(x22x1)，其中函數(shù)h(x0對于任x1,x1g'(xh(x)(x1)20g(x在區(qū)間(1,上單調(diào)遞增。①當m(0,1)時，有mx11m)x2mx11m)x1x1mx11m)x2mx21m)x2x2，得(x1x2(x1x2，所以由g(x)的單調(diào)性知g()g()(g(x1g(x2，從而有|g(g(|<|g(x1g(x2|②當m0時，mx11m)x2mx21m)x2x21m)x1mx21m)x1mx1x111及g(x)g(g(x1g(x2g(，所以|g(g(|≥|g(x1g(x2|m1時，同理可得x1x2，進而得|g(g(|≥|g(x1g(x2|，與題因此綜合①、②、③得所求的m的取值范圍是（01#知識梳理習題演x2ax10x01成立，則a的取值范圍， 2

22a≥?1+??1+??) fx2+sin2xg(xtanx2實數(shù)【答案】2【試題】正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的的體積為 【答案】3或 【試題】過點P2，3，且在坐標軸上的截距相等的直線方程是【答案】3x2y0或xy5【試題來源】2014高考數(shù)學理（卷記ax1by1c)(ax2by2c.若0P1P2被直線l分割.若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線CP1P2被直線l分割，則稱直線l為曲線C的一條分割ykxx24y21的分割線，求實數(shù)kM到點Q(02y軸的距離之積為1ME.求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線.【解析（1）A(12B(1,0)分別xy1，得(121)(11)4A(1,2B(1,0)被直xy10x24y2聯(lián)立 y ，得(14k)x1，依題意，方程無解 ∴14k20，∴k1k2x2(yx2(y

x∴曲線E的方程為[x2(y2)2]x2 P1(1,2P21,2E上兩點，且代x0，有10ykx，代入方程得：(k21)x44kx34x210，令f(x)(k21)x44kx34x21，則f(0)1，f(1)k214k3(k2)2，f(1)k214k3(k2)2k2f(1)0f(0)f(1)0f(x0在(0,1k2f(0)f(1)0f(x0在(1,0)【試題來源】2011高考數(shù)學理（卷【題目】已知數(shù)列{a和{b的通項公式分別為a3n6，b2n7（nN* 集合{x|xanN*}{x|xbnN*} cn ⑴求三個最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列{an}中的項，又是數(shù)列{bn}中的項c1c2 c40中有多少項不是數(shù)列{bn中的項？說明理由 ⑶求數(shù)列{c}的前4n項和 （nN* 【答案】⑴三項分別為9,15,21（2）【解析】⑴三項分別為9,15,21c1c2 c40⑶b3k22(3k2)76k3a2k1，b3k16k5，a2k6k6，b3k6k∵6k36k56k66k6k (n4k∴c6k (n4k2),kN*。 24k 6k (n4k 4k 4k 4k (n (cccc) c)24n(n1)21n12n2 【試題來源】2012高考數(shù)學理（卷【題目．若集合A{x|2x10}，B{x||x1|2}，則AB 【答案】1 A2x10x1x2

AB1,3 【試題來源】2013高考數(shù)學理（卷【題目】給定常數(shù)c0，定義函數(shù)f(x)2|xc4||xc|，數(shù)列a1,a2,a3 f(a),nN （1）若ac2，求a及a；（2）求證：對任意nN*, ac 是否存a1，使a1,a2

an 成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的 ，若不a3f(a1)2|a2c4||a2c|cf(x)xc2|xc4||xc|x即只需證明2|xc4||xc|xxc0，顯然有2|xc4||xc|xc=0xc0，則2|xc4||xc|xcxc4xc顯然成綜上f(x)xc恒成立，即對任意的nN*，na1an由（2）知，若{an}為等差數(shù)列，則公差dc0n無限增大時，總有andc

f(an)2(anc4)(anc)anca2f(a12|a1c4||a1c|a1c8，2|a1c4||a1c|a1c8，a1c0時，等式成立，且n2an0，此時{an}為等差數(shù)列，滿足題意；a1c0，則|a1c4|4a1c8，a20,a3c8,,ann2)(c8)也滿足題意；綜上，滿足題意的a1的取值范圍是[c,){c8}．【試題來源】2013高考數(shù)學理（卷aRAx|x1)(xa)0Bx|xa1}ABR，則a的取值范圍為（）【選項】(A)(, (B)(, (C)(2, (D)[2,

a a Aa11或1a 【試題】已知點P1a1b1P2a2b2Pn(an,bn)（n為正整數(shù)）都在函數(shù)nn求數(shù)列{an}的通項公式，并證明數(shù)列{bn}nSn設(shè)數(shù)列的前n項的和S，求 n2設(shè)Q(a,0)，當a

時，問OPQ n nbaana2n1，n

2定值），數(shù)列bn是等比數(shù)列

1，

a(1a2n，2，

1a．．當0a1limSn1nS

1

1 11a1

nlim1a

a n

n1a na

a alim

n b2 2

，S3

(2n1)( 1設(shè)c 1

22n1，當c最大時，則cncn1( cn解得n2.3nN，n2n 所以n2時c取得最大 ，因此OPQ的面積存在最大 n 【題目】若函數(shù)f(x)1x24x1,x[0,1]的最大值是M(a)，最小值時m(a)aM(a)m(a)的表達式

41,當a0或a1時 2 【答案】M(a)m(a) 4a4，當0a 時444a，當

a

1 【解析】解：顯然af(0)1M(af(1)

3，M(a)m(a)4 若a0f(xx2a1①當02a1即0a 時，f(x)在[0,1]上先遞減后遞增其最小值為f(2a)14a2f(0f(1)中的較大者.f(0)f(1)f(1)f(0)13114 1 當40即0a 時，M(a)f(1) 3.M(a)m(a) 4a4 當40

a 時M(a)f(0)

M(a)m(a)②當a 時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，最大值

f(0)1M(a 3，M(a)m(a)4 41,當a0或a1時 2 綜上，M(a)m(a) 4a4，當0a 時4a，當

a

1時. 點．已知a，b是實數(shù)，1和﹣1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點．a(chǎn)b（x=（（x﹣c1a0，=﹣3（2﹣（32時，函數(shù)y=h（x）9g′（x點．解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b． x1=x2=1，x3=﹣2． （3）f（x）=t，則先討論關(guān)于xf（x）=d當|d|＜2時，2，﹣1，1，2f（x）=d的根．知，f′（x）=3（x+1（x﹣1，于是f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的圖象不f（x）=d在（1，2）內(nèi)有唯一實根．，于是f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的圖象不f（x）=d在（1，1）因此，當|d|=2時，f（x）=dx1，x2，滿足|x1|=1，|x2|=2；當|d|＜2（x）=d有三個不同的根x3，x4，x5，滿足5．現(xiàn)考慮函數(shù)y=h（x）（i）當|c|=2時，f（t）=ct1，t2，滿足|t1|=1，|t2|=2f（x）=t1有三個不同的根，f（x）=t2有兩個不同的根，故y=h（x）有5個零點．（i ）當|c|＜2時，f（t）=c有三個不同的根t3，t4，t5，滿足綜上所述，當|c|=2y=h（x）5個零點；當|c|